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Full text of "Niels-Henrik Abel : tableau de sa vie et de son action scientifique"

mi"^^ 






UMIVERSITYOFTOHUNIU 

DEPT. OF IVVATHEiViA 
flRHARY 



Digitized by the Internet Archive 

in 2010 with funding from 

University of Ottawa 



http://www.archive.org/details/nielshenrikabeltOObjer 



NIELS-HENRIK ABEL 



TABLEAU 



DE SA VIE ET DE SON ACTION SCIENTIFIQUE 



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Utri. ui 1' 



,,irtlHEMATlCS 



Liuj v/ u\ i 



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Wl^ 






Extrait des Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, 

t. I (3« Série). 



Durdeaux. — luip. G. Gounouilhov, rue Cuiraude, 11. 




o/.iû. M^ 



)-J03TRYCK AP J. JaBQBK, gTOCKHOLM. 



NIELS-HENRIK ABEL 



TABLEAU 

DE SA VIE ET DE SON ACTION SCIENTIFIQUE 



PAR 



PROFESSEUR A L'UNIVEBSITÉ DE CHRISTIANIA 



TRADUCTION FRANÇAISE 

Revue et considérablement augmentée par l'auteur 



ORNE D'UN PORTRAIT D'ABEL 



PARIS 



G AU THIER-VIL L AR S 

IMPRIMEUR-LIBRAIRE DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, DU BUREAU 
DES LONGITUDES, SUCCESSEUR DE MALLET-BAGHELIER , 

Qnai des Angnstins, 55. 

1885 

TOUS DROITS RÉSERVÉS) 



PREFACE 



Les notices suivantes ont été publiées pour la plus fi^rande partie 
dans plusieurs livraisons de la Revue Scandinave pour les sciences, les 
arts et l'industrie, éditée à Stockholm (^). De prime abord cependant, je 
n'ai pu compter qu'une description circonstanciée de la vie et des 
œuvres d'Abel, en supposant qu'à un degré quelconque elle pût satisfaire 
les hommes spéciaux, présentât aussi à la long-ue un intérêt durable à 
la plupart des lecteurs d'une telle Revue. Je me réservais donc d'interrom- 
pre ma narration — ou plutôt ma série d'esquisses détachées, paraissant 
à des intervalles irréguliers, — aussitôt que cela paraîtrait commandé 
par les circonstances. Mais j'espérais en tous cas, lors même que je me 
bornerais à présenter quelques fragments, que ce serait aux yeux d'un 
public Scandinave une entreprise méritant d'être tentée que d'essayer à 
éclaircir ce qu'avait fait Abel et quelles furent les circonstances de sa 
vie. Dans la mesure où je réussirais, il en ressortirait une idée plus ou 
moins claire des plans et des efforts de notre mathématicien, ou que du 
moins j'éveillerais chez le lecteur le sentiment de leur importance, et, 
quoi qu'il en soit, les circonstances de sa vie ont été assez remarquables 
pour donner à réfléchir à tous les amis de la science. 

D'après le plan primitif, les articles devaient, autant que possible, 
former chacun un ensemble indépendant. Souvent aussi, ils s'étaient 
suivis à des intervalles assez considérables. Le tout n'était pas fait 
d'avance. A différentes reprises je fus donc amené, pendant la publica- 
tion, à entreprendre des recherches nouvelles, puisant à des sources 
connues et aussi à d'autres jusqu'à présent inexplorées. 



(i) iVorrfîoi- Tidskrift for vetemkap, konst och industri utgift'cn af Icttcrstcdska Fôrcningen 
1880. 



II PRÉFACE. 

Peu à peu, je fus conduit de la sorts à des conclusions contraires sur 
tous les points aux notions générales, c'est-à-dire à celles que j'avais 
admises au commencement. Mais les difficultés qui étaient déjà assez 
grandes d'avance, lorsqu'en décrivant la vie d'un personnage on devait 
parler de progrès accomplis dans une science abstraite, ces difficultés 
croissaient maintenant d'une manière notable. Il fallait entrer dans la 
discussion des questions délicates sur l'origine de certaines découvertes 
analytiques, qui, par un hasard singulier, devaient avoir été faites 
presque simultanément, et d'une manière pleinement indépendante, par 
Abel et par son éminent émule, Jacobi. Mais le changement qui s'opérait 
ainsi au milieu de mon travail, dans la conception des faits, ne pouvait 
aussi être sans influence sur la composition dans les parties suivantes 
de la biographie; et il fallait surtout donner plus d'extension aux expli- 
cations mathématiques, tout en gardant une forme suffisamment 
populaire. 

De cette façon, lorsque les parties abstraites de cet essai durent 
prendre relativement un très grand développement sans être toujours 
facilement compréhensibles en tous les points capitaux pour la pluralité 
de ces lecteurs, il fut évident qu'en voulant continuer la biographie sur 
la môme échelle jusqu'au bout, je finirais par me mettre en conflit avec 
les intérêts de la Revue elle-même. 

Dès lors il valait mieux s'adresser aux seuls mathématiciens ou 
essayer de faire paraître la biographie comme un livre indépendant, 
destiné à ceux qui s'intéressaient spécialement à la vie et au sort d'Abel 
ou à ce que son génie avait su créer 

Je dus ainsi me décider, après quelques réflexions, à ne pas m' arrêter 
trop longtemps aux choses purement biographiques, et sous ce rap- 
port, il fallait s'en tenir à une narration des derniers jours. Pour pou- 
voir expliquer avec les détails nécessaires au moins ce qui a été d'une 
importance historique, il fallait renoncer à donner ce qui n'était que 
des traits intéressants de sa vie privée. De cette façon, il est arrivé que 
la narration a été un peu brusquement interrompue quand je suis 
arrivé au moment où Abel avec ses camarades quittait Dresde pour faire 
son voyage à Vienne et en Italie. Pareillement, il fallait renoncer, en 
conséquence, à reproduire les mêmes détails de sa vie à Paris et à expli- 
quer pour les lecteurs quelle était là sa position parmi les savants. Je 
ne pouvais même qu'effleurer la question de ses études et des œuvres 
importantes qu'il y accomplit, bien qu'avec celles-ci commence un 



PHKFACE. m 

épisode d'un bien haut intérêt dans l'histoire des matliématiqucs. Il 
retourna dans son pays, et de graves événements le forcèrent à s'arrêter 
en même temps que s'ouvrait l'époque de la grande découverte des 
fonctions elliptiques. Sur tout ce temps et celui qui suivit, il aurait 
certainement été d'un grand intérêt de s'étendre avec un peu plus de 
détails sur la connexion des faits et des découvertes qui se succédèrent ; 
et pour cela il serait bon et instructif de présenter les choses dans leur 
ordre chronologique, en présentant pendant la narration les personnages 
eux-mêmes qui ont agi. Mais au lieu de cela, pour abréger, il faudrait 
maintenant se restreindre à une exposition résumée. 

C'est sous la pression de ce manque de liberté, dû au changement 
des circonstances, que les dernières parties de la biographie ont été 
composées. Mais la rédaction étant finie, à cause de la grande étendue 
qu'avaient prise ces esquisses, il fut décidé que cette partie finale ne 
devrait plus être publiée dans la Revue même ; en revanche, la biogra- 
phie paraîtrait, comme faisant un ensemble, aux frais de l'association, 
et serait distribuée ainsi aux abonnés. En conséquence, la biographie 
paraîtra en volume dans l'année 1884. 

C'est de cette biographie qu'il a été donné dans ce qui suit une 
traduction. Le savant mathématicien français qui, avec tant de zèle et 
de sacrifice de temps, s'est mis à l'œuvre pour cette entreprise, a pensé 
qu'en dépit de ses défauts visibles, ces esquisses et ces explications 
pouvaient trouver de bienveillants lecteurs parmi ses compatriotes et 
même dans toute l'Europe savante. Et alors, bien que le temps m'ait 
manqué pour refaire le travail en entier, j'ai consenti à ce que la 
traduction fût publiée. Sur quelques points cependant j'ai corrigé le 
texte primitif, et surtout dans les dernières parties, oii j'ai fait aussi 
quelques additions. 

Pour remplir quelques lacunes trop fortes dans la narration et pour 
pouvoir expliquer aussi avec plus de détails d'autres choses de quelque 
importance dans l'histoire de la science, j'ajouterai ici, d'après le désir 
de mon collaborateur, quelques chapitres supplémentaires. 

C.-A. BjERKNES. 



NIEL8-HEN1IIK ABKL 



I. 

L'entrée à l'école et les quatre premières années d'étudiant, 
jusqu'au départ de Christiania en 1825. 

Avant tout, je pense que, si l'on veut 
faire des progrès en Matliéniatiqucs, il 
faut étudier les maîtres et non les élèves. 

Abel. 



Niels-Henrik Abel est né au presbytère de Findo, diocèse de 
Cbrisliansand, le 5 août 180-2. Son père avait nom Sôren-Georg 
Abel ; sa mère, fille d'un marchand de Risor, s'appelait Ane-Marie, 
née Simonsen. Dans Tannée 1803, le père fut nommé pasteur à 
Gjerreslad, où il éleva son fils et lui donna la première éducation, 
en même temps qu'à son frère aîné, jusqu'à son entrée, en 
novembre 1815, comme élève à TÉcole cathédrale de Christiania. 

Dans les premières années de son séjour à fécole, il n'attira 
pas particulièrement l'attention; il semble que l'étude même des 
mathématiques lui ait au premier abord présenté peu d'attraits. 
Mais, dans l'été de 1818, B. Holmboe, nommé au commencement 
de cette année lecteur à VÉcole cathédrale, eut fidée de consacrer 
deux heures par semaine, dans la classe où se trouvait Abel, à 
exercer les élèves à résoudre par eux-mêmes de petits problèmes 
d'algèbre et de géométrie; à partir de ce moment, les aptitudes 
mathématiques du jeune écolier commencèrent à se révéler, et 
bientôt le maître fut obligé de choisir exprès pour Abel des ques- 
tions spéciales. Dès lors, Abel se consacra aux mathématiques 
a: avec la passion la plus ardente, et il fit dans cette science des 

1 



2 MKLS-IILMUK AI5KL. — ^^1. 

progrès rapides, dont le génie seul est capable. » En peu de temps 
il acquit la connaissance des mathématiques élémentaires, et, 
suivant son désir, Holmboc lui donna régulièrement des leçons 
particulières de hautes mathématiques. Après avoir, avec l'aide de 
son maître, jeté un coup d'œil rapide sur les principes prélimi- 
naires, il lut avec lui Ylnlroductio d'Euler, les InslUutiones 
calcidi differenlialis, ainsi que les Inslitiitlones calciili inlegralis. 
Après rétude de ces ouvrages d'Euler, il continua ses lectures 
sans le secours de son guide. Il prit connaissance des écrits de 
Lacroix, de Francœur, de Poisson, de Gauss, de Garnier, mais 
surtout de ceux de Lagrange, et « il commença déjà à traiter par 
lui-même différentes parties des mathématiques (/). » 

Muni de ce fonds de connaissances, Abel quitta fécole pour 
entrer, en juillet 1821, à TUniversilé. 

Un savoir aussi étendu ne pouvait toutefois être acquis sans 
porter tort à Tinstruction dans les autres branches, et sa prédilec- 
tion exclusive pour une science spéciale devait parfois Tentraîner 
à négliger ses autres devoirs. 

Un jour on trouva sur le siège du mathématicien récalcitrant 
un billet portant ces mots d'un style dégagé : « Riddervold s'ima- 
gine que j'ai écrit ma composition de style latin; mais il se 
trompe joliment! Abel. » Cette anecdote, recueillie de la bouche 
même de l'éminent homme d'État qui avait été le maître du jeune 
homme pour l'étude des classiques, est certainement un trait 
caractéristique de la vie d'écolier d'Abel. 

Néanmoins, il n'était en aucune façon un étudiant aussi mal 
préparé qu'on a bien voulu le dire; il n'est pas plus exact de 
prétendre, comme on Ta fait, qu'il débuta par un échec dans sa 
science Hworite. En dépit de tout ce qui, à l'école, l'avait détourné 
de ses autres devoirs, il ne lui manqua qu'un simple demi -point 
pour obtenir la mention landahilis; c'est seulement l'histoire qui 
le fit descendre jusqu'au chiffre 4. Il soutint brillamment ses 

(•) Voir la Notice nécrologique publiée par Holmboe dans le Magazin for Naturci- 
denskaberne, année 1829, et la préface des CKuvrcs complètes de N.-H. Abel, 
Ire édition; Christiania, 1839. 



KNTi;f:E A i/uNivEiLsiTf:. :i 

examens pour la partie inatlicmatique, en arithmétique et en 
géométrie, et le fait est mentionné dans les registres de TUniver- 
silé, où la note est accentuée par Taddition d'un long serpent (^). 

En considération de la situation gênée de son père, le jeune 
homme avait à Técole obtenu une bourse, avec renseignement 
gratuit. Le père mourut vers cette époque (1820), avant que 
l'écolier fût devenu étudiant, et sa mère, qui survivait, n'était 
nullement en état de faire la dépense nécessaire pour son entretien 
à l'Université. Aussi n'est-il pas étonnant que les professeurs de 
l'Université aient porté leur attention sur le pauvre et studieux 
élève que Ilolmboe avait eu le grand mérite d'avoir découvert et 
encouragé. Ajoutons que c'est par son excellente méthode d'ensei- 
gnement, en conduisant graduellement et dans un ordre judicieux 
son disciple à travers l'étude des auteurs les plus clairs et les plus 
classiques, qu'il a préparé le brillant avenir de son élève. 

En septembre, aussitôt après avoir soutenu Yexamen arlhim, 
Abel obtint une des places vacantes à la fondation universitaire 
(Regentsen), faveur dont il continua à jouir jusqu'à l'année 1825, 
où il entreprit son grand voyage à l'étranger. Et comme ce secours, 
ainsi qu'il résulte d'une lettre des membres du Sénat de l'Univer- 
sité, insérée dans le Morgenblad du 16 décembre 1829, ne pouvait 
être suffisant pour un jeune homme dépourvu de tout, plusieurs 
des professeurs de l'Université se cotisèrent pour constituer de leurs 
propres deniers une pension (c en vue de conserver ce rare talent 
à la science, faveur dont son zèle soutenu et sa bonne conduite le 
rendaient plus que digne, d 

Pour juger de l'état de gêne contre lequel le futur mathématicien 
avait eu à lutter jusque-là, au commencement de ses études à 
l'Université, il suffira de lire le récit d'un de ses camarades à cette 
époque, récit navrant, mais caractéristique. Abel était si pauvre, 
raconte le professeur Rasch, — qui occupait en même temps que lui 
un logement au Regentsen , — et si dénué de tout ce qui répond aux 

(^) C'est-à-dire d'un trait de plume ondulé, au moyen duquel, en Norvège, on a 
coutume de faire reâsortir la note la plus excellente. Ici ce signe était particulière- 
ment bien marqué. (l>.) 



4 KIELS-IIENHIK ABKL. — § I. 

premières nécessités de la vie, que lui et son frère ne posséda lent 
à eux deux qu'une paire de draps pour leur lit. Quand cette paire, 
par hasard, était à la lessive, les deux frères couchaient sans draps. 

Cependant, grâce au secours qui lui vint, il put dès lors 
poursuivre ses études universitaires et terminer la préparation 
de Yexamen philosophiciim, qu'il soutint Tannée suivante, en 
juin 182-2. 

Le jeune étudiant était toutefois trop rempli d'idées pour 
pouvoir toujours consacrer son attention tout entière aux leçons 
des professeurs de l'Université. C'est ainsi que pendant une leçon 
de Sverdrup, à ce que dit la tradition, il se leva brusquement de 
sa place, au grand ctonnement de l'auditoire, et se précipita vers 
la porte, en répétant à haute voix : Jeg har detH}). 

A l'examen de mathématiques subi devant Rasmussen, tout se 
passa, cela va sans dire, comme d'habitude, c'est-à-dire d'une 
manière excellente. ïlansteen a dû cependant être mécontent de 
ce que son éminent élève en astronomie n'atteignait que le 
chiffre 2 (2), tandis que la note de physique se partageait en 
deux autres : remarquablement bien pour les démonstrations 
mathématiques, bien seulement pour la partie expérimentale. 
Abel obtint cependant cette fois, comme pour Yexamen artium, 
la mention médiocre haud illaudabilis, bien que, d'après le mode 
actuel de compter les points dans Yexamen philosophicum, il 
eût dû obtenir la mention la plus favorable {^). 



(<) J'y suis! 

(*) A l'Université de Norvège, les notes obtenues aux examens s'expriment ordi- 
nairement de la façon suivante ; 

1 = remarquablement bien := laudalilis prœ ceteris; 

2 = très bien = laudahilis ; 

3 := bien =: haud illaudabilis ; 

4 izz passable = non contemnendus , etc. 

Ainsi Abel obtenait la note la plus excellente 1 pour les démonstrations, mais 
seulement la note médiocre 3 pour la partie expérimentale. Ce qui était assez 
extraordinaire, c'est qu'on dédoublât la note de pbysique. (B.) 

(3) C'est-à-dire la mention laudabilis. En elTet, pour certains examens, il était si 
rare qu'on obtînt comme moyenne générale des épreuves, la mention laudahilis prœ 
ceteris qu'on s'est accoutumé à dire « la meilleure note » (bedsle Karakter) pour 
désigner le simple laudabilis. (B.) 



I 



IMII'MIKIIKS ANMKS h'KTlJlUANT. 5 

Ces détails, en apparence insignifiants, ont un certain intérôt, 
en mettant d'abord à môme de juger de l'état des connaissances 
d'Abel, et aussi, comme nous le verrons, en considération de ce 
qui se passa dans la suite. 

Dès son séjour à Técole, animé par la lecture des maîtres 
classiques, il avait commencé à traiter par lui-môme différentes 
parties de sa science d'adoption. Il conçut entre autres Fidée 
hardie d'attaquer le problème de la résolution de l'équation 
générale du cinquième degré. Comme son futur rival Jacobi, 
Abel avait, ainsi que nous l'avons vu tout à l'heure, étudié 
pendant son temps d'école Xlnlroduclio d'Euler. Comme Abel, 
Jacobi avait aussi, à cet âge précoce, dirigé ses regards et sa 
puissante intelligence vers l'étude de ce difficile problème, dont 
la solution sous la forme proposée dépassait de si loin, connue 
on l'a démontré depuis, les forces de l'Analyse à cette époque. 

« C'est là un problème )), dit Lejeune-Dirichlet, « où plus d'un 
géomètre, parmi ceux qui se sont fait un grand nom, a trouvé lo 
premier exercice de ses forces, et l'on conçoit aisément, en effet, 
l'attrait spécial que ce problème devait offrir à un talent naissant, 
alors que l'impossibilité de la solution telle qu'on la cherchait » — 
savoir, au moyen des radicaux seulement — (c n'était pas encore 
démontrée. A la célébrité » , ajoute-t-il, «que tant d'efforts infruc- 
tueux avaient donnée à cette question, se joignait celte circons- 
tance particulière, que le problème, appartenant à une branche 
qui confine aux éléments, semblait pouvoir être abordé sans une 
grande somme de connaissances acquises ». 

Étant encore à l'école, Abel crut avoir découvert la solution du 
problème. Par l'intermédiaire du professeur Hansteen le résultat 
trouvé fut envoyé au professeur Degen, à Copenhague, avec 
prière, s'il était possible, de le présenter à la Société Royale des 
Sciences de Danemark. Dans sa réponse à Hansteen, datée du 
21 mai 1821, Degen écrit qu'il communiquera avec plaisir ce 
iMémoire à la Société Royale. « Ce travail, lors môme que le but 
proposé ne serait pas atteint, prouve une intelligence et une 



6 NIELS-HENRIK ABEL. — | I. 

perspicacité peu communes, surtout à cet âge. J'ajouterai cepen- 
dant une condition, en priant M. Abel de m'envoyer une démons- 
tration détaillée de son résultat, et en même temps un exemple 
numérique j choisi parmi les équations telles que celle-ci.... 
Cette addition sera, j'en suis convaincu, un lapis lydius très 
utile pour lui-même ; car on sait ce qui est advenu à Meier Hirsch 

avec son eupr^xa. )) 

Plus tard, dans sa correspondance, le mathématicien danois, 
auquel les connaissances extraordinaires du « brave Abel » et sa 
tentative hardie avaient inspiré une haute admiration, écrit ces 
remarquables paroles, que Ton peut regarder comme ayant 
exercé une influence décisive sur les études et les travaux futurs 
du jeune géomètre : « Je ne puis m'empêcher, à cette occasion», 
dit-il, <c d'émettre le vœu que le temps et les forces intellectuelles, 
consacrés par un esprit comme M. Abel à une question que je 
regarde comme stérile, soient dirigés vers un sujet dont le 
perfectionnement auTa les plus importantes conséquences pour 
l'Analyse entière et son application à la dynamique; je veux dire 
les transcendantes elliptiques. Avec des dispositions convenables 
pour ce genre de recherches, le travailleur ne s'arrêtera pas aux 
nombreuses et belles propriétés de ces fonctions, quelque remar- 
quables qu'elles soient par elles-mêmes, mais», ajoute-t-il — et 
cette prédiction, Abel et Jacobi en ont fait une réalité — « il 
découvrira des détroits de Magellan, conduisant à de vastes 
régions d'un seul et immense océan analytique. » 

Le mathématicien danois termine sa lettre par l'exposition 
d'un théorème, découvert par lui quelque temps auparavant, et 
qui eût constitué une généralisation du théorème d'addition 
des fonctions elliptiques, si par malheur il ne se fût pas trouvé 
complètement faux en dehors du cas particulier. 

Il va sans dire que l'éminent élève de l'École cathédrale de 
Christiania reconnut bientôt que son raisonnement était insoute- 
nable, et subit ainsi son premier échec. 



piŒMiÈRFS anm':f:s d'i':tudiant. 7 

Une année n'était pas encore écoulée depuis la soutenance de 
son examm pJnlosophiciim,j lorsqu'il publia un travail mathéma- 
tique, imprimé dans le Magazin for Nalxirvidenskaberne, 
année 18^8, 1^^ semestre, 2° cahier. Cet article, qui parut 
précédé d'un avertissement du professeur Ilanstccn, s'excusant 
de ce qu'on avait admis un mémoire de mathématiques dans un 
recueil consacré aux sciences naturelles, avait pour titre : 
a Méthode générale de trouver des fonctions d'une seule quantité 
variable, lorsqu'une propriété de ces fonctions est exprimée par 
une équation entre deux variables indépendantes; parN.-H. Abel, 
étudiant. » Il fut suivi, dans le cours de la môme année, d'un 
autre mémoire, imprimé dans les deux cahiers suivants : cr Sur la 
résolution de quelques problèmes à l'aide d'intégrales définies)). 

D'autre part, c'est probablement à cette période, peut-être dès 
l'époque où il était élève de l'École latine, qu'il écrivit, mais 
sans les publier, la plus grande partie des petits mémoires, que, 
d'après les indications de Holmboe, il avait rédigés en langue 
norvégienne, et qui figurent en tête du tome second de ses 
Œuvres complètes. Un autre de ces mémoires, composé origi- 
nairement dans la même langue, appartient au plus tôt à la fin 
de l'année 1825, et a été publié par Abel lui-même dans le 
Magazin, sans doute immédiatement avant son départ pour 
l'étranger. 

Bien que les travaux que nous venons de mentionner contiennent 
déjà des choses remarquables, ils appartiennent toutefois, pour la 
plupart, à la catégorie des moins importants, surtout lorsqu'on 
les compare à ceux qui ont suivi; ils ne révèlent pas encore 
l'auteur éminent, ni à plus forte raison le grand géomètre. Pendant 
quelque temps encore, dans tous ses essais de débutant, on 
continue à remarquer, à côté de l'influence des grands maîtres 
classiques, quelques traces de méthodes mathématiques surannées 
dans certaines directions et do^it il dut épurer les conceptions 
avant de parvenir à dominer son sujet et à se mouvoir à l'aise 
sur les hauteurs où il devait s'élever graduellement. 

Peu à peu il commença, d'abord pour son usage personnel, à 



8 NIELS-HENRIK AHEI.. — | I. 

se servir de la langue française^ dans ses travaux, dont il sentait 
rimporiance toujours croissante. A quelle époque remonte celte 
habitude? c'est une question qui, à ce moment, n'est pas encore 
pleinement élucidée, mais dont la solution ne serait pas sans 
intérêt. 

Nous ferons observer ici que son mémoire intitulé : « Propriétés 
remarquables , ete. )), est désigné dans l'édition de Holmboe, 
comme s'il eût été le premier de ses travaux posthumes dans 
lequel il eût employé la langue française. On sait d'ailleurs avec 
certitude que ce mémoire a été écrit, ainsi que plusieurs autres, 
avant ses voyages, ce qui semblerait ne pouvoir s'entendre que 
de son plus grand et dernier voyage en Allemagne et en France 
dans l'année 18*25. Mais d'après ce qui a été éclairci plus tard, il 
paraîtrait au contraire que ce mémoire — petit travail extrêmement 
remarquable, bien qu'entaché des défauts mêmes que nous 
signalions tout à l'heure — serait précisément celui dont parle 
Abel dans une lettre écrite de Copenhague au lecteur Holmboe. 
11 résulterait de là que ce travail était déjà terminé à l'époque 
dont nous nous occupons maintenant, c'est-à-dire dans la première 
moitié de l'année 1823. 

Pour renforcer encore la probabilité de nos conjectures, qui 
nous intéressent au point de vue historique, comme éclairant la 
première manifestation indécise d'une idée féconde, nous pourrons 
par anticipation faire remarquer que, dans les six mois qui ont 
suivi l'époque où nous sommes, Abel a certainement employé le 
français, puisque dans une lettre du Sénat de l'Université, en date 
du 11 janvier 1824, il est question d'un mémoire écrit dans cette 
langue et différent de celui que nous venons de citer. 



Dans l'été de 1823, et par suite à l'époque où il recevait encore 
les secours des professeurs de FUniversité, il entreprit, comme il 
l'ésulte déjà de ce que nous venons de dire, son premier voyage, 
pour visiter Copenhague. D'après le récitde Hansteen, a le généreux 
professeur Rasmussen avait envoyé à Abel, dans une lettre 



VOYAGIi A COPKNHAGUE. 9 

amicale, cent specicdalcr ('), pour le mettre en (ii\i de visiter 
cette ville, et, pendant son séjour, de faire la connaissance des 
mathématiciens célèbres, les professeurs De^en et v. Schmidten. » 
A son arrivée, Abel écrit sur-le-champ, suivant sa promesse, à 
son maître, « son cher ami », le lecteur Ilolmboe. La lettre est 
datée du 15 juin 18^3. En général, la cordiale intimité entre 
Ilolmboe et l'éminent élève qui, à peine deux ans auparavant, se 
trouvait encore sous sa direction à TEcole cathédrale, se montre 
dans toutes les lettres où le disciple s'adresse à son maître ou 
parle de lui. Quelques passages de cette correspondance, croyons- 
nous, ont un certain intérêt, comme peinture du temps auquel 
Abel appartenait, et aussi par la lumière qu'ils répandent sur sa 
personne et sur ses différentes relations. 

« Le premier jour », dit-il, «: nous n'avons pu avancer que de 
trois milles. Le lendemain nous arrivions à Drobak, où nous 
avons été retenus deux jours et où je me suis trouvé en compagnie 
chez Z. . . , qui a trois filles très jolies. — Le jour d'après, nous avons 
eu bon vent et nous sommes sortis de la baie de Christiania; les 
deux jours suivants, tout a été à merveille. Je suis arrivé vendredi 
à Copenliague, et je me suis précipité immédiatement chez la sœur 
de M"'^ Hansteen, M""^ Fredriksen, où j'ai été extrêmement bien 
reçu... y> Il parle ensuite des mathématiciens de Copenhague, de 
l'état des bibliothèques, et de l'opinion des savants sur la Norvège. 
Au sujet de Thune, il dit que c'est « un homme excessivement 
bienveillant et affable, mais, à mon avis, un peu pédant. H m'a 
reçu de la manière la plus courtoise. — Aujourd'hui, je suis allé 
chez le professeur Degen, le plus drôle de corps que tu puisses 
imaginer; il m'a fait beaucoup de compliments, entre autres en 
me disant qu'il aurait beaucoup à apprendre de moi, ce qui m'a 
mis dans un cruel embarras, comme tu peux croire. Il a une jolie 
bibliothèque.... Je n'ai pas encore visité les bibliothèques de cette 
ville; mais, d'après ce qu'on m'en a dit, elles ne doivent pas être 
bien fournies d'ouvrages de mathématiques, ce qui est fâcheux. » 

(^) Environ ooo francs, 



10 NIELS-IIENRIK ADKL. — § I. 

— « Les hommes de science ici, » ajonte-l-il plus loin, a sont 
persuadés qu'il n'y a que des barbares en Norvège; je me débats 
de toutes mes forces pour leur prouver le contraire. » 

Pendant son séjour à Copenhague, il habita chez son oncle, le 
capitaine Tuxen, où il se trouvait extrêmement bien. Cet oncle 
lui avait offert l'hospitalité gratuite pour tout le temps de son 
séjour. Sa famille était nombreuse et intéressante; il avait huit 
enfants; aussi Abel se promettait-il beaucoup d'agrément de son 
voyage. «Les dames de celte ville», écrit-il avec une étourderie 
très peu galante, «sont affreusement laides )>. Mais, comme 
d'habitude, cédant à son bon naturel, il s'efforce aussitôt de 
réparer son impertinence en ajoutant: «elles sont pourtant 
gracieuses ». 

Dans sa lettre suivante à Holmboe, datée du 24 juin 1823, ou, 
comme il s'exprime en tête de son épître, de l'année « k 606432 i2 19 
(tiens compte des décimales) », — ce qui donne, suivant le calcul 
écrit au-dessous par Holmboe, 1823,567 = 24 juin 1823 (i),— il 
entre maintenant dans le détail de ses études et de ses travaux. 
Il se plaint de ce que les mathématiques ne soient pas précisément 
florissantes à Copenhague, et il n'est pas encore parvenu « à dépis- 
ter parmi les étudiants quelque garçon un peu solide». Cependant 
pour Degen il professe une haute estime : « Il est fort en diable; 
il m'a montré plusieurs de ses petits travaux qui témoignent 
d'une grande finesse. » 

La lettre d'Abel contient un passage particulièrement remar- 
quable, auquel nous faisions tout à l'heure allusion. «Le petit 
Mémoire qui traitait des (oncUons inverses des transcendantes 
elliptiques (2), et où j'avais prouvé une chose impossible, je l'ai 
prié (Degen) de le lire d'un bout à l'autre; mais il n'a pu y 
découvrir aucune fausse conclusion, ni comprendre où était 
l'erreur. Dieu sait comment je m'en tirerai! ». 



('; Le calcul de Holml)oe est doublement inexact. L'extraction de la racine cubique 
donne 1823,591 = 3 août 1823. 11 est singulier que cette erreur ait été commise par 
celui qui a reçu la lettre. 

(2)^11 est à remarquer qu'Abel se sert ici des mots français. (B ) 



VOYAGK A COPKNIIAGUE. \i 

On voit par là que, dès avant son départ pour Copenhague, il 
avait rédigé un petit mémoire, auquel il avait donné en partie 
un titre français, et dans lequel l'idée de Yinversion des intégrales 
elliptiques s'était fait jour. Cette idée fondamentale, qui devait se 
montrer si fructueuse, existait donc déjà dans son premier germe, 
bien que sous une forme, à ce qu'il semble, défectueuse. C'est 
grâce à cette idée que, peu de temps après, les découvertes 
capitales fixités par Legendre quarante ans auparavant et peu ap- 
préciées de ses compatriotes, trouvèrent enfin leur voie féconde. 

Parmi les mémoires qu'Abel n'a jamais publiés lui-même, sans 
doute à cause des fautes qu'il y avait reconnues, et que Holmboe 
a désignés, d'après ce que nous avons dit plus haut, comme au 
moins rédigés avant qu'il entreprît son grand voyage, celui dont 
nous parlons est précisément le huitième du tome second (*). Ce 
mémoire est aussi très court, écrit en français, et inséré comme 
le premier de la série de ses mémoires composés dans cette 
langue, C'est là que l'idée de l'inversion a été formulée; mais elle 
y est appliquée à des fonctions d'un degré trop haut de généralité, 
plus haut que celui des transcendantes elliptiques, ce qui rend le 
résultat de l'inversion illégitime et inexact en dehors du cas 
restreint de ces transcendantes. Il est vraisemblable, malgré 
l'emploi d'une dénomination particulière ne concordant pas avec 
le titre « Propriétés remarquables, etc. », que c'est bien ce 
mémoire qui est en cause. Dans le cas contraire, il faudrait que 
le travail désigné comme mémoire n'eût pas été plus tard admis 
par Holmboe dans les Œuvres complètes, bien que le mémoire 
cité avec son résultat défectueux, traitant essentiellement du 
même objet, y ait été inséré. Il est bien naturel aussi d'admettre 
que, dans une lettre à un ami un peu au courant de ces choses, 
l'auteur se serve d'une dénomination abrégée et contenant l'essen- 
tiel, transcendantes elliptiques, au lieu d'employer une expres- 
sion complètement exacte, mais très longue et très incommode. 
Il lui aurait fallu, en effet, pour cela se servir des formules mêmes, 



(^) Jl a conservé ce numéro dans la nuuvelie édition 



d2 MKLS-HENRIK ABKL. — | I. 

et encore ajouter les conditions limitatives. Il ne possédait pas 
le mot commode de transcendantes ahélienncs. Donc la non- 
concordance des titres n'entraîne pas ici la non-identité des 
ouvrages. Cette désignation abrégée a sans doute été pour 
Holmboe suffisamment intelligible, la partie essentielle de cette 
communication ne pouvant être que ce qui concernait les irans- 
cendantes elliptiques de Lcgendre. 

Si maintenant les choses se sont passées ainsi, il faut non 
seulement qu'Abel à cette époque soit parvenu, ou du moins ait 
été très près de parvenir à Vinversion des transcendantes ellip- 
liques, — qui lui ouvrait une vue sur un vaste domaine de 
fonctions, non encore exploré, et comprenant les fonctions con- 
nues, trigonométriques et exponentielles, comme de simples cas 
particuliers, — mais il doit aussi avoir découvert la belle pro- 
priété de ces fonctions, la double périodicité, bien que dans 
Tensemble il lui restât encore quelque chose d'inexpliqué. En tout 
cas, celte découverte d'Abel et cette heureuse idée sous sa forme 
encore imparfaite appartiennent à une époque antérieure à son 
départ pour son grand voyage; l'idée était déjà à sa première 
période de formation avant Tété de 1823. 

Il est extrêmement probable qu'en poursuivant maintenant son 
résultat, il n'a fait que s'agiter autour de cette obscure énigme 
qui, plus tard, plusieurs années même après sa mort, arrêta tout 
progrès sur ce point, et présenta quelque temps encore un 
obstacle insurmontable à la découverte ultérieure des fonctions 
abéliennesj — même longtemps après la découverte de son 
grand théorème. La lutte pour Vinversion des intégrales abéliennes 
pouvait avoir déjà commencé dans le silence, bien que les moyens 
de triompher sûrement ne fussent pas encore prêts. 

Le fait de la périodicité, qu'il avait constaté dans ce mémoire, 
devait en réalité amener promptement un génie aussi pénétrant 
à se heurter contre les difficultés les plus insolubles : l'impossi- 
bilité d'une périodicité plus élevée que la périodicité double, et, 
d'autre part, l'existence vraisemblable de cette périodicité, déduite 
d'un raisonnement exact en apparence. Il est difficile d'admettre 



VOYACK A COPENIIAGUK. 13 

quAbcl ne se soiL pas arrèlé ù ces dilTicultés, bien que ses 
niéiiioires postérieurs ne contiennent là-dessus aucune indication; 
on a seulement connaissance par la lettre précédente de son 
embarras d'avoir, dans son petit mémoire sur Tinversion, démontré 
une chose impossible. D'ailleurs, le résultat obtenu était d'un 
intérêt trop grand et trop évident, il était trop beau et en 
apparence trop simple et trop fécond, pour que Ion puisse 
admettre qu'Abel ait abandonné ses méditations sur ce point. 

L'inexactitude du raisonnement, qui avec une grande proba- 
bilité doit être celui du petit mémoire, et qui avait bien pu le 
mettre dans Tembarras, en lui arrachant son exclamation désolée, 
« Dieu sait comment je nVen tirerai! y> dépendait, comme nous 
croyons et comme nous l'avons aussi indiqué plus haut, de 
Timperfection et d'une certaine incorrection des mathématiques 
de cette époque, et de la manière dont les géomètres concevaient 
certaines notions, manière qui, dans la direction que Ton avait 
suivie jusque-là, n'avait pas encore fait sentir assez clairement et 
assez généralement son insuffisance. 

Abel avait eu l'avantage de s'être livré de bonne heure à 
l'étude approfondie des ouvrages classiques. Euler, Lagrange et 
Legendre avaient été les premiers maîtres de sa jeunesse, et 
avaient développé devant lui leurs riches et lumineuses pensées. 
De nouvelles voies semblaient s'ouvrir vers des régions inconnues, 
et cependant les barrières étaient encore pour lui infranchissables. 
— Il fiiUait revenir en arrière pour jeter dans les profondeurs de 
la science un coup d'œil réformateur. 11 fallait les éclairer d'une 
plus vive lumière, et cela exigeait un génie puissant, pénétrant 
et exempt de préjugés, qui ne se laissât pas ébranler par ce qui 
était affirmé, enseigné et admis depuis les anciens temps. Abel 
était un génie de cette trempe. 

A répoque dont nous parlons, il ne s'était pas encore élevé à 
ces hauteurs. Il reculait souvent en face d'insurmontables diffi- 
cultés. Gomment arriva-t-il dans la suite, en se limitant plus 
sagement et en tournant les obstacles jusqu'à ce qu'il eût trouvé 
un passage pour les franchir, c'est ce que nous exposerons plus 



14 NIELS-HENRIK ABEL. — | I. 

tard en mentionnant aussi la part prise par Jacobi dans ce 
travail de découverte. 



Après un court séjour à Copenhague, dont il estima avoir tiré 
bon profit, Abel se remit à travailler sans relâche dans sa science 
d'adoption. C'étaient les grands travaux qui maintenant se prépa- 
raient en silence, tandis que sur d'autres points il luttait encore 
contre les difficultés. 

Amené malgré lui sur un terrain qui lui était étranger, nous 
le verrons éprouver un nouveau et sensible désagrément — qui 
ne fut peut-être pas sans compensation pour le jeune géomètre. 
Cette déception, comme celles qu'il avait déjà subies auparavant, 
r obligea à f avenir d'observer, dans ses raisonnements comme 
aussi dans la publication de ses travaux, la prudente réserve qui 
est la marque du véritable savant, et qui est doublement 
nécessaire chez celui que ses larges vues et ses idées hardies 
portent à soulever des problèmes qui ouvrent une ère nouvelle. 

L'attention des savants de Christiania fut en particulier attirée 
sur un mémoire écrit en français, « sur f intégration des formules 
différentielles». Ce mémoire, dont l'existence, d'ailleurs, a été 
jusqu'à présent complètement ignorée du monde mathématique, 
et qui lui servit de recommandation pour le secours quon lui 
accorda, et de preuve à fappui de la noble démarche faite auprès 
de l'Université, ce mémoire fut jugé très favorablement par 
Rasmussen et Hansteen. A cette occasion, les deux professeurs, 
« dans la conviction que c'est un devoir pour les directeurs de 
rUniversité, lorsqu'ils rencontrent de rares dispositions naturelles 
pour telle ou telle science, de contribuer de toutes leurs forces à 
en favoriser le complet développement », intervinrent en sa 
faveur, pour lui obtenir de TÉtat un secours que l'Université se 
trouvait hors d'état de lui fournir de ses propres ressources. 

Le mémoire d^Abel obtint le rare honneur que le Sénat de 
l'Université ce l'envoya au gouvernement» , en appelant son attention 
sur l'utilité pour le jeune géomètre d'un séjour à l'étranger afin 



PUKMIÈIIKS ANNKKS D'KTLMUANT. 15 

d'y comploter si^s études (*). Il proposa en conséquence, dans sa 
lettre au Ministère des cultes et de Tinstruction publique, en date 
du 11 janvier 1824, qu'il fût accordé à Abel une indemnité de 
voyage de 50 speciedaler argent (^) par mois pour dix-huit mois; 
qu'à partir du 1*''' janvier 1824, et «jusqu'au moment où il 
pourrait partir pour son voyage, on voulût bien lui allouer un 
un secours mensuel de 20 spd. (^) », et enfin qu'on y ajoutât une 
somme de 150 spd. (^*) pour son équipement)). Le Sénat terminait 
en exprimant sa conviction que (( par ce moyen on gagnerait un 
homme remarquable pour la science, une gloire pour sa patrie, et 
un citoyen qui, par son talent hors ligne dans sa profession, 
paierait avec usure l'aide qu'on lui accorderait aujourd'hui. » 

Le Ministère des cultes, auquel le mémoire d'Abel avait été 
soumis avec la lettre dont nous venons de parler, demanda, le 
49 février suivant, au Sénat son avis, pour savoir jusqu'à quel 
point il ne serait pas bon que, avant d'obtenir l'indemnité de 
voyage, Abel commençât (c par demeurer encore une couple 
d'années à l'Université, avec un secours suffisant, fourni par 
l'État, afin de se perfectionner davantage dans les langues et 
dans d'autres connaissances accessoires, dans lesquelles, vu son 
jeune âge, on aurait lieu de penser qu'il n'a pas encore fait des 
progrès suffisants. » 

Le Sénat répondit, le 23 du même mois, que, bien qu'Abel eût 
acquis dans les humanités un bon fonds de connaissances, il ne 
lui serait cependant pas inutile de passer encore une année à 
l'Université, pour étendre son développement scientifique, et 
« peut-être pour se perfectionner dans les langues savantes. » 

Après ces concessions de l'Université, le ministère céda de son 
côté, sans toutefois s'avancer aussi loin que les membres du 
Sénat. Le 29 mars 4824, une décision royale accorde à Abel une 

(1) On ignore ce qu'est dcvenLi depuis lors ce mémoire. 11 aura sans doute été 
retiré, car les reciierches faites plus tard au Ministère des cultes ont été sans 
résultat. 

(-) Environ 264 francs. 

(3) 106 francs. 

(*) 792 francs. 



16 NIKLS-HKXIP.K XliKL. — | I. 

pension annuelle de ^00 spd. (') pendant la durée de deux années, 
pour continuer ses études à l'Université de Norvège et pour se 
perfectionner dans les langues savantes et les autres sciences 
utiles à ses études spéciales, les Mathématiques. 

Vers répoque où ces questions concernant la pension de 
secours étaient en discussion entre le Sénat et le Ministère des 
cultes, Abet entreprit, sur le conseil du professeur Hansteen, des 
recherches au sujet de Tinfluence de la Lune sur le pendule, 
principalement pour déterminer la variation d'intensité de la 
pesanteur et l'inégalité qui en résulterait dans la marche du 
pendule, (c Les intéressantes recherches d'Abel, » dit Hansteen, 
(( ont démontré que cette inégalité est si petite, que le plus 
souvent on n'a pas à en tenir compte; mais, au contraire, la 
variation de la direction est tellement sensible que, dans l'état 
actuel de perfection des instruments astronomiques, on ne pourra 
plus la négliger, y) 

Abel cependant, par ce mémoire, imprimé dans le Magazin for 
Naturvidenskabenie (1824, l'^^' semestre, fascicule 2), se prépa- 
rait, comme nous l'avons annoncé plus haut, un sérieux échec, 
qui, à cause de la célébrité acquise plus tard par l'auteur, a eu 
un certain retentissement. 

Hansteen envoya le mémoire d'Abel à Schumacher, à Altona, 
pour qu'il fût inséré dans les AstronomiacJie Nachrichten. Le 
"2 août IS^^, Schumacher répondait à Hansteen : « Je n'imprimerai 
pas le mémoire d'Abel. Il a oublié que la Lune attire aussi le 
centre de la Terre, et qu'ainsi on n'a pas à considérer l'attraction 
absolue de la Lune sur le pendule, mais seulement la différence 
des attractions exercées sur celui-ci et sur le centre de la Terre. 
Par là les actions qu'il a calculées deviennent soixante fois 
moindres, c'est-à-dire tout à fait insensibles. D'après ses formules, 
le Soleil devrait dévier le fil à plomb de plusieurs minutes. Ainsi, 
pour son honneur, n'en parlons plus. » 

(0 1060 francs. 



pKKMiÈiiKS anni^:ks d'i'itudiant. 17 

Abel reconnut, cela va sans dire, son erreur, et envoya au 
Magazin, une rectification, qui fut insérée aussitôt daiis le numéro 
suivant (2" semestre, N*" i). Il reconnaît dans cet article que, 
d par inadvertance, il n'a pas tenu compte d'une circonstance 
essentielle qui rend le résultat inexact. Le raisonnement déve- 
loppé dans le mémoire n'est valable que dans le cas où la Terre 
serait supposée immobile. Si, au contraire, la Terre est mobile, 
comme elle Test en effet, la Lune n'attire pas seulement le 
pendule, mais aussi la Terre tout entière, cette dernière attraction 
pouvant être considérée comme agissant uniquement sur le 
centre terrestre, où l'on supposerait la masse entière de la Terre 
réunie.... De là résulte aussi que finfluence de la Lune sur 
l'intensité et la direction de la pesanteur est tout à fait insensible. y> 

Quelques années plus tard, un an après la mort d'Abel, alors 
qu'il n'était plus pour Schumacher un étudiant inconnu, mais un 
géomètre de premier ordre, l'astronome d'Altona revint de 
nouveau sur le même incident. Un Anglais, nommé Hardy, 
semble avoir suivi la même roule que celle où Abel avait été 
entraîné par son inexpérience en traitant celte question. En date 
du 7 mai 1830, Schumacher écrit à Gauss, à ce propos (^) : 
« Hardy paraît avoir commis la même faute qu'avait commise 
Abel, dont j'ai mis au rebut un mémoire destiné aux Aslrono- 
niische Nachrichten (je crois vous en avoir parlé dans le temps), 
et où il oublie, comme Hardy, que c'est seulement la différence 
des attractions qu'indiquent les instruments. Il trouve pour la 
Lune une action très sensible, mais pour le Soleil une action très 
faible. Dans ce dernier cas, vérification faite, il avait oublié de 
multiplier par 206265. Celui qui aurait alors jugé les talents 
d'Abel d'après ce mémoire, s'en serait fait une opinion bien fausse! d 

On a remarqué d'ailleurs, à propos de ce malencontreux 
travail, une particularité assez curieuse. Si Hansteen, à l'occasion 
des résultats d'Abel, avait entrepris des expériences avec un 
pendule suffisamment long, il aurait très bien pu faire la belle 

(*) Briefwechsel zwischcn Gauss und Schumacher, Bd. II. S. 249. 



18 NIELS-HENUIK ABEL. — ^ I. 

découverte de la variation du plan d'oscillation, et devancer ainsi 
Foucault dans la démonstration expérimentale de la rotation de 
la Terre autour de son axe. 



Maintenant Abel avait à partager son temps entre les mathé- 
matiques et les langues savantes, le latin et le grec, et aussi 
avec d'autres objets qui, à côté de ces deux langues, avaient 
été jugés importants pour ses études mathématiques. Parmi 
ces connaissances accessoires, il en est une qui lui a été de la 
plus grande utilité, l'étude de la langue française, qui cependant 
depuis longtemps déjà lui était familière; nous avons vu même 
qu'avant cette époque il s'était servi de cet idiome pour rédiger 
ses nouveaux travaux. Naturellement c'était, comme par le passé, 
sa science préférée qui absorbait toutes ses pensées et tout son 
intérêt, et la rareté relative de ses productions, qui se manifeste 
maintenant, n'est qu'un symptôme certain, annonçant les grandes 
choses qui se préparent. 

Déjà, comme on peut s'en souvenir, Abel, encore élève de 
l'École cathédrale, s'était cru en possession de la résolution de 
l'équation générale du cinquième degré. La réponse de Degen lui 
fit voir, s'il ne l'avait pas déjà vu par lui-même, qu'il s'était 
fourvoyé, et que son imposant édifice s'était écroulé. Au lieu de 
faire comme Jacobi et d'abandonner le dangereux problème, sur 
la résolution duquel tant d'hommes distingués avaient usé leurs 
forces, il continua avec acharnement la lutte, sans se laisser 
effrayer par les conclusions du géomètre danois, touchant la 
stérilité de ce sujet difficile. 

Après un labeur, ou pour mieux dire, un combat de plusieurs 
années, il parvint enfin à trouver l'explication de fimpénétrable 
mystère, et en l'année 18:24, dans un travail intitulé : ce Mémoire 
sur les équations algébriques, où l'on démontre fimpossibilité de 
la résolution de l'équation générale du cinquième degré ï), il établit, 
par une déduction très ingénieuse et témoignant de la grande 
difficulté du sujet, bien qu'elle n'eût pas atteint une parfaite 



PREMIÈRES ANNÉES d'ÉTUDIANT. 19 

rigueur, que la résolution de Véqiiation générale du cinquième 
degré à l'aide des radicaux «Hait impossible. Abcl admet, en 
réalité, dans le cours de son raisonnement, une proposition qui 
n'est pas évidente par clle-môme, et dont il ne donne pas la 
démonstration, mais qui heureusement est tout à fait exacte. 
S'élevant, en effet, à un point de vue plus général, il s'est assuré 
plus tard que cette proposition est vraie pour tous les nombres, 
et par suite pour le nombre 5; mais elle présente une exception 
quand on considère le nombre 6. 

Ce résultat, obtenu enfin après tant d'efforts, surtout lors- 
qu'Abel, complétant sa démonstration, l'eut établie avec la plus 
parfaite évidence, ce résultat, malgré sa forme négative, peut en 
réalité être regardé comme faisant époque. L'honneur de cette 
découverte est partagé entre un jeune Norvégien, de 22 ans, 
encore inconnu, et l'italien Ruffîni. Pour mieux faire comprendre 
la portée de ces faits, je vais résumer en quelques mots l'histo- 
rique de la question. 

Le point de savoir si les équations générales de degré quelconque 
peuvent toujours admettre une solution n'était nullement d'une 
clarté aussi immédiate qu'on pouvait alors se le figurer. La ques- 
tion fit donc un pas considérable en avant, lorsque Gauss, dans la 
dernière année du siècle passé, démontra pour la première fois 
en toute rigueur qu'une telle solution était toujours possible, 
absolument parlant, c'est-à-dire, dans le même sens qu'on le dit 
de l'équation générale du second degré, ou suivant le langage 
adopté aujourd'hui, à l'aide des imaginaires. Plus tard, dans son 
beau travail sur la division du cercle, il alla plus loin, en 
établissant qu'il existe des classes entières d'équations de degré 
supérieur, pour lesquelles celte résolution pouvait aussi s'effectuer 
en réalité, et cela avec le seul secours des radicaux. Mais la 
généralité des équations considérées était supposée restreinte par 
certaines conditions. On était, au contraire, dans l'incertitude en 
ce qui concernait les équations générales, et c'est là que gisait la 
difficulté capitale. Dans ses Disquisitiones, l'illustre géomètre de 
Gottingue avait cependant, chose remarquable, exprimé déjà ses 



W NIELS-HENUIK ABEL. — | I. 

doutes sur la possibilité de la résolution par cette voie, lorsque 
les restrictions apportées au cas général n'existent plus. 

Tandis que sur ce point, des difficultés et des complications 
extraordinaires semblaient devoir arrêter tout progrès en avant 
— ce que confirmaient encore les tentatives faites par Lagrange, — 
c'est sur ce môme point que Ruffîni et surtout Abel apportèrent 
la clarté, ce dernier, comme nous l'avons dit, ayant démontré 
l'impossibilité relative, c'est-à-dire l'impossibilité avec les moyens 
restreints que nous avons indiqués, d'effectuer la résolution de 
l'équation tout à fait générale d'un degré supérieur au quatrième. 

Mais de là résulte avec une clarté réelle, ce que la suite a fait 
voir de plus en plus distinctement, l'existence jusque là ignorée 
d'une construction barmonieuse de formes grandioses dans les 
hautes régions de la théorie des équations. On peut alors plonger 
tout d'un coup ses regards bien au-delà des limites qui jusque là 
bornaient l'horizon mathématique. 

A la découverte de cette loi cachée ont contribué depuis lors 
les beaux travaux d'Abel lui-même, et en outre ceux de nouveaux 
chercheurs, tels que Galois, Belti, Kronecker, Hermite et Jordan, 
qui ont ïmt dans ce champ d'importantes trouvailles. A l'aide des 
fonctions elliptiques, une nouvelle création du génie d'Abel et de 
Jacobi, dont le premier germe, comme on l'a vu, s'était déjà 
montré dans les travaux préparatoires d'Abel, deux géomètres 
contemporains, Hermite et Kronecker, sont parvenus cinquante 
ans plus tard à résoudre dans toute sa généralité le problème que 
s'était posé à dix-neuf ans le disciple de l'École cathédrale de 
Christiania : la résolution de l'équation générale du cinquième 
degré. On peut maintenant s'attendre à ce que l'étude des 
fonctions ahéliennes, transportée sur ce terrain, conduise plus 
tard les géomètres à des résultats encore plus élevés. 

Le mémoire d'Abel, de mince volume, mais important par ses 
conséquences, parut sous une forme matérielle plus que modeste, 
dans l'année 1824-, c'est-à-dire il y a plus de cinquante ans, 
sortant des presses de l'imprimerie Grondahl. Il peut être regardé 



PREMIÈRES ANNI^ES n'l^:TUDIANT. 21 

comme le premier de ses travaux publiés par lui-mômc dans 
lequel apparaisse le graiid inventeur. Pour épargner les frais 
d'impression, le mémoire entier, d'après les renseignements 
fournis par llansteen dans Y Illiistreret Nijhedsblad, 18G2, fut 
réduit à une demi-feuille, et il s'ensuivit que certaines proposi- 
tions intermédiaires restèrent inédites, et que Tensembie du 
travail en devint assez dillicile à comprendre. 11 n'est pas impos- 
sible qu'il se trouvât encore dans la démonstration une lacune 
grave, celle-là même dont il a été parlé plus haut, lacune qui a 
peut-être échappé à l'attention d'Abel, et qui a rendu impossible 
au monde scientifique, autant qu'il pouvait en juger par cette 
publication, de considérer Tantique et ardu problème comme 
résolu. 

Après tant d'essais avortés des plus éminents géomètres de 
l'époque et des temps passés, on n'avait guère de raison de croire 
que la solution fût enfin donnée par un jeune étudiant norvégien. 
D'autre part on n'a pas le droit de s'étonner si de sérieux adeptes 
de la science, dont le coup d'œil clair et droit leur révèle les 
difficultés d'un sujet, ne se hâtent pas aussitôt de quitter leurs 
importants travaux, et d'accorder toute leur attention aux idées^ 
trop ambitieuses en apparence, émises par le premier auteur venu, 
et qui, sauf des cas heureux, mais bien rares, ne méritent pas 
qu'on s'y arrête. 

D'une lettre de Schumacher à Gauss du 23 juillet 1824, il 
résulte que Schumacher a reçu le mémoire d'Abel. L'astronome 
d'Altona le fit parvenir, par l'entremise d'Olbers, à Gauss, dans la 
bibliothèque duquel on l'a retrouvé plus tard. Depuis cet envoi, on 
ne retrouve dans la Correspondance rien qui indique que le grand 
maître, le Princeps malhemalicorumy ait constaté la justesse ou 
la fausseté de la démonstration d'Abel. Ce silence absolu semble 
signifier que la démonstration a été accueillie avec défiance. 

D'après une communication du professeur llansteen, dans le 
Nyhedsblad du 2 mars i8G2, Gauss serait allé jusqu'à dire que 
lui-même avait voulu démontrer la possibilité de la résolution, 
mais que depuis il avait dû reconnaître qu'Abel avait raison. 



22 NIELS-HENRIK ABEL. — | I. 

Comme il ne se trouve aucune mention de ce propos dans la 
correspondance de Hansteen soit avec Schumacher, soit avec 
Gauss, et que d'autre part il concorde mal avec les autres 
déclarations de ce dernier, ce récit pourrait bien s'appuyer sur 
une communication verbale, directe ou non, et dans ces condi- 
tions, rien n'est plus facile que de commettre un malentendu, le 
véritable sens de l'idée n'étant pas toujours saisissable sous une 
expression trop concise, comme on en emploie tous les jours. On 
sait que Gauss ne s'exprimait jamais qu'avec une extrême 
circonspection, et vraisemblablement la seule opinion qu'il ait pu 
manifester, c'est que le raisonnement d'Abel, sous sa forme 
actuelle, n'était pas complètement satisfaisant, tandis que celui 
qui a paru à une époque plus récente est irréprochable. 

Peut-être aussi prévit-il que, à l'aide des moyens qui étaient à 
sa disposition, la résolution complète des équations en question 
pourrait être réalisée par l'emploi de fonctions d'ordre plus élevé 
que les radicaux. La nouvelle voie dans laquelle Abel s'était déjà 
engagé et qui devait conduire à la découverte de puissants 
procédés d'investigation, l'illustre géomètre de Gôttingue y était 
entré lui-même longtemps auparavant, sans toutefois avoir rien 
publié des résultats obtenus depuis un grand nombre d'années. 
((Abel,» écrivait-il plus tard, a m'a devancé, et dès lors je me 
trouve dispensé de rédiger mes propres recherches. » 

En désignant ici Abel comme celui qui, dans l'analyse algé- 
brique, a résolu une question d'une importante capitale pour la 
science, bien que cette solution renferme encore une lacune, trop 
considérable peut-être pour qu'on puisse immédiatement la combler, 
et qu'ainsi elle ne se présente pas jusqu'alors sous une forme assez 
parfaite pour être admise en toute sécurité, nous ne pouvons nous 
dispenser de rappeler que, longtemps auparavant, le géomètre 
italien Ruffini, déjà cité plus haut, avait exprimé la même idée 
et cherché à démontrer le même théorème fondamental. Il est 
certain que ces travaux étaient restés inconnus d'Abel, non 
seulement à Tépoque qui nous occupe, mais encore quelque 



i 



PREMIÈRES ANNI'ES d'ÉTUDIANT. 2^ 

temps après, lorsqu'il travailla pour la première fois à perfec- 
tionner sa démonstration. 

Beaucoup plus tard môme, lorsqu'il reprend pour la troisième 
fois la môme question, mais comme faisant partie d'un problème 
beaucoup plus étendu, il s'exprime ainsi : « Le premier, et, si je 
ne me trompe, le seul qui avant moi ait cherché à démontrer 
l'impossibilité de la résolution algébrique des équations générales 
est le géomètre Rufïîni; mais son Mémoire est tellement compliqué 
qu'il est très difficile de juger de la justesse de son raisonnement. 
11 me paraît que ce raisonnement n'est pas toujours satisfaisant. 
Je crois que la démonstration que j'ai donnée du théorème ne 
laisse rien à désirer du côté de la rigueur; mais elle n'a pas 
encore toute la simplicité dont elle est susceptible. Je suis parvenu 
à une autre démonstration, fondée sur les mêmes principes, mais 
plus simple, en cherchant à résoudre un problème plus général. y> 

Bien que la démonstration de Ruffîni puisse être entachée de 
défauts plus ou moins graves, et même que l'on soit en droit 
d'admettre qu'elle ait voulu trop prouver, il est toutefois absolu- 
ment juste, à propos de cette question, de la citer en première 
ligne, d'abord parce qu'elle est la première en date, ensuite 
parce que dans tous les cas, elle est exacte dans sa marche 
générale, bien qu'une lacune, d'une autre nature que celle de la 
première démonstration d'Abel, rende la conclusion incertaine. 
En un seul point la démonstration de Ruffîni a même la supério- 
rité sur celle d'Abel, c'est par sa plus grande simplicité. On n'a 
pas de motif, selon moi, d'enlever au géomètre italien l'honneur 
d'avoir fait le premier pas important dans cette voie, à moins 
qu'on ne veuille avec le même droit refuser à beaucoup d'autres 
chercheurs leurs titres à la célébrité, toutes les fois que la 
postérité, plus clairvoyante, a pu signaler dans leurs découvertes 
quelques imperfections. 

Le mérite d'Abel a été d'avoir, indépendamment de Ruffîni et 
par une autre voie, bien qu'à une date postérieure, résolu dans 
ses grands traits généraux la même question difficile, et cela par 
une nouvelle démonstration plus complète, et d'une manière qui 



24 NIELS-HENRIK ABEL. — | I. 

écarte en dernier lieu et définitivement toute espèce de doute sur 
la légitimité du raisonnement. 

La difficulté du sujet et peut-être ce que le résultat offrait 
d'inattendu pour beaucoup de personnes empêchèrent pendant 
longtemps les travaux de Ruffîni, ainsi que ceux d'Abel, d'être 
appréciés comme ils l'ont été plus tard. 

Outre cet important Mémoire, non inséré dans le recueil de ses 
Œuvres, il existe encore d'autres essais d'Abel appartenant à cette 
période et particulièrement remarquables. Comme, à une seule ex- 
ception près, ils n'ont pas été publiés par lui-même, mais qu'ils ont 
vu le jour pour la première fois par les soins de Holmboe, après la 
mort de l'auteur devenu depuis si illustre, il faut par conséquent, 
en les appréciant, tenir compte de ces circonstances. Parmi ces 
écrits, on doit surtout remarquer ceux qui portent les numéros 
IX et X du tome II (*), et qui ont pour titres : a Sur une propriété 
remarquable d'une classe très étendue de transcendantes » et 
a Extension de la théorie précédente » ; puis les Mémoires XI et VIII 
du même tome {^) : a: Sur la comparaison des fonctions transcen- 
dantes», et celui dont il a été déjà question, « Propriétés, etc. ». 
Tous ces Mémoires, d'après ce que nous apprend l'éditeur dans 
la préface du tome II, ont été rédigés avant le départ d'Abel 
pour son voyage à l'étranger, Il faut cependant remarquer, à 
l'égard des numéros IX et X, que ces écrits ne représentent 
guère autre chose que le contenu d'une rédaction plus abrégée 
du même sujet, adressée à la Société des Sciences de Trondhjem, 
et envoyée peut-être de Christiania, où Abel, pendant son absence, 
avait laissé plusieurs de ses manuscrits. Ce travail fut imprimé 
en 1827; les Mémoires développés appartiennent à une époque 
postérieure. 

Il résulte de là avec certitude un fait, en contradiction, il est 
vrai, avec les idées qu'on se fait ordinairement, en n'accordant 
pas assez d'attention aux modestes essais, précurseurs des travaux 



(1) r»jos VIII et IX du tome II de la nouvelle édition. 

(2) Noi» X et VII du même tome de la nouvelle édition. 



PHEMIÈHES ANNÉES l/ÉTUDlANT. 25 

plus parfaits, où les mêmes idées se sont plus lard reproduites. 
Ce fait est qu'Abel, avant son voyage d'Allenaagne, en 18^5, 
avait déjà fait ou du moins était sur le point de faire plusieurs de 
ses plus éclatantes découvertes. 

Ici, parmi ces essais des quatre premières années d'études 
d'Abel, on rencontre par exemple une généralisation très étendue 
du beau théorème de rechange du paramètre et de Targument 
dans les transcendantes elliptiques de troisième espèce (IX et X). 
Ici se présente, bien qu'énoncé sous une forme incomplète et 
renfermé dans un résultat d'une trop grande généralité, le théo- 
rème connu sous le nom d'inversion des intégrales elliptiques, 
ainsi que la remarquable propriété de la double périodicité qui en 
résulte pour les nouvelles fonctions, découverte qui, ainsi qu'il a 
été prouvé plus haut, existait déjà dans son premier germe dès 
Tété de 1823 (VIIÏ). Ici enfin le théorème d'Abel, le célèbre 
théorème d'addition, le monumentum œre perennius, comme 
rappelait le vieux maître, l'octogénaire Legendre, avec son 
admiration et son enthousiasme juvéniles, ici ce théorème était 
déjà trouvé, bien que le temps ne fût pas encore venu d'en 
apprécier l'immense portée et de savoir en tirer un parti utile. 

Ainsi, à une époque plus ancienne qu'on ne serait disposé à le 
croire — bien que le développement de la pensée doive être calme 
et lent, lorsqu'il s'agit de créations grandes et durables — • et dans 
un pays écarté comme Christiania, la capitale naissante d'un 
petit état, encore mal pourvue de toutes les ressources, ont été 
posés pour la première fois les fondements, alors peu encouragés 
et peu appréciés, de travaux d'une importance considérable et de 
branches tout entières de la science mathématique. Aucune 
réaction d'influence mutuelle de la part du public scientifique ne 
s'était encore fait sentir, et aucun autre contact extérieur n'avait 
eu lieu, si ce n'est par Tétude des traités classiques d'Euler et de 
Lagrange. La direction d'un maître doué d'un talent ordinaire, 
mais consciencieux, et étudiant lui-même avec son élève, avait 
heureusement et en temps voulu conduit celui-ci dans cette voie 
féconde. Les encouragements efficaces de Hansteen et de Ras- 



26 NIELS-HENI'.IK ABEL. — | I. 

mussen, le succès et de petits échecs, Tidée lancée par Degen 
comme une prophétie, et aussi Tétude de Legendre et toujours 
celle de Lagrange: tels sont les aiguillons qui, avec Tardeur des 
recherches, inséparable du génie, ont poussé Abel en avant, — 
vers un but lointain et élevé, mais aussi vers un avenir plein de 
soucis. 

C'est ainsi que, dans ces conditions et au milieu de ces 
circonstances, peu remarquables en apparence, mais, en réalité, 
exceptionnellement favorables, il conçut dans leur premier jet les 
idées fondamentales qui, plus tard, ont définitivement renouvelé 
Faspect des sciences mathématiques sur une si vaste étendue. 

Mais plusieurs causes, à cette époque, rendaient impossible 
l'introduction de ces idées dans la science. Aussi furent-elles en 
partie reléguées à Tarrière-plan, pour être améliorées ou rema- 
niées. Bien plus, comme nous l'avons déjà dit, Abel lui-même 
tout en annonçant, un peu plus tard, la publication de travaux 
incomparablement plus importants que ses Mémoires imprimés 
jusqu'alors, ne se rendait pas clairement compte de l'immensité 
du pays oii il venait d'aborder. 



Enfin arriva pour Abel, — et cela au moment même le plus 
propice — l'heure de la délivrance. Dès lors on n'eut plus à 
craindre que son génie extraordinaire, encore à l'état de crois- 
sance et de développement, restât étouffé dans l'étroit horizon de 
son pays natal et prît une fausse voie. Un autre sujet de sérieuse 
appréhension était l'incertitude où l'on pouvait être à l'égard des 
résultats si importants, obtenus déjà en tout ou en partie, et qui 
risquaient plus ou moins d'être perdus pour la science. Dans le 
monde mathématique, qu'il ne connaissait encore que de loin, un 
souffle réformateur commençait à s'élever; Abel devait trouver à 
l'étranger des esprits capables de le comprendre, de nouveaux 
amis, et un champ d'activité plus vaste et plus favorable pour 
son génie créateur. 

Peu de temps avant l'expiration de la pension qu'on lui avait 



PnEMÎÈRES ANNÉES D'ÉTUDIANT. 27 

accordée, il adressa au Roi une demande afin d'obtenir une 
allocation pour les frais d'un voyage et d'un séjour de deux ans à 
rélranger. Cette demande, dont on possède encore une copie, 
ainsi que celle d'une recommandation du professeur Hansteen, est 
un témoignage, entre beaucoup d'autres, de cette simplicité sans 
prétention qui lui était propre, et dont même ses grandioses 
travaux scientifiques montrent partout l'empreinte. 

(( Dès mes premières années d'école», dit-il, «j'ai commencé 
à cultiver avec grand plaisir les Mathématiques, et j'ai continué à 
m'en occuper durant les deux premières années de mes études 
académiques. Mes progrès assez satisfaisants ont engagé le Sénat de 
l'Université à me recommander pour une subvention, que Votre 
Majesté a bien voulu m'accorder, pour me permettre de continuer 
pendant deux autres années mes études auprès de l'Université de 
Norvège, et aussi pour me perfectionner dans les langues savantes. 
Pendant ce temps, dans la mesure de mes forces, j'ai joint à 
l'étude des mathématiques celle des langues anciennes et 
modernes, et parmi ces dernières celle du français principalement. 
Après avoir dans ma patrie fait mes efforts, en profitant des 
secours que j'y ai rencontrés, pour me rapprocher du but que je 
désire atteindre, il me serait très avantageux, par un séjour à 
l'étranger auprès des différentes Universités, et particulièrement 
à Paris, où se trouvent en ce moment tant d'éminents mathéma- 
ticiens, de prendre connaissance des récents progrès de la science, 
et de profiter de la direction des hommes qui à notre époque ont 
porté les connaissances mathématiques à une si grande hauteur. 
En m'appuyant sur les raisons que je viens d'exposer et sur les 
attestations ci-jointes de mes supérieurs, j'ose supplier humble- 
ment Votre Majesté qu'elle daigne m'accorder une indemnité de 
voyage de 600 solvspecies (*) par an, pour continuer encore 
pendant deux années à Paris et à GôttinguCj l'étude des sciences 
mathématiques, d 

Dans la recommandation mise en lôte de cette supplique par 

(1) 3168 francs. 



28 NIELS-IIENRIK ADEL. — | I. 

le professeur Hansteen, se trouve un court paragraphe qui mérite 
particulièrement l'attention. « A Tépoque où il était soutenu ainsi » 
(c'est-à-dire par une cotisation de plusieurs professeurs de l'Uni- 
versité), «et surtout par les secours que Votre Majesté daignait 
lui accorder, Abel, dans plusieurs Mémoires, publiés ici dans le 
Magazin for Naiurvidenskaberne, et surtout dans un travail 
plus étendu, encore inédit « Sur une méthode perfectionnée de 
» calcul intégral », a donné des preuves d'une activité et d'une 
persévérance rares, ainsi que d'aptitudes extraordinaires. Il ne 
mérite pas moins d'éloges par son caractère et ses qualités 
morales, comme j'ai pu m'en convaincre en vivant constamment 
avec lui. Les simples indications données par des hommes 
illustres dans la science étant souvent plus profitables que de 
longues heures employées à la lecture des livres, je crois qu'un 
séjour de deux années auprès des géomètres les plus éminents de 
notre époque serait extrêmement fructueux pour M. le candidat 
Abel, et que notre patrie, dans ces circonstances, a les meilleures 
raisons d'espérer qu'elle trouvera en lui un homme de science 
qui lui apportera honneur et profit. )) 

Par ordonnance du 27 août 1825, Abel, en considération de sa 
pétition chaudement appuyée par le Sénat, obtint l'indemnité 
demandée de 600 spd. par an, pour deux années, comptées à 
partir du jour où cessait la pension dont il avait joui jusque là. 

Abel part, et maintenant s'ouvre une nouvelle période de sa 
carrière si digne d'intérêt. 

Je vais essayer ici, malgré les graves difficultés que ce sujet pré- 
sente, de tracer le portrait du candidatus pJùlosophiœ qui s'embar- 
que en ce moment, et qui bientôt — mais toutefois après la fin 
prématurée de sa courte vie — devait acquérir une si glorieuse 
renommée; c'est une simple et légère esquisse de sa personne, de 
ce qu'il était, et des circonstances extérieures au milieu desquelles 
il a vécu. 

Abel avait des traits réguliers, on peut même dire vraiment 
agréables; son regard et ses yeux étaient d'une beauté peu com- 



CAKACTKHK d'AHKL. i^i) 

"rriiihe; mais un teint pâle, sans fraîclicur et sans éclat, ternissait 
nn pou Tagréincnt de sa llgiire. On était frappé de la conformation 
particulière de la tôte avec son ovale saillant; le crâne fortement 
développé semblait témoigner d'une intelligence extraordinaire. 
Sur son front haut et large, caché en partie par ses cheveux 
tombants, régnait une expression méditative. Un sentiment de 
bienveillance était empreint sur son visage. 

L'aspect général de Niels Abel n'avait rien de remarquable. 
D'une taille moyenne, d'une complexion délicate, simple et 
négligé dans sa toilette, c'est seulement en pénétrant dans son 
intimité qu'on pouvait l'apprécier à sa juste valeur. Mais, malgré 
tel ou tel détail choquant, surtout dans ses jeunes années, 
sa personne n'en était pas moins, en somme, très sympathique. 

Dans la société de ses amis — quand il ne s'enfermait pas 
toute la journée dans sa chambre pour travailler solitairement, — 
surtout de ceux qui ne faisaient pas immédiatement partie du 
cercle qu'il fréquentait d'habitude, il se montrait gai et enjoué, 
bien que par tempérament il fût plutôt mélancolique. Souvent sa 
gaieté n'était pas l'expression fidèle de l'état de son esprit; peu 
de gens pouvaient pénétrer dans sa confidence. Il était très aimé 
de ses camarades, ainsi que des personnes plus âgées qui 
s'intéressaient à lui. Avec les premiers, il y avait certainement 
de temps en temps des étourderies commises; mais son amabilité 
était proclamée de toutes parts avec une rare unanimité. Il se 
faisait des amis partout, et rien que des amis. 

Pauvre comme il l'était — son père étant mort et sa mère res- 
tant dans la gêne, — n'ayant pour parvenir que l'appui de ses 
concitoyens, et dépendant de la générosité d'autrui, il lui était 
impossible de se maintenir dans toutes les occasions au niveau 
de ses camarades plus favorisés de la fortune. Ses vêtements 
étaient vieux et négligés, et il ne prenait pas non plus beaucoup 
de soin de ce qui tenait à l'extérieur. De tout ce qui se rapportait 
au cérémonial il faisait généralement peu de cas, absorbé qu'il 
était par ses méditations. 

Une certaine négligence s'était emparée de lui, non seulement 



30 NIELS-IIENRIK A BEL. — | I. 

en ce qui concernait le soin de sa personne, mais aussi, surtout 
à l'origine, dans ses communications écrites. Son style était facile 
et animé; sa façon de s'exprimer, lorsqu'il se trouvait en dehors 
des frontières des mathématiques, était [<arfois abondante et 
folâtre, parfois brusque, souvent, au contraire, juste et frappante 
à un haut degré. 

La ponctuation n'était pas précisément son côté brillant; il 
usait des virgules avec une grande parcimonie, « pas du tout » 
même, a-t-on dit de lui en plaisantant; sans règle et non sans 
effet, il introduit çà et là un gros point et virgule. Avec tous ces 
défauts, il possédait cependant beaucoup des qualités qui font 
l'écrivain distingué, et quelques-uns de ses derniers travaux, dont 
il a aussi soigné convenablement la forme, pourraient, même au 
point de vue du style, être considérés comme classiques. 

Skrœdder-Niels (*) était le surnom qu'il portait parmi ses 
joyeux camarades, et ce fut aux grands éclats de rire de l'auditoire 
que fut accueillie la nouvelle, donnée comme sérieuse (à une 
époque postérieure à celle qui nous occupe), qu'Abel à Paris s'était 
promené en gants glacés. 

Le soir on pouvait parfois le rencontrer à l'Asile^ où se 
réunissaient plusieurs jeunes gens, campés autour d'une longue 
table, économiquement éclairée par quelques chandelles. Là on 
fumait, on buvait sa bouteille de bière, le tout frugalement, sans 
aucune autre espèce de consommation. Chacun trouvait sa part 
de tabac dans un cornet, sur une tasse à thé, et l'on passait le 
temps à raconter ses prouesses et celles des autres. Abel était là 
le joyeux narrateur autour duquel on aimait à se grouper; mais 
bien souvent aussi il servait de cible à la gaieté des autres, surtout 
lorsqu'il fut fiancé et seul revêtu de cette dignité parmi les hôtes 
de l'Asile. On ne songeait plus à lui comme mathématicien, ou 
même on le connaissait à peine en cette qualité. 

Abel prenait souvent part aux divertissements de la jeunesse, 
qui à cette époque pouvaient, sans faire scandale, aller beaucoup 

(1) Nicolas-le-Tailleur, 



CARACTÈUF. d'aBEL. 31 

plus loin que de notre tcinps. Naturellement il n'oublie pas de 
raconter, en décrivant à Copenhague le jubilé du Hegentsen, que 
Ton y a bu vaillamment huit cents bouteilles de vin! A la table 
des cartes, là haut dans les galetas d'étudiants, occupé avec ardeur 
bien avant dans la nuit, — en costume léger, la chandelle à moitié 
brûlée dans le cou de la bouteille, — on n'aimait pas à le charger 
de faire les comptes; il se trompait dans ses opérations, et on le 
destituait alors de ses fonctions. Néanmoins, dans ses carnets de 
calculs, employés parfois à un autre usage, il y a des indications 
montrant qu'il a lui-même aussi exercé la présidence, et 
«Soliman 11», qui s'y trouve souvent désigné, d'une manière 
à faire penser qu'Abel a dû en telle ou telle occasion interrompre 
ses grands travaux, est sans doute le nom de guerre d'un de ses 
compagnons de plaisir. 

Mais s'il y avait des effervescences et des irrégularités de 
jeunesse dans la vie d'Abel — la nuit qui précéda sa déconfiture 
en astronomie, il l'avait passée, dit-on, dans un pique-nique, — 
s'il s'était bravement tenu à la hauteur de ses compagnons, les 
bruits qui ont couru d'autre part ont été fortement exagérés. « Il 
se faisait toujours pire qu'il n'était réellement», et sa gaieté 
n'était bien souvent qu'une apparence. Les témoignages fréquents 
et la concordance de tant de récits venant d'hommes qui se rappro- 
chaient de lui par la similitude du caractère et qui ne lui imposaient 
qu'une légère contrainte, démontrent toutes les exagérations 
des traditions orales, auxquelles on se laisse entraîner si facile- 
ment, quand il s'agit de personnes qui ont acquis une célébrité et 
dont tout le monde parle, sans que la multitude puisse comprendre 
en quoi consiste leur grandeur. L'énorme travail de méditation 
du futur inventeur, sans trêve ni repos, bien différent de l'action 
assidue et tranquille de l'énergique, mais vulgaire ouvrier, exige 
impérieusement une détente; et il n'y a pas sujet d'étonnement 
ni de blâme sévère, si dans ces temps moins rigides il a pu se 
produire quelques infractions à la régularité. 

Gomme c'a été bien souvent le cas de ces hommes extraordi- 
naires, qui poursuivent, en luttant contre des difficultés inouïes, 



32 \IELS-HENKIK ABEL. — | I. 

les profondes et puissantes idées que leur vocation, souvent aux 
dépens de leur bonheur, les pousse à dévoiler et à produire 
dans le monde, souvent il f\nsait du jour la nuit et de la nuit le 
jour. Tantôt travaillant outre mesure pendant les heures de la 
nuit, tantôt épuisé de fatigue et poursuivant sa pénible lâche, 
étendu sur son lit bien avant dans la journée, enregistrant page 
sur page les idées de ce cerveau incapable de repos et actif à Texcès ! 

S'il passait ainsi quelques ombres légères sur sa vie, s'il a 
péché par des manques de forme extérieure, c'est qu'Abel au 
milieu de ses camarades était au vrai Abel comme son vêtement 
grossier et négligé était aux splendides qualités que cette enveloppe 
recouvrait. Il était modeste et sans prétention dans ses actes; 
exempt de toute jalousie, il reconnaissait avec joie ce qui se 
faisait de grand autour de lui; il rendait justice au mérite des 
autres. Ce n'est pas sans raison qu'on disait encore de lui «qu'il 
était également distingué par les talents les plus extraordinaires 
et par la pureté de son caractère. » 

Nous verrons avant qu'il soit longtemps, la dure épreuve à 
laquelle furent soumises ses amitiés, au milieu de sa grandeur, 
bien qu'il fût peu connu et mal apprécié, alors que l'avenir 
semblait pour toujours se fermer devant lui. Ce n'est pas sans 
émotion qu'on le verra, vers la fin de sa vie, en face de la 
perspective accablante d'être forcé peut-être à quitter le pays qui 
l'avait mis à si bas prix, et qui pour conclusion le laissait partir 
pour vivre honoré et sans souci de l'avenir au milieu des 
étrangers. 



f 



nirricLi/n': des fiklations. 33 



II. 

Difficulté des relations. — Arrivée à Berlin, rencontre avec 
Crelle et fondation d'un journal mathématique. 

A l'époque qu'embrasse notre récit, dans le premier quart du 
présent siècle, non seulement les relations entre les différentes 
provinces de notre pays vaste et peu populeux étaient partout 
dilîiciles et rares, comparées à ce qu'elles sont aujourd'hui ; mais 
plus encore peut-être les relations avec les pays étrangers et 
lointains, relations qui sont à un si haut degré la condition du 
développement d'une petite société dans toutes les directions. Un 
voyage en Danemark était alors pour un habitant de la capitale 
tout une affaire, qui demandait de grands préparatifs, et qui 
bien souvent, dans la saison la plus favorable, quand le vent se 
maintenait longtemps contraire, causait autant de difficultés et 
de perte de temps que ferait de nos jours un tour en Italie pour 
un habitant de nos côtes septentrionales. En hiver, naturellement, 
la captivité était encore plus dure. Nos navires restaient là empri- 
sonnés par la gelée dans nos ports, et attendaient le printemps 
pour repartir, chargés de bois, à destination de la Hollande ou de 
la France, ou pour rapporter de Hambourg des ballots de 
marchandises et des denrées coloniales, et la flotte danoise pour 
le transport des grains^ disparaissait peu à peu au retour de 
l'automne, et ne recommençait qu'en avril à se montrer dans nos 
eaux délivrées des glaces. Il ne restait plus alors au voyageur qui 
voulait aller vers le Sud ou revenir de l'étranger, d'autre route 
que le long trajet par terre à travers la Suède. Quant à un 
véritable transport de marchandises pendant l'hiver, si l'on 
excepte la ressource, peu employée à cause de sa cherté, d'envoyer 
les paquets par la poste ordinaire, ou le cas fortuit d'un voyageur 
pouvant prendre les envois avec son propre bagage, il ne pouvait 
en être question, vu Tétat des moyens de communication dans 

3 



34 NIELS-HENRIK ABEL. — | II. 

celte saison. Les paquebots à vapeur, qui, vers la fin de la période 
on question, étaient en marche dans tout le reste de l'Europe, 
s'étaient bien approchés déjà jusqu'à notre contrée sœur le 
Danemark; mais jusqu'alors aucun steamer n'avait longé nos côtes 
si étendues, ni parcouru les fjords qui les pénétrent si profondé- 
ment, ni entamé des relations avec les vastes pays étrangers. 

Toutefois, — et cela datait déjà des anciens temps, où 
notre pays était «sous le joug du Danemark d, — les échanges 
d'envois avec Copenhague étaient un peu plus réguliers. Quelques 
particuliers possédaient deux petits paquebots, deux grands yachts, 
pour le transport des paquets et des passagers. Mais la rapidité du 
voyage dépendait de toute espèce de circonstances. Souvent, le 
vent soufflant du large, il fallait attendre patiemment plusieurs 
jours dans le fjord que la bourrasque s'apaisât ou que le vent 
tournât, avant de continuer sa navigation. Aussi arrivait-il fré- 
quemment que toute la société descendait à terre pour se divertir 
dans quelque village de la côte où le yacht avait jeté l'ancre. 

Les paquets qui devaient être expédiés dans le pays, ou les 
livres étrangers, que Ton préférait faire venir de Cophenhague, 
— c'est plus tard seulement qu'on s'est adressé directement à 
Leipzig et à Paris, — arrivaient dans ces conditions irrégulière- 
ment et au bout d'un temps plus ou moins long. 11 n'existait pas, 
pour ainsi dire, de véritable commerce de librairie, et pour se 
procurer par l'intermédiaire des libraires tel ou tel ouvrage publié 
à l'étranger, il fallait faire une dépense considérable; le prix des 
livres à Christiania était juste le double du prix de Copenhague. 
De temps en temps chaque année, et, naturellement, jamais dans 
l'hiver, les paquebots qui correspondaient avec le Danemark 
apportaient une provision de livres pour la bibliothèque de notre 
Université, qui était très bien fournie, vu les circonstances, et 
nous mettaient ainsi en rapport avec les productions scientifiques 
et littéraires du temps présent et du temps passé. Un ou deux de 
ces envois entraient aussi tous les ans dans la collection de 
l'Observatoire, une petite échoppe octogonale, perchée sur le 
rempart de la forteresse et pourvue d'une partie des instruments 



nii'FicL'i/n': m:s kklations. 3f5 

nécessaires. — Depuis la construction d'un imposant édinco 
consacré à la môme destination, réclioppe a été transportée sur 
le Uevieret, où elle a long'lem[)s sei'vi de morgue pour notre petite 
ville. 

Les conditions n'étaient guère meilleures pour les lettres à 
destination lointaine. Elles coûtaient excessivement cher. Souvent, 
pour économiser le port, on les confiait h des marchands en 
voyage, connus ou inconnus, et ceux-ci pouvaient parfois en 
avoir des ballots entiers à distribuer dans les diverses villes où ils 
devaient passer, — à moins qu'ils ne préférassent s'épargner 
cette peine, en envoyant tout le chargement à la poste et laissant 
les frais aux destinataires. Chacun était, bon gré mal gré, le 
commissionnaire de tout le monde, et des masses considérables 
d'envois échappaient ainsi à la poste royale, pour être confiés 
ce à l'occasion » ou « à la complaisance. » Il y avait en outre des 
difficultés pour les affranchissements; ils s'arrêtaient à Hambourg, 
et celui à qui la lettre était adressée devait payer le reste du port. 
Souvent aussi les lettres pour le dehors étaient d'une écriture si 
fine et si serrée, avec des lignes croisées dans tous les sens, qu'il 
fallait beaucoup de sagacité et d'efforts pour en déchiffrer le 
contenu. L'emploi du papier « ruine-poste » le plus léger et le 
plus mince, pour condenser encore plus de choses dans les limites 
les plus restreintes d'espace et de poids, n'était cependant pas 
encore inventé à cette époque, si ingénieux que l'on fût alors 
à se défendre contre la cherté des ports de lettre. 

Dans un pareil état de choses, où naturellement tout échange 
d'idées fréquent et général était impossible, où le commerce 
personnel avec la science et les impulsions qu'il fait naître 
étaient généralement restreints aux rapports avec les compatriotes 
les plus rappprochés et les plus intimes; n'ayant, de plus, à cause 
de l'éloignement, que peu de relations avec les grands centres de 
culture, notre Université étant encore à sa période d'épreuve, — 
les conditions extérieures n'étaient guère propices, à tous les 
points de vue, pour une existence complètement scientifique. 
Tout au plus était-il possible à quelques favorisés du sort, par une 



96 NIELS-HENRIK ABEL. — % U. 

heureuse exception, de prendre une part plus active à cet échange 
de pensées avec le monde extérieur, et de pouvoir suivre, depuis 
notre lointaine contrée, les derniers progrès de Tépoque, et se 
mêler activement aux discussions scientifiques; et encore les 
mieux placés n'étaient-ils compétents que jusqu'à un certain point 
et avec de nombreuses restrictions. On eût été injuste, pour 
notre pays et notre Université à leurs débuts, de régler les exi- 
gences sur le niveau des pays riches et peuplés de l'autre côté des 
mers. Lorsque, malgré tout, ces exigences se trouvaient remplies 
— mieux peut-être qu'on aurait dû s'y attendre — c'était non 
seulement parce qu'une série d'hommes de valeur avait été 
amenée à notre Université nouvellement fondée, mais aussi parce 
qu'une position économique favorable leur avait permis de 
consacrer toutes leurs forces à leurs études. L'esprit de liberté, 
qui nous avait valu notre Université et notre indépendance, avait 
été aussi à cet égard l'appui le plus sûr de notre petite nation 
aspirant au progrès. 

Les services que pouvaient rendre notre bibliothèque universi- 
taire et nos établissements d'enseignement se réduisaient évidem- 
ment à créer un solide fondement scientifique, reposant sur les 
recherches des temps anciens et des temps plus voisins, mais 
en même temps sans prétendre introduire le futur investigateur 
dans les directions de recherches de l'époque moderne, qui sont 
aussi, pour la plupart, les plus fructueuses. 

Dans les sciences abstraites, en particulier, pour lesquelles 
notre contrée et ses relations locales ne pouvaient être d'aucun 
secours — le travailleur confiné dans son pays devait nécessaire- 
ment rester en arrière. Il ne lui était guère possible de produire 
autre chose que ce qui était déjà trouvé et connu par ceux qui 
travaillaient dans des conditions plus favorables et plus libres, qui 
avaient été initiés en temps convenable à ces directions d'idées et 
à ces nouveaux fondements, d'où l'on pouvait attendre un réel 
profit dans une suite d'études prolongées, — et qui jouissaient des 
avantages de la proximité des discussions savantes et de l'héritage 
scientifique des professeurs et des maîtres de l'époque. 



nilPAin D'AnKL. 37 

Plus qu'hcuroux celui qui, dans un cercle aussi étroit, grâce h 
un meilleur concours de circonstances, comme il s'en produit bien 
rarement, a pu parvenir, par l'irrésistible puissance de son génie, 
à se frayer son chemin! Mais le besoin du contact avec la science 
contemporaine n'est pas moins impérieux pour Thomme qui a 
plus à communiquer de son propre fonds qu'à recevoir des autres. 
Seulement les dilllcultés se trouvent ainsi déplacées. Ce n'était 
pas chose facile alors, dans notre petit coin de terre peu remarqué, 
pour un penseur jeune et inconnu, suivant des voies à lui propres, 
de répandre ses idées dans le monde, d'en soumettre les résultats 
à la critique du dehors et au besoin à une épuration peut-être 
nécessaire, surtout lorsqu'il s'agit d'une étude plus approfondie et 
d'un développement plus vaste. 

Telles étaient les circonstances dans lesquelles Abel grandit et 
se développa. Il allait maintenant parcourir le monde, et nous le 
suivrons dans sa route. 



Dans les premiers jours de septembre il entreprit son voyage, 
en compagnie du candidat des mines Môller, depuis directeur des 
mines d'argent de Kongsberg, et du candidat en médecine 
Chr. Boeck, mort récemment, doyen de notre Université. Keilhau 
et Tank, avec qui il se rencontra depuis en Allemagne, étaient 
déjà partis, le premier pour continuer ses études à l'Académie des 
Mines de Freiberg, le second dans l'intérêt de son instruction 
philosophique, pour visiter notre compatriote Henrik Steffens, 
alors attaché à l'Université de Breslau. 

«Nos jeunes savants voyageurs», comme les appelait le 
professeur Hansteen dans ses communications au Magazin, 
allaient maintenant chercher les moyens de se perfectionner 
chacun dans la carrière de son choix. 

Avant son départ, Abel fit une échappée à Soon, une des 
petites villes de la côte orientale du fjord de Christiania, où 
demeurait sa fiancée. C'était une jeune danoise, M'*^ Christine 
Kemp, mariée plus tard, après la mort prématurée d'Abel, avec 



38 NIELS-HENRIK ABEL. — | II. 

le professeur Keilhau. Là, à une heure avancée de la nuit, il fut 
pris au passage par le yacht surchargé de voyageurs, et bientôt 
un bon vent les amena en pleine mer. 

Le voyage ne fut que relativement agréable. Nous en reprodui- 
rons quelques incidents d'après la description de Boeck; ils 
caractérisent Tétat des choses à cette époque, et rappelleront de 
nouveaux souvenirs. 

D'abord, est-il dit, on dériva vers l'ouest, puis on resta quelque 
temps en place. Mais le troisième jour, vers le soir, à la hauteur 
de Marstrand, on retrouva une forte brise. Abel était agité; 
Moller allait s'étendre à fond de cale. Un des voyageurs, un 
vieux garçon misanthrope, qui allait se fixer à Copenhague, 
s'imagina dans ses angoisses qu'il allait mourir. 11 se voyait déjà 
perdant tout ce qu'il possédait et jeté lui-même à la mer. Boeck, 
lui deuxième parmi tous les voyageurs, tenait bon; mais il eut 
besoin de tout son art médical auprès du contrôleur effaré, qui 
écrivit deux fois son testament, et qui suppliait le patron de 
faire rebrousser chemin au bateau. 

Le cinquième jour, avant le lever du soleil, on était en vue du 
feu de Helsingôr. Le temps s'était calmé; Abel et Boeck étaient 
déjà en haut depuis trois heures du matin, pour jouir de la traversée 
du Sund. Un grand nombre de navires étaient en rade. Les 
maisons blanches, les propriétés de plaisance isolées et les petits 
villages le long de la côte glissaient les uns après les autres devant 
eux et leur offraient un spectacle varié qui, malgré la fraîcheur, 
les attachait sur le pont. Mais de cette campagne fertile et des 
coteaux boisés qui dominent ces pays de plaine, leurs pensées se 
reportaient souvent vers les écueils et les rochers qu'il avaient 
quittés et vus disparaître dans la mer. 

Copenhague montra bientôt ses hautes tours; l'Ermitage et 
Fredriksberg brillaient au soleil levant, « au milieu des verts 
bosquets», et après avoir été pendant cinq jours ballotés sur les 
vagues, on était arrivé. 

Abel cette fois ne s'arrêta pas longtemps à Copenhague. 



SEJOUR A COPENHAGUE. 39 

Copcndant son séjour n'en ont pas moins d'importantes conso- 
quencos, en contribuant à lui faire modifier son plan de voyage 
primitif, et lui donnant pour la première fois l'occasion de faire 
la connaissance, si étroite et si profitable pour lui, du conseiller 
intime Crelle. D'après la description que lui en avait faite von 
Scbmidten, comme d'un bomme excellent sous tous les rapports, 
Abel se décida à Taller voir aussitôt que possible, dès son arrivée 
à Berlin. 

Degen était mort dans le courant de cette même année; sa 
bibliotbèque était en vente. Juste au moment où Abel quittait 
Christiania, le professeur Thune avait envoyé quelques paquets et 
des catalogues des livres de Degen, avec prière de les distribuer 
au public norvégien. Ce fut une occasion pour Abel d'écrire à son 
ami et maître, le lecteur Holmboe, une lettre, peu importante 
sans doute à plusieurs égards, mais ne manquant pas d'intérêt, 
en tant qu'elle éclaire la situation immédiatement avant les 
événements qui devaient maintenant assombrir à un si haut 
degré les perspectives d'avenir d'Abel. Elle semblait déjà annoncer 
d'avance que tout se dénouerait tranquillement. 

« Je suis maintenant ici », écrit-il, ce et je dois te prier en 

conséquence Tu auras peut-être 

aussi la complaisance de remplir les désirs du professeur Thune 
au sujet de ces paquets, en t'adressant au professeur Sverdrup 
pour les distribuer. i> — (Sverdrup était alors membre du Sénat 
universitaire, où devait bientôt se décider en première instance 
la question de la nomination à la chaire de mathématiques à 
l'Université, laissée vacante par la retraite prochaine de Rasmus- 
sen). « Tu ne te fâcheras pas », ajoute-t-il, ce de ce que je te 
charge de ces commissions. La chose est pour moi d'une impor- 
tance énorme, par égard pour Thune. Fais-le aussi promptement 
que possible, car la vente aura lieu le 5 octobre. 

» Le 13 » (septembre), dit- il plus loin, « j'irai à Sorôe faire 
visite à la mère et à la sœur de M"^^ Hansteen, et j'y resterai deux 
ou trois jours. De vendredi en huit jours, je pars avec le bateau à 
vapeur pour Lùbeck et de là pour Hambourg. — Salue pour moi 



40 NIELS-HENRIK AREL. — ^ II. 

M*"" Ilansteen et sa sœur, si tu les rencontres. J'enverrai le 
mémoire par Petersen. — Une autre fois tu recevras de moi, une 
lettre plus ordonnée. Ton ami, Abel. ï> 

Avant cette lettre, qui annonçait ainsi, en attendant, sa visite 
à la famille de Hansteen à Soroe, Boeck et Moller étaient partis 
avec le bateau à vapeur pour Lùbeck, d'où ils continuèrent par 
terre leur voyage jusqu'à Hambourg, à travers des chemins 
détestablcset remplis d'eau. Ils descendirent au Grand Sauvage {^), 
où ils attendirent leur compagnon de voyage, attardé par la 
prolongation de son séjour à Copenhague. 

Après l'arrivée d'Abel, ils allèrent de compagnie à Altona, 
pour faire visite à Schumacher, l'éditeur des Aslronomische 
Nachrichten, avec qui d'ailleurs le professeur Hansteen était en 
relations suivies. Schumacher, comme on s'en souvient, avait, 
quelque temps auparavant, refusé d'insérer le Mémoire d'Abel sur 
la Lune; il s'était aussi chargé de transmettre à Gauss, par 
l'intermédiaire d'Olbers, le Mémoire français sur l'impossibilité de 
résoudre algébriquement les équations du cinquième degré, 
travail avec lequel Abel allait se présenter pour la première fois 
devant le grand public, et dont on ignorait encore quel serait le 
succès auprès des savants. 

Schumacher, bien que souffrant, accueillit les voyageurs et le 
jeune mathématicien inconnu avec beaucoup de prévenance. II 
est probable que, pendant son séjour à Hambourg, Abel renouvela 
ses visites à l'astronome danois. En tous cas, il laissa la meilleure 
impression chez le savant étranger. Car, à diverses reprises, 
Schumacher le dépeint non seulement comme un mathématicien 
distingué, mais aussi comme le jeune homme le plus aimable. 

Abel raconte — ce qui semble pareillement indiquer un séjou 
de quelque durée — qu'il avait fait à Hambourg la connaissance 

(^) Zum grossen wilden Mann. Ajoutons que nous sommes portés à croire qu'il 
s'est glissé ici une erreur dans la tradition telle que la présente le récit de Boeck, 
et que celui-ci a fait confusion avec ce qui s'est passé plus tard ù l'arrivée des 
voyageurs à Vienne. De pareilles inexactitudes, relatives aux échanges de lieu et de 
temps, sont à craindre dans tous les cas où le récit n'est pas appuyé sur des 
documents écrits. (Noie ajoutée par l'auteur. J 



ahrivi':k a deulin. 41 

d'un jeune et habile malhoniaticion, Thomas Clauscn, attaché 
alors i^ rOhscrvaioire d'Altona. (( Encke i>, dit-il, <( qui est 
maintenant membre de rAcadémio de Tlcrlin, était aussi à 
Hambourg; mais je ne Tai pas vu. Il est singulier qu'à Berlin on 
n'ait pas nommé un professeur d'Astronomie. Encke, dit-on, ne 
fait pas de leçons. » 

Cette rencontre avec Schumacher, Tami de Gauss et son 
correspondant assidu, a dû être la première source de la tradition, 
suivant laquelle — ainsi que nous l'avons rapporté d'après 
Hansteen — le grand géomètre de Gôttingue aurait dit, à propos 
du Mémoire d'Abel, que lui-même se faisait fort de démontrer 
la possibilité de la résolution des équations du cinquième degré. 

Nous nous sommes déjà permis d'émettre des doutes sur la 
parfaite exactitude de ce récit, parce qu'il est très possible, 
pour les raisons que nous avons développées plus haut, qu'il se 
soit produit un malentendu sur le sens de l'assertion, et cela 
d'autant mieux que le propos était parvenu après avoir passé par 
plusieurs bouches. 

Es istja ein Grduel sowas zusammen zu schreiben (*)! C'est 
en ces mots ou quelque chose d'approchant que, d'après la tradi- 
tion, fut formulée la dure condamnation du jeune mathématicien 
de brillant avenir. 

Une certaine antipathie contre Gauss, née spontanément dans 
l'esprit d'Abel ou inspirée par les entourages au milieu desquels 
il devait bientôt se trouver, semble s'être emparée de lui de 
bonne heure ou du moins pendant cette période de sa vie. Il n'est 
pas déraisonnable de supposer qu'il se soit senti blessé de ce que 
Gauss, ne soupçonnant pas tout ce qui était caché sous une forme 
peut-être imparfaite et dans des essais qu'il prenait pour des 
aspirations ambitieuses et insensées, eût plus ou moins directe- 
ment repoussé son travail digne d'admiration, et qu'il l'eût passé 
sous silence comme une production de jeunesse, manquant de 
maturité. 

(1) C'est vraiment une abomination d'écrire des choses pareilles 



42 NIELS-HRNRIK ARFX. — | H. 

Tout semblait ainsi conspirer pour bouleverser d'une manière 
heureuse le plan de voyai^e primitif: la recommandation donnée 
par von Schmidtcn d'aller visiter à Berlin roxcellent Crelle; 
Tinacccssibilité, réelle ou supposée, de Gauss, peut-être aussi — 
surtout pour Abel, qui n'aimait pas la solitude — une agréable 
société pour le reste du voyage et le plaisir de vivre avec des 
camarades. Gottingue était le but désigné, vers lequel il devait 
tendre, Gottingue où Gauss, dans presque toutes les branches des 
mathématiques, répandait abondamment la lumière de son ensei- 
gnement, et où Abel eût eu une magnifique bibliothèque à sa 
portée. Pourtant, dès le commencement de son voyage, il prit 
un autre chemin. 

A plusieurs reprises, comme nous le verrons, Abel formera le 
dessein de s'y rendre. Mais chaque fois il reculera, et il décrira 
un cercle autour de la vieille ville universitaire. 



A son arrivée à Berlin, il s'empressa de faire une visite aux 
deux mathématiciens Crelle et Dirksen. L'entrevue entre le 
premier, le conseiller intime étranger, et le boursier de l'état 
encore novice et embarrassé ne parut pas d'abord promettre un 
grand succès (*). Il fallut beaucoup de temps pour qu'Abel pût 
faire comprendre à son interlocuteur quel était au juste le but de 
sa visite, et il semblait que le tout aboutirait à une « conclusion 
fâcheuse ï) {^). 

A la fin il prit courage lorsque Crelle lui demanda ce qu'il avait 
déjà lu en mathématiques. Quand il eut cité quelques-uns des 
plus célèbres ouvrages dans cette science, Crelle devint très 
affable avec lui, ((et, comme il me le dit lui-même ï>, raconte 
Abel, (c réellement satisfait ». Il entama alors une longue conver- 
sation avec le jeune Norvégien sur o: une grande variété de sujets 
difficiles, qui n'étaient pas encore traités à fond d. Quand on en 

(') D'après une tradition, Crelle croyait d'abord qu'il venait pour mendier. Cela 
m'a été raconté par un vieil ami d'Abel. (B.) 

{') LeUre d'Abel à Holmboe du 16 janvier 1826. 



RENCONTRE AVEC CRELLE. 43 

vint ^ parler de la lliôoric des (""quations de degrés supérieurs, 
Aboi annonça qu'il avait démontré Timpossibilité de résoudre 
générahMueut Téquation du cinquième degré. Là-dessus Crelle 
répond que cela ne peut pas être vrai, et s'apprête aussitôt à 
combattre cette assertion. Abel lui présente alors un exemplaire 
de son Mémoire écrit en français sur ce sujet et dont nous avons 
parlé plus baut; mais Crelle dit qu'il ne peut pas apercevoir la 
raison de plusieurs conclusions contenues dans ce travail, (t Plu- 
sieurs personnes m'ont dit aussi la même chose», écrit Abel, 
(L et pour ce motif, je vais me mettre à le remanier ». 

A partir de ce moment, Crelle lui donna une fois pour toutes 
ses entrées régulières pour chaque lundi soir. Aux réunions 
musicales qui avaient lieu dans le cercle de la famille du conseiller 
intime, il s'amusait beaucoup, bien que malheureusement, en dépit 
de la réputation de chanteur d'airs joyeux dont il jouissait parmi 
ses camarades, il ne fût pas grand connaisseur en musique. Mais il 
trouvait toujours, pour se dédommager, quelques jeunes mathé- 
maticiens avec lesquels il s'entretenait pendant ces réunions «de 
sujets monstrueusement intéressants». De cette manière il acquit 
promptement l'usage de la langue allemande, dont le défaut lui 
avait été si gênant dans les premiers temps. 

Avec les dames de la famille, il était, dit-on, toujours dans les 
meilleurs rapports; on avait pour lui des ménagements, et il était 
très goûté. Mais il arrivait parfois qu'elles le prenaient à part 
dans un cabinet pour l'attifer un peu, avant l'arrivée des invités, 
quand tel ou tel détail de sa toilette lui allait mal ou était mis de 
travers. 

Tous les vendredis à midi il allait faire une promenade de 
quelques heures avec Crelle. Alors il s'en donnait à cœur joie 
en parlant de mathématiques, <?: comme tu peux croire (*), et 
aussi rapidement que le permet ma langue mal façonnée à 
Tallemand. — Cependant je me tire d'affaire assez passablement. 
Il ne peut pas se mettre dans la tête que je puisse comprendre tout 

(1) Lettre à Holmboe du 16 janvier 1826. 



44 NIELS-HENKIK AFJKL. — | II. 

ce qu'il me dit, sans savoir moi-même parler correctement. » 
Steiner, un des fondateurs de la nouvelle géométrie synthétique, 
les accompagnait souvent dans ces promenades. Quand les 
passants les voyaient tous les trois, — raconte Geiser dans la 
biographie de Steiner, — ils se disaient : « Voilà Adam avec ses 
deux fils, Caïn et Abel. 3> Crelle avait, en effet, pour prénom Adam. 
Du reste, chacun des deux fils de son côté déplorait le peu 
d'aptitude de l'autre pour la vie mondaine. 

Abel se félicite à maintes reprises d'avoir fait connaissance 
avec Crelle, «cet excellent homme 5). «Tu ne pourrais croire», 
écrit-il à Holmboe, « quel homme remarquable c'est : juste 
l'homme tel que je le désirais pour moi, affable, sans être atteint 
de cette politesse rebutante avec laquelle tant d'hommes, d'ailleurs 
honorables, accueillent les gens. Je vis avec lui sans plus de gêne 
qu'avec toi et mes autres connaissances intimes. Il s'occupe 
beaucoup de mathématiques, ce qui est d'autant plus honorable 
pour lui que ses fonctions lui donnent beaucoup de travail. Dans 
ces dernières années il a publié plusieurs ouvrages mathématiques, 
qui me semblent très bons. y> Abel indique les titres de plusieurs 
de ces livres qu'il a reçus en cadeau, et ceux d'autres ouvrages 
du même auteur qu'il s'est procurés lui-même, et qu'il enverra 
en Norvège au printemps pour les confier à la garde de Holmboe, 
ne pouvant naturellement les emporter avec lui dans son voyage. 
C'était à cause des qualités de la forme, sans doute, qu'il trouvait 
du plaisir à la lecture des travaux publiés par Crelle. 

Dans la première entrevue — et dans celles qui se succédèrent 
fréquemment, et qui, au dire de Crelle, étaient devenues quoti- 
diennes — Crelle parla beaucoup du triste état des mathématiques 
en Allemagne. Abel signala aussi de son côté les bibliothèques 
de Berlin comme laissant beaucoup à désirer; il ne semble pas 
non plus s'être soucié d'assister aux cours de mathématiques des 
professeurs de cette ville. La précédente tentative faite par Crelle 
d'introduire quelque vie dans la science par l'organisation de 
réunions scientifiques dans sa propre maison, avait complètement 
échoué, et cela, disait-on, par l'arrogance insupportable d'un seul 



FONDATION UU JOURNAL. 48 

(les sociétaires, le physicien Ohm. Toutefois il semblait que dans 
un prochain avenir une période plus favorable allait commencer. 
Lorsqu Abel exprima son étonncment de ce qu'il n'existât en 
Allemagne aucun journal mathématique, comme il en existait en 
France depuis plusieurs années, Crelle répondit que depuis 
longlenq)s il avait le dessein d'entreprendre la rédaction d'un 
semblable recueil; il songeait à mettre aussitôt que possible ce 
projet à exécution. 

L'arrivée d'Abel, ainsi que celle de Steiner, et les nombreux 
travaux qu'Abel désirait voir publier étaient naturellement un 
secours très opportun pour la fondation d'un journal scientifique, 
et cette fondation fut décidée. L'existence de riches matériaux, 
que l'on devait s'empresser sans doute de mettre à la disposition 
des rédacteurs, fut un motif déterminant de la résolution qui fut 
prise de se lancer le plus tôt possible, et même immédiatement 
(au commencement de 1826) dans cette affaire. En tous cas, cela 
contribua à un haut degré à assurer la publication du journal 
dans les premiers temps. D'autre part, c'était pour Abel lui-même 
un événement d'une haute importance; il avait maintenant une 
position qui lui permettait en toute occasion de faire imprimer 
tel ou tel de ses travaux de moindre étendue, et pour les mémoires 
plus considérables, à mesure que son nom deviendrait de plus en 
plus connu, il pouvait espérer de leur trouver un éditeur. 

Abel se mit aussitôt à l'œuvre pour la rédaction de ses 
matériaux. Dès le commencement de décembre 1825, il avait 
déjà mis au net quatre mémoires; au milieu de janvier de 
l'année suivante 1826, six mémoires étaient prêts, tous écrits 
en français. Mais Crelle eut « la galanterie y> de les traduire pour 
lui. a: Ainsi mes bribes de français m'ont rendu bon service. y> 

Crelle exprima d'ailleurs son opinion sur la forme de ces 
mémoires en disant qu'il les trouvait très clairs et très bien écrits, 
ce qui réjouit vivement le jeune auteur, qui appréhendait toujours 
de ne pouvoir sans difficulté exprimer ses pensées d'une manière 
convenable. Cependant Crelle lui conseilla de donner un peu plus 
de développemments, ce surtout ici, en Allemagne.... Il m'a 



46 NIELS-HFINRIK ABEL. — | II. 

aussi offert, pour mes mémoires, des honoraires sur lesquels je 
n'avais naturellement pas compté, mais que je n'ai pas voulu 
recevoir; j'ai cru cependant remarquer qu'il eût mieux aimé que 
j'eusse accepté (^). » 



Abel ayant maintenant ses entrées dans un journal scientifique, 
parmi les travaux dont il s'occupa avec ardeur, il commença par 
revenir sur la question de l'impossibilité de la résolution (à l'aide 
des radicaux) des équations algébriques générales, d'un degré 
supérieur au quatrième. 

Il reprit son ancien mémoire de Christiania, encore peu connu, 
pour le soumettre à un nouveau travail. Après les revers qu'il avait 
éprouvés et les jugements inadmissibles que ces revers avaient 
provoqués, il chercha maintenant à développer sa démonstration 
avec plus de détails qu'il n'avait dû se contenter de faire aux jours 
difficiles d'autrefois, quand il publia son travail dans son pays 
natal. La position de gêne économique où il se trouvait avait aussi 
contribué, d'après le récit de Hansteen, d'une manière très sensible 
à la forme malheureusement écourtée de cette note, Abel ayant 
dû supporter seul avec ses ressources si limitées, tous les frais 
qu'entraînait l'impression. Peut-être aussi dans le dessein que 
formait Abel de perfectionner ce travail, entrait pour une part le 
désir de combler une véritable lacune, qui pouvait très bien, 
comme nous l'avons dit plus haut, avoir autrefois échappé à son 
attention. Grelle avait dit de ce Mémoire qu'il faisait honneur à 
l'auteur; cependant il ne pouvait pas entièrement le comprendre. 
«Il m'est si difficile», écrit Abel, « de m'exprimer tout-à-fait 
intelligiblement dans cette matière, sur laquelle on a encore si 
peu travaillé à ma façon ! y> 

Depuis son arrivée à Berlin, il s'était déjà proposé encore un 
nouveau problème dans le même ordre d'idées, celui de déter- 
miner toutes les équations, qui sont résolubles algébriquement. 

(1) Lettre à Holmboe du 16 janvier 1826. 



TUAVAUX DE BERLIN. 47 

La manière heureuse dont il avait surmonté les difficultés dans 
la démonstration de Timpossibilité de résoudre algébriquement 
les équations de degrés supérieurs tout à fait générales — difïi- 
cuUés que les plus grands géomètres des temps passés s'étaient en 
vain clTorcés d'écarter — Tavait ainsi amené de bonne heure à se 
poser un problème d'une nature plus positive, mais constituant 
d'ailleurs l'entreprise la plus audacieuse; et cela, il faut bien le 
remarquer, dans les circonstances où la possibilité, au moins 
partielle, de l'exécution n'était plus déjà une vaine imagination, 
où le travail dépensé à cette œuvre n'était plus un vain gaspillage 
de forces, mais où le terrain était soigneusement préparé, et les 
moyens d'action les plus puissants étaient mis en usage. La 
solution progressive de ce vaste problème, qui naturellement se 
rattache au précédent et le complète, est sans aucun doute de 
la plus haute importance pour les progrès ultérieurs de l'analyse 
mathématique. 

d Je ne suis pas encore tout à fait prêt », écrit Abel à Holmboe; 
« mais, autant que je puis comprendre, cela ira bien. Tant que le 
degré de l'équation est un nombre premier, cela n'offre pas une 
bien grande difficulté; mais quand c'est un nombre composé, 
alors le diable s'en mêle. J'ai fait des applications à des équations 
du cinquième degré, et j'ai résolu heureusement le problème 
pour ce cas. J'ai trouvé un grand nombre d'équations, outre 
celles que l'on connaissait déjà, qui peuvent se résoudre. Quand 
j'aurai terminé le mémoire comme je le désire, je me flatte qu'il 
sera bon. Ce travail en tous cas est quelque chose de général; 
on y trouvera de la méthode, et c'est ce qui me paraît le plus 
important. » 

En dehors des divers 'problèmes qu'Abel, à cette époque, 
s'était proposé de résoudre ou avait effectivement résolus, mais 
que nous nous dispensons de mentionner comme relativement 
moins essentiels, il est un autre travail d'une importance hors 
ligne, qui maintenant l'occupera longtemps. Et certainement, 
bien qu'il semble à première vue tenir une petite place dans ses 
écrits, ce travail spécial a exercé l'influence la plus considérable 



48 NIELS-UKNKIK AHEL. — %U. 

sur son œuvre scientifique. Un coup d'oeil rétrospectif, auquel 
peu à peu il avait été forcément conduit par tant d'essais hardis, 
et pas toujours heureux, pour reculer les limites de la science, 
lui fit voir de plus en plus les points faibles du système tout 
entier des mathématiques de Tépoquc, surtout quand il s'agissait 
de pénétrer dans des régions plus élevées, jusque-là inaccessibles 
aux efforts des chercheurs et où les anciennes idées n'étaient pas 
toujours suffisantes. En maint endroit il fallait consolider les 
fondements et épurer les conceptions, si Ton voulait avec sûreté 
continuer l'édifice. 

Il faut voir avec quelle rudesse il s'attaque aux extravagances 
de la science. «Les séries divergentes jd, dit-il avec sa manière 
originale et parfois un peu brutale, ce sont en bloc une invention 
diabolique, et c'est une honte que Ton ose fonder là-dessus une 
démonstration quelconque. On peut, avec leur secours, établir 
tout ce qu'on voudra, et ce sont elles qui ont donné naissance à 
tant de déceptions et à tant de paradoxes. Peut-on imaginer quelque 
chose de plus affreux que de dire que.... Tout cela m'a fait lever 
les yeux avec une vraie consternation ; car, si l'on excepte les cas 
les plus simples, tels que les séries géométriques, il n'existe, dans 
toutes les mathématiques, presque aucune série infinie dont la 
somme soit déterminée rigoureusement; en d'autres termes, ce 
qu'il y a de plus important en mathématiques ne repose sur 
aucun fondement. La plupart des résultats sont justes, il est vrai, 
et c'est un fait extrêmement étonnant. Je fais mes efforts pour 
en découvrir la raison. C'est un problème excessivement intéres- 
sant. — Je ne crois pas que l'on pût me proposer beaucoup 
d'énoncés où il entrerait des séries infinies, et dont la démons- 
tration ne me fournît pas matière à des objections fondées. 
Fais-le, et je te répondrai. — La formule de binôme elle-même 
n'est pas encore démontrée rigoureusement. J'ai trouvé que, etc.. 
Le théorème de Taylor, fondement de toutes les hautes mathé- 
matiques est tout aussi mal établi. Je n'en ai rencontré qu'une 
seule démonstration rigoureuse; c'est celle de Gauchy dans son 
Résumé des leçons sur le Calcul infinitésimal. » 



TIUVAUX DE RRRMN. /jO 

Vers le môme Icmps, A bel préparait aussi un mémoire très 
remarquable concernant la série du biruime. Il avait cboisi 
comme objet d'une étude approfondie un des fondements les plus 
essentiels des liautes mathématiques. Ce mémoire est en oulre un 
témoignage spécial de la sagacité et de la pénétration de rauleur 
et de sa finesse critique. Là aussi il ouvre une campagne contre 
le manque de rigueur avec lequel on opère en toute sécurité 
au moyen des séries infinies, comme s'il s'agissait d'expressions 
finies, en même temps qu'on se sert des séries divergentes pour 
calculer des valeurs numériques, procédé, dit-il, « avec lequel on 
peut démontrer tout ce que l'on veut, l'impossible aussi bien que 
le possible. y> Le principal mérite de ce travail réformateur sur le 
problème du binôme n'appartient pas cependant exclusivement à 
Abel; il n'y a même pas pris la part prédominante. Son mémoire 
s'appuie en réalité sur l'important ouvrage déjà cité de Cauchy, le 
Cours d'Analyse, publié à Paris quelques années auparavant, en 
\%'iL\. Cauchy avait lui-même travaillé sur le même terrain, en 
devançant ainsi Abel, qui évidemment avait pris cette direction 
sous l'influence du grand géomètre français; il s'y était montré 
comme un réformateur de la science, établissant des règles pour 
la convergence des séries infinies, et proscrivant tout emploi des 
séries divergentes. Cauchy, bien qu'avec moins de détails et avec 
moins de profondeur et de pénétration que son successeur, ne se 
contente pas d'étudier encore généralement cette série fonda- 
mentale pour les valeurs réelles et imaginaires de la variable, 
mais il la considère encore pour les valeurs critiques, où sa 
détermination cesse définitivement d'exister. 

Un autre objet non moins digne d'attention est une remarque, 
faite dans le même travail, et d'après laquelle Cauchy, dans son 
excellent ouvrage, énonce un théorème dont il semble que 
l'évidence soit ires facile à saisir, mais qui n'en est pas moins 
douteux; ce théorème concerne la détermination de la continuité 
d'une fonction, lorsqu'elle se présente comme la somme d'une 
série, composée uniquement de fonctions partielles continues. 
Quand on sort du domaine algébrique, pour entrer dans un 

4 



50 NIELS-IIENRIK ADia. — ^ U. 

terrain complètement étranger, alors, comme on le constate par 
un exemple emprunté aux séries trigonométriques, on voit cesser 
en réalité cette généralité supposée. Et ce fait, qui, si invraisem- 
blable qujil pût alors paraître au premier abord, n'avait pourtant 
pas échappé à Toeil pénétrant du jeune mathématicien, devait 
aussi jouer un grand rôle dans les progrès de la science. Avant 
toutes choses, un résultat important, c'était que les recherches, 
qui jusqu'à cette époque ne s'étaient guère attachées à de 
pareilles propriétés des fonctions, transportassent leur action 
sur un terrain plus élevé. Cette transformation nest pas due 
seulement aux travaux d'Abel et de ses successeurs, mais aussi 
aux études auxquelles a conduit le développement de la physique 
mathématique, et particulièrement la théorie de Fourier sur la 
propagation de la chaleur dans les corps solides conducteurs. 

Dans une lettre postérieure, au professeur Hansteen, il revient 
sur ce sujet, en continuant ainsi son important travail de révision 
dont il s'était manifestement occupé depuis quelque temps, non 
seulement avec beaucoup d'ardeur, mais aussi avec un succès 
marqué; car déjà en janvier il écrit à Holmhoe que cela va bien 
et (( que cela l'intéresse énormément. » Dans la lettre de Dresde 
déjà citée, en date du ^9 mars, il s'explique sur ce sujet pour la 
seconde fois, et il exprime ses idées en termes remarquables. 

«Je me réjouis infiniment)), dit-il, a: de rentrer dans ma 
patrie et d'y trouver les moyens de travailler tranquillement. 
J'espère que cela finira par bien marcher. Les matériaux ne me 
feront pas défiiut d'ici à plusieurs années; j'en récolterai bien 
quelques-uns en voyage; car juste en ce moment il y a beaucoup 
d'idées qui me trottent dans la tête. Les mathématiques dans 
leur plus pure acception devront faire à favenir mon seul sujet 
d'études. Toutes mes forces seront employées à porter la lumière 
dans la monstrueuse obscurité qui incontestablement règne 
aujourd'hui sur X Analyse. Elle manque si complètement de plan 
et de système, qu'il est en vérité grandement surprenant que 
tant de gens puissent se livrer à son étude, et ce qu'il y a de 
pire ici, c'est qu'elle n'est nullement traitée avec rigueur. On 



TRAVAUX DE BEULIN. f ) ! 

trouve excessivement peu de propositions dans la haute Analyse 
qui soient déuiontrées d'une manière incontestablement rigou- 
reuse. Partout on rencontre la déplorable coutume de conclure 
du particulier au général, et il est extrêmement remarquable que, 
d'après cette manière de procéder, on n'aboutit que rarement à 
ce qu'on appelle des paradoxes. Il est vraiment très intéressant 
de chercher la cause de ce résultat. — D'après mes idées, cela 
tient à ce que les fonctions dont l'Analyse s'est occupée jusqu'ici 
peuvent le plus souvent s'exprimer par des puissances. — Dès 
qu'il s'en présente parfois d'autres, cas, il est vrai, qui ne se 
rencontre pas souvent, les choses ordinairement ne vont plus bien, 
et les fausses conclusions font naître alors un enchaînement d'une 
multitude de propositions inexactes. — J'ai examiné à fond 
plusieurs de ces résultats, et j'ai été assez heureux pour tirer la 
chose au clair. Pour peu que l'on procède d'une manière générale, 
cela marche assez bien; mais j'ai dû être particulièrement 
circonspect; car les propositions une fois admises sans démons- 
tration rigoureuse (c'est-à-dire sans démonstration) ont poussé 
dans mon cerveau de si profondes racines qu'à chaque instant 
je suis exposé à m'en servir sans examen suffisant. Ces pelits 
travaux paraîtront dans le journal publié par Crelle.» 



S2 MKLS-IŒMUK WWU,. — ij; III. 



III. 

Nomination de Holmboe. — La colonie norvégienne. 
Sombres dispositions. 

Tout au commencement du séjour d'Abel à Tétranger, une 
chaire de Mathématiques devint vacante à TUniversité, par suite 
de la retraite de Rasmussen. Le vendredi 6 décembre 1825, la 
Faculté de philosophie fut convoquée à ce sujet, et le doyen 
donna connaissance d'une lettre du Sénat en date de la veille, 
(( invitant la Faculté à présenter une personne capable, pour 
occuper la chaire de Mathématiques vacante à TUniversilé ». On 
convint de proposer pour ce poste le lecteur de l'École cathédrale 
de Christiania, Bernt Holmboe; (( mais en même temps de 
signaler Fétudiant N. Abel couime un homme qui par son talent 
pour les mathématiques et ses grandes connaissances scientifiques, 
pourrait être un candidat sérieux à cette chaire; que toutefois 
on ne pourrait, sans porter préjudice à ses études, le rappeler du 
voyage qu'il venait d'entreprendre à l'étranger, et qu'il ne 
semblait pas non plus aussi convenable de s'adresser à l'intelli- 
gence d'un jeune étudiant qu'à celle d'un maître plus exercé». 

Dans la lettre du Sénat au vice-chancelier de l'Université, datée 
du 10 décembre 1825, on lit, à propos de la même question, ce 
qui suit : « Conformément à l'avis émanant du département des 
alîaires ecclésiastiques, en date du 28 du mois dernier, et invitant 
le Sénat à faire une proposition pour la nomination à la chaire de 
Mathématiques vacante dans l'Université, le Sénat, d'accord avec 
ro[)inion émise par la Faculté de philosopliie, a Thonneur 
d'appeler l'attention sur deux hommes que leurs connaissances 
rendent tout-à-fait dignes d'occuper ce poste, savoir, le lecteur 
de l'École supérieure de Christiania, Bernt-Michael Holmboe, et 
l'étudiant Niels Abel. 



i\()Mr\.\Tr(»\ nr, ifor.MnfiF:. iy.\ 

» Lo promiiT, (]nns les huit nnnécs qu'il n passées comme 
Iccleur (l(î niatliématiques à ri*]colc supérieure, a fait preuve 
chaque jour d'une remnrqualîle capacité, et en même temps il a 
montré, [)ar les écrits qu'il a publiés, qu'il possède une connais- 
sance étendue et profonde des mathématiques. De plus, ayant 
depuis dix ans servi d'aide (*) au professeur Ilansteen, il est 
avantageusement connu dans fUniversité par la solidité de ses 
connaissances et son habileté. 

» Le Sénat a eu également l'occasion de connaître le rare talent 
de rétudiant Abel pour les mathématiques et ses grands progrès 
dans cette science, tant par les cinq années d'études qu'il a faites 
ici que par les mémoires qu'il a publiés. On devra seulement 
remarquer qu'il est actuellement absent pour un voyage à 
l'étranger, qu'il a entrepris Tété dernier, et que l'on ne pourrait 
maintenant lui faire interrompre sans porter préjudice à l'avance- 
ment de ses études; et en même temps le Sénat croit pouvoir 
conclure de la nature d'esprit d'Abel qu'il lui serait difficile de 
savoir accommoder son enseignement à l'intelligence des jeunes 
étudiants, et par suite qu'il ne pourrait pas enseigner les éléments 
des mathématiques, qui font l'objet principal de cette chaire, avec 
le même fruit qu'un maître plus exercé, tandis qu'il serait, au 
contraire, préférable pour lui d'occuper une chaire de hautes 
mathématiques, que l'on peut espérer avec le temps voir fonder 
dans notre Université. 

» Par ces raisons, le Sénat estime devoir recommander de 
préférence, pour la chaire vacante, la nomination du lecteur 
llolmboe; mais il considère aussi comme un devoir de faire 
observer combien, au point de vue de la science en général et 
de notre Université en particulier, il importerait que l'on ne 
perdît pas de vue l'étudiant Abel. » 

Gomment furent jugés plus tard, à un autre point de vue, les 
motifs allégués par le Sénat, lorsqu'ils furent connus du public, 
à la suite d'une explication du Sénat insérée dans le Morgcnblad 

(') Anmnuemh. 



54 NIELS-HENRIK ABEL. — | III. 

du 1G décembre 1829 et provoquée par une assertion de Boeck 
dans sa Note sur le nécrologe d'Abel rédigé par Ilolrnhoc, — on 
en pourra juger par les lignes suivantes envoyées par leur auteur 
au même journal le 15 février suivant. 

Cet article, Tœuvre probablement d'un jeune étudiant, nous 
semble devoir être reproduit ici dans son entier, comme une 
image caractéristique de Tépoque, servant à expliquer les relations 
qui régnaient dans notre Université. Cette pièce, seul témoignage, 
à côté de l'assertion de Boeck, qui constate que cette affaire ait 
alors ému Topinion publique, mérite bien qu'on lui accorde une 
place dans un tableau de la vied'Abel tracé pour ses compatriotes 
et pour le public Scandinave. 

L'article contient une attaque contre Holmboe, si toutefois 
elle ne s'adresse pas plutôt à Rasmussen ; mais nous pourrons le 
transcrire ici, sans que l'honneur de Holmboe en soit atteint. Car 
une leçon bien réussie dans la chaire ne constitue pas tout le 
mérite de celui qui enseigne, et quand même nous n'aurions pas 
d'autres témoignages sur les services rendus comme professeur 
par cet homme consciencieux et honorable, il nous suffirait 
surabondamment d'invoquer le témoignage d'Abel lui-même, dont 
il avait dirigé l'éducation scientifique dans la bonne voie et avec 
un tact réel. 

(( Autant j'ai reconnu vraie )>, dit l'auteur anonyme, (( la 
remarque du lecteur Boeck sur le nécrologe d'Abel par Holmboe, 
autant ma manière de voir sur ce sujet est peu d'accord avec 
l'article publié dernièrement par le Sénat dans le Morgcnblad et 
la Patrouille. 

y> C'a été sans doute l'intention du Sénat de démontrer la 
fausseté de l'assertion de Boeck, qu' « Abel, après avoir complété 
» ses études, n'a pas rencontré dans l'Université de Norvège les 
» encouragements auxquels son talent extraordinaire lui donnait 
adroit de s'attendre»; mais cette démonstration, à mon avis, 
n'est pas réussie. 

» Que depuis l'époque où Abel était étudiant, il ait été fait 
beaucoup pour lui, tant par la générosité de quelques particuliers 



NOMINATION I)K MOLMIlOi:. jfjj 

que par les secours de TEtat, c'est ce quon ne peut contcsler. 
Mais quel pouvait cire le but de ces encouragements, si Ton ne 
voulait pas arriver à une conclusion, en lui assurant à rUnivcrsiti; 
un traitement convenable, suivant le plan dressé autrefois? C'est 
certainement on grande partie à cause de ces encouragemenls 
qu'il s'était exclusivement consacré aux mathématiques, au lien 
de se choisir un gagne-pain quelconque, et il s'est ainsi trouvé 
dans une très désagréable position, en se voyant déçu dans ses 
espérances légitimes. 

y> On n'a pourtant pu concevoir l'idée d'encourager Abel à 
perfectionner son instruction en vue d'occuper une chaire dans 
une Université étrangère! Il me semble d'ailleurs vraisemblable 
que notre Université est trop jeune et trop pauvre en génies aussi 
élevés qu'était Abel. C'est pousser trop loin la libéralité que de 
dépenser en cadeaux ce dont on devra bientôt manquer soi-même. 

» Pourquoi Abel n'a-t-il pas été nommé professeur de mathéma- 
tiques pures aussitôt après la retraite du professeur Rasmussen? 

» 1° Parce qu'il était à l'étranger, et que Ton ne pouvait pas 
attendre son retour; 

» 2^^ Parce qu'il n'aurait pas su se mettre à la portée de l'intelli- 
gence des jeunes étudiants. — Telles sont les raisons que l'on donne. 

3) Quand la chaire en question devint vacante, Abel était déjà 
depuis six mois à l'étranger, et la durée totale de son voyage à 
été environ d'une année et demie. On n'avait par conséquent 
qu'une année à attendre. N'aurait-on pas pu s'arranger de 
quelqu'autre manière jusqu'à son retour? Le seul professeur 
titulaire de Chimie de l'Université était bien resté déjà plus 
longtemps à l'étranger; depuis, il a été envoyé en Danemark 
pour régler des comptes touchant les caisses de veuves; et pour- 
tant les deux fois on s'est tiré très bien d'atTaire en son absence. 

» 11 en est encore de même aujourd'hui, pour ne pas parler des 
absences qui se sont produites dans l'intervalle. Le seul professeur 
titulaire de MathématiK:{ues de l'Université est depuis plus d'un 
an en Sibérie, et l'on s'aide comme on peut pendant ce temps là. 

» Le premier motif ne paraît donc pas sufiisaiit pour avoir 



56 NIELS-HENHIK ABEL. — | III. 

nommé un autre à la place d'Abel et avoir ainsi enlevé à celui-ci 
toute occasion d'occuper une chaire dans rUnivcrsité de son pays. 

» L'autre motif était qu'il ne se serait pas mis à la portée de 
rintelligcnce des jeunes étudiants. 

» Et d'où savait-on cela, et quelle preuve avait-on à l'appui de 
ce jugement? 

y) Sans parler de plusieurs élèves qu'Abel a préparés à V examen 
ariium et à V examen pJdlosophiciim et qui ont déclaré que son 
enseignement était très clair, j'en ai moi-même fait l'épreuve. 
Après avoir passé inutilement deux années à suivre sans profit 
les leçons ex cathedra d'un maître, qui, lui, était médiocrement 
doué, je m'adressai à Abel, en le priant de m'ôler, s'il se pouvait, 
l'aversion pour les mathématiques qui bien mal à propos s'était 
emparée de moi à la suite de mes longs et infructueux efforts. 
Abel s'y prit avec moi de telle manière que je parvins en trois 
mois à me mettre à un certain point dans la tête l'algèbre, la 
théorie des fonctions, les principes de la théorie des équations de 
degré supérieur, ainsi que le calcul différentiel et intégral; je 
prenais même beaucoup de plaisir en appliquant le calcul différen- 
tiel et intégral à la démonstration des théorèmes de stéréométrie 
et de trigonométrie. 

» Dès lors je n'ai pas besoin de dire que je trouvais son 
enseignement très clair et sa méthode très pratique. 

» Tu n'es plus parmi nous, mon pauvre ami, et tu n'as pas 
besoin de l'appui de mes faibles paroles. J'aurais volontiers 
consacré encore quelques lignes à ta mémoire; mais des voix 
plus puissantes que la mienne ont déjà depuis longtemps rendu 
hommage à ton souvenir, et je dois me contenter d'ajouter que 
je n'oublierai jamais la bonne humeur et la cordialité que tu as 
toujours montrées dans les nombreuses et diverses situations où 
nous nous sommes rencontrés. » 



Les propositions de la Faculté de philosophie et du Sénat, de 
même que les raisons à fappui, peuvent nous paraître singulières, 



NOMINATION DE IIOLMIIOK. 57 

et po\U-(.Hrc incompréhensibles. Pour ne pas nous laisser 
entraîner à un jugement injuste, il faut nous reporter un instant 
en arrière, à Tépoquc où la chose était en délibération. 

Peut-être le choix de la bonne solution nous paraîtra bien 
autrement embarrassant alors qu'on ne serait disposé à le croire 
maintenant, avec notre nouvelle manière d'envisager les faits. 

Bien des raisons, en eiïet, portaient à supposer qu'Abel, comme 
le plus jeune, devait céder le pas à son maître habile et érudit. 
11 n'était pas encore parvenu à fixer sur lui l'attention du public, 
et bien moins surtout à la célébrité. Ses travaux scientifiques, 
comme nous l'avons vu, n'étaient pas exempts de taches, bien 
que d'autre part de nombreux indices parussent* indiquer que 
son œuvre promettait pour l'avenir, qu'elle serait même 
lumineuse. Chez le mathématicien juvénile on ne pouvait pas 
encore compter en toute sûreté que l'on rencontrerait cette 
prévoyante circonspection qui, quelque difiîcilemeut qu'elle se 
trouve unie avec l'audace et la fermeté inébranlable de concep- 
tion, n'en est pas moins exigée des hommes de science comme 
une qualité essentielle. Car le génie sans frein n'aboutit souvent 
qu'à de longs et déplorables bouleversements. 

11 avait, à cette époque, obtenu certainement un grand résultat, 
un au moins, ou il était sur le point d'y mettre la dernière main; 
mais nous avons vu que de tous côtés on l'accueillait avec 
méfiance. Hansteen même, le puissant protecteur d'Abel, chez 
qui l'échec du jeune débutant n'avait pas altéré l'opinion favo- 
rable qu'il avait conçue sur sa capacité mathématique, Hansteen, 
dans la lettre de recommandation qu'il avait écrite à l'occasion 
de la demande de la subvention de voyage, n'avait pas dit un 
seul mot de son remarquable mémoire sur l'équation du 
cinquième degré, qui aurait dû, au contraire, être cité comme le 
plus puissant titre en sa faveur, si Hansteen avait cru pouvoir 
garantir qu'Abel ne s'était pas trompé une fois de plus. 

Parmi les objections qu'on avait faites à sa nomination, il en 
est une cependant qui mérite particulièrement d'être examinée 
de près : a On croyait avoir reconnu dans un côté de ses aptitudes, 



58 NIKLS-IIKNRIK ABEL. — | IH. 

une répugnance à se mettre à la portée de rintolligence des 
jeunes étudiants, d'oui! s'ensuivait qu'il ne pourrait pas enseigner 
les éléments des mathématiques, qui font Tobjet principal de 
cette chaire, avec le môme fruit qu'un maître plus exercé. » Il 
est possible que pendant quelque temps il n'eût pas su s'accom- 
moder à letat des connaissances de ses élèves, auxquels il aurait 
supposé plus de science qu'ils n'en avaient. Une telle illusion est 
souvent une pierre d'achoppement pour les esprits précisément 
les mieux doués, tant qu'ils n'ont pas acquis une pratique et 
une expérience suffisantes dans l'exercice même de leur ensei- 
gnement. Une chose, en attendant, est absolument hors de doute, 
quoiqu'il allègue modestement sa timidité : c'est précisément la 
clarté limpide et « naïve )> d'Abel, qui nous garantit que lui 
aussi, quand le temps serait venu, aurait rempli avec distinction 
ses fonctions de professeur. Toujours il avait soin de revenir sur 
les éléments quand les notions mathématiques étaient confuses, 
et de consulter les auteurs classiques quand il fallait éclaircir et 
creuser plus avant le sujet. Avec cette manière de voir relative- 
ment aux causes principales, qui font gaspiller tant de forces, et 
aux conditions du véritable progrès, il aurait rapidement appris 
l'art d'adapter son talent hors ligne au niveau intellectuel des 
étudiants. Plus tard, chargé de l'enseignement de l'Astronomie 
pendant le séjour de Hansteen en Sibérie, il ne faisait pas comme 
ceux qui accablent les étudiants de développements mathémati- 
ques; il en donnait le moins qu'il lui était possible. 

Quant à Holmboe, il se trouvait dans la position fausse qu'avait 
causée la non-élection d'Abel, et aussi longtemps qu'il ne se voyait 
pas délié par la création d'une chaire en faveur de celui-ci, il y 
restait engagé malgré lui. Avec les liens d'amitié qui l'attachaient, 
après comme avant, à son illustre élève, il lui avait été certaine- 
ment pénible d'obstruer pour l'avenir la carrière d'Abel. Mais 
Holmboe, il faut s'en souvenir, fut appelé par l'Université; c'est 
lui qui fut désigné, et non son disciple. Sans doute Hansteen, le 
bienveillant protecteur des deux concurrents, a fait valoir en 
faveur de son aide préféré l'idée avec laquelle plus tard il voulut 



I 



NOMINATION DE IIOI.MIIOK. TiO 

encourager Abcl — pour lui procun^r un instant de consolation 
et crospoir, — celle do la création, dans un avenir pas trop lointain, 
d'une nouvelle chaire de mathématiques. Cette idée avait été 
aussi indiquée expressément dans la proposition du Sénat pour 
la nomination à la chaire vacante. 

La tradition raconte d'ailleurs, que cela soit vrai ou non — et 
cela confirmerait une fois de plus, s'il en était besoin, les 
relations si exceptionnellement amicales ({ui ne cessèrent jamais 
de subsister entre l'ancien élève et le professeur, — elle raconte, 
dis-je, que Holmboe aurait voulu renoncer à sa candidature au 
profit de celle d'Abel. Personne, sans aucun doute, à cette époque 
n'était mieux à même d'apprécier l'éminent talent scientifique de 
son disciple, bien que certainement il ne pût encore deviner 
quelle hauteur il avait atteinte déjà et devait encore dépasser plus 
lard. Homlboe n'aurait cédé que devant la menace qu'on aurait 
faite de s'adresser à un étranger. Ce dernier détail est peu 
croyable, et ce n'est probablement qu'un embellissement ajouté 
au récit. Car si l'on donnait la préférence à Holmboe, ce n'était 
pas certainement que, malgré la tournure malheureuse donnée 
par la Faculté et le Sénat aux motifs à l'appui de leur présentation, 
ces deux corps fussent inflexiblement opposés au choix du 
second candidat; on le trouvait seulement trop jeune et trop 
inexpérimenté. 

C'était le 16 janvier 1826. Abel était précisément occupé à 
sa correspondance avec Holmboe. Il rédigeait pour celui-ci ses 
remarques critiques et d'une grande portée concernant les imper- 
fections que présentait alors l'état des mathématiques, et les 
réformes fondamentales qui restaient à faire. Il était à l'instant 
même en train de choisir un exemple pour faire clairement voir 
quelle circonspection il faut apporter dans les raisonnements. 

A ce moment entre un compatriote, qui lui apporte la nouvelle 
définitive, mais non imprévue, de la nomination faite à la chaire 
vacante du candidat proposé par fUniversité, le lecteur Holmboe. 

Les lignes suivantes, simples et naturelles, nous montrent 



GO NIELS-HENRIK AHEL. — | III. 

comment Abcl accueillit la nouvelle, si peu propre à le réjouir, 
d'un événement qui semblait pour toujours lui fermer la carrière 
au profit de son ancien maître. 

((J'en étais à ces mots», écrit-il en continuant sa lettre, 
(( quand Maschmann est entré chez moi; et comme je n'avais pas 
reçu depuis longtemps des lettres du pays, je me suis arrêté pour 
lui demander s'il n'avait pas quelque chose pour moi; car c'est 
lui qui m'apporte toujours ma correspondance; mais il n'y avait 
rien. C'était lui au contraire qui avait reçu une lettre, et entre 
autres nouvelles il m'a raconté que toi, mon ami, tu es nommé 
lecteur à la place de Rasmussen. Reçois mes plus sincères 
félicitations, et sois très certain qu'aucun de tes amis ne s'en 
réjouit plus que moi. Tu peux bien croire que j'ai souvent 
souhaité un changement dans ta situation ; car rester maître 
dans une école, c'eût été horrible pour quelqu'un qui s'intéresse 
si vivement à sa science. 

» Et maintenant tu vas t'occuper sérieusement de te choisir une 
bien-aimée, n'est-ce pas?» 

Abel — après avoir envoyé des salutations à ses amis — 
reprend son exemple commencé. Cet exemple est d'ailleurs 
remarquable en ce qu'il a été particulièrement signalé (par 
Dirichlet) comme un témoignage de la finesse d'esprit de son 
auteur. 

La lettre se termine par ces mots : d Je désirerais bien être à 
la maison; car je m'ennuie terriblement. Ecris-moi enfin une 
longue lettre sur toute espèce de choses. Dépeche-toi vite, aussitôt 
ma lettre reçue. — Demain j'irai au théâtre voir la Belle Meunière. 
Adieu, salue mes connaissances. Ton ami 

» N.-II. Abel. » 

La lettre suivante à M'"® Hansteen est écrite du même jour 
qu'il envoya sa lettre de felicitation à Holmboe. C'est un petit 
billet, évidemment inséré dans une autre lettre, occupant la 
moitié d'une page in-octavo, et écrit en long et en travers. 

(( Je vous suis tellement attaché, chère M"'^ Ilansleen, que je 
ne puis me dispenser de vous envoyer au moins quelques courtes 



LK l'HILOSOlMIK UK(iKL. 61 

lignes. iMais aussi soyez bonne pour moi. Je crains tellement que 
vous ayez cessé de Tùtrc, car je n'ai encore reçu aucune nouvelle 
de vous, et je serais si heureux d'en recevoir! Cependant j'ai bon 
espoir; car ma bien-aimce m'a écrit que vous aviez Tintention 
de m'honorer d'une petite lettre. J'ai aussi une autre raison 
d'espérer : j'ai rêvé cette nuit que j'avais reçu une lettre de vous, 
et il m'est impossible de ne pas croire que mon rêve ne se réalise 
pas; il me semble que j'étais si content ! 

y> Hier j'ai vu la favorite de votre mari, M'"*^ Seidler, dans la 
Belle Meunière, et elle était vraiment charmante. — Quand vous 
écrirez à votre sœur, M'"® Frederichsen, n'oubliez pas de la 
saluer de ma part. J'ai longtemps eu l'intention de lui écrire, 
car elle me l'avait permis; mais je ne sais trop si j'oserai le 
faire. — Elle est un peu difficile, et je me considère en vérité 
comme un grand lourdaud (^). N'oubliez pas non plus de saluer 
votre mère ainsi que ]\P Rosenstand. — Il me tarde beaucoup 
d'avoir des nouvelles de Norvège. Imaginez-vous que je n'ai pas 
reçu de réponse de ma bien-aimée à mes deux dernières lettres; 
aujourd'hui j'en écris une troisième. Je suis vraiment un peu 
inquiet, mais je rejette encore la faute sur la poste. — Aux fêtes 
de Noël je suis allé au bal chez le conseiller intime Grelle; mais 
je n'ai pas osé danser, bien que je fusse élégamment mis comme 
je ne l'avais jamais été. Me voyez-vous tout neuf de la tête aux 
pieds, avec un double gilet, un col empesé et des lunettes? Vous 
devez trouver que je commence à suivre les avis de votre sœur; 
j'espère être complet quand j'arriverai à Paris. Je voudrais bien 
y être allé et être de retour au pays ! C'est pourtant si singulier 
de se trouver au milieu d'étrangers! Dieu sait comment je pourrai 
y tenir, lorsque je me trouverai séparé de mes compatriotes! 
Cela aura lieu au commencement du printemps. — Saluez enfin 
Charité bien cordialement, ainsi que ma sœur et mon frère. J'ai 
écrit à celui-ci il y a trois semaines par l'intermédiaire de ma 
bien-aimée. Il doit avoir reçu ma lettre. Je lui ai fait mes 

(') En stor Trompeter. 



62 NIELS-HENUIK ABEL. — | 111. 

meilleures exhortations. Je veux espérer que tout ira pour le 
mieux. Il y a en lui un fond de bon naturel; mais il a honte. — 
En cela je lui ai bien ressemblé, mais je ne suis pas si roide. 

» Adieu, chère madame, et deux petits mots de réponse, ou je 
n'oserai plus vous écrire. 

» Votre 

» N. Abel. » 

Le post-scriptum suivant est écrit en travers sur la première 
page : 

« Dans ma lettre au professeur, Dieu sait que c'est bien invo- 
lontairement, j'ai peut-être employé des expressions qui peuvent 
lui avoir déplu. Soyez mon avocat dans cette affaire, et excusez-moi 
le mieux que vous pourrez. Portez-vous bien et saluez Charité. y> 



Par un singulier effet du hasard, Abel, avec ses deux compa- 
gnons de voyage, était venu se loger dans la maison même 
habitée par Hegel. Son adresse était Kupfergraben, n*" 4, dans le 
voisinage de la Sprée. Au-dessous d'eux, d'après les récits, était 
un débit de bière; à l'étage supérieur résidait le philosophe 
allemand. Cependant Abel lui-même ne dit rien de cette coïnci- 
dence dans ses lettres à Hansteen ou à Holmboe. 

Les deux philosophes menaient là côte à côte, chacun dans sa 
direction spéciale, leur existence laborieuse : Abel tantôt lisant 
sans interruption et en masse les gros in-quarto qu'il était allé 
chercher dans les bibliothèques, et y découvrant des vices de 
déduction; d'autres fois, plongé dans ses méditations ou occupé 
sans relâche à les rédiger. Au-dessus de lui, un autre monde 
de pensées, construisant de vastes et obscurs systèmes, mais 
probablement n'ayant aucun soupçon que dans la même maison 
habitait un génie de la force du sien. 

C'était à ce moment, d'après le récit de Boeck, qu'Abel se 
voyait arrêté tout à coup dans ses recherches — pendant ou peu de 
temps avant l'impression d'un de ses Mémoires pour le Journal. 
Une difficulté insoluble s'était rencontrée sur son chemin et le 



I.i: l'IllLOSOI'llK UKC.El. 63 

inottait au désespoir. Il est assez probable que c'était la lacune 
existant dans la démonstration de son mémoire sur Téquation 
du 5" degré, et dont il venait de sapercevoir tardivement. Peut- 
être sétait-il encore trompé, et il ne restait plus de son édiiiec 
qu'un château en Tair ! 

Une nuit où il s'était mis au lit agité et incapable de dormir, 
toujours, toujours pensant, il lui vient tout à coup une idée : 
c'était le mot de l'énigme. Dans le transport de sa joie, il alla 
réveiller Boeck, qui dormait tranquillement, pour lui raconter son 
heureuse découverte nocturne. Toutefois il ne voulut pas suivre 
l'avis judicieux de son camarade, d'allumer une bougie pour 
coucher sur le papier la découverte qui venait le tirer de peine. 

Ce qui confirme encore davantage notre conjecture au sujet de 
la difficulté, cause de l'effroi d'Abel, ce n'est pas seulement 
rindication de Boeck, désignant cette direction, mais surtout la 
circonstance que le mémoire en question est le second dans 
l'ordre des travaux publiés à cette époque, tandis que ceux qui le 
précèdent et qui le suivent immédiatement ne semblent pas 
contenir de passages assez scabreux pour avoir arrêté si longtemps 
un Abel. 

11 n'était pourtant pas absorbé exclusivement par ses médita- 
tions mathématiques et ses profondes études. Dans la colonie 
on s'égayait aussi par des causeries et des discussions. Tank 
étant venu pour manger, à la mode de Norvège, les crêpes de 
Noël (*) avec ses compatriotes présents à Berlin, les discussions 
prirent bientôt une tournure plus élevée et plus philosophique. 
Tank, assis sur un tabouret au milieu de l'appartement, dévelop- 
pait des idées sur la philosophie naturelle qui lui avaient été sans 
doute inspirées par Steffens, auprès duquel il avait été les chercher 
à Breslau, et chez qui il était logé dans ce moment. Abel se 
promène autour de lui, souriant, mais silencieux. Bientôt il 
entreprend l'orateur, en le serrant de près par son inexorable 
logique, et le forçant à se retirer dans ses retranchements de plus 

(^) Bouillie de gruau. 



64 NIELS-HIÎNRIK ABEL. — % Ul. 

en plus étroits. — A Totage au-dessus, le grand philosophe est 
assis, méditant. 

Parfois cependant Tentretien devenait assez vif et assez bruyant 
pour gêner un peu le voisin d'en haut, qui envoya prendre des 
informations par sa femme de service. ïl s'imaginait que les 
joyeux sauvages qui habitaient juste au-dessous de lui se prenaient 
aux cheveux. Un jour que le tapage était trop violent, il demanda 
à l'hôtesse quelle espèce de gens c'étaient qui logeaient au-dessous 
de lui. (( Des étudiants danois », lui répondit-on. «Des Danois, 
non! des ours de Russie (')! » répliqua le sage hors de ses 
gonds. 



Souvent Abel était d'humeur triste, bien qu'il cherchât à le 
dissimuler, nous dit Boeck, par une gaieté affectée et par un 
extérieur indifférent. Peu de personnes étaient pleinement 
admises à sa confidence, et dans la manifestation de son 
véritable caractère, il se montrait extrêmement réservé; ceux 
qui l'approchaient de plus près le connaissaient ou le jugeaient 
mal. Bien que son voyage à l'étranger fût pour lui une grande 
distraction, et qu'il se trouvât, à Berlin, très satisfait de l'accueil 
aussi agréable que profitable qu'il recevait chez Crelle, il n'en 
éprouvait pas moins de fréquents et violents accès d'une sombre 
mélancolie. 

Il restait parfois des journées entières immobile et silencieux, 
triste et inactif. Quand on lui demandait ce qui lui manquait et 
s'il était malade, il répondait seulement : « Je suis sombre » . 

Déjà, peu de temps après son arrivée à Berlin, on avait été 
informé dans la colonie que Rasmussen serait nommé caissier 
public, et qu'il en résulterait une vacance des fonctions qu'il 
allait quitter. Naturellement, on s'intéressait pour Abel. Cepen- 
dant Abel lui-même trouvait convenable et naturel que Holmboe 
passât avant lui. D'après une phrase d'une lettre d'Abel à Hansteen, 

{}) Nicht D^nen; es sind russische Bâren' 



TIWSTKS l'RNSKKS. (\Vt 

sur liuiuelk' nous revicudrous [dus laid, on peut du reste conclure 
que, dans la correspondance entre Boeck et ce dernier, il y a eu 
aussi sur ce sujet quelques mots échangés, dont le contenu, 
après un intervalle de tant d'années n'a pu laisser aucun 
souvenir précis. 

Rarement, esl-il dit dans les réflexions de Boeck dont nous 
avons déjà parlé ('), rarement Abel paraissait avoir une lueur 
d'espoir qu'on lui assurerait une position suflisante ; le plus 
souvent toutes les représentations qu'on lui faisait ne parvenaient 
pas à le ramener à la gaieté. A sa table de travail il cherchait 
l'oubli de ses pensées sur l'avenir; ensuite il se levait de bonne 
humeur et l'esprit content. La satisfaction d'avoir mis au net 
telle ou telle proposition sur laquelle il avait travaillé, lui faisait 
oublier pendant quelques instants le monde extérieur : il était 
parfaitement heureux. 

Nous avons vu dans quelles conditions de gêne, il avait grandi 
et accompli ses études universitaires; au commencement de sa 
vie d'étudiant, il n'avait subsisté que par la bonté et la compassion 
d'autrui. Après la mort de son père, sa famille s'était dispersée; 
sa sœur Elisabeth avait été recueillie dans la maison du conseiller 
d'état Treschow, et auprès de cette excellente famille elle se 
trouvait bien sous tous les rapports. 

Mais quant à sa mère et à ses frères, aussitôt qu'il fut en 
état de se suffire à lui-même, il eut, avec ses minces ressources, 
sinon à les entretenir, du moins à leur venir en aide dans leur 
malheureuse position. Il n'y a donc pas lieu de s'étonner qu'il ait 
contracté avec plusieurs amis des obligations et des dettes, 
surtout avec l'infatigable générosité de Holmboe et l'affection 
maternelle de M^"« Hansteen. 

L'époque où nous sommes a été certainement un de ces courts 
instants de bonheur relatif, et l'on n'entend plus pour le moment 
de plaintes directes; on saisit seulement un reste d'impressions 
du temps passé, qui se font jour dans ses lettres à ses plus 



(^) Note lil Holniboes Nckrolog. 



6G NIELS-HENRIK ABEL. — § III. 

intimes amis. Mais dans la position dilTicile où il pouvait se 
retrouver encore, à son retour dans son pays, ce petit pays 
pauvre et nouvellement ouvert à la culture intellectuelle, où il 
n'y avait pas de place pour ses plans à haute portée et pour ses 
mathématiques transcendantales, ce soulagement, d'un instant 
peut-être, ne pouvait lui permettre d'écarter de son esprit les 
préoccupations do l'avenir. 

Un motif qui ne contribuait pas peu à provoquer ces accès de 
tristesse, c'est qu'il était fiancé depuis 1824, année de son départ 
de Christiania. C'était nous l'avons dit, à une demoiselle danoise, 
Christine Kemp, qu'il avait lié son avenir incertain, et il lui était 
attaché, d'après ce que nous apprend Boeck, par une tendresse 
plus vive qu'il ne voulait le faire paraître devant la plupart de 
ses connaissances. 

Pour se préparer un avenir plus tranquille, — en admettant 
toutefois que cela fût réellement compatible avec la tendance 
abstraite de son esprit et son puissant amour de l'étude, avec les 
promesses de son passé, avec son ensemble d'idées profondes et 
de plans pour l'avenir, — on ne devait pas non plus s'attendre à 
voir Abel se résoudre sans de violents combats à devenir infidèle 
à sa vocation. Jamais maintenant, malgré la misère et le besoin, 
il n'aurait pu abandonner entièrement la science pour laquelle 
il était créé et mis au monde, et renoncer à la passion qui avait 
pénétré dans toutes les profondeurs de son être. 

Après une jeunesse passée dans l'extrême misère, il avait 
maintenant en perspective une vie de privations, pour lui et pour 
celle à qui, dans les illusions trompeuses de la jeunesse, il avait 
enchaîné sa destinée. Personne n'avait une juste idée de ce qu'il 
était et de ce qu'il pouvait créer. Peu de gens s'intéressaient à lui. 
Tout ce qu'il avait conçu et exécuté de grand trouvait à peine 
une petite place. 

Comment alors pourrait-il produire son œuvre dans le monde, 
si pas une main ne se tend pour l'aider? 



ni'FLEXioNS ivr SOUCIS. ()7 



IV 

Réflexions et soucis. Les matériaux amassés. — L'esprit 
et la méthode des recherches d'Abel. 

a Glière madame Hansteen, 

}) Par ma lettre au professeur, vous pourrez voir où en sont 
mes affaires. J'ai de plus une prière à vous adresser. Vous avez 
été toujours et à Texcès si bonne pour moi! Dieu vous bénisse! 
n'oubliez pas non plus mon frère. J'ai grand'peur qu il ne tourne 
mal. S'il avait besoin que je lui donnasse davantage, j'oserais vous 
prier de lui remettre quelqu'argent de plus. (Juand les cinquante 
spd. (*) seront finis, je ferai en sorte de vous en ïa'we parvenir 
d'autres, si à l'avenir vous êtes assez bonne pour vous charger 
de lui administrer cette somme et de la lui distribuer comme 
vous le trouverez convenable.... Quand vous le verrez, faites-lui, 
je vous prie, mes amitiés et recommandez-lui de m'écrire; il 
pourra envoyer sa lettre par ma bien-aimée, qui en prendra soin; 
ou, ce qui vaut encore mieux, qu'il me l'envoie non affranchie. — 
... Je vis d'ailleurs très tranquille et passablement occupé; mais 
je sens de temps à autre de terribles accès de mal du pays, qui 
sont encore empires par la désolante rareté des nouvelles de chez 
nous. Ma chère sœur se trou ve-t- elle bien? Je la salue de toute 
mon âme. Et la charmante, l'excellente Charité, je lui souhaite 
de tout cœur une bonne santé. Adieu, chère madame Hansteen. 
Je ne puis plus en écrire davantage; je suis tout à fait mélan- 
colique. 

:s> Adieu, et ne soyez pas fâchée contre moi; je dois vous 
sembler un peu singulier. » 

C'est ainsi que s'exprimait le géomètre attristé, au mois de 

(i) 277 francs. 



68 MKLS-HEMUK M\FA.. — ^ IV. 

décembre 1(825, et le contenu de celte lettre nous donne un 
aperçu des embarras et de la position pénible, que nous ne 
pouvons pénétrer (ju'imparfailement, et qui Tenveloppait, lui et sa 
fiiinille dispersée de tous cotés, et que, endetté lui-même, il 
s'efforçait de secourir avec ses minces ressources. La situation 
maintenant n'était rien moins que brillante, et il ne pouvait se 
distraire de ses tristes pensées que par les obligatioiis de la vie 
en commun avec ses joyeux camarades, par un travail de spécu- 
lation opiniâtre, et avant tout par la fréquentation pleine de 
gaieté et d'instruction du cercle de la tlimille Crelle. Il éprouvait 
des alternatives de prostration complète et d'incapacité de tout 
acte intellectuel, auxquelles succédait une tension d'esprit 
soutenue et appliquée aux grands problèmes qui Foccupaient 
jour et nuit. 

Nous allons aussi changer de sujet, et laisser là les soucis 
d'Abcl pour entrer dans sa chambre de labeur. 

Abel, tout triste et découragé qu'il soit, continue à travailler 
pour le Journal nouvellement fondé. Les matériaux qu'il a mainte- 
nant amassés, il les indique en quelques lignes, incluses dans une 
lettre de Keilhau au professeur Hansteen. Dans ce billet, daté du 
30 janvier 1826, on lit ces mots : « Le Journal va bien. En avril 
vous recevrez le premier cahier. Vous verrez que je travaille de 
toutes mes forces; il y aura chaque fois trois ou quatre mémoires 
de moi. » 

Il revient encore sur le même sujet, quelques jours plus tard, 
dans une lettre à Holmboe. Après avoir fait remarquer que ce 
premier cahier paraîtrait dans un mois (^), il ajoute qu'il a six 
méuioires tout prêts, parmi lesquels le mémoire précédemment 
remanié et rédigé à nouveau, sur l'impossibilité de résoudre 
algébriquement les équations générales d'un degré supérieur au 
quatrième. 

Mais il ne s'agissait pas seulement de mémoires plus ou moins 

(*) C'est-à-dire vers la fin de février, car en avril, à cause de l'interruption des 
communications avec notre pays, causées alors par le mauvais temps, aucune 
livraison de journal ne pouvait arriver jus(iuà Christiania. 



l'HO.IFTS d'aVI'MH. 69 

étendus, pnMs pour riiiiprcssioii, ou n'attendant plus que la 
rédaction définitive. D'autres travaux considérables, auxquels il 
n'avait pas encore trouvé Toccasion de mettre la dernière niain, 
étaient conçus déjà dans leurs principales parties, et il éprouvait 
un vif désir de les voir publiés; il ne s'agissait pas le moins du 
monde des recherches sur le calcul intégral, qui avaient été si 
hautement appréciées à Christiania et que Ilansteen, entre autres, 
avait mentionnées honorablement dans la recommandation écrite 
par lui à propos de la demande pour Abel d'une subvention de 
voyage. Ces travaux perdus, sur lesquels, vers la fin de sa courte 
carrière — après avoir doté la science de tant de richesses d'une 
impérissable valeur — il se plaisait lui-même à revenir, il en 
parle déjà dans le même sens à l'époque où nous sommes, dans 
le billet de la lettre de Keilhau. 

« Si je pouvais trouver un éditeur», dit-il, «je voudrais aussi 
faire imprimer mes recherches sur le calcul intégral ; mais ce 
sera probablement assez difficile; car ces choses-là, surtout ici 
en Allemagne, sont peu recherchées. Cependant je vais voir ce 
que je pourrai obtenir avec l'aide de Grelle. Il m'a fait espérer 
que cela ira tout seul, aussitôt que j'aurai écrit divers articles 
dans le Journal. Je commence, à cause de cela, par mes meilleurs 
mémoires. Cela me permettra de ne pas craindre le manque de 
matière pour le moment. S'il m'était seulement possible de voir 
tout cela imprimé! Mais ce n'est pas, dit-on, chose facile. Si le 
Journal n'avait pas été fondé, c'aurait été encore pis. )) 

Les recherches en question, trop volumineuses pour être 
admises dans le Journal de Mathématiques, concernaient, d'après 
Hansleen, «une exposition méthodique perfectionnée du calcul 
intégral», et coïncidaient entièrement, avec ce qu'Abel, long- 
temps après, indiquait lui-même (dans une Note (^) sur son grand 
mémoire posthume et inachevé. « Précis, etc. y>) comme un 
des buts principaux de ses travaux. Il s'exprimait en ces termes : 
(( J'ai fondé sur ce théorème une nouvelle théorie de l'intégration 

(') l'âge 355 du 1^' volume de ses Œuvres (p. 550, l. I de la 2« édition). 



70 NMKLS-HENniK AIUÎL. — | IV. 

des formules différentielles algébriques, mais que les circonstances 
ne m'ont pas permis de publier jusqu'à présent. Cette théorie 
dépasse de beaucoup les résultats connus ; elle a pour but d'opérer 
loiitcs les réductions possibles des intégrales des formules algé- 
briques, à Taide des fonctions algébriques et logarithmiques. On 
parviendra ainsi à réduire au plus pelit nombre possible les 
intégrales nécessaires pour représenter sous forme finie toutes 
les intégrales qui appartiennent à une même classe. » 

A côté de ce travail de l'avenir s'en plaçait encore un autre, 
qui devait être déjà bien avancé pour la partie essentielle, bien 
que, à ce moment,, il n'en fût plus question dans ses lettres. Au 
milieu de ce labeur de rédaction sans relâche, il avait dû sans 
doute renvoyer aussi cette tâche à des temps meilleurs. C'était la 
Théorie des transcendantes elliptiques. 

L'idée fondamentale d'Abel, Tinversion des transcendantes, a 
pu, comme nous l'avons montré, être suivie en remontant jusqu'à 
l'été de 1823, où elle se présente d'abord sous une forme 
imparfaite. Et c'est probablement vers l'époque qui nous occupe, 
mais en tous cas peu de temps après, que de nouveaux et 
importants progrès se sont accomplis. En effet, tandis qu il est 
encore occupé, avec ardeur et patience dans d'autres régions de 
la science, et qu'il ne peut guère trouver de temps pour des 
recherches profondes, et par suite pour explorer ce domaine 
nouveau, on apprend tout à coup de Vienne, le 16 avril, 
— pendant qu'Abel se repose^ — que lorsqu'il sera rendu à 
Paris, il « achèvera ses affaires d'intégrales, ses fonctions 
elliptiques y etc. » 



Abel se disposait maintenant à quitter Berlin. C'était en partie 
pour ses travaux, afin de trouver plus de tranquillité qu'il n'en 
pouvait avoir au milieu d'un groupe si nombreux de compatriotes 
habitant ensemble; en partie aussi, certainement pour se 
distraire par le voyage et le changement de résidence des tristes 
pensées qui l'accablaient. 



m'iPAHi POUR rHKinEuc, 71 

Vers la fin do févrior, Koilhau,qui était encore une fois revenu 
à Berlin, devait retourner à Freiberg, où il continuait, ii 
rAcadéiuie des Mines, ses études géologiques. Dans sa visite de 
Noël, il engagea Abel ù venir avec lui, et ainsi le départ fut 
décidé. Après un petit détour en passant par Leipzig, les deux 
amis continuèrent leur route vers la ville des mines. Abel resta 
là un mois pour rendre à Keilhau sa visite, et principalement, 
d'après ce qu^il nous apprend, pour revoir un mémoire considé- 
rable, destiné à être imprimé dans le Journal. Il récrivit lui mémo 
en allemand, ajoute-t-il, — passablement fier de ce premier 
essai, — il avait fait usage auparavant de la langue fran(;aisc, et 
Grelle lui servait de traducteur — (c et cela fut imprimé comme 
il Pavait écrit. » 



Probablement il s'agit ici du volumineux Mémoire n'^ VI du 
tome l^^ (*) des Œuvres complètes. Il est, en ce qui touche la 
publication et aussi la rédaction définitive, d'une date antérieure 
au problème dît binôme, dont nous avons déjà parlé à propos 
d'une circonstance précédente, parce que ses études avaient été 
dirigées de ce côté. Il n'est pas possible, du reste, de déterminer 
l'époque de la composition de ces mémoires avec plus de précision; 
peut-être appartiennent-ils tous les deux à la période de Freiberg; 
car le voyage de vacances qui suivit cette période ne permit pas 
le repos nécessaire pour un travail scientifique si important. 

Dans les lignes suivantes, nous allons donner au lecteur une 
idée du contenu de ce travail de Freiberg, et en même temps 
nous indiquerons aussi quelles étaient à cette époque les autres 
questions dont Abel s'occupait. La nature de ses recherches 
ressortira de nos éclaircissements, bien que les détails mathéma- 
tiques qui seront sous-entendus ne soient pas à la portée de tous 
les lecteurs. Les projets grandioses, la hardiesse du plan et 
l'habileté de l'exécution pénétreront peut-être, malgré l'obscurité 
de mainte expression, dans l'intelligence du lecteur attentif, et 



(*) N^XI du tome l*"" de la seconde édition. 



72 NIELS-HKNRIK AIîKI,. — | IV. 

c'est là le seul et unique but des développements que j'entre- 
prends. Certainement aussi, dans ces recherches si lointaines et 
si spéciales, la vigueur de l'esprit scientifique et de la méthode 
pourra être clairement reconnue dans Tensemblc, par ceux-là 
mômes qui ne peuvent prétendre à se trouver chez eux dans ces 
régions abstraites. 

Dans ce paragraphe (et dans la première moitié du suivant) on 
trouvera de nombreux et longs développements, confinant à 
l'extrême limite de l'exposition populaire. Mais, par des motifs 
qui seront ensuite expliqués plus au long, nous nous voyons ici 
contraint, pour une partie relativement la plus considérable, 
d'interrompre la narration toute simple, et d'entrer dans des 
détails qui ne pourraient être compris dans toutes leurs parties 
que par un cercle étroit de lecteurs. Ce n'est pas une petite tâche, 
nous le savons, que nous imposons à la bienveillante patience de 
nos lecteurs étrangers aux mathématiques. A celui, du reste, qui 
préférera sauter par-dessus les parties trop abstraites, nous 
conseillerons de passer à la conclusion du paragraphe suivant qui 
traite des liaisons entre les recherches d'Abel et celles de Jacobi; 
ou mieux encore au tableau des relations entre Abel et Gauss, et 
à ce qui se passa lors de la dispersion de la colonie et du départ 
pour le voyage dans le Sud. 

Dans ce Mémoire, le premier mentionné, il traite donc un 
vaste cas particulier appartenant aux travaux déjà commencés, 
mais jamais publiés en entier, sur le calcul intégral, qui était un 
des principaux objets de ses recherches. Il reprend, avec certaines 
restrictions et pour l'étudier dans une tout autre direction 
qu'auparavant, cette intégrale hyperelliptique d'autrefois, au 
moyen de laquelle il était parvenu à la périodicité double et 
plusieurs fois double, — travail important, bien qu'imparfait, sur 
lequel nous avons déjà plus haut appelé l'attention. 

Cette intégrale n'était pas seulement une généralisation des 
intégrales élémentaires, savoir, des intégrales algébriques et 
logarithmo-circulaires, correspondant à des racines de poly- 
nômes d'un degré non supérieur à ^; c'était même une générali- 
sation étendue des intégrales de la catégorie suivante, les 



MKMoiuE i)F, rnKiiiKiu;. 73 

intégrales elliptiques. Pour celles-ci, le tiegro du polynôme ne 
dépasse pas 4-; mais elles peuvent aussi être considérées comme 
renfermant les précédentes comme cas particulier. Si Ton franchit 
maintenant ces limites, on entre dans un domaine extrêmement 
vaste, otfrant une richesse infinie de formes, et qui a été désigné 
plus tard sous le nom collectif de transcendantes hyper elliptiques. 

G(^s transcendantes, ù leur tour, sont comprises dans le 
domaine des intégrales ahélicnncs, intégrales dont Abel projetait 
d'étudier les réductions et les caractères avec détail, après avoir 
décrit leurs propriétés fondamentales dans son théorème d'addi- 
tion, non encore publié (*). Ainsi ces transcendantes et plus 
encore les nouvelles intégrales de classes supérieures répondaient, 
dans un ordre parallèle, aux équations de degrés supérieurs de 
Tanalyse algébrique, branche des mathématiques si peu cultivée 
jusque-là. Les fonctions elliptiques, au contraire, n'avaient pour 
termes de comparaison que les équations cubiques et biquadrati- 
ques, équations que, depuis le temps de la Renaissance, on avait 
appris à résoudre; et enfin, en tant qu'on pouvait les concevoir 
comme représentant les intégrales élémentaires qui en sont des 
cas particuliers, elles correspondaient également aux équations 
du premier et du second degré. 

Pour entreprendre l'étude de ces intégrales ultraelliptiques, on 
dépassa ainsi de nouveau le nombre-limite habituel 4, au delà 
duquel on avait si rarement osé s'aventurer. Un Gauss et un 
Lagrange avaient déjà fait, dans cette contrée inconnue, des 
conquêtes pour la science, surtout le premier par sa belle théorie 
de la division du cercle; mais les plus heureux succès obtenus 
dans ces domaines et la découverte capitale des richesses qu'ils 
renferment appartiennent à Abel. 

Cependant cette vaste généralisation exigeait encore des déli- 
mitations et un ordre fondé sur de nouveaux caractères de 
division et sur de nouveaux principes. Ceux-ci ne devaient pas 



(') T. II, no X [i" édition); écrit avant le voyai^c d'Abel, et non publié par lui 
même, avec un seul grand théorème. 



74 NIELS-IIENRIK ABEL. — | IV. 

être établis d'après des relations extérieures et accessoires, mais 
d'après la nature et l'essence intime di^s choses, et reposaient 
nécessairement sur un examen poursuivi jusque dans les plus 
menus détails. 

Ainsi, s'affranchir toujours de plus en plus de toutes les 
restrictions arbitraires, qui sont les instruments d'une science 
encore imparfaite; trouver les vraies lignes de démarcation et 
déterminer les limites avec le contenu qu'elles renferment, là où 
régnait auparavant une généralité sans nom : telle est la marche 
qui s'impose à un moindre degré, il est vrai, dans l'étude des 
problèmes ordinaires, mais qui devient une nécessité impérieuse 
pour celui qui s'attaque aux grands problèmes, aussi bien que 
pour le naturaliste établissant une classification rigoureuse. C'est 
en même temps un moyen fécond pour obtenir sûrement des 
résultats encore plus étendus. 

Une telle délimitation du sujej;, choisie pour une étude systé- 
matique des intégrales abéliennes, a consisté d'abord à considérer 
exclusivement les intégrales hyperelliptiques. En d'autres termes, 
Abel n'admettait aucune irrationnalité supérieure à un seul 
radical carré, tandis que la quantité soumise à ce radical pouvait 
être d'un degré quelconque. En outre, il étendait la restriction 
en exigeant que la fonction rationnelle contenue dans Texpression 
fût entière (*). 

De cette classe d'intégrales, qui restait encore extrêmement 
étendue, il détache maintenant toutes celles qui, par leur 
caractère exclusivement logarithmique, appartiennent en quelque 
sorte improprement à cette classe et qui continuent à en conserver 
la forme extérieure, mais qui, en réalité, sont de rang inférieur : 
manière de procéder tout à fait rationnelle, dont on pouvait 
attendre quelle fournirait des moyens pour l'étude niême des 
subdivisions plus élevées, comprises dans ce domaine de trans- 
cendantes tout entier. 

Dans le plan d'Abel est comprise, sans doute, une séparation de 

RI . 

(1) T. I (2'' édit.), n" X, p. 105, lig. 5 on rem., au lieu de , liser, f>. 



MKMoir.i: \)E rui:ii{i:u(;. 75 

toutes les formes inférieures, des formes algébriques et des formes 
loj^arilhmo-cycliques, aussi bien que des formes elliptiques; mais 
Texposilion et lexamcn complet de cette classification dans une 
mesure plus large sont renvoyés à des temps phis tranquilles. 

Cependant tandis qu il groupe silencieusement ses matériaux, 
il restreint en apparence son problème par une nouvelle condition 
préalable. Il exige encore un résultat d'intégration ayant une 
forme unique, indiquée et particularisée avec précision (*), et 
profitant des moyens de secours qu'il a arlistement ménagés, il 
résout alors le problème. Finalement il fait l'application de sa 
métbode aux intégrales elliptiques (^). 

Ce détour, comme nous l'avons déjà remarqué en passant, 
n'est qu'un échelon dans une déduction méthodique, fondée sur 
des considérations supérieures, et appartenant aux diverses 
généralisations du problème de Freiberg, qui étaient réservées 
pour Favenir. Car il ajoute, en terminant, que la condition d'un 
caractère fondamental logarithmique en général, même dans le 
cas de la plus haute extension, n'apporte aucun changement 
dans la construction intime des formes d'intégrales déduites (^). 
C'était donc une réduction des conditions aux extrêmes limites, 
combinée d'avance et établie par des études de plus en plus 
profondes ; il ne s'agissait nullement d'une particularisation forcée, 
trahissant la nécessité de battre en retraite devant des difficultés 
insurmontables. 

De telles généralisations d'un problème et de la solution de 
problèmes plus restreints se rencontrent souvent intercalées, sans 
démonstration, dans les travaux d'Abel ; elles font voir de combien 
de temps habituellement ses découvertes étaient en avance sur 
leur rédaction en un mémoire achevé; elles montrent aussi 
combien étaient vastes les questions dont il s'occupait, et qui 
même dépassaient en ampleur et en audace les nombreux et 
gigantesques problèmes qu'il lui fut donné de mener à bonne fin; 



(1) Page 105. 
(«) PageUe. 
(3) Page U3. 



76 MELS-HKNFUK AIŒL. — § IV. 

quelquefois elles dépassaient bien ce qui pouvait être réalisé avec 
le secours des moyens connus de son temps. Ces généralisations 
sans démonstrations, combinées avec les parties développées de 
ses déductions, nous ouvrent une vue générale sur une méthode 
à la fois ingénieuse et féconde, grâce à laquelle les délimitations 
et les restrictions rationnelles seront discutées avec le plus grand 
soin, et une réduction plus simple préparera les recherches 
suivantes. Aucune simplification ultérieure ne peut donc plus se 
réaliser, et Timpossibilité de la pousser encore plus loin devient 
dès lors un moyen auxiliaire de démonstration. 

Sa manière de poser les problèmes n est pas moins impor- 
tante ni moins caractéristique; elle est telle qu'il y a toujours 
ainsi une réponse à donner à chaque question, et cette réponse 
fût-elle même négative, constituera un progrès dans la solution 
d'un problème plus général. Ainsi une question de possibilité 
étudiée avec circonspection précède la discussion détaillée des 
problèmes. 

Durant son séjour à Freiberg, il parvint encore à faire faire à 
la théorie des équations algébriques un nouveau progrès. Au 
fond, ce progrès était de la même nature que celui dont nous 
venons de parler. De même, en effet, qu'il avait déterminé la 
forme d'une classe d'intégrales hyperelliptiques réductibles 
logarithmiquement, de même il cherchait maintenant, dans 
certaines circonstances particulières, à déterminer la forme des 
racines, de façon qu'une équation de degré supérieur fût 
algébriquement résoluble. Il considéra en particulier l'équation 
du cinquième degré à coefficients numériques rationnels, pour 
laquelle il résolut complètement le problème. 

Il énonça en même temps un résultat nouveau qu'il avait 
obtenu sinmltanément, sans toutefois l'accompagner d'aucune 
démonstration. Crelle, avec qui il resta toujours en correspon- 
dance suivie, en eut communication dans une lettre à ce sujet, 
datée du \A mars, et Abel ajoutait qu'il avait trouvé des 
théorèmes analogues pour les équations des degrés 7, M, 13, etc. 



COHKKSPONDANCF DES ÉQUATIONS ET DFS INTÉGRAI.KS. 77 

Ainsi iiiio ccM'tainc iiniti; d'idéos relie entr(; eux les travaux 
(I'AIk^I à Freibcrg; ils se coordonnent ensemble comme les 
anneaux d'une même chaîne de pensées, qui devient de plus en 
plus visiblti. Des modes semblables de représentation sont 
appliqués à des problèmes faisant partie, à première vue, des 
domaines de recherches mathématiques les plus éloignés les uns 
des autres. 

Si les équations algébriques ne sont pas ioiiles résolubles par 
radicaux, on pouvait poser cette question : comment doivent-elles 
être constituées pour que la résolution soit possible, et particu- 
lièrement quelle forme doivent avoir les racines algébriques de 
ces diverses classes d'équations de degré supérieur? D'autre part, 
si les intégrales elliptiques ou hyperelliptiques ne sont pas toutes 
intégrables algébriquement ou logarithmiquement, de quelle 
manière ces intégrales mêmes, ou certaines espèces déterminées 
d'entre elles, doivent-elles être particularisées (savoir, en premier 
lieu, au point de vue de la forme extérieure) pour qu'une telle 
réductibilité puisse s'effectuer? 

Telle était la marche que suivaient alors ses pensées. 



78 ISIELS-HENRIK ABEL. — ^ V 



V. 

Sur les grands travaux qui se préparaient, 

et sur leurs liaisons avec les recherches antérieures de Legendre 

et les recherches subséquentes de Jacobi. 

L'importance des révolutions scientifiques — il nous est 
permis de les nommer ainsi — qui étaient maintenant immi- 
nentes, non seulement dans le domaine de l'analyse algébrique, 
mais principalement dans cette partie des mathématiques dont 
Abel, par son idée de Tinversion, tira d'une manière aussi 
inattendue une source abondante de développements de nouvelles 
fonctions, si remarquables par leurs propriétés, — fimportance, 
disons-nous, de ce sujet nous ramène à nous occuper de nouveau 
à cette place des travaux plus considérables qui se préparaient, 
et de leurs relations, pour ce qui regarde fétude des intégrales, 
avec les travaux plus anciens de Legendre, et les recherches 
postérieures de Jacobi. 

Le passage à un maniement plus détaillé des problèmes, où 
les sommes d'intégrales tiennent la place de fintégrale isolée — 
de même que des sommes ou d'autres combinaisons d'espèces 
différentes des racines tiennent la place de la racine isolée, — 
n'est pas éloigné du cercle d'idées où Abel se mouvait actuelle- 
ment; d'autant plus que ses études sur les intégrales se ratta- 
chaient de près à ses profonds travaux algébriques, et qu il avait 
déjà, à Christiania, découvert son théorème d'addition. 

Il y avait longtemps, en outre, que la double périodicité dont 
jouissent les fonctions elliptiques avait été trouvée ('). Et cette 
découverte se présenta d'abord comme un fruit de l'heureuse 



(*) Tome I, n" VII; écrit avant les voyages et non public par Abel. Ici se trouve 
l'inversion et une périodicité multiple. 



idée qu'Aboi avait conçue dans sa première année d'étudiant, 
savoir, Tinvcrsion des inté^^ales elliptiques elles-mêmes, après 
que le domaine ultraelliptique correspondant, par une marche 
ascendante du procédé analytique, eut été l'objet de ses tentatives 
de description. Durant une longue suite d'années, ces mêmes 
intégrales avaient été, dans les directions les plus variées, le 
sujet dos recherches de Legendre, sans que l'esprit du vieux 
maître eût pu accueillir une idée comme celle de rattacher leurs 
combinaisons fondamentales, provenant d'une inversion, à celles 
des fonctions trigonométriques et exponentielles, ou, en d'autres 
termes, avec les transcendantes les plus élémentaires de la 
science mathématique. 

Un problème d'un grand intérêt liistorique, appartenant à ces 
recherches spéciales sur les intégrales, et dont la généralisation 
et la solution sous la forme ainsi généralisée devait jouer un rôle 
prépondérant dans la future théorie des /mictions elliptiques, avait 
été posé dans le siècle précédent par Landen. Plus tard ce pro- 
blème fut discuté avec grand soin par Legendre et Lagrange. 
C'était donc le problème, depuis longtemps élaboré, de la transfor- 
mation elliptique, ayant pour objet de ramener les intégrales 
correspondantes à d'autres semblables, mais de modales différents. 

Sur ce point aussi, malgré tout le travail qui s'y était dépensé, 
on était loin d'une méthode rationnelle de solution adaptée à la 
nature du sujet, et d'une conception du problème lui-même, plus 
idéale et se rattachant à la question. On n'avait pu résoudre 
jusque-là qu'un petit nombre de cas particuliers; le point de 
vue était étroit, et les efforts tendaient plutôt, suivant les idées 
d'autrefois, à faciliter le calcul numérique à l'aide d'échelles mo- 
dulaires et de tables, qu'à instituer une étude des propriétés 
caractéristiques, avec ou sans égard à toutes les conséquences 
pratiques. 

Pour opérer en pleine conformité avec l'esprit abélien, il 
fidiait s'élever au-dessus de ces considérations étroites et poser 
le problème de la transformation dans sa plus vaste géncrnlité. 
Naturellement cette intégrale était traitée sous une des formes 



80 NIELS-HKNHIK AbEL. — | V. 

normales, au moyen desquelles toutes les transcendantes d'ordre 
inférieur — les logarithmes et les arcs de cercle — peuvent 
déjà être regardées comme exclues. Car, pour obtenir cette 
irréductibilité, qui dans toutes les recherches d'Abel joue un rôle 
d'une si évidente importance, et que Fauteur emploie d'une façon 
si magistrale comme moyen de démonstration, il suffisait dès lors 
de mettre de côté certaines valeurs-limites des constantes conte- 
nues dans l'intégrale; en poussant ensuite plus loin le développe- 
ment, ces restrictions, si on l'exige, pourront être levées. — Le 
but d'Abel n'était donc pas, comme le but primitif de Jacobi, de 
trouver la substitution isolée d'ordre supérieur à l'aide de laquelle 
pouvait s'effectuer la transformation de l'intégrale, ou d'obtenir 
cette transformation en même temps que sa complémentaire (^). 
En profitant des moyens dont il disposait, Abel s'attaqua immé- 
diatement à la solution complète du problème, en cherchant 
toutes les substitutions, les imaginaires aussi bien que les réelles. 
11 ne s'en tint pas non plus, dans le cours de son travail, à la 
considération des substitutions rationnelles; il admit aussi les 
irrationnelles, et plus tard il supposa même un nombre quelconque 
de fonctions elliptiques (^). Ainsi, du problème de la transforma- 
tion pour les intégrales les plus simples, il parvint finalement 
à la solution de tous les cas restants, et, par suite, à ceux de la 
seconde et de la troisième espèce (^). 

Le mode de procéder d'Abel, lorsqu'il attaque son problème de 
Freiberg (^), rappelle déjà les moyens que Jacobi devait employer 
plus tard pour arriver à son principe de transformation. On y 
opère sur des expressions de même nature; on différentie et l'on 
éli'mine d'une manière entièrement pareille; pareillement aussi 
on détermine ce qui se rapporte à la divisibilité et au degré. Mais 
avant tout, dans les deux cas, l'attention est appelée sur les 



(') C'était là, en effet, à l'origine, le but de Jacobi. 
(2) Voir Recherches, etc., n" 49 (1"^ édit.). 

{^) Voir le Mémoire XVIII (même édil.) : Th-nrème général sur la transformation 
des fonctions elliptiques de la seconde et de la troiaiè.uc espère. 
(*) T. 1, n^" XI, les deux ou trois premiers paragraphes. 



Auiii. r.i JACoiM. 81 

racinos vl sur lu ropivsonlaliuii dos polynômes sous Inrino do 
produits. l\)ui' un ^oouiotro aussi oniiiiont que Jacobi, ridée do 
généraliser la lli(''ori(^de la translbrination de Legendre ne pouvait 
manquer de lui venir à Tesprit, quand un problème comme 
celui de Freiberg venait d'être traité avec succès. 

De cet excellent mémoire, rédigé, comme plusieurs des précé- 
dents travaux d'Abel, avec quelques longueurs, Jacobi a dû plus 
tard tirer profit, de môme qu Abel, tout récemment, s'était servi (*) 
du Cours ŒAnahjsc de Cauchy. Car, pendant que le géomètre de 
Kônigsberg, suivant le récit de Diriclilet, cherchait vainement à 
puiser des idées nouvelles dans la lecture du grand ouvrage de 
Legendre, et qu'il s'apprêtait déjà à quitter ce travail ingrat, il 
lui vint, dans un champ de recherches voisin du sien, des idées 
grandes et fécondes. En môme temps, les moyens d'exécuter ce 
plan se présentèrent avec toute la clarté désirable. 

Dans le cours de mars 1827, c'est-à-dire une année juste après 
f époque en question, alors qu'un certain nombre de mémoires 
d'Abel, parmi lesquels son travail de Freiberg, avaient depuis 
longtemps été livrés à la publicité, le jeune privatclocent de 
Kônigsberg découvrit son principe de transformation, et, comme 
il résulte d'une communication faite plus tard à Legendre, c'est 
par là que lui fut ouverte la voie qui le conduisit ensuite à la 
théorie de la transformation. 

Mais bien que cette découverte préliminaire ne fût pas sans 
relations avec les idées initiatrices du géomètre pour lequel, peu 
de temps après, il exprimait une si haute admiration (et dont il 
avait su mieux et plus tôt que personne apprécier les travaux), il 
se produisit cependant dans l'ensemble de la méthode pour traiter 
le problème, des divergences graves; car, ce n'est que dans 
les préliminaires, et si Ton veut, dans les premières opéra- 
tions servant de point de départ, que Ton peut distinguer un 
lien clairement perceptible qui rattache les deux auteurs. Et des 
fondements donnés — parmi lesquels ces travaux d'Abel devaient 

(»)N«XIV, j;2. 



82 NIELS-HEMUK ARF.L. — ^ V. 

occuper une place jusque-là inaperçue — dclachcr les idées, les 
transformer pour les nouveaux besoins, concevoir non seulement 
Vidée d'une si haute généralisation de la théorie de la transfor- 
mation de Legendre, mais encore, avec les moyens à sa portée, 
pousser aussi loin ses recherciies, — cotait là bien réellement 
foire un pas considérable. Ce pas n'eût pu être fait, si Jacobi, 
dans ses longues recherches sur les sources, n'eût pas approché 
de très près du même objet. 

De même, les idées ahéliennes, si inattendues et si isolées 
qu'elles se présentassent, on pourrait, moyennant une connais- 
sance approfondie de l'histoire et des auteurs (peut-être aussi des 
écrivains les plus modestes), les suivre dans leur filiation avec 
d'autres cercles d'idées, en apparence entièrement étrangers. 
Car sans ces contacts, une influence intellectuelle ne peut être 
provoquée. Chez cet esprit richement doué, ces contacts sont 
devenus prodigieusement féconds; ils se sont transformés en 
problèmes pratiquement résolubles, et ont appelé à la vie mille 
idées nouvelles qui existaient en germe dans les profondeurs de 
son cerveau. 

Certainement les prophéties de Degen ont eu leur influence 
excitatrice sur tout l'ensemble de la direction scientifique d'Abel; 
l'art déployé par Lagrange pour traiter et pour exposer ses sujets, 
ainsi que les travaux réformateurs de Cauchy ont eu une part 
considérable dans sa méthode de recherches rigoureuse et correcte; 
le mystère impénétrable qui régnait sur la division du cercle de 
Gauss, et peut-être le doute exprimé par ce géomètre au sujet de 
la résolubilité des équations algébriques de degré supérieur 
l'ont excité à continuer ses efforts, et ont enrichi ses décou- 
vertes des plus beaux résultats. Mais ce sont avant tout les 
recherches de Lagrange et de Legendre et les germes d'idées 
nouvelles que son regard indépendant et scrutateur y voyait 
poindre, c'étaient aussi l'imperfection et l'infécondité sur tant de 
points des travaux de ces géomètres, c'étaient là les causes qui, 
plus que tout le reste, lui avaient donné l'impulsion pour les plans 
de campagne qu'il dressa et qui le guidèrent dans le droit chemin. 



AltKF. KT .lACOni. H'.\ 

Mais les clh)S('s se pass'TOiit ccrlaiiionionl tic la niêiiic manière 
pour Jacobi, en parliculier, dans ses rapports avec Abcl. 

Hien cpTil n'existe aucun document sur ce sujet, on ne peut 
douter (pie les découvertes d'Abel et particulièrement le mémoire 
de Freibcrg, n'aient vivement piqué l'émulation de Jacobi. Là 
était caclié un trésor d'idées, d'idées venant de contrées nouvel- 
lement découvertes, pour remplacer les vieilles idées tradition- 
nelles, usées depuis longtemps jusqu'à leurs dernières limites. De 
là devaient maintenant en jaillir de nouvelles. 

C'est là maintenant qu'il fallait chercher les modèles les plus 
précieux, non seulement pour leur choix, mais pour la manière 
de traiter, du moins dans les premiers pas, les problèmes impor- 
tants qu'il fut d'abord conduit à se poser, et dont la difficulté 
initiale finit par céder à la découverte de son principe de 
transformation. 

Pour Abel, cela va sans dire, c'était une idée toute naturelle et 
toute préparée d'exposer ce môme principe, si toutefois il ne 
l'avait pas déjà fait depuis longtemps, et des raisons que nous 
donnerons plus tard rendront cette supposition plus que probable. 
Il en serait de môme en général pour les problèmes de la môme 
nature que le problème en question, qui sans aucun doute 
étaient toujours à sa portée et tout préparés d'avance. 

Par ces voies, Jacobi fut maintenant amené à une généralisation 
de ces problèmes de transformation dont la publication dans le 
journal de Schumacher — qui parut en septembre, mais qui 
portait les dates de juin et d'août, — enrichit d'une de ses plus 
belles théories l'édifice scientifique élevé par Legendre. 

Mais en dépit de l'importance de ce travail pour les fonctions 
elliptiques, qui allaient bientôt faire leur apparition, la brèche 
n'était pas encore ouverte pour l'entrée des idées nouvelles. 
L'esprit et le but étaient ceux de Legendre; le sujet traité, un 
théorème d'intégration se rapportant aux anciennes Iranscen- 
danics, et ayant pour objet essentiel une évaluation à l'aide d'une 
formation d'échelles. 



84 XirLS-HRNRIK AIJF.L. — ??; V. 

Pour ce qui est des relations entre la seconde de ses publica- 
tions dans le môme journal et les Becherches d'Abel qui Tout 
précédée, nous éclaircirons plus tard cette question. 

Les mémoires d'Abel à cette époque furent publiés dans le 
même Journal, récemment fondé, dans lequel Jacobi — abstraction 
faite des articles qu'il faisait paraître dans les Astronomische 
Nachrichlcnj — avait donné les premières preuves de ses hauts 
talents pour les investigations scientifiques. Sans doute la lecture 
des travaux du géomètre norvégien a dû exercer sur son émule 
une influence féconde, et c'est ce qui devient probable aussi en 
raison de plusieurs circonstances extérieures. Jacobi avait pareille- 
ment, dans sa première jeunesse, lutté avec Féquation du cinquième 
degré. Dans le nouveau Journal, il est le collaborateur d'Abel, 
presque depuis la fondation; tout récemment, il y avait inséré un 
article, avant môme qu'il eût publié dans un autre recueil sa décou- 
verte relative aux transformations; et dans le Journal, au moyen 
des recherches d'Abel (Sur l'équation du cinquième dcgrp), la 
question s'éclaîrcissait pour lui. Dans les œuvres de Legendre il 
prit connaissance de la théorie des intégrales elliptiques (qui ne 
lui suggéra aucune inspiration) ; puis, dans le Mémoire de Freiberg 
(œuvre d'Abel), il trouve traitées des intégrales appartenant à 
des classes plus élevées, quoique soumises à Thypothèse d'une 
réductibilité à des fonctions logarithmiques; et justement dans les 
premières pages (§ 2), ces opérations fondamentales se dévelop- 
pent de manière que, avec une modification correspondante du 
but, elles donneraient le principe de transformation. Ce mémoire, 
inséré dans le troisième cahier du Journal ^ était déjà, suivant une 
lettre de Crelle, antérieurement au 12 avril 182G, entre les mains 
des mathématiciens de Berlin, et le jeune docent deKônigsberg, qui 
se livrait avec ardeur, mais sans fruits à l'étude de Legendre, n'a 
guère pu manquer l'occasion de lire ce mémoire, ou du moins de 
prendre connaissance des fondements posés dans les premières 
pages. Un grand problème, d'une haute généralité, était ainsi 
résolu, et pouvait certainement éveiller l'idée d'essais pareils sur 



y\itr,i, i;t .iacoi'.i. 85 

un tiM'i'aiii aiial(){;iie, qui ruussiraicut par des moyens semblables. 
Dans le (luatrirmc cabier du Journal, — qui, d'après une lettre 
écrite plus lard par Crelle (24 novembre 1820), était sous presse 
à cette date, et ne pouvait manquer d'être à la disposition du 
public dans les premiers mois de 1827, — il se trouve encore un 
autre mémoire d'Abel, mémoire que Jacobi doit sans doute avoir 
regardé avec intérêt. C'était le beau travail sur la formule 
binomiale. Dans ce travail, où Abel avait pris Gaucby pour 
modèle, on présente maintenant au cercle des lecteurs du Journal 
les imaginaires de Gauss et de Gaucby, celles qui autrefois étaient 
accueillies avec tant de frayeur par les matbématiciens, et 
que ceux-ci (y compris aussi Legendre) avaient tant de soin 
d'éviter. Gauss, Gaucby et ensuite le nouveau pionnier, Abel, 
quelque circonspects qu'ils fussent dans leurs raisonnements, en 
avaient fait bardiment usage, et en tiraient un grand profit. Chez 
un esprit sans préjugés et accessible aux grandes idées, tel 
qu'était Jacobi, cette semence ne pouvait que tomber dans un 
sol fertile. 

Ainsi sans aucun doute, Abel, par ses travaux, par le pouvoir 
inspirateur de ses propres idées, et indirectement aussi par celles 
qu'il reçoit, qu'il perfectionne, généralise et répand, a déjà 
exercé une influence sur son futur rival. Dans une certaine 
mesure assurément, il a donc eu lui-même sa part dans 
l'apparition de Jacobi l'année suivante, apparition signalée par 
le théorème de transformation publié dans le journal de Scbuma- 
cbcr, avec les conséquences qui en découlaient. Bien que le 
grand facteur fût ailleurs et à une plus grande profondeur, les 
idées stimulantes d'Abel ont pourtant commencé de bonne beure 
à faire sentir leur action. 



86 Mias-iiKM;iK auel. — | vi. 



VI. 

/ 

Abel et Gauss. 



Cependant le temps était venu de se remettre en voyage. Le 
séjour à Freiberg ne pouvait être considéré que comme une 
escapade aux environs de Berlin, et Tintention primitive avait 
été aussi de retourner dans cette ville; mais ce plan ne fut 
pas exécuté. Gottingue, le but spécial du séjour d'études d'Abel en 
Allemagne, il avait maintenant Tintention de le visiter; mais ce 
lieu lui inspirait aussi peu qu'autrefois le désir de s'y rendre. 

Nous avons parlé de la répulsion, de la rancune même à l'égard 
de Gauss, qui à cette période s'était emparée du jeune mathéma- 
ticien. C'est là un trait qui ne doit pas être passé sous silence 
comme un insignifiant détail. Cette aversion, jointe à son 
abattement d'esprit et au besoin qu'il éprouvait de la vie en 
commun avec ses camarades, était un puissant motif pour que ce 
qui s'était déjà passé se renouvelât encore. Et certainement, sans 
cela, beaucoup de choses auraient eu lieu tout autrement. 

Il y a lieu de croire aussi que les événements se sont déve- 
loppés en réalité de la manière la plus heureuse pour Abel. Ce qui 
lui avait fait défaut autrefois dans le cours de ses études, et qu'il 
venait de rencontrer maintenant dans les conditions les plus 
favorables, ce fut d'abord une place pour l'insertion de ses 
travaux, et ensuite des amis s'intéressant comme lui à la science 
et avec qui il pouvait échanger librement ses pensées. D'idées et 
d'impulsion, il n'en avait nul besoin. — On aurait peut-être, au 
cas où le plan primitif eût prévalu, soulevé des doutes sur la 
nature des rapports de ses travaux avec ceux de Gauss. 

Depuis longtemps déjà le grand géomètre avait fait d'impor- 
tantes découvertes sur ces fonctions transcendantes, qui furent, 



AIM'I. KT CAUSS. 87 

depuis, étudiées à fond par Aboi et Jacobi. L'intervention de ces 
derniers renipécba toutefois de rédiger ses rechercbes et de 
[îublier ses résultats, comme il avait la pensée de le faire, dans 
un ouvrage étendu : Abel surtout avait pris les devants sur 
lui('). 

Il est particulièrement remarquable que déjà, dans une lettre 
écrite à Schumacber, presque au commencement du siècle, le 
17 septembre 1808, on trouve ces mots : (c Peut-être je serais en 
possession de vérités qui pourraient servir à décider cette 
question (2). Dans le calcul intégral j'ai toujours trouvé un 
moindre intérêt, — lorsqu'il ne s'agit que de substituer, transfor- 
mer, etc., bref de pratiquer un certain mécanisme, exigeant de 
rbabileté, pour réduire des intégrales à des fonctions algébriques, 
logaritbmiques ou circulaires, — que celui que m'inspire la 
considération la plus exacte et la plus profonde des fonctions 
transcendantes qui ne peuvent pas se réduire à celles-là. Nous 
savons traiter les fonctions circulaires et logaritbmiques comme 
notre table de multiplication ; mais la splendide mine d'or où se 
cacbe l'essence des fonctions supérieures est encore, pour ainsi 
dire, une terra incognita. J'ai autrefois travaillé beaucoup sur ce 
sujet, et quelque jour je ferai paraître un grand ouvrage spécial, 
auquel j'ai Mt allusion dans mes Disqiiisitiones arithmcticœ, 
p. 593 (^). On est frappé d'étonnement par la luxuriante richesse 
de vérités et de relations nouvelles et du plus haut intérêt, que 
présentent ces fonctions, auxquelles entre autres appartiennent 
aussi celles dont dépend la rectification de l'hyperbole et de 
l'ellipse. )) 

Si l'on réfléchit à tout ce que renferment ces mots, écrits à une 
époque si ancienne par un savant si réservé dans ses assertions, 



(^) A la vérité, G.iuss certainement n'a pas pensé à Jacobi. Les pelites notes de 
celui-ci, incomplètes et ne répondant pas <à la généralité avec laquelle il possédait 
les choses, n'imposaient [las au grand géomètre. Aussi Gauss ne parle que d'Abel. 

(B.) 

(2) L'intégration d'une équation dilTérentielle proposée par Pedrayes et traitée 
par Pfatîdans les Archives («le Hindenburg, pour un cas particulier. 

(3) Opcra, t. I, p. 412, 



88 MKI.S-HKMîlK Al;i:i,. — I YI. 

et que Ton en rapproche les importantes déclarations formulées 
plus tard, ainsi que tout ce que Ton pourra conclure d'autre part 
des matériaux rassemblés dans ses Œuvres, il ne serait certaine- 
ment pas injuste de dire que, si Abel depuis le commencement 
de son voyage d'études se fût fixé à Gottingue (où il n'est jamais 
allé), alors, au détriment de sa gloire scientifique, et non sans 
des motifs graves en apparence, on aurait pu parler de l'influence 
immédiatement féconde du contact de Gauss. Dès lors lui, le 
disciple de talent, achevant et complétant ce que le maître avait 
commencé, aurait puisé à cette source ses meilleures idées. 

S'il n'a existé aucun contact personnel entre Jacobi et Abel, il 
n'y en eut non plus aucun entre Abel et Gauss. Des idées 
circulaient à ce moment; chez Gauss, elles arrivèrent le plus 
tôt à la maturité; mais elles furent mises au jour pour la première 
fois et utilisées plus complètement par Abel. A un degré éminent, 
bien qu'inférieur, Jacobi prit aussi part à ce travail; il sut 
néanmoins rattraper promptement son devancier, et bientôt après, 
à la mort d'Abel, se trouva par survivance placé à la tête du 
progrès de l'avenir. Mais entre les deux géomètres il ne fut 
jamais question de rapports personnels de maître à disciple. 

Même pour des hommes de science de rang inférieur, comme 
Degen, les idées qui circulaient dans l'air leur apparaissaient, et 
comme nous l'avons vu, Degen a été un guide qui a indiqué le 
but, sous une forme obscure et mal définie, au jeune élève de 
l'École cathédrale. Ces idées se sont-elles répandues en partant 
d'un centre unique et lumineux, ou se sont-elles indépendamment 
foit jour en maints endroits, parce que leur époque était prête à 
les recevoir? c'est une question qui ne paraît pas facile à décider. 

Cette aversion pour Gauss (comme celle qu'Abel conçut plus 
tard pour Cauchy) n'avait aucun rapport avec la haute position 
que ce savant illustre occupait dans la science. Abel reconnaissait 
ses mérites hors ligne, sans enthousiasme exagéré, mais en lui 
rendant toutefois pleine justice; et malgré une répulsion intime 
pour la personne de celui qu'il considérait comme tout à fait 
inabordable et possédé par l'orgueil, il n'en convenait pas moins 



ARKL i:t c.mss. 89 

qno a c'était cortainomcnt un i^raïul ^^rnic » . Kn œ qui touche 
Caucliy, pour (jui il nourrissait une senihlable aniuiosité, il lui 
adresse au Ibncl le couiplinient \c plus (latteur, dans cette phrase 
caractéristique: «C'est lui ({ui entend comment on doit traiter 
les mathématiques. » 

A regard de ceux pour lesquels il était personnellement mal 
disposé, jamais — à quehiucs criti^jucs près, lancées en passant 
contre le fanatisme dont Gauss était Tobjet — il n'a prononcé 
aucune parole tendant à rabaisser leurs mérites. Au contraire, 
toutes les fois qu'il exprime son opinion d'une manière précise, 
c'est toujours en termes élogieux, quelque naturel qu'il puisse 
être, dans de telles circonstances, de tendre à déprécier leurs 
lalents comme mathématiciens. Il n'est pas un penseur, consa- 
crant sa vie à la recherche de la vérité, et que le pouvoir de 
celle-ci trouve insensible, de quelque source qu'elle vienne; et il 
n'échappera pas à l'obligation de payer un certain tribut d'admira- 
tion à la vérité aussi bien qu'à celui qui consacre une vie de labeur 
à la mettre en lumière. .Malgré ce qui s'est passé entre eux, il est 
certain qu'Abel n'a jamais refus;';, — à contre-cœur, si l'on veut, 
mais, comme nous l'avons dit, avec sincérité, — de rendre à 
Gauss l'honneur qui lui était dû. Mais il n'en est résulté aucune 
liaison personnelle. 

Bien moins encore, cela va sans dire, se laissa-t-il entraîner 
avec ces troupes d'admirateurs par mode, pour lesquels la puissance 
d'attraction n'est pas tant la jouissance intellectuelle que fait 
éprouver un progrès nouvellement conquis, que l'éloignement, 
l'obscurité mystique avec le bruit croissant de la renommée. 
Cette adoration facile de l'imagination était certainement odieuse 
aux yeux d'Abel et le devenait d'autant plus qu'il s'agissait de 
Gauss ; il ne pouvait pas non plus considérer la chose au point 
de vue patriotique, comme un étudiant allemand, {.'idolâtrie (') 
dont le grand géomètre de Gôttingue était devenu l'objet parmi 
a les jeunes mathématiciens de Berlin » et en général dans 

(*) Vergôtterung. 



90 NIKLS-IIIÎMUK ADEL. — § M. 

((toute rAllomagnc », devait donc trouver dans Abcl un témoin 
rien moins que sympathique. 

Malgré la modestie qui se montre à un degré si remarquable dans 
les paroles d'Abel, il n'y avait cependant aucune raison de croire, 
à la hauteur qu'il avait déjà atteinte (avant que ses contemporains 
lui eussent rendu justice), qu'il se fût senti écrasé dans une mesure 
quelconque môme par les hommes qui tenaient le premier rang 
dans la science. Sur son terrain spécial, il marchait certainement 
en tête des chercheurs de son époque, et personne ne le devan- 
çait; comme penseur, il était leur égal. Etant lui aussi du petit 
nombre des élus, et comprenant par lui-même en quoi consistait 
la grandeur du génie chez un Lagrange, un Laplace, un Gauchy 
et leurs pareils, et non moins chez un Gauss — ce prince des 
mathématiciens, comme on Ta surnommé, peut-être sans injus- 
tice, — il estimait nécessairement très haut, comme nous le 
savons aussi, leur œuvre glorieuse. Mais on ne le voit jamais, par 
des éloges exagérés, inconvenants et compromettant sa dignité, 
se prosterner, comme un esprit subalterne, devant ceux que la 
science reconnaissait depuis longtemps pour ses chefs. 

Il n'admet pas non plus que qui que ce soit, pas môme Gauss, 
puisse se considérer comme étant lui seul « un abrégé de toute 
excellence mathématique. ï) La somme de talent comme savant et 
inventeur, comme vulgarisateur et professeur, qui peut donner à 
un seul homme un rang plus élevé quant à l'ensemble, n'entraîne 
en aucune manière sa supériorité dans chacune des branches en 
particulier. 

D'un autre côté cependant Abel, dans ses relations avec ces 
sommités scientifiques, se trouvait oppressé. Il venait dun pays 
où les conditions de la vie et du travail étaient plus simples et 
plus modestes. Avec son inexpérience et ses espérances légitimes, 
il ressentit d'autant plus le contact glacé de findifférence avec 
laquelle ces hommes regardaient son existence et fœuvre qu'il 
poursuivait malgré leur inattention. Le point d'attache personnelle, 
si important étant donné son caractère, manquait entre lui et la 
généralité des esprits voisins du sien à tant de titres; et il ne 



.Mu;r. F/r r.AUSS. 91 

possédait [las, non plus que. la faculté de les acquérir à un 
degré suflisant, ces qualités insinuantes qui lui auraient frayé 
la voie. Triste et chagrin, il se renfermait en lui-même, dans 
le commerce de quelques compagnons d'étude plus abordables, 
et dans la joyeuse vie avec ses camarades et ses amis peu 
exigeants. 

Quand il n'était qu'un jeune étudiant, aux premiers débuts 
de sa carrière, n'ayant pas encore acquis le sentiment complet de 
sa force, il se laissait entraîner, plus vite que maintenant, à l'en- 
thousiasme s'adressant directement à la personnalité môme. 11 
s'attachait de toute son âme à Degen, « le plus drôle de corps que 
tu puisses imaginer,..., un diable ». Bien que ce professeur n'eût 
pas une grande valeur comme mathématicien, c'était cependant 
un homme d'idées, peu claires sans doute, et par là il ne fut pas 
certainement sans influence sur Abel et sur son avenir. Avec cela 
il était toujours, ce qui l'emportait sur tout le reste aux yeux de 
son jeune ami, le cordial et hospitalier Degen. 

Plus tard, il parle également avec bienveillance du vieux 
Legendre, qui cependant l'oublia vite et pendant quelque temps 
cessa de le connaître; et de môme pour d'autres notabilités du 
temps. Mais pour les géomètres qu'il regardait comme entourés 
d'un double rempart d'orgueil, tels qu'un Gauss ou un Gauchy, — 
dont on ne pouvait approcher sans un ((blocus en règle», — pour 
ceux-là, avec sa nature chaude et un peu susceptible, il éprouvait 
de la répulsion. Avec la conscience de ce qu'il était, bien qu'on 
ne l'ait jamais vu, même en passant, chercher à se faire valoir, 
il y avait sans aucun doute en lui quelque chose qui l'excitait à 
l'opposition. Et ce qu'il renfermait en lui-même devant tous, se 
faisait jour quelquefois par une parole amère. 

La société des personnes âgées, qu'il fréquentait, ne partageait 
pas, cela va sans dire, le gaussianisme enthousiaste de la 
jeunesse berlinoise. Il est rare, en effet, que la renommée 
croissante d'un nom vanté, lorsqu'elle dépasse les bornes, n'attire 
pas la contradiction. Dans la société de Grelle, il était tout 
naturel qu'une fois ou l'autre on soutînt la seconde opinion; et 



92 NiKLS-iiENiiiK .\r.i:i.. — ^ VI. 

Ton disait que «sa manière d'exposer était mauvaise», ou encore 
qu' ^( il faisait comme le renard, qui eirace avec sa queue les 
traces de ses pas sur le sable (•). » — « Crelle dit», selon Abel, 
(( que tout ce qu écrit Gauss n'est qu'abomination (Gràxiel), car 
c'est si obscur qu'il est presque impossible d'y rien comprendre, s; 

En réalité, l'enseignement académique n'était pas le côté fort 
de l'éminent géomètre; ce qui dominait en lui, c'était le grand 
homme de science et le grand penseur. Mais pour ce qui est du 
reproche d'obscurité, on peut très bien le mettre sur le compte 
de la nouveauté des idées. Toute découverte avec laquelle on 
n'est pas familiarisé est obscure, avec quelque clarté qu'elle ait 
été inventée ou exposée. Un inventeur n'a pas non plus le temps 
de tout dire. Ce n'est pas d'ailleurs son affaire de divulguer de 
tous côtés, à l'aide des images les plus triviales, ce qu'il a créé 
et mis au monde; son devoir est surtout d'ouvrir la voie à de 
dignes successeurs qui pourront pousser plus loin ses idées et en 
faire une propriété plus à la portée d'une nouvelle génération. 

L'accusation d'obscurité et à' abomination était donc lancée 
contre Gauss, — le géomètre qui a toujours poursuivi avec le plus 
d'ardeur et de puissance la vraie clarté. — Elle atteignait aussi, 
comme nous l'avons déjà vu, Abel — le représentant de la clarté 
naïve et translucide, — et c'est Gauss qui a porté sur lui un tel 
jugement. En tous cas, la tradition l'affirme. 

Peut être cependant y a-t-il ici méprise; il est possible aussi 
que cette accusation ait été portée nmtuellement des deux côtés. 
Quoi qu'il en soit, il est difficile, môme pour l'esprit le plus clair- 
voyant, do pénétrer complètement dans de nouvelles conceptions 
d'une plus grande profondeur, provenant d'un cercle d'idées 
étranger, et de les apprécier tout d'abord avec justice; car il arrive 
bien rarement que, sur tel ou tel point, le lecteur insuffisamment 
préparé ne rencontre pas dans la démonstration une lacune infran- 
chissable, qui le force à suspendre son jugement, ou à refuser 



(*) Er macht es wie der Fuchs, der ivischt mit dem Schwanze seine Spuren im 
Sande aus. — Citation de Hanstecii à propos de la remarque rapportée dans la lettre 
(l'A bel. 



AIJl'L ET r.AlISS. 93 

ù Foiivrago iiiooniplMcnuMit expliqué, son onrournf^oanto appro- 
Lation. 

C/ost ainsi cortaincincnt que les choses ont eu lieu à l'occasion 
du nuMuoire d'Abcl, f|ui avait passé par les mains de Gauss. Il 
n'est nulliMuent besoin de supposer que le silence de ce dernier 
ail eu pour motif rindilTcrencc; celte indifférence, ou son 
mécontentement supposé^ dont nous avons si souvent parlé, 
a été plutôt une conséquence de ce que le grand géomètre 
n'avait à sa portée qu'une partie des fils conducteurs qui étaient 
restés entre les mains d'Abcl, et qui pouvaient relier les raisonne- 
ments plus solidement entre eux. Sans le comprendre, Gauss a 
mis de coté le travail trop peu développé. 

Gauss et Abel étaient des natures opposées, et, sans parler de 
la différence d'âge, il n'aurait guère pu s'établir entre eux de 
rapports bien intimes. iVbel était d'un caractère chaud, vif, franc 
dans ses propos, un bon et un gai camarade, qui ne pouvait pas 
se souffrir dans la solitude, mais qui souvent aussi était triste et 
chagrin ; franc et simple, il ne faisait aucun mystère de ses plans 
et de ses idées, bien qu'il cachât à autrui ce qui se passait dans 
les replis plus profonds de son âme. Gauss, autant que nous 
croyons avoir pu le comprendre, était une grandeur aristocratique, 
luimain au plus haut degré et réservé dans ses propos, calme 
dans ses démarches. Recherché de tous à cause de sa célébrité et 
contraint de lutter pour conserver son temps et ses idées (qu'il 
s'était vu en partie ravir sous ses yeux, sans que personne l'entendît 
exprimer aucune plainte ni aucune réclamation), il était assujetti, 
dans sa conduite et dans la communication de ses pensées, à 
d'autres conditions que n'était Abel, élevé dans des circonstances 
moins compliquées. Celui-ci, personne ne le remarquait, à 
tel point que c'est seulement vers la fin de sa vie qu'il fut conduit 
par les circonstances à prendre la précaution, tout à fait inusitée 
jusque-là, de dater des travaux — qui auraient bien pu lui être 
encore enlevés. Sans aucun doute c était la rigueur de ces règles 
de conduite qui valut à Gauss l'accusation imméritée d'être 
orgueilleux et inabordable. Pour accomplir l'œuvre de sa vie, il lui 



94 NIELS-HENRIK AP.rL. — | VI. 

fallait otre continucllen^ent sur la dolcnsive, et cela ne pouvait 
manquer de lui coûter un peu de sa popularité, d'ailleurs si 
grande. Car sans celte résolution d'éconduire les intrus de toute 
sorte, aux importunités desquels un homme devenu si illustre est 
continuellement exposé, les occupations auxquelles la vie du 
savant est attachée ne manqueraient pas d'en souffrir. 

Gauss, appréciant si haut, dans la suite, Tœuvre scientifique 
d'Abel, et renonçant si noblement à sa part des découvertes de 
son jeune émule ne peut être atteint dans son honneur par cette 
boutade de mauvaise humeur du mathématicien abandonné par 
la bonne fortune. D'autant moins que, sur les points principaux, 
tout reposait sur des malentendus, sur des propos insignifiants et 
mal justifiés dans les oppositions qui presque toujours se forment 
autour d'une éminente personnalité. S'il a pu d'ailleurs se montrer 
injuste envers Abel, en se refusant à admettre de prime-abord 
comme démontrées ses assertions d'une longue portée, il a 
depuis fait réparation par la haute estime qu'il a montrée pour la 
mémoire du mathématicien de Christiania. Bien qu il ne se soit 
pas laissé entraîner, comme Jacobi et l'octogénaire Legendre, à 
des manifestations de l'admiration la plus enthousiaste, qui choisit 
pour s'exprimer le mot le plus fort que la langue pût employer 
— ce qui n'eût pas été bien digne du rang de Gauss, ni bien 
conforme avec son caractère personnel, — la tranquille simplicité 
de ses paroles n'en témoigne pas moins sincèrement de la haute 
opinion qu'il avait du jeune géomètre. 

Bien des choses excusent aussi Abel, quand il lui arrivait à 
cette époque de donner cours à sa mauvaise humeur dans ces 
attaques contre Gauss. — Voici du reste quelques spécimens de sa 
disposition chagrine. 

« Je me déciderai probablement d , dit-il dans une lettre à 
Holmboe, « à rester à Berlin jusqu'à la fin de février ou de mars, 
et je me rendrai, par Leipzig ou par Halle, à Gottingue; non pas 
à cause de Gauss, car il doit être d'un orgueil insupportable, 
mais à cause de la bibliothèque, qui doit être excellente. A la fin 
de l'été j'irai à Paris. )) 



AHKL F/r CAllSS. 95 



« Gùlliiij^^ue ï), L'Ci'it-il dans une IclLrc antérieure, a Goltinj^ue 
a certaineuient une belle bibliothèque, mais aussi c'est tout ce 
qu'il y a; car Gauss, le seul dans celle ville qui sache quelque 
chose, est tout à fait inabordable. Il faut pourtant que j'aille à 
Giittiiigue, cela va de soi. » 

Plus tard aussi, dans son postscriptum à la lettre de Keilhau, 
il varie le même thème : « A Gottingue je ne ferai qu'un court 
séjour, car il n'y a rien à y récolter. Gauss est inabordable, et la 
bibliothèque ne peut être meilleure qu'à Paris. Il est probable que 
Grelle aussi.... » 



% MKLS-HENKIk AI5RI,. — ^ Ml, 



VII. 

Départ; réunion à Dresde. 

En outre de cette aversion contre Gauss, il y avait encore 
d'autres circonstances qui combattaient le dessein primitif d'Abel 
d'aller le voir à Gôttingue, et auxquelles n'était pas étranger 
l'échec de ses plans d'avenir. MoUer était venu à Freiberg; 
Keilhau, Boeck, Tank, bref toute la colonie, étaient sur le point 
d'abandonner Berlin et Freiberg pour entreprendre un voyage 
plus au sud, et d'abord à Dresde. Les amis d'Abel, à contre- 
cœur, allaient l'abandonner à lui-même; il tomba alors dans 
une profonde tristesse, et il fallut relever son moral. On décida 
en conséquence qu'il accompagnerait les autres, au moins jusqu'à 
Vienne. L'opinion fut qu'au mois de juillet ou d'août il continue- 
rait son voyage vers Paris, tandis que les autres se dirigeraient 
vers le midi. Le temps ainsi dépensé par de longues vacances, 
Abel le regagnerait par un travail d'autant plus énergique, quand 
il serait à Paris. 

Nous allons nous transporter maintenant à Dresde, — la ville 
des arts — ,où les membres dispersés de la colonie se rassemblent 
de nouveau, et nous terminerons ce lourd chapitre de labeur en 
mettant sous les yeux du lecteur la belle lettre qu'Abel adresse de 
cette ville au professeur Hansteen. Nous en avons déjà cité plus 
haut un passage détaché; nous le reproduirons ici néanmoins, 
parce que nous croyons qu'il ne faut pas pour cela interrompre 
la liaison du reste de la lettre. 

« Dresde, le 29 mars 1826. 

» iMonsieur et très honoré Professeur, 

» Mille remerciements du souvenir amical que vous m'avez 
envoyé dans la lettre de Boeck. J'étais vraiment inquiet, dans la 



i 



LliiTlU-: A UANSTEEN. 1)7 

dernière lettre que je vous ai écrite, de m'etrc exprimé d'une 
façon un peu singulière, et peut-être cela m'est-il arrivé en effet. 
En sonnne, je vous supplie de me regarder entre les doigts sous 
bien des rapports, surtout quand il s'agit de formalités. Vous 
m'avez pleinement trnnquillisé en ce qui touche mon avenir, et ce 
que vous avez fait là a été pour moi un véritable bienfait; car 
j'étais très inquiet, trop peut-être. 

y> Je me réjouis infiniment de rentrer dans ma patrie, et d'y 
trouver les moyens de travailler tranquillement. J'espère que cela 
finira par bien marcher. Les matériaux ne me feront pas défaut 
d'ici à plusieurs années; j'en récolterai aussi en voyageant; car, 
juste en ce moment, il y a une foule d'idées qui me trottent dans 
la tête. Les mathématiques pures, dans la plus pure acception, 
devront faire à l'avenir l'objet unique de mon étude. Toutes mes 
forces seront employées à porter la lumière dans la monstrueuse 
obscurité qui règne maintenant sans conteste dans l'analyse. 
Celle-ci manque si complètement de plan et de système, qu'en 
vérité il est on ne peut plus surprenant que tant de gens puissent 
se livrer à cette étude, et ce qu'il y a de pire, c'est qu'elle est 
traitée sans la moindre rigueur. On ne trouve que bien peu de 
propositions dans la haute analyse qui soient démontrées d'une 
manière incontestablement rigoureuse. Partout on rencontre la 
déplorable habitude de conclure du particulier au général, et il 
est extrêmement remarquable qu'avec cette manière de procéder 
on n'aboutisse que rarement à ce qu'on appelle des paradoxes. 

» Il est vraiment très intéressant de chercher la cause de ce 
résultat. D'après mes idées, cela tient à ce que les fonctions dont 
l'analyse s'est occupée jusqu'ici peuvent le plus souvent s'exprimer 
par des puissances. Dès qu'il s'en présente parfois d'autres — cas, 
il est vrai, qui ne se rencontre pas souvent, — les choses ordinaire- 
ment ne vont plus bien, et les fausses conclusions font naître 
alors un enchaînement d'une multitude de propositions inexactes. 
J'ai examiné à fond plusieurs de ces résultats, et j'ai été assez 
heureux pour tirer la chose au clair. Pour peu que l'on procède 
d'une manière générale, cela marche assez bien; mais j'ai dû 

7 



98 NIKLS-HKNRIK ABKL. — ^ VII. 

être extrcMnement circonspect; car les propositions une fuis 
admises sans démonstration rigoureuse (c'est-à-dire sans démons- 
tration) ont poussé dans mon cerveau de si profondes racines 
qu'à chaque instant je suis exposé à m'en servir sans examen 
suflîsant. Ces petits travaux paraîtront dans le journal publié par 
Grelle. 

))J'ai vraiment fait en cet homme la connaissance la plus 
excellente, et je ne puis assez remercier mon heureuse étoile 
qui m'a conduit à Berlin. Je suis, en vérité, un heureux 
mortel. Il y a cerlaineinent peu de gens qui s'intéressent à moi; 
mais ce petit nombre m'est infiniment cher, parce qu'ils m'ont 
témoigne une extrême bonté. Pourvu seulement que je puisse en 
quelque manière répondre aux espérances qu'ils ont fondées sur 
moi! car il doit être bien dur de voir ses bienveillants efforts 
dépensés en pure perte. 

» Il faut que je vous raconte une offre que Grelle m'a faite avant 
mon départ de Berlin. Il voulait décidément m'engagcr à rester 
à Berlin, et me dépeignait les avantages dont je pourrais jouir. Si 
je consentais, il m'offrait la rédaction du Journal, qui vraisem- 
blablement arrivera à se suffire à lui-môme au point de vue 
économique. Il me parlait de cela vraiment comme d'une chose 
qui lui tenait fort au cœur; mais, naturellement, j'ai refusé. 
Cependant j'ai dû envelopper ma réponse de certaines formes, en 
disant que j'accepterais s'il m'était impossible de trouver à vivre 
dans mon pays, comme je désirais le pouvoir faire. Pour conclure, 
il ajouta qu'il réitérerait son offre aussitôt que j'en exprimerais le 
désir. Je ne saurais nier que cela m'ait vivement flatté. Mais aussi 
n'était-ce pas une très belle offre? Une chose qu'il me fallut 
cependant lui promettre, c'est de repasser par Berlin avant de 
terminer mon voyage à l'étranger, et cela peut aussi avoir pour 
moi les plus grands avantages. Il m'a, en effet, promis très 
positivement de me procurer un éditeur pour mes mémoires de 
grande étendue, et cela, remarquez bien, avec des honoraires 
considérables. D'abord il avait été décidé entre nous que de temps 
en temps nous publierions en commun un recueil de travaux de 



f 



LKTTRi: A IIANSTKKN. Oi) 

longue haleine, et que cette publication comnienccrait immédia- 
tement; mais, on y réfléchissant mûrement, et après avoir pi'is 
l'avis d'un libraire (jui avait offert de se charger de la vente, il 
nous a paru plus convenable d'attendre que le Journal fût com- 
plètement en train. Quand je reviendrai à Berlin, j'espère que 
notre plan pourra se réaliser. Est-ce que ce n'est pas magnifique, 
et n'ai-je pas raison de me féliciter de mon voyage à Berlin? Il est 
bien vrai que dans cette visite je n'ai rien appris d'autrui; mais 
ce n'était pas non plus ce que je considérais comme le but essentiel 
de ma pérégrination. Lier des connaissances, c'est là le but, en 
vue de l'avenir. N'êtes-vous pas de mon avis? 

» A Freiberg, où je me suis arrêté un mois chez Keilhau, j'ai 
fait la connaissance d'un jeune mathématicien plein d'ardeur, un 
frère de Neumann qui a été en Norvège. C'est un homme très 
aimable, et nous nous harmonisons bien ensemble. 

» Vous demandez, dans votre lettre à Boeck, ce que je veux 
aller faire à Leipzig et dans les Provinces Rhénanes; mais je 
voudrais bien savoir ce que vous allez dire quand je vous aurai 
appris que je vais voyager à Yienne et en Suisse. J'avais d'abord 
projeté de me rendre en droite ligne de Berlin à Paris, espérant 
faire ce trajet en compagnie de Crelle; mais il a eu des empêche- 
ments, et j'en suis réduit ainsi à voyager seul. Or j'ai été créé 
jadis de telle façon qu'il m'est impossible ou du moins extrême- 
ment difficile de rester seul. Je deviens alors tout à fait mélanco- 
lique, et ce n'est pas précisément la meilleure disposition pour 
pouvoir produire quelque chose. Je me suis dit alors : Ce qu'il y 
a de mieux pour toi, c'est défaire avec Boeck, etc., un tour à 
Yienne, et je puis aussi prendre cela sur moi, à ce qu'il me semble; 
car à Yienne il y a Littrow, Bùrget autres. Ce sont réellement des 
mathématiciens distingués; joignez à cela que je n'aurai pas l'occa- 
sion de voyager plus d'une fois dans ma vie. Peut-on me blâmer 
de ce que je désire aussi connaître un peu la vie et les habitudes du 
Midi? Pendant mon voyage je puis bien travailler avec passablement 
de courage. Une fois à Yienne, d'où je dois partir pour Paris, mon 
chemin direct est de traverser la Suisse. Pourquoi n'en verra i-je 



100 NIELS-HENRIK ABEL. — | VU. 

pas aussi un petit coin? Seigneur Dieu! Je ne suis certes pas 
dépourvu de tout sentiment des beautés de la nature. De tout ce 
voyage il résultera que j'arriverai deux mois plus tard à Paris, et 
cela n'a pas d'inconvénient. Je rattrapperai bien le temps perdu. 
Ne pensez-vous pas qu'un pareil voyage me fera du bien? 

)) De Vienne à Paris, je ferai probablement route avec Moller, 
et je passerai Thiver en compagnie de Keilbau. Nous nous 
mettrons alors au travail d'une façon formidable. Je pense que 
cela ira bien. 

y> Pour Vienne, j'ai des letti'cs de recommandation de Crelle 
auprès de Littrow et de Bùrg. Ma vanité m'entraîne à transcrire 
un passage de la lettre à Littrow. Après avoir parlé du Journal, 
Crelle ajoute : « M. Abel, de Christiania en Norvège, qui doit vous 
» présenter cette lettre, est également un zélé collaborateur du 
y> Journal, et ce n'est pas celui qui nous fait le moins d'honneur. 
y> Ce tout jeune savant possède toute mon estime, et je voudrais 
)) le recommander aussi à votre bonté et à votre bienveillance. 
y> La haute distinction comme mathématicien à laquelle il est 
» déjà parvenu, donne à la science les espérances les plus flat- 
y> teuses. » 

» Nous resterons à Vienne un mois environ, et ensuite nous 
nous diviserons probablement en deux groupes. Les uns (Boeck 
et Keilhau) passeront par Trieste, Venise, en traversant le Tyrol 
et la Suisse; les autres, Moller et moi, nous irons à Paris. Pour 
cette dernière ville, j'ai des lettres de recommandation du profes- 
seur Dirksen, de Berlin, auprès de Humboldt et de plusieurs 
autres. Je souhaiterais d'y être la moitié aussi heureux qu'à 
Berlin ; ce serait très joli. Keilhau et Boeck sont sortis aujourd'hui 
de grand matin pour observer avec l'appareil oscillatoire (^), 
tandis que nous autres (Moller, Tank et moi) étions au lit. Ils 
commencent à posséder une série respectable d'observations. 
Ils se rappellent à votre souvenir. 



(^) Pour déterminer, suivant le désir de Uansteen, l'intensité hurizont.ilc du 
magnétisme. 



II 
I 



LETTRE A HANSTEEN. 101 

» Nous sommes tous allés rendre visite à M. Irgeiis-Bergh (*). 
Hier au soir il a été assez aimable pour nous procurer des billets 
du Casino noble, « où Ton ne danse qu'en escarpins », et durant 
la soirée nous avons passé poui' des nobles : M. de Keilbau, 
M. dWbel, etc. Nous avons vu tout ce que Dresde contient d'in- 
croyable en élégance. Aujourd'hui, à midi, nous étions invités à 
la réception de midi chez Bergh. Nous y avons vu Baggesen (-). 
Il est très faible; on dit que cest la faute de la bouteille. Nous 
avons fait aussi la connaissance du peintre Dabi (^), de Bergen. 
Il partira incessamment pour la Norvège, qu'il ne quittera plus 
qu'en 18^27. 

)) Vous avez eu la bonté, monsieur le professeur, de me promettre 
de m'écrire bientôt. Je n\ai encore rien reçu; mais la faute en est 
sans doute aux divers détours que doit faire la lettre. J'ai pris des 
mesures pour que Mascbmann me l'envoie à Vienne. Je me réjouis 
extrêmement d'avoir des nouvelles de vous et de votre famille. 

y> De temps en temps je prendrai la liberté de vous écrire, non 
que j'ose m'imaginer que vous y puissiez prendre quelque intérêt, 
mais parce que j'y trouve moi-même un grand plaisir. Vous ne 
pouvez, naturellement, attendre de moi des récits de voyage inté- 
ressants, accompagnés de descriptions esthétiques. Je dois laisser 
ce soin à mes compagnons de voyage mieux doués, en particulier 
ta Keilbau. 

y> Je vous prie de saluer Holmboe cordialement pour moi, mais 
en même temps de lui dire que ce n'est pas bien h lui de ne 
pas m'avoir écrit. Peut-être cependant suis-je injuste envers lui; 
sa lettre est peut-être en route. 

» Adieu, monsieur le professeur; portez-vous aussi bien que le 

souhaite 

y> Votre dévoué 

» N.-H. Abel. » 



(*) Bergli était fils d'un pasteur de Norvège; après avoir été précepteur chez le 
ministre Rosenkranlz à Copenhague, il avait été nommé par celui-ci secrétaire de 
légation à Dresde. 

{-) Poète danois, 

(3) Peintre norvégien qui vivait à Dresde. 



10^ mels-iii:muk acel. — § viii. 



VIII. 

Travaux de Paris. — Retour par Berlin. — Situation 
d'Abel à sa rentrée dans son pays. 

Nous ferons maintenant un saut dans notre récit. — Afin de 
trouver place pour le compte rendu circonstancié d'événements 
qui sont d'une haute importance, et qui exigent qu'on entre dans 
des détails puisés à des sources étrangères et à des documents 
non encore utilisés chez nous, nous serons forcés de passer mainte 
et mainte chose qui serait d'un intérêt plus général et qui jetterait 
une nouvelle lumière sur la personne de celui dont nous esquissons 
la vie et l'œuvre. Nous renonçons donc en particulier, au risque 
de troubler l'unité et la continuité du récit, à reproduire ces vives 
peintures de la vie de voyage, que nous possédons, tracées de la 
main même d'Abel, et qui auraient pu nous faire entièrement 
perdre de vue le mathématicien. En abrégeant en général notre 
narration sur beaucoup de points, où l'intérêt du récit l'emporte- 
rait sur l'importance des faits, nous continuerons à partir de 
l'arrivée à Paris, en juillet 182G. 

Avec une rapidité que l'on ne pourrait comprendre si l'on igno- 
rait que, sur le terrain qu'il cultivait, il était depuis longtemps le 
maître, il acheva la rédaction de son volumineux ce Mémoire sur 
une propriété générale d'une classe très étendue de fonctions 
transcendantes. » 11 le présenta à l'Académie le 30 octobre suivant. 

Il l'avait montré auparavant à Gauchy, « mais», raconte Abel, 
(( il voulut à peine y jeter les yeux, et je puis dire sans vantere 
qu'il est bon.» Legendre s'était exprimé plus favorablement. « Ça 
prendra », telles furent les paroles bienveillantes que lui adressa 
le vieux géomètre pour l'encourager. 

Gauchy et Legendre furent désignés pour juger ce travail. I 
était fondé, comme nous l'avons indiqué dès le commencement 



MKMOIRR DK l'.VRIS. 103 

de cctlo notice, sur son théorème (Vaddition, encore inédit, et qui 
remontait à répoque qui a précédé son départ. C'est cette propo- 
sition Ibndamentale, dont Jacohi a dit ailleurs, — avant même 
qu'elle fût connue dans toute son étendue, — qu(i c'était la plus 
grande découverte de notre siècle dans le cliamp du calcul inté- 
gral. Pour I.egendre — qui, malgré les affirmations contraires, n'a 
pu jamais faire entrer en détail dans sa mémoire les résultats 
dWbcl — , il nomma plus tard cette proposition un wonumcntiim 
œrc pcrennhis^ et les recherches de l'époque, comme celles de 
l'avenir, sur les fonctions qui portent le nom d'Abel, continueront 
i^j s'appuyer en réalité sur cette base. 

Néanmoins la destinée de ce mémoire devait rester en suspens 
pendant un temps indéfini. Le mémoire demeurait dans les papiers 
de Cauchy. 

Le bruit courut, d'après le dire de Legendre, — lorsque quel- 
ques années plus tard Jacobi, surexcité par cette négligence de 
l'Académie, lui eut, dans des termes énergiques, demandé une 
enquête sur cet objet, — que le manuscrit était écrit d'une ma- 
nière illisible, que l'on aurait voulu en avoir une meilleure copie, 
et que l'auteur avait quitté Paris sans s'être inquiété du sort de son 
mémoire. C'est ce que répète aussi plus tard Arago dans une autre 
circonstance, en justifiant l'Académie des accusations de négli- 
gence portées contre elle. Abel lui-même ne dit rien cependant 
sur cette afi'aire. Il se borne seulement à faire allusion, dans un 
de ses derniers travaux, h l'existence d'un mémoire envoyé à 
l'Académie. Et c'est par cette circonstance que Jacobi a connu 
pour la première fois cet écrit (*). 11 n'était pas cependant dans 
les habitudes réservées d'Abel de solliciter ou de chercher à faire 
aboutir des enquêtes par l'humiliation et la flatterie; il supportait 
en silence les dénis de justice et les préjudices dont il souffrait, et 
se plaignit seulement, dans une seule circonstance, de « la len- 
teur de ces hommes. » 



(}) Mémoire XV, t. 1, de runcicniic édition (XXI, l. I, de la nouvelle). Remarques 
sur quelques propric lés générales d'une certaine sorte de fonctions transcendantes. 



104 NIELS-HENRIK ABEL. — § VIII. 

Depuis lors il n'entendit plus parler en quoi que ce soit de cette 
affaire; pas une seule Ibis, dans les deux lettres qu'il reçut vers la 
fin de sa vie du m^me Legcndre, qui Tavait si vite oublie, mais 
qui bientôt après avait accueilli son œuvre avec une admiration 
croissant d'abord lentement, mais ensuite de plus en plus enthou- 
siaste. 

Ce n'est pas ici !e lieu de raconter ce qui se passa plus tard à 
cette occasion; nous ajouterons seulement que Legendre, après 
que son attention eut été appelée sur cette regrettable négligence, 
fit tous ses efforts pour qu'on songeât à ce manque de soin, et 
que l'Académie des sciences, après la mort de l'auteur, cherchât 
à réparer honorablement la faute commise. Mais, malgré tout, la 
publication du mémoire ne se fit qu'après un retard de quinze 
années. Elle eut lieu dans Tannée 4841, sous la direction du 
mathématicien Libri, qui avait été chargé d'en surveiller l'im- 
pression. 

Mais une série d'accidents se produisit jusqu'au terme de ce 
travail. Par un bien singulier hasard, pendant le cours même de 
l'impression, le manuscrit disparut, et la correction des épreuves 
dut se faire sans collation avec l'original. 

Après avoir terminé ce travail capital, Abel en commença un 
nouveau : le remaniement de ses Recherches sur les fonctions 
elliptiques (*). 

11 y avait là aussi des idées qui étaient mûres depuis longtemps 
et qu'il se mit à élaborer. Et — nous l'avons fait remarquer 
avec insistance — il les présenta avec la simplicité et la clarté 
de conception, avec l'ordre naturel d'arrangement, avec la touche 
magistrale de la déduction, que seule la complète domination du 
sujet, unie à la méditation continue et profondément pénétrante, 
peut réaliser, 

Par son idée de l'inversion, souvent mentionnée par lui, et par 
la découverte de la double périodicité qui s'y rattache, — idée qui 



[^) Mémoire XII, 1'* édition; \VI de la nouvelle. 



UECHERCHKS SUR \.ES FONCTIONS DLMPTIQURS. 105 

remonte au temps de son premier voynj];e, — il opéra, comme 
nous Tavons dit, dans celte branche élevée de la science, toute 
une révolution de Tancien cor[)s de doctrines. En d'autres termes, 
il fit apercevoir que toutes ces recherches sur les intéL,Tales nous 
introduisaient dans un vaste domaine de fonctions qui se ratta- 
chaient, suivant un ordre naturel, aux fonctions tianscendantes 
les plus simples des mathématiques. Les nouvelles fonctions 
elliptiques formaient non seulement la continuation la plus immé- 
diate des fonctions trigonométriques et exponentielles, mais elles 
comprenaient encore ces dernières comme cas particuliers. 

Le calcul intégral se présentait ainsi comme une source abon- 
dante, d'où Ton pouvait, à côté des formes connues, en tirer encore 
une multitude d'autres nouvelles. C'est aussi, mais avec une 
extension immensément plus vaste, que les intégrales abéliennes, 
dont il avait découvert les propriétés fondamentales dans son 
mémoire envoyé à l'Académie de Paris, purent, d'une manière 
plus ou moins analogue, se prêter pareillement à une inversion. 
Dans ces conditions pouvait se réaliser la périodicité plus que 
double, la périodicité multiple, dont nous savons qu'Abel s'était 
occupé dans un travail de sa jeunesse, non destiné à la publication, 
mais présentant des incorrections (^). 

Le travail de remaniement de sa théorie des fonctions ellipti- 
ques qu'il s'était proposé était trop étendu pour qu'il fût possible 
de l'achever pendant le bref séjour qui lui restait à faire à Paris. 
Outre cela, il se trouva qu'il n'avait pas mieux pour cela la libre 
disposition de son temps. Il avait eu le dessein de l'envoyer à 
Gergonne, de Montpellier, pour que celui-ci Tinsérât dans les 
Annales. Comme introduction, il rédigea aussi pour le même 
recueil quelques notes de moindre étendue, et dont probablement 
une seule fut envoyée. C'était, dit-il. pour voir ce s'il voulait 
imprimer. » 

Vers la fm de décembre, toute prolongation de son séjour à 
Paris était devenue impossible. Les embarras d'argent étaient 

0) Le mémoire VHI, t. II, de la l'« édition (YII, t. Il, de la nouvelle). 



lOG NIELS-HENRIK ABEL. — ^ VÎII. 

désormais trop grands après tous ces voyages; d'autant plus 
grands qu'avec des ressources restreintes il avait été forcé de taire 
des avances à Keilhau, qui était arrivé à Paris après lui, — la 
colonie étant d'ailleurs dissoute, — pour lui permettre de rentrer 
dans son pays. Ilolmboe était alors Taide dans le besoin, celui à 
qui Abel devait toujours et toujours recourir, et, ponctuel et infa- 
tigable, il s'empressait, dans ces circonstances comme partout, de 
rendre service à son élève. Mais ces demandes considérables ne 
pouvaient naturellement qu'être gênantes de part et d'autre. 

Aux environs de Noël, Abel quitta Paris en toute liàto pour 
regagner son pays, en passant par Berlin : il était absolunient au 
bout de ses moyens de subsistance. De nouveau il pouvait se 
retrouver alors au milieu de ses connaissances, au lieu de vivre 
solitaire dans la grande ville cosmopolite, sans ressources et sans 
voir personne à qui il pût avoir recours dans sa position critique. 
En janvier, avec quatorze tbalers dans sa poche, il rentra à Berlin, 
où il se hâta d'aller trouver Crelle. Il rencontra aussi par bonheur 
quelques compatriotes près desquels il put trouver un appui. Le 
secours pécuniaire désiré finit par arriver, et Abel fut tiré d'affaire. 
Cependant les dettes allaient croissant tous les jours, sans qu'il 
pût espérer de pouvoir jamais s'en débarrasser. 

A Berlin, il continua du reste ses travaux, qui ne comprenaient 
pas exclusivement la suite de ses Recherches. Il semble que déjà 
— ou dans tous- les cas très peu de temps après — cette œuvre 
acqut une étendue plus considérable; car, dans les cahiers 
de notes qu'il a laissés, on voit que les études préparatoires de 
son dernier travail sur cet objet, le Précis, etc., étaient com- 
mencés. 

Toujours il s'occupait, dès qu'il avait un moment de liberté, de 
ses études algébriques, qu'il appelait son objet de prédilection. 
Or on pourrait dire que ses autres études reposaient sur celles-là. 
Certainement c'était bien aussi son désir de rassembler les 
résultats de ses recherches sur les fonctions elliptiques dans un 
grand ouvrage, au lieu de les publier par parties et à des époques 
ir régulières; mais ce projet n'était pas facile à réaliser. La con- 



PASSAGK A RI-RMN. 107 

clusion dut être naturolloinont que, à son départ pour Christiania, 
il laissa entre les mains de Crelle ce qu'il avait eu le temps de 
rédiger. 

A Berlin, il séjourna, suivant sa propre expression, aussi long- 
temps que ses moyens purent lui sufïire. 11 ctfectua son retour en 
avril ou au plus tard au commencement de mai, parce qu'il 
voulait prendre la route de Copenhague et faire un très court 
séjour d;ms cette ville. A Copenhague il devait rencontrer sa 
fiancée, qui était alors revenue en Danemark pour y résider. 

Cependant Crelle avait cherché à le retenir auprès de lui. « Il 
nVa bombardé d'une manière terrible», écrit Abel à Boeck, « pour 
me faire rester.... Il est un peu choqué de ce que j'ai dit non. Il 
ne comprend pas ce que je veux faire en Norvège, qu'il s'imagine 
être une autre Sibérie. » 

Il envisageait avec une certaine terreur l'avenir qui l'attendait 
dans son pays. Quand il rentra, il lui sembla être condamné « à 
tendre la sébile à la porte de Téglise! » Mais « il est si convena- 
blement plié», écrit-il, « au malheur et à la misère! » Parfois il 
pouvait lui venir le désir de se fixer pour toujours en Allemagne, 
(a comme il aurait pu le faire sans difficulté. y> Et avec toutes 
les misères qui le tourmentaient, il ne pouvait ne pas se 
dissimuler que l'expatriation était maintenant le parti le plus 
avantageux. 

Mais toujours il y avait quelque chose qui l'attirait vers la 
Norvège ; toujours et toujours revenait c( assez étrangement » le 
mal du pays avec une force croissante, et qui lui faisait refuser 
les offres les plus tentantes. 

En passant par le Danemark, il revint ainsi à Christiania, où il 
rentra le 20 mai 1827. A peine eut-il annoncé son arrivée au Sénat 
de l'Université que ce corps se mit à l'œuvre, en proposant au 
Gouvernement d'accorder à Abel une subvention pour la conti- 
nuation de ses études et de ses travaux. La réponse du Gouver- 
nement fut négative : il n'y avait plus de fonds disponibles pour 
une telle destination. 

La position critique où il se trouvait excita cependant à un haut 



108 NIELS-HENRIK AlîKL. ~ % VIII. 

degré Tintcrêt des membres de TUniversité, si bien que peu de 
temps après ils entreprirent une démarche inusitée, en renou- 
velant la demande qui venait déjà d'être repoussée. Les péti- 
tionnaires alléguaient que, après son retour, il devait toucher 
la pension dont il avait joui récemment avant son voyage, 
pension dont le montant s'élevait à la faible somme de 200 spe- 
ciedaler (^). Comme on devait s'y attendre, la prière du Sénat, 
sous sa nouvelle forme, fut encore repoussée par l'autorité supé- 
rieure. 

Comment le mathématicien endetté, pendant la durée d'une 
longue année, dut-il s'y prendre pour gagner sa vie, c'est ce qu'on 
ne s'explique pas facilement. Sans famille ni parents qui pussent 
lui venir en aide, il se trouva, sans aucun doute, dans la cruelle 
nécessité de recourir à la générosité de ses amis, tandis que ses 
embarras économiques se compliquaient nécessairement de plus 
en plus. Les connaissances et les talents qu'il possédait n'étaient 
guère de nature à lui procurer le plus mince bénéfice, surtout 
maintenant, avant qu'il eût le temps de mettre de l'ordre dans 
ses affaires. On a pu constater qu'il reprit son métier peu lucratif 
d'autrefois, en donnant des répétitions de trigonométrie et de 
stéréométrie aux étudiants qui se préparaient à Vexamen philoso- 
phicum. Ses cahiers de notes, où il inscrivait les calculs prépara- 
toires pour ses travaux, portent des traces indiquant qu'il avait 
commencé par gagner ainsi son pain ; mais il ne peut guère avoir 
fait de grands profits dans cette occupation, et certainement ce 
n'est pas là qu'il eût pu trouver un moyen efficace de se tirer 
d'affaire. On raconte que pendant quelque temps, à Christiania, il 
doit avoir vécu « dans la misère presque absolue » , et, bien 
qu'il eût des amis auxquels il aurait pu s'adresser, et dont le bon 
vouloir, malgré les désagréments d'une telle charge, ne leur aurait 
pas permis de le laisser dans cet état, il est bien probable que 
c'est à l'époque dont il est question que ce récit se rapporte. Il lui 
fallait souvent s'armer de tout son courage pour demander à des 

(^) HOO francs environ. 



MISKHK AU HKTOllR. lOîl 

étrangers ce dont il manquait, cl s il cherchait à doni)cr à sa 
demande une forme aussi franche que possible, certainement 
aussi le courage lui a plus d'une fois manqué et il a mieux aimé 
se priver, beaucoup de petits traits témoignent à quel point il 
pouvait se montrer délicat lorsqu'il s agissait de causer à ses amis 
les moindres sacrifices ou de recevoir les moindres présents, et 
qu'il pouvait s'en dispenser d'une manière quelconque. 



110 NIELS-HENRIK ABEL. — i IX. 



]X. 



Découverte de Gauss vers le commencement du siècle. 

Remarques préliminaires concernant l'idée qu'on s'est faite 

de la situation réciproque d'Abel et de Jacobi. 

Nous interrompons ici pour un instant notre récit des circon- 
stances qui suivirent son retour, pour étudier de plus près un 
point important : la découverte des fonctions elliptiques, et parti- 
culièrement rhistoire de leur premier développement à l'époque 
qui va suivre immédiatement ^ de 1827 à 1829. 

Nous ferons donc abstraction des voies cachées, qui, en ce 
qui touche Abel, peuvent être suivies rétrospectivement depuis les 
données claires du séjour à Paris en i826 jusqiCà V été de i82S, 
dans lequel, avec Taide de Degen, il chercha à découvrir une 
faute qu'il avait commise dans un « petit mémoire qui traitait c/c5 
fonctions inverses des transcendantes elliptiques (^) ^). Telle est 
l'opinion accréditée, et c'est vers tout ce qui s'y rapporte que 
nous allons maintenant diriger notre attention. 

Nous pourrons volontiers remonter jusqu'à l'époque de mars 
1827 ; car, en conséquence d'une assertion directe de Jacobi, dans 
une lettre à Legendre du 12 avril 1828, Jacobi fit alors le premier 
pas décisif dans la carrière d'inventeur, en trouvant son c( principe 
de transformation », découverte qui cependant n'avait encore rien 
à voir avec la découverte des fonctions elliptiques elles-mêmes (^). 



(^) Lettre à Holmboe du 24 juin (ou plutôt du 3 aoûl) 1S23. 

(2) Ce rôle n'appartient même pas au théorème donné par Jacobi en juin et août. 
D'ailleurs, c'est plutôt powr Jacobi que pour la science que ce « principe », comme 
il l'appelle, a été un vrai principe, parce que c'est à l'aide de ce détour qu'il est 
arrivé au théorème, et le théorème ne suffit pas pour constituer une découverte 
fondamentale. Il n'y a là que rancicnno méthode mathématique, avec quelques 
traces d l'esprit d'Abel. 



(ÎAUSS RT Li:S FONCTIONS MLLIPTIQUES. 1H 

Il résulte aussi crune autre déclaration du môinc géomètre que 
Ton a ici la date la plus ancienne à laquelle on puisse remonter. 
Il dit en effet lui-même, dans une lettre de date postérieure — 
du 1) septembre, — en annonçant qu il a fait commencer l'impres- 
sion de ses Fiindamenla nova funclioniim dlipUcarumy qu'il 
« avoue être un peu fatigué de ce sujet, qui l'a occupé pendant 
dix-huit mois presque jour et rmit». — Si Ton remonte de 
dix-huit mois en arrière, on arrive précisément au même mois 
de mars i8^J7. 

L'opinion courante est donc celle-ci : que la découverte des 
(onctions elliptiques appartient à Vannée 1827 ; qu'elle a été 
faite aussi bien par Abel que par Jacohi; qu'elle a été faite par 
eux simultanément, ou peut-être un peu plus tôt par le premier 
nommé; et enfin l'établissement des premiers résultats les plus 
essentiels a été obtenu des deux parts d'une manière entièrement 
indépendante. 

Mais ce jugement exige déj;\ immédiatement quelques rectifica- 
tions et quelques objections préliminaires, avant que nous ne pro- 
cédions à un examen plus minutieux que celui dont on se 
serait contenté à cette époque. 



En premier lieu, on n'avait pu tenir compte d'un fait qui n'a 
été mis complètement en lumière que dans ces derniers temps, 
— bien qu'il ne soit pas pour cela plus généralement connu, — 
savoir que Gauss, depuis longtemps déjn, vers le commencement 
du siècle, avait fait la découverte dans ses traits essentiels, sans 
toutefois avoir livré ses résultats à la publicité. Quelle a été 
rétendue de cette découverte, c'est ce qui résulte des indications 
de Gauss, et il faut espérer qu'un jour à venir ces indications 
pourront être déchiffrées dans leur enchaînement par des hommes 
compélenls. 

Nous renvoyons le lecteur qui s'intéresserait à ce sujet — que 
nous ne pouvons ici qu'effleurer — à un écrit publié récemment 
par Kiinigsberger, à Vienne, et dans lequel se trouve le compte 



Ii2 NIELS-HENRIK ABEL. — | IX. 

rendu de cette affaire, conforme aux dates qui ont été déterminées 
par le professeur Sciicring pour les travaux posthumes de Gauss. 
Cet écrit, d'une haute valeur et remontant aux sources, ne traite 
pas cependant cette découverte comme son objet principal; il 
est intitulé (avec une exactitude plus grande que d'ordinaire 
quand il s'agit de cet objet) : Ziir Geschichte der Théorie dcr 
elliptischen Transcendenlen in tien Jahren i826-29, et il a été 
rédigé à l'occasion du cinquantenaire des Fundamenla nova de 
Jacobi, dont la publication coïncide avec la mort d'Abel. Pour 
éviter toutefois les malentendus, nous remarquerons que le mot 
transcendantes elHptiques, dans ce passage, doit être entendu 
au sens de fonctions elliptiques, qui prit naissance précisément 
avec ce qu'Abel désignait, en 1823, sous le nom d^ inversion des 
transcendantes elliptiques . 

Il serait certainement aussi d'un intérêt exceptionnel, non 
seulement de déterminer exactement la marche du développement 
de cette découverte primitive de Gauss, mais en même temps 
d'examiner, en regard des autres travaux de cet illustre géomètre, 
les circonstances personnelles de sa vie. La tranquillité avec 
laquelle il considère les incursions d'Abel et de Jacobi dans ses 
domaines et renonce à la propriété d'une partie si considérable 
de ses travaux, et cette habitude de garder longtemps le secret 
sur d'importantes théories, constituent un phénomène tellement 
singulier, qu'une étude biographique approfondie pourrait seule 
en donner l'explication. 

Gauss, autant que nous sachions, s'est contenté de démontrer 
à la postérité qu'il avait été en possession des nouveaux principes, 
en établissant des résultats qui ont été reconnus plus tard comme 
supposant la connaissance de ces principes; de plus, en laissant 
comme témoignages des papiers avec leurs dates, et enfin aussi 
par les indications contenues dans ses lettres. C'est ainsi qu'il 
s'exprime dans une lettre à Crelle, à une époque où venaient de 
paraître les premières notes de Jacobi et la première partie des 
Recherches d'Abel, mais où aucune autre des publications de 
celui-ci sur les fonctions elliptiques n'avait encore, vu le jour. Il 



AI!KL ET JACOItl. 113 

s'exprime ainsi — et sans mùme nommer Jacobi (') : a D'autres 
alïaires m'empOchent pour le moment de rédiger ces recherches » 
(les recherclies sur les Ibiiclions elliptiques dont Crelle avait 
demandé à Gnuss le manuscrit). « Abel a pris les devants sur moi 
au moins [lour un bon tiers. 11 a suivi exactement la même voie 
dans laquelle j'étais entré en 171)8. Aussi n'cst-il pas étonnant 
pour moi qu il soit parvenu pour la plus grande partie aux mêmes 
résultats. Comme il a montre d'ailleurs dans ses déductions tant 
de finesse, de profondeur et d'élégance, je me considère dès lors 
comme dégagé de l'obligation de rédiger mes propres recher- 
ches (^). » 

Gauss n'a donc pas publié lui-même ses recherches, et en les 
renfermant t\ longtemps, il a beaucoup perdu. Mais son droit 
de premier inventeur subsiste, encore qu'il soit privé du droit de 
première publication. Il y aurait pourtant un intérêt historique 
à connaître quels pouvaient être les rapports entre ces recherches 
de Gauss et celles d'Abel, ou à quelles sources communes ils 
avaient puisé l'un et l'autre. Quoique les éludes d'Abel aient été 
dirigées vers les méthodes d'Euler et de Lagrange plutôt que vers 
celles de Gauss, on sait cependant qu'il a aussi pris connaissance 
des travaux de ce dernier, et que depuis longtemps certainement, 
pour les questions qui rentraient dans le cercle de ses recherches, 
il y avait puisé des idées et des inspirations. Ainsi Abel cite 



(1) Ce qu'avait fait JacoLi n'avait pas toute l'importance qu'on s'est accoutume 
plus tard à y attribuer, sous l'impression fausse que Jacobi avait aussi découvert 
les forclions elliptiques. Gauss a vu justement que, sous ce rapport, le travail de 
Jaccbi avait un mérite secondaire; c'est sans doute le vrai motif pour lequel Gauss 
n'a pas mentionné Jacobi à cette occasion. 11 ne serait pas raisonnable d'accuser 
le grand géomètre de jalousie ou d'injustice à l'égard d'un tout jeune homme. 

(2) Kous croyons que ce passage n'est pas toujours bien interprété. Il faut remar- 
quer qu'à celte époque la première partie des Recherches était seule publiée, et 
qu'elle s'arrêtait à la division. Il restait donc à traiter la théorie des transformations, 
celle des fonctioi.s 5, etc. Katurellcment Gauss pense en ce moment à ce que seraient 
ses propres recherches s'il les avait publiées avec leurs développements. — Si l'on 
néglige cette remarque, les assertions de Gauss paraîtront peu correctes. D'ailleurs 
il reste encore quelque chose qui ne nous semble pas bien clair. Pour le juger, il faut 
avoir sous les yeux non les Œuvres ccwplètes, mais le Jeuinal de Crelle, où la 
première partie des Recherch(S forme un premier mémoire comprenant Iddhision. 

8 



H4 NIELS-HENP.IK AREL. — | IX. 

à diverses reprises dans ses écrits la division du cercle de Gauss, 
et il fait allusion dans sa correspondance aux mystères de cette 
division (^) qu'il est parvenu à pénétrer. Soutenu par ses études 
de Lagrange — qui Tavaicnt occupé à un bien plus haut degré — 
il avait été conduit par ses recherches à pénétrer dans le domaine 
de rAlgèbrc à une profondeur beaucoup plus grande qu'aucun de 
ses devanciers. 11 était naturel alors qu'ayant de tels moyens à sa 
disposition, ou cherchant encore à les développer, il fût amené 
dans les mêmes directions que Gauss, et qu'il se proposât des 
problèmes que ce grand géomètre avait déclarés résolubles. Il 
existe au moins un point (-) pour lequel on peut constater ainsi 
une dépendance entre les études d'Abel et celles de Gauss, en tant 
qu'il est question des fonctions elliptiques. Il ne s'agit pas ici 
certainement d'un point capital que l'on doit chercher dans une 
marche d'idées d'une toute autre nature, présentant une certaine 
connexion avec son Mémoire portant le n" YIII (^) de ses Œuvres 
posthumes. Il sagissait cependant d'un point d'une très grande 
importance, savoir, du développement de certaines propriétés plus 
profondément cachées de ces mêmes fonctions. 

Il n'en serait que plus désirable de pouvoir suivre les traces 
des idées et des problèmes mis en œuvre par Abel, puisqu'ils 
étaient présentés si brusquement par lui à l'improviste, comme 
s'ils n'eussent pas eu de racines dans le passé. Mais quelque grand 
que soit le génie d'un homme, il a encore des voies à trouver — 
bien qu'on ne les trouve pas toujours — aboutissant aux anciens 
ou en communication avec l'époque contemporaine, et une explo- 
ration pour découvrir ces voies ne manquerait pas d'importance 
quand il s'agit des grandes pensées qui germaient dans ce sol 
fécond — sortant souvent, il est vrai, d'une humble origine. 

Pour ce qui concerne Abel, une solution partielle d'un pareil 



(1) Ces mystères se rapportaient à la division et aux moyens algébriques pour y 
arriver. 

(2) L'idée de diviser la lemniscate. 

(3) T. Il, ancienne édition, et VII, t. II, de la nouvelle. Rappelons-nous que ce 
Mémoire est antérieur à 1825. 



f 



KWV.L ET JACOIM. \\^ 

problème, malgré cette source abondante d'idées et malgré le 
puissant développement de tout ce qui rentrait dans son cercle de 
représentation, n'était pas aussi désespérée quelle semblerait Fêtre 
au premier abord. Car personne n'expose plus ouvertement ce qu'il 
possède, pensées et découvertes ; personne ne cherche moins que 
lui à cacher la source où il a puisé. Il ne cache pas non plus avec 
jalousie, en s'entourant de mystère, le secret de ses méthodes et 
ses procédés (*); il n'essaie pas de dissimuler le but vers lequel il 
tend {^). On sait parfaitement aussi quelle a été la marche de son 
éducation scientifique, quels auteurs il a lus, et ce qu'il a pu 
recevoir de ces auteurs pour en faire quelque chose de tout autre 
et de plus grand. 

En revenant sur nos pas au sujet que nous avions quitté tout 
à l'heure, nous allons nous arrêter un instant à ce point d'attache 
qui relie Abel avec Gauss. Quoique ce point soit isolé, il n'en est 
pas moins d'une certaine importance. 

Gauss remarque en passant, dans ses Disquisitiones ariihme- 
ticœ, qu'une certaine courbe, la lemniscate — dont nous remar- 
querons, à l'usage des lecteurs étrangers aux mathématiques, que 
la forme est celle du chiffre 8 — peut se diviser d'après le même 
principe que le cercle. Cet énoncé, au point de développement oij 
Abel se trouvait à une époque antérieure, avait été une nouvelle 
énigme; car il supposait non seulement la connaissance, mais 
une connaissance très approfondie de la nouvelle espèce de 
fonctions. Et personne avant lui, si ce n'est Gauss, n'en avait eu 
le moindre soupçon. Quoique de certains passages d'une lettre à 
Hansteen il résulte qu'Abel ne s'était pas occupé d'une manière 
régulière et approfondie de la lecture des écrits de Gauss, il a 
évidemment, une fois ou l'autre, rencontré l'énoncé en question, 
mais sans y avoir, dans celte phase préparatoire de ses études, 

(1) Comme c'était l'habitude si générale des mathématiciens d'autrefois. 

(^) Parmi les auteurs qui se proposent un but très élevé, il arrive souvent que 
quelques-uns en font un secret, soit par crainte de perdre leur découverte, soit 
par peur du ridicule s'ils échouent. La simplicité d'Abel et les relations franches et 
naïves qui l'ont entouré ont empoché ces circonstances de se produire. Personne ne 
fut plus ouvert, plus sincère, plus enfant de la nature qu'Ahel dans ses recherches. 



116 NIELS-HENRIK AHKL. — | IX. 

dirige spocialoincnt son attention. Lorsque, étant à Paris, il s'oc- 
cupait de sa nouvelle théorie, et qu'il avait aussi trouvé de son 
coté comment on peut diviser la lemniscatc, il en parle dans une 
lettre à Crclle du 4 décembre 4826, avec cette remarque, qu'il a 
des raisons de croire que Gauss aussi était arrivé au môme résul- 
tat. Ce n'est donc pas là une citation d'un ouvrage qu'il aurait eu 
récemment sous les yeux, mais une réminiscence confuse d'une 
époque déjà lointaine. De plus, quand il fait voir, dans ses 
Recherches, H (^), comment cette division peut s'effectuer, il ne 
cite pas spécialement l'énoncé de Gauss, mais il indique qu'il se 
sert de la méthode de ce géomètre, de même qu'auparavant, dans 
une occasion identique, il renvoie à lui. Il reste cependant, à 
notre avis, un certain manque de précision sur la question des 
droits de Gauss, qui a affirmé — à la vérité, sans démonstration 
— la possibilité de cette division. 

Ce point présente un double intérêt. Il montre à quel degré les 
recherches de Gauss, celles même dont les résultats n'ont pas été 
livrés à la publicité, ont exercé une heureuse influence sur le 
développement des fonctions elliptiques dû aux travaux plus 
récents d'Abel (^). Et Abel, à son tour, dans ses lettres et dans 
les travaux suivants qui ont permis de les contrôler, a clairement 
montré à la postérité que, dès l'époque de 18^6, il possédait déjà 
dans une vaste étendue la théorie des nouvelles fonctions (^). 
Comme Dirichlet l'a relevé, il résulte des indications de Gauss, 
confirmées par les recherches d'Abel, que le premier a dû disposer 
depuis un grand nombre d'années de moyens analytiques exigeant 
des connaissances très complètes sur la théorie des nouvelles 
fonctions; mais avec la même raison on conclura, des énoncés 
communiqués par Abel à Holmboe et à Crelle, qu'avant la fin 



(*) C'est la partie des Recherches, etc., qui fut publiée clans le Journal de Crclle, 
t. lU, et qui contient surtout la théorie de la transformation. 

(-) Par exemple, Gauss indique l'existence de la division de la lemniscate, Abel 
la fait. 

(•') Abel dit à Holmboe qu'il l'a fait. Plus tard il le fait. Mais cela ne peut avoir lieu 
sans une connaissance très profonde de la nouvelle théorie, poussée même jusqu'à 
la théorie de la division et à colle de la double périodicité. 



ABEL ET .lACOlU. J 17 

de 18^0 il avait bien, lui aussi, approfondi cette branche de 
l'analyse. 



Nous arrivons maintenant A Tautrc remarque que nous avons 
à faire, n'ayant plus à nous arrêter à ce droit de priorilc, qui 
appartient ainsi proprement à Gauss. D'apiès la version ordinaire, 
A bel et Jacobi — A bel peut-être toutefois quelques mois plus tut — 
auraient tous les deux, indépendamment Fun de Tautre, fait, ou 
plus exactement refait la môme découverte des fonctions ellip- 
tiques. Quoique l'annonce de telles découvertes simultanées et 
indépendantes résiste rarement à une rigoureuse analyse des 
circonstances, la simultanéité et Tindépendance se réduisant à 
quelqu'autre chose ou n'ayant qu'un semblant d'existence, dû 
à une connaissance imparfaite des événements, il se rencontre 
cependant dans le cas actuel beaucoup de raisons servant à 
confii'mer cette croyance. Nous disons croyance; car dès qu'on 
adopte une opinion à une époque déjà lointaine, aucune recherche 
complète n'a pu être faite; c'est bien souvent alors une légende 
qui se développe, et peu à peu elle s'accrédite. 

Nous avons là, en premier lieu, un témoignage de l'opinion 
qu'on s'était formée dès l'origine, témoignage provenant d'hommes 
dont la sincérité ne fait aucun doute, et dont la rectitude d'esprit 
ne les aurait pas aisément laissés tomber en erreur — en tout 
cas, ajouterons-nous, si les événements et leur enchaînement 
avaient pu se présenter aussi clairement à leurs yeux que la posté- 
rité se le figure. Nous avons affaire ici à des contemporains comme 
Legendre, comme Poisson, comme Dirichlet. Bien plus encore 
— car en réalité la qualité de contemporains de Poisson et de 
Dirichlet n'a que bien peu de chose à faire dans la question — 
nous pouvons citer CrcUe, qui était en relations si étroites à la 
fois avec Abel et Jacobi, et dont la sympathie pour le premier 
était si prononcée. Crelle dit, dans son nécrologe d'Abel, que 
celui-ci et Jacobi «ont toujours marché également et comme de 
front dans leurs recherches sur les fonctions elliptiques, sans 



118 MELS-IIKMUK ARKL. — | IX. 

cependant se connaître Tun l'autre, non plus que leurs travaux, 
et sans se rencontrer ni se toucher dans leur route. )) 

Holmboe lui-même semble avoir entretenu et certainement 
aussi partagé Fopinion, si généralement acceptée, si peu dis- 
cutée d'après la marche spéciale des événements et si facile- 
ment adoptée, de la simultanéité et de l'indépendance des 
travaux des deux géomètres. Il écrit lui-même dans sa préface 
aux Œuvres complètes: «En même temps que notre Abel, et 
sans connaître les ouvrages de ce dernier, M. Jacobi, de Kônigs- 
berg, commença à traiter la théorie des fonctions elliptiques. 
Ainsi une rivalité s'établit entre ces deux génies supérieurs dans 
leurs traités sur les dites fonctions, d II ajoute ensuite : « Abel 
me dit que, lors de son séjour à Paris en 1826, il avait déjà 
achevé la partie essentielle des principes qu'il avançait dans la 
suite sur ces fonctions, et qu'il aurait bien voulu remettre la 
publication de ses découvertes jusqu'à ce qu'il en eût pu composer 
une théorie complète, si en attendant AL Jacobi ne s'était mis sur 
les rangs. y> 

Avant d'aller plus loin, nous allons pourtant montrer que chez 
Holmboe une influence étrangère s'est fait sentir un peu plus tard. 
On retrouve chez lui, d'après la thèse introduite dans le nécrologe 
de Crelle, l'affirmation de l'indépendance mutuelle des travaux 
des deux auteurs, dont chacun ignorait ce que faisait l'autre, ce 
nécrologe ayant été inséré dans cette même préface. Le texte 
original, écrit en norvégien, contient cependant, au lieu du 
passage de la préface, ces lignes écrites à une date bien anté- 
rieure, savoir, en 1829, dans le Magazin for NaturvidenskabernCj 
et cela, chose à remarquer, en connexion avec le nécrologe de 
Crelle. Holmboe s'exprime ainsi : (( La théorie de ces fonctions..., 
en outre des recherches d'Abel, a été aussi l'objet de travaux du 
plus grand mérite de la part du professeur Jacobi, de Kônigsberg. 
Ces deux jeunes géomètres à peu près du même âge, comme ils 
marchaient côte à côte au point de vue du génie mathématique, 
rivalisaient entre eux dans leurs mémoires sur ces fonctions. 
Abel m'a dit que, quand il était à Paris en 1826, il avait déjà 



AHRL KT JAcnnr. JIO 

nclicvn ce qu'il y avait de plus essentiel dans ce f|u'il a pnhiiô 
plus lard sur ces Ibnclions... » On voit ainsi que le passage est 
le iiicnu>, v\ les ino's à peu pirs identiques. Mais l'afllrination 
intercalée, couiuie nous Pavons remarqué plus haut, concernant 
rindi'pendance des travaux, etc., ne s'y trouve pas; elle a été 
accueillie plus tard, évidemment de bonne foi, d'après le passage 
correspondant du nécrologe de Crelle. 

Nous ferons encore ici une autre remarque. Nous avons repro- 
duit une citation, surtout pour constater une identité, et nous 
l'avons prolongée plus loin qu'il n'était nécessaire. Or il s'est glissé 
dans la traduction française une modification du sens du texte, 
laquelle du reste se rencontre également en d'autres endroits, dans 
la traduction de quelques expressions dans les lettres d'Abel. 
Naturellement une reproduction exacte de tout point ne peut être 
obtenue d'un traducteur peu familier avec la substance du texte; 
mais ce qui avait pu paraître d'abord insignifiant ou qui n'avait 
été nullement remarqué pouvait dans un autre cas acquérir de 
l'importance, de sorte qu'il faut recourir de nouveau aux sources 
originales. Dans le texte primitif on lit qu'Abel à Paris, en 1826, 
possédait ce qu'il y avait de plus essentiel dans ce qu'il a publié 
depuis sur ces fonctions. Dans la traduction française, plus récente 
de plusieurs années, il est dit qu'il possédait, au lieu de (( ce qu'il 
y avait de plus essentiel» — ce qui sans aucun doute était la 
leçon la plus correcte — « la partie essentielle des principes. y> 
Evidemment cela ne peut être autre chose qu'une tournure 
malheureuse introduite par l'inattention du traducteur; cartons 
les principes étaient alors trouvés. 

Pour renforcer encore plus ces assertions de simultanéité et 
d'indépendance, on peut alléguer que Jacobi, au commencement, 
ne nomme pas non plus Abel, et que, en général, dans ses 
premiers écrits, il ne le désigne pas comme source. Et, d'autre 
part, cette reconnaissance réciproque, sans aucune discussion de 
priorité! Nous pouvons même ajouter que, à l'exception d'un 
passage isolé d'une lettre écrite dans des circonstances découra- 
geantes, dans lequel on aperçoit chez Abel une certaine anima- 



120 NIELS-IIENP.IK ABEL. — | IX. 

tion, à Texception aussi de quelques propos qui font deviner 
d'autres choses, mais auxquels nous ne pouvons nous arrêter ici, 
Abel ne fait en général ni rennarqucs ni allusions quelconques. 
Les rares occasions où il parle de Jacobi dans ses lettres ne 
portent à croire rien autre chose, si ce nest que tout est bien. 

Jout semble ainsi être dans le meilleui* ordre, et la croyance 
courante paraît bien fondée. 

Nous aussi, nous avons accepté cette opinion, et nous pouvons 
le dire, nous avons aussi partagé la satisfaction générale de voir 
cette fraternité et cette abnégation des intérêts personnels dans 
les efforts communs pour parvenir aux sublimes vérités. Mais 
certaines circonstances frappantes ont depuis quelque temps 
ébranlé notre foi dans la parfaite correction des manières de voir 
ordinaires, et ces esquisses biographiques, dont la rédaction a été 
reprise à des époques diverses, nous ont conduit à des recherches 
qui donnent aux choses un aspect bien différent. Nous ne nous 
placerons donc pas, pour tous les faits, au même point de vue 
que nous avions adopté au commencement de cette exposition. 

Par un ensemble de circonstances qui sera discuté plus loin, 
il s'est introduit des perversions du droit historique, et cela depuis 
les premiers temps. Et malgré les hommages si largement rendus, 
malgré les sympathies les plus chaleureuses et les plus unanimes 
pour notre compatriote, il s'est maintenu une certaine confusion 
dans l'opinion générale relativement à la question de propriété. 
Cette manière de voir a particulièrement son expression dans 
l'admission d'une singulière communauté de propriété — grâce à 
laquelle, il est vrai, tant de choses se perdent et tant d'équivoques 
se produisent. Même dans l'honneur que l'on rend si volontiers à 
notre géomètre, il se mêle un certain vague. L'éloge est exprimé 
par de grands mots, qui peuvent sonner harmonieusement, mais 
qui seront oubliés un jour si la réalité qu'ils doivent exprimer, 
et qui appartient à Abel sans partage, ne peut lui être restituée. 

Son contemporain et survivant, si hautement distingué, a eu 
le bonheur de travailler dans un grand pays, au milieu de rela- 
tions plus étendues. La nouvelle doctrine et les nouvelles idées y 



AIlKr- KT .lACOFU. 121 

poussaient des racines el se développaient rapidement. La période 
de rindiiïérence, rpii dura autant que la vie dWbel, était passée. 
L'intelli<^once de celle théorie pénétrait dans des cercles de plus 
en plus vasles, et à la lùle d'une nombreuse troupe d'élèves mar- 
ciiail Jacobi, {'oiinuc le chef du nouveau mouvement. Abel, dans 
son étroile et lointaine patrie, était abandonné à lui-môme et à 
son petit noyau d'inlimes. Il n'avait pas, luij une foule de disciples 
autour de lui; ses élèves, nous pouvons le dire, c'était le petit 
nombre de ses anciens maîtres; c'était le grand Gauss; c'était, 
dans une sphère certainement moins élevée, mais néanmoins très 
éclatante, Jacobi. Il y avait aussi là le vieux Legendre — bien qu'il 
lui semblât assez difficile de suivre la bannière révolutionnaire du 
novateur. — Abel n'était pas non plus un esprit dont les recherches 
fussent à la portée du plus grand nombre; quelle que fût la clarté 
de sa pensée et de son style, il y avait cependant dans les problè- 
mes eux-mêmes et dans l'originalité des pensées quelque chose 
qui devançait de trop loin son époque. Jacobi, au contraire, se 
rapprochait davantage de son temps, et, quelque hauteur qu'il 
atteignît, il posait ses problèmes à un niveau moins élevé; c'était 
un but plus accessible pour le grand nombre que le but proposé 
par Abel. Trop indépendant dans ses conceptions pour vouloir 
suivre servilement les traces de son émule, il imprima au déve- 
loppement de la science la marque personnelle de son cachet, et 
nous pouvons dire, de son individualité. Car l'esprit de Jacobi 
pénétrait plus aisément, dans ces matières, les investigations 
générales du monde scientifique que l'esprit de Gauss ou d'Abel, 
et c'est sur les formes tracées par lui que ces investigations 
roulaient. 

Quoi d'étonnant alors si l'attention générale se portait, avec 
une si grande préférence vers le survivant hautement honoré et 
hautement méritant, et qu'Abel, letiré dans son coin paisible, 
— d'où il disparut juste au moment où Jacobi se présentait avec 
son ouvrage capital, — qu'Abel tomba devant lui dans l'oubli : 
il n'avait pour garant que la valeur de ses écrits, trop élevés 
pour la plupart des lecteurs, et rafrectioii qu'il avait trouvée 



122 NIKI.S-HHMUK AIIFI.. — | IX. 

chez un vieil ami et compatriote de son émule. Quoi d'étonnant 
si le son vide de la gloire prit en grande partie la place de la 
gloire elle-même? Rion de plus naturel aussi que de voir les 
fausses attributions de propriété, qui depuis longtemps déjà avaient 
eu lieu, égarer toujours les esprits. Car il y avait tant de choses, 
faites pour désorienter, qui continuaient à subsister et qui ne pou- 
vaient que porter le trouble dans les esprits. Les idées erronées 
continuèrent donc à enfoncer plus profondément leurs racines. 

Pour ramener les choses à leur véritable situation, il faut donc 
remonter aux sources, et apporter de nouveaux éclaircissements, 
qui ne peuvent pas être cherchés exclusivement dans les textes 
anciens. L'histoire de ce qui s'est passé pendant ces jours-là doit 
être reprise en détail et mise en rapport avec les documents qui 
proviennent d'autres sources, et surtout de notre propre pays. 

Si de cette manière quelques illusions anciennes et accréditées 
sont dérangées, si dans tout ce qu'il y a de grand il doit se trouver 
des côtés d'ombre; si des erreurs, qu'ailleurs on devrait laisser 
en paix, sont mises en évidence parce qu'il le faut pour rendre 
au possesseur légitime son droit de propriété littéraire, il en 
résultera inévitablement des conséquences pénibles. Mais ce n'est 
qu'à ce prix qu'on peut satisfaire à la justice historique. De cette 
recherche sortira pourtant une image plus complète et d'un plus 
vif coloris ; c'est toujours ce que l'on gagne, en pénétrant à fond 
dans le vrai. 

Le rang comme inventeur, attribué à Jacobi, sera diminué, 
en même temps que cette communauté entre lui et Abel se 
dissoudra. L'opinion traditionnelle sur le mérite relatif des 
deux champions devra aussi être modifiée; plus d'un reflet 
romanesque en disparaîtra. Mais Jacobi lui-même, le travailleur 
si hautement doué, si infatigable, qui a si bien mérité de la 
science, ne peut être jugé d'après quelques-unes de ses années de 
jeunesse et uniquement par comparaison avec un Abel. Car, 
malgré des conditions favorables d'une autre nature, il luttait 
contre son émule à armes inégales, et s'était préparé trop tard 
pour un tel combat. On ne doit pas non plus oublier que c'est 



AHEL KT JACOni. 123 

seulement pour une très courte période que nous avons à nous 
occuper de Jacobi. Si ce qu'il a fait de grand et de bon apparte- 
nant à celte époque couvre quelques fautes, ({ui ne doivent pas 
être ici dissiuuilées, ce n'est toutefois qu un fragment détaché de 
Tensemble, un épisode d'une vie de jeunesse, où s'agitait 
rénergie d'une ame ardente. 



124 NIELS-HENIUK ADEL. — ^ X. 



X. 

La découverte par Abel des fonctions elliptiques. — Les 
théorèmes de transformation de Jacobi, et leurs rapports 
avec les fonctions elliptiques, ainsi qu'avec la théorie 
définitive de Legendre. 

Dans les tristes circonstances au milieu desquelles se trouvait 
Abel à son retour dans son pays, ce fut en septembre 1827 que 
parut dans le Journal de Crelle la première partie de son 
mémoire cité plus haut et devenu depuis si célèbre, les Recher- 
ches. Quoique ce Mémoire, auquel il travaillait pendant son 
séjour à Paris en 1826, et sur lequel il donnait à cette époque 
des éclaircissements dans des lettres à Holmboe ainsi qu'à 
Crelle; quoiqu'ainsi, lorsqu'il fut remis à Téditeur lors du retour 
par Berlin, il ne fût pas encore achevé, il était cependant d'une 
étendue considérable, et la nouvelle théorie des fonctions ellipti- 
ques, par ce travail faisant époque, se trouvait (ondée ('). 

Dans les mêmes mois parurent, dans les Astronomische 
NachricJtten de Schumacher, les énoncés connus de Jacobi 
concernant la théorie des transformations; le premier était daté 
du 13 juin, le second du 2 août. L'ensemble n'occupait dans le 
journal guère plus d'une feuille; mais, malgré l'absence de 
développements, ce n'en était pas moins une œuvre de grande 
importance. On y trouvait une généralisation de Tancienne 
théorie des transformations, telle qu'elle existait depuis Legendre. 
Toutefois la première généralisation, qui avait été publiée dans le 
mémoire du juin, et qui d'une certaine manière constituait le 
premier pas, avait été faite par Legendre lui-même sans que 



(*) Celle première partie du niomûire : Rccherrhes sur les fonctions elliptiques, 
se Irouvc n» W\, t. ], de raiiciennc édition, p. lil à 2"2l (ii" \\1, t. I, de la nouvelle 
édilion, p. 2G3 à 351). 



TIlKOinblKS l)K JACOiJI. 12') 

Jacûl)i cil ciU connaissiincc. f.G mémoire (raodl, qui du reste 
coiîteniiil comme supplcmcnt une comniunication à Le^endre 
du 5 du même mois, était au contraire d'une plus haute valeur. 
Jacobi y avait découvert une vérité relativement d'une grande 
profondeur. 

Malgré cela, comme nous Tavons dit plus haut, la découverte 
de Jacobi, telle quelle se présenta à cette époque, ne pouvait 
encore être considérée que comme un complément plus large de 
Tancienne théorie; on devait l'envisager comme une extension de 
la doctrine de Lcgendre. Car, comme cela ressort d'une lecture 
attentive des articles de Jacobi et de sa lettre à Legendre, aucune 
des deux grandes idées capitales, soit l'idée de l'inversion, soit 
celle de Texistence de la double périodicité, ne semble à cette 
époque être entrée dans son champ visuel. Naturellement on 
n'aperçoit alors nulle part une indication quelconque de la 
généralisation qui en résulterait pour les fonctions élémentaires 
simplement périodiques, et leur extension dans certaines fonctions 
nouvelles^ douées d'une espèce plus élevée de périodicité. 

Si l'on veut désigner la date de septembre comme l'époque 
remarquable où du fait de ces deux publications la théorie des 
fonctions elliptiques aurait été découverte simultanément par Abcl 
et Jacobi, on adopte dans ce cas une tradition inexacte. Pour ce 
qui regarde Abel, cette découverte existait déjà complète non seu- 
lement en principe, mais encore dans ses plus importants dévelop- 
pements. Par les idées qu'il y avait déposées, par son plan présenté 
avec clarté et avec ordre, par les indications qu'il avait données, 
et môme par le choix de ses notations — et, joint à cela, par les 
pensées et les méthodes qu'il avait fiUt connaître auparavant dans 
son mémoire de Freiberg (*), — il dominait, nous pouvons le dire, 
la nouvelle doctrine sur tous les points fondamentaux et dans 

(1) No YI. t. 1, de l'ancienne édition (n" XI, t. I, de la nouvelle). — En donnant à 
ce mémoire, historiquement si important, le nom sous lequel nous louons désigné 
plus haut, nous ne voulons pas dire qu'il ait été sans le moindre doute composé à 
Frciheri,'. D'après Holmboe, les mémoires d'Abel publics dans le Journal avaient élc 
rédigés en français et dans les premiers temps traduits en allemand par Crelle. 
Mais llolmbop, en les traduisant de nouveau en l'ranrais, n'a pas eu les originaux 



126 NIELS-IIENRIK ABEL. — | X. 

toute son étendue. Même la seconde partie des RecJiercJies, 
promise pour le cahier suivant, après l'établissement des principes 
et les lumineuses indications sur ce qui devait venir ensuite, 
n'aurait pas été nécessaire pour le complet achèvement de la 
théorie ; car sans doute des mathématiciens de rang bien inférieur 
auraient pu sur ces fondements continuer Fédifice. 

Jacobi avait fait une découverte importante. Ce qu'il y avait 
de plus caractéristique, c'était le passage par des transformations 
qui s'y rattachaient, et par la transformation dite complémentaire 
de la multiplication. Le théorème II, qui traitait de cette multi- 
plication, avait été seul communiqué par l'auteur à Legendre. 

Cette découverte, peut-être un jour à venir, mais sans qu'on 
en pût absolument répondre, aurait pu conduire à la nouvelle 
théorie; mais il n'est pas correct de dire que les bases de cette 
théorie fussent établies par ces propositions. 

Que ces mêmes propositions, cependant si peu comparables 
qu'elles soient, comme points de départ fondamentaux, avec ce 
qui a été exposé dans le mémoire étendu intitulé Recherches, que 
ces propositions constituassent un progrès au-dessus de l'ordi- 
naire, c'est ce qui n'est pas moins sûr. Cela ne ressort pas moins 
clairement des difficultés que présentaient leurs démonstrations. 

Le jeune géomètre, moins âgé de deux ans que le jeune Abel, 
était en effet parvenu seulement par voie d'induction à ses résul- 
tats, et les avait envoyés — sans faire ce qui est un devoir en 
pareil cas — sans donner une seule indication sur la manière 
dont il y était parvenu. 

Cependant la démonstration était désirée par Schumacher, qui 
avait fait paraître le théorème principal, mais qui n'avait aucune 
envie, ainsi qu'il l'écrit à Gauss le 28 août, <( à l'avenir de publier 
de telles annonces toutes nues, sans démonstrations à l'appui. » 

sous les yeux. Il paraît aussi avoir commis une erreur, en disant qu'Ahel n'avait 
écrit en allemand qu'une très courte noie de trois pages (n^ XXII, t. 11, de l'ancienne 
édition; n^ XII, t. H, de la nouvelle). Car il dit, le 16 avril 1826: « Vers la fin de 
février, je partis... pour Freiberç;, où je restai un mois pour composer un mémoire 
qui devait être inséré dans le/oufj.a.'. Jo l'ai écrit moi-même en allemand, et il sera 
imprimé tel qu'il est écrit. » 



TUKORKMKS l)K JACOIM. -1^7 

Schuinachor, (jui. visiblement, n'av;nt pas une grande sympathie 
pour .laeohi, lui lit savoir eu outre qu'(( il ne trouvait pas Vinser- 
tion de tels énoncés tout à lait convenable. » Ce l'ut là pour 
Jacobi une puissante excitation à compléter ce qui manquait. 

Cependant Lcgendre n'avait pas encore reçu la lettre deJacobi, 
laquelle, outre ce mémo théorème, contenait aussi le théorème 
complémentaire. La lettre avait été confiée à un négociant en 
voyage, et ne parvint à sa destination que dans les derniers jours 
de novembre; mais Legendre avait déjà, par les Aslronomische 
Naclirichtcn, eu connaissance de la théorie de Jacobi, dans 
rétendue correspondante à celle de cette publication. Gomme 
il résulte des témoignages de Schumacher et de Legendre, 
ce dernier, dès Fabord, n'avait aucune confiance dans cette 
généralisation de la théorie de la transformation de Jacobi, et il 
croyait que l'auteur ne pourrait pas démontrer ses théorèmes. Il 
avait supposé qu'ils étaient inexacts et que c'était simplement une 
induction trompeuse. On peut juger de l'importance qu'il y 
attachait cepejidant, à son point de vue et en considération de la 
construction de sa propre théorie, d'après cette circonstance que, 
le cas échéant, il en devait faire un supplément à sa théorie. 

La démonstration devait donc être cherchée à de grandes pro- 
fondeurs. Il en était de môme, à plus forte raison, si on voulait 
l'étendre au théorème complémentaire, ainsi qu'au passage à la 
multiplication. Ces résultats, avons-nous dit, avaient aussi été 
envoyés à Legendre depuis le 5 août, bien que leur remise eût été 
retardée; et aussi, à cette occasion, Jacobi avait omis de faire 
savoir que ce n'était qu'un intéressant résultat d'induction. Il est 
important de bien remarquer cette double omission, pour mieux 
comprendre les événements qui vont maintenant se développer. 

Vraisemblablement dans l'espérance illusoire de vaincre assez 
vite les difficultés, Jacobi, en continuant à garder le silence, se 
mettait dans une situation de plus en plus difficile. Jusque là 
toutefois c'était uniquement d'un seul côté que venait la pression : 
Schumacher pressait pour obtenir la démonstration absente. 

Sans aucun doute, Jacobi a été condiunnc alors aux études les 



128 • NIELS-HENHIK ABKL. — | X. 

plus laborieuses touchant les propriétés des transcendantes en 
question. C'était seulement ainsi qu'il pouvait espérer de trouver 
les moyens de justifier ce qu'il n'avait fait que vérifier sur des 
exemples, et de se tirer ainsi d'eujbarras. Ces elForts peuvent 
bien aussi lui avoir permis d'approcher d'assez près et même — ce 
qui est possible, quoique nous doutions qu'il lui eût été laissé 
assez de temps avant qu'il fût prévenu par Abel — d'arriver en 
contact direct avec la découverte fondamentale, comme nous 
avons vu que ce dernier l'avait fait. 

Abstraction faite de ce faux pas, qui pour le présent allait lui 
causer des embarras et en amener dans la suite de nouveaux, 
Jacobi dans Tannée i8'iî7, cherchant la démonstration d'une vérité 
importante qu'il avait trouvée, mais qu'il n'avait pas entièrement 
pénétrée, se trouvait ainsi dans une position assez semblable à 
celle d'Abel quatre ans plus tôt, lorsque celui-ci, à l'occasion de 
ses ((fonctions inverses)), s'était embarrassé dans des contra- 
dictions et exprimait sa détresse à Degen. 

Mais avec cette avance de plusieurs années, on ne devait pas 
s'attendre à ce que Jacobi, malgré sa puissance de travail et les 
dons élevés de son esprit, pût dans un laps de temps si court 
rattraper son émule. De la part d'Abel, il était donc naturel que 
le grand but capital fût déjà atteint. Avec une vue parfaitement 
claire sur son œuvre, il pouvait livrer au public ses théories 
fondamentales, et il se mit à les exposer suivant un plan mûre- 
ment médité et conforme de tous points à la nature des choses. 
Pour Jacobi, la position était moins favorable. Le génie d'Abel 
produisait ce que l'autre aurait peut-être produit aussi, si un plus 
long délai lui eût été accordé. L'œuvre de Jacobi ne consista 
donc pas à découvrir lui-même les nouvelles frontières — dont 
il s'était seulement approché, mais sans finir par les trouver. Au 
lieu de cela, il transporta les heureuses trouvailles qui lui appar- 
tenaient aux pays fertiles que le génie d'Abel lui avait montrés. 



THÉORÈMES DR JACORf. 120 

Le 18 novembre, Jacobi signa la déinonslralion de son tbéo- 
rènie primaire de translurmation, énoncé dans le Journal de 
Scbumacber. Toutefois la diiriculté de découvrir ces démonstra- 
tions, fondées sur des vérités profondes, n'avait pas encore 
complètement disparu; car le tbéorème complémentaire, celui qui 
avait été conjointement avec le premier communiqué à Legendre, 
demeurait toujours sans vérification. 

A cette époque, Legendre reçut la lettre de Jacobi restée en 
retard. Legendre put alors se convaincre que les résultats de 
Jacobi devaient s'encbaîner entre eux d'une manière exacte, 
sans toutefois que lui, Legendre, fût aussi en mesure de pénétrer 
plus avant dans le sujet. Il communiqua alors ces propositions 
remarquables à TAcadémie, et écrivit aussitôt après à Jacobi une 
lettre témoignant de sa vive approbation. Dans cette lettre, datée 
du 30 novembre, ainsi qu'il l'avait fait à la séance de l'Académie, 
il dit en propres termes qu'il voit maintenant que «ce n'est pas 
sur l'induction, mais bien sur une analyse profonde et rigoureuse, 
que Jacobi a établi sa proposition générale, jd II témoigne en 
même temps le désir que l'auteur lui communique l'analyse qui 
l'a conduit à ces deux formules. La grande expérience qu'il a du 
maniement de ces matières lui permettra de se contenter d'une 
simple indication de la méthode ou de son principe fondamental. 

Mais non seulement il restait une lacune à combler, attendu 
que pour le théorème complémentaire aucune vérification n'était 
encore trouvée, — sans doute, pour cette raison Jacobi n'avait pas 
même indiqué l'existence d'une seconde proposition de même 
nature, omission peu naturelle au sujet de ce mémoire, s'il n'y 
avait pas été contraint, — mais dans la démonstration du théo- 
rème primaire, il y avait encore quelque chose qui annonçait que 
le sujet dans son ensemble n'était pas parfaitement possédé par 
l'auteur. C'était en tous cas peu satisfaisant, en ce qu'il manquait 
un développement déductif, par lequel les nouveaux faits pussent 
se rattacher naturellement aux faits connus. Malgré l'ingéniosité 
qui apparaît dans les développements, ce côté faible avait été 
remarqué, et Legendre le relève aussi, tout en parlant avec grand 

9 



130 MELS-IIENUIK AHRL. — | X. 

(ilogo de la démonstration de Jacobi, dans une analyse qu'il en 
donne dans le môme journal de Schumacher. 

Entre autres choses, il s'exprime ainsi dans un passage de cet 
arLicle : cr Ici on doit regretter que l'auteur remplisse la tâche 
qu'il s'est imposée par une sorte de divination », et en touchant 
ensuite un point capital, important aussi, dans cette exposition, 
pour ce qui doit suivre, a: sans nous mettre dans le secret des idées 
dont la filiation l'a amené progressivement à la forme que doit avoir 
1 — y pour satisfaire aux conditions du problème. Au reste», 
njoute-t-il ensuite, « cette suppression des idées intermédiaires 
s'explique assez naturellement par la nécessité de ne pas donner 
trop d'étendue à une démonstration qui devait être insérée dans 
un journal scientifique, et il est à croire que quand l'auteur 
donnera un libre cours au développement de ses idées, dans un 
ouvrage composé ad hoCj il rétablira les intermédiaires dont 
l'absence se fait remarquer. )) 

Combien était sensible cette absence des éléments déductifs 
relevée par Legendre, c'est certainement une appréciation qu'ont 
partagée avec lui un bon nombre de lecteurs. 



Dans cette démonstration, ou plus exactement, dans cette 
preuve par vérification, non seulement le premier théorème se 
trouve rigoureusement établi, mais, ce qui est encore plus 
essentiel, on y rencontre, dans l'enchaînement des conclusions, 
ce que l'on appelle {'inversion. Et cette idée n'est pas appliquée 
seulement ici, mais elle l'est aussi dans tous les mémoires 
suivants. Le résultat, dont la vérité est démontrée revêt par là 
d'ailleurs une forme différente de celle sous laquelle il avait été 
présenté d'abord, et de cette forme il ne revient plus maintenant 
à la forme ancienne. 

L'introduction de l'algorithme de l'inversion dans ce mémoire 
de Jacobi est maintenant ce qui a donné lieu à l'opinion que 
Jacobi aussi avait découvert le principe de ^inversion. Nous 
allons donc considérer la succession des dates et l'entrecroise- 



THi:onÈMKS de jacobi. 131 

ment des travaux, ainsi que Tattitudc gcmérale à cette époque. 

Le 20 septembre, c cst-ù-dire deux mois avant que Jacobi signât 
la démonstration de son tiicorème primaire, fut publié — d'après 
des renseignements recueillis à Berlin, à l'occasion de la prépa- 
ration d'une nouvelle édition des Œuvres d'Abel — le deuxième 
fascicule du tome II du Journal de Crelle, contenant la première 
partie des Recherches ('). Cette partie du mémoire d'Abel était 
elle-nième d'une étendue considérable. Elle contenait d'abord 
les propriétés fondamentales des nouvelles fonctions, propriétés 
qui, d'une manière parfaitement correcte, et conformément au 
contenu de son § 1", furent définies comme se composant de 
XinversioUy de Vaddition et de la double périodicité. Après ces 
propriétés fondamentales, qui furent désignées par Abel lui-même 
comme le fond de ses découvertes, viennent les propriétés déri- 
vées. Il explique la théorie de la multiplication, celle de la division 
et celle du développement en séries, A partir de ce point, le 
mémoire devait être « prochainement continué. ï) 

Après une courte remarque historique, ce mémoire débute 
par les mots suivants, qui précisent immédiatement l'idée 
capitale. « Je me propose », dit l'auteur, «dansée mémoire, 
de considérer la fonction inverse, ce qui veut dire, etc.... » 
Et comme nouveau témoignage de ce qu'Abel s'était convaincu 
que cette idée était aie plus haut degré un point de départ 
fondamental — sans rappeler de nouveau le petit mémoire 
inconnu de 1823, dans lequel l'inversion est indiquée d'une 
manière si précise par ces mots : « les fonctions inverses des 
transcendantes elliptiques» — nous citerons encore ses paroles, 
lorsqu'il se décida à donner, dans un mémoire distinct, une suite 
à ses Recherches. La seconde partie de ce travail (ce qui est 
caractéristique de son point de vue et de l'unité complète d'esprit 
et de plan qui y régnait), il la considérait comme faisant avec la 



(^) On voit aussi, d'après une lettre à Legendre, datée du 12 janvier 1828, que 
Jacobi recevait à ce moment le troisième fascicule du tome II. Mais le fascicule 
suivant, dans lequel il avait espéré trouver la fin des Recherches, portait la date du 
12 décembre 1827. 



132 NIELS-IIEXUJK AI{|:L. — I X. 

première un seul mémoire (^). Dans un avant-propos précédant 
cette suite Ç^), il dit dans les premières paroles de Tintroduclion :-^ 
(( Dans le mémoire sur les fonctions elliptiques, inséré dans le 
tomes II et III de ce Journal, j'ai développé plusieurs propriétés 
de ces fonctions tirées de la considération des fonctions inverses 
Je vais continuer ces recherches dans ce second mémoire. » 

Le Journal de Berlin en question, dès Tépoque dont il s'agit 
avait l'honneur d'être favorisé d'une Ihàiiger Defôrderung Iloher 
Koniglich Preussùcher Beliôrden, et un nombre considérable de 
ses exemplaires étaient distribués aux divers établissements 
d'instruction et aux bibliothèques. Sans aucun doute, dans un laps 
de deux mois, il avait donc eu tout le temps nécessaire pour 
parvenir a Konigsberg. Nous ne pourrions pas même concevoir 
qu'il ne fût pas arrivé largement assez tôt, et certainement un 
mois avant que Jacobi envoyât son mémoire de vérification. 

Or l'envie ne peut avoir manqué à Jacobi de se procurer les 
cahiers du Journal, qui parvenait alors très rapidement à Konigs- 
berg, et, en particulier, ce deuxième cahier, où étaient insérées 
les Recherches, ^lôme en supposant que cet ardent travailleur 
n'eût aucune connaissance de l'arrivée prochaine d'un mémoire 
si considérable et si important, traitant des sujets qui l'intéres- 
saient profondément, il y avait au moins pour lui-même quelque 
chose à attendre. Jacobi, qui était docent dans cette université 
prussienne, collaborait activement au Journal. Juste dans le 
môme cahier où les Recherches avaient paru, on trouve un mé- 
moire de Jacobi, daté du mois de juin ; de même on voit que dans 
ce même mois, ainsi qu'en mai, il avait envoyé deux mémoires, 
qui cependant ne furent imprimés que dans le troisième cahier. 
Avant l'époque dont il s'agit, il avait en outre envoyé un certain 
nombre d'autres mémoires pour le Journcd, qui ne purent être 
imprimés que dans le quatrième cahier. Et, chose assez remar- 
quable, il y avait parmi ces envois un petit travail astronomique, 



(^) Il l'avait aussi indiqué en annonçant la continuation dans le prochain cahier. 
(2) Nouvelle édition, t. Il, p. 244. 



TliriORKMI-S I)K .lACOUI. 133 

daté du 50 août, tandis qu'il venait, le 2 août, d'adresser son 
mémoire purement matliématique sur la transformation aux 
Asfronomischc Nachrichtcn. 

Dans ces circonstances, il est peu croyable que le jeune Jacobi, 
ù ce moment, n'ait pas cberclié à prendre connaissance du 
contenu de ces cabiers, aussitôt qu'ils lui sont parvenus. Au 
milieu des diiïicultés qui l'environnaient, et avec le puissant 
intérêt qu'il devait avoir d'étudier à fond un mémoire tel que celui 
d'Abel, il n'est certainement pas possible que, avant d'envoyer 
son propre article, il n'ait pas remarqué l'existence de ce travail 
si important pour lui, ou du moins qu'il ne se soit pas, à un 
degré quelconque, rendu compte du contenu et de l'objet de 
ce travail. Or non seulement c'est ici que pour la première fois 
apparaît l'idée de l'inversion, mais tous les développements 
y ont été faits en prenant pour base ce principe et à l'aide des 
premiers éléments; de telle sorte que les fondements de la 
nouvelle théorie, pour tout lecteur compétent, se montrent au 
grand jour, avec clarté et rigueur. 

Tl résulte déjà de ce que nous venons de dire que c'est unique- 
ment par une erreur historique sur les faits réels, fondée sur une 
connaissance insuffisante des travaux dont on parle, qu'on a été 
conduit si généralement à dire et redire — dans les livres et dans 
les mémoires — que Jacobi a dû fonder en même temps qu'Abel 
la nouvelle théorie des fonctions elliptiques et qu'il l'a fondée 
sur la base de l'inversion. Cette opinion a passé par emprunt 
d'un auteur à l'autre, souvent môme avec des altérations et 
des méprises, ce qui devait nécessairement arriver dans ces péré- 
grinations, les sources souvent n'étant pas consultées, ou l'accès 
n'en étant pas toujours possible. 

Il aurait pu se faire que Jacobi lui-même fît valoir ses réclama- 
tions. Mais l'introduction de cette idée dans son mémoire de 
vérification ne s'est jms produite de sa part avec la prétention 
que ses propres recherches eussent révélé une idée fondamen- 
tale; une idée, en d'autres termes, qui au môme moment quelle 
était conçue indépendamment d'Abcl — qui Favait déjà exposée 



134 NIELS-HENRIK ABEL. — § X. 

— se serait ofTcrlc à ses yeux avec toute sa portée, et qui se 
serait trouvée confirmée ensuite par des travaux d'essais. Il n'est 
pas fait la plus légère mention de ce que, derrière ces documents 
à Tappui de ses propositions, se cachait un plan détaillé, dressé 
par lui-même, d'après lequel une branche de la science venait de 
prendre naissance, une nouvelle méthode, continuant et embras- 
sant les plus élémentaires et les plus importantes de nos fonctions 
transcendantes. 

Il eût été doublement nécessaire que l'auteur eût déclaré si les 
choses s'étaient passées ainsi relativement aux Recherches main- 
tenant publiées, si sur ce point il y avait quelque chose à réclamer. 
llaiirail dû, alors ou peu de temps après, rédiger une justification 
de l'indépendance d'une telle idée fondamentale, émise immé- 
diatement après l'apparition de la même idée d'un autre côté, 
justification où il se serait expliqué au sujet d'une découverte 
personnelle d'une si haute valeur, mais par laquelle il aurait 
perdu le droit de première publication. Car dans le cas même où 
les Recherches^ contre toute probabilité, seraient parvenues à une 
époque postérieure entre les mains de Jacobi, alors Jacobi ne 
pouvait pas ignorer le droit de priorité d'Abel et les circonstances 
de la publication de son mémoire. Certainement ce fut dans ce 
temps là, pour la plupart des lecteurs, une chose dont on ne 
s'est pas inquiété, et qui par suite est tombée dans l'obscurité. Il 
est très certain qu'il aurait trouvé une occasion pour proclamer, 
avec clarté et précision, que l'inversion était aussi une idée qui 
lui appartenait, — bien qu'Abel eût pris les devants, — en tant 
que lui, Jacobi, non seulement avait fait indépendamment cette 
découverte, mais en même temps parce qu'il avait aperçu que 
par là il avait fait quelque chose de plus élevé que résoudre un 
grand problème de transformation. 

C'est ainsi qu'il parle expressément de son droit de priorité vis- 
à-vis d'Abel, concernant la publication de la théorie de la trans- 
formation elle-même. De même aussi Abel, de son côté, quand 
Jacobi a pris les devants sur lui, soutient qu'il a établi indépen- 
damment et depuis longtemps ses propres théorèmes de transfor- 



Tfll'.ORÈMKS DE JACORI. 135 

rnnlion. En ce qui concerne Tinversion, le grand point capital, 
Jacobi no prétend pas y avoir reconnu avant Tintervention d'Ahel 
un principe fondamental, d'où devait sortir une branche de la 
science. 

On ne voit non plus aucune trace d'une pensée si importante, 
même dans la dernière lettre à Legendie du 5 août. Dans le 
cas le plus lîivorable Tinversion a donc été pour lui une idée toute 
nouvelle, et même dans ce cas elle ne s'est pas présentée comme 
un principe, mais seulement comme un moyen. Chez Abel, au 
contraire, Tidée avait mûri pendant longtemps, et elle avait 
grandi chez lui depuis l'été de 1823, date la plus récente qu'on 
puisse admettre pour son origine. 



Les choses se sont plutôt passées ainsi : Jacobi n'a pas du tout 
pensé à donner un précis original et lui appartenant en propre 
d'une branche de mathématiques, qui dût comprendre les fonctions 
circulaires; loin de là, en s'adonnant à ces recherches d'une 
haute importance certainement et, malgré leur programme limité, 
exigeant encore des efforts ingénieux, il ne sortit pas de la période 
des travaux préparatoires. Il en était encore au point, où Abel 
avait été longtemps auparavant, sur la voie des recherches nais- 
santes, voie souvent obscure et douteuse, et ne connaissait qu'à 
demi son but. Il n'était pas encore maître de son champ d'opé- 
ration ; il avait été et, pour ce qui touche des points nombreux et 
importants, il était encore dans l'embarras. Pour ce penseur qui 
s'était aventuré si avant, il y avait encore maint combat à soutenir 
et maints efforts à faire, avant que les diflicultés qui l'entouraient 
pussent être surmontées. 

Il fallut ainsi que la nécessité le conduisît — comme l'avenir 
Ta bien confirmé — aux études les plus laborieuses et les plus 
assidues du travail fondamental d'Abel. C'est par là seulement 
que, avec la moindre perte de temps, il put parvenir à la clarté 
qu'il cherchait, et se tirer de la gêne où le mettaient autant son 
génie primesautier que son impatience juvénile. 



\% NIFLS-IIKNRIK ABEL. — | X. 

L'inversion jacobiennc se préscnle, en conformité avec la 
place qni lui est due, comme une idée intercalée, non comme 
une idée depuis longtemps dominante et pénétrante. Elle se 
subordonne au problème spécial, au lieu de le dominer. L'inver- 
sion est donc ici quelque chose d'intermédiaire, moyennant quoi 
les considérations sont facilitées et la forme est changée; c'est 
une chose utile, dont on aurait pu se passer. Rien, en réalité ne 
s'opposerait à ce qu'on effectuât la démonstration avec les 
notations de Legendre, comme cela eut lieu en etîet exclusive- 
ment, lorsque les résultats furent publiés pour la première fois. 
L'exposition tout entière nous apparaît pour ainsi dire traversée 
par un double courant, ce qui s'accorde bien, en effet, avec la 
position contraire, assignée par Jacobi, vers le milieu du mé- 
moire, à la grande idée nouvelle. Et en considérant les cboses 
au point de vue de la forme, on ressent la même impression que 
si c'était à Taide d'une pensée reçue du dehors ou venue en 
retard que Jacobi eût mené à bonne fm la démonstration, objet 
de tant d'efforts, ou du moins qu'il eût pu introduire par là dans 
cette démonstration une modification importante. 

Mais, quoi que l'on puisse maintenant plus ou moins légitime- 
ment conclure de la place accordée fortuitement à l'inversion, il 
est toutefois certain que Jacobi, en l'introduisant, ne lui attribue 
immédiatement aucune autre importance que celle de fournir une 
notation plus simple. Il l'annonce en ces mots : Nolatione nova 
simpliciorique abhinc iitar. En admettant que ce ne fût pas un 
emprunt fait à ces Recherches, dont la publication était alors un 
fait, cette innovation n'était encore considérée que comme un 
algorithme abréviatif et commode dans le calcul, et nullement 
comme un principe important, devant élargir le cercle des fonc- 
tions connues. D'autre part, si l'inversion est un emprunt fait à 
Abel. — ce qui ne peut faire l'objet d'un doute si l'on a égard au 
temps et aux circonstances, — et si seulement, pour une raison 
quelconque, la forme a été changée, le dessein de Jacobi, cela 
va sans dire, n'a pu être de prime-abord que de tirer profit de ce 
que la science avait fait connaître depuis lors, et particulièrement 



TIli'.OnKMKS DK JACOMI. 137 

il a voulu introduire dans lo luanicmentdu problème qu'il traitait 
une amélioration consistant en une notation plus commode et 
un mode de considération simplifié. Mais il ne pouvait plus alors 
parler de rimportancc capitale de l'inversion — à moins de citer 
le nom d'Abel; car l'idée, prise dans le sens élevé, comme un 
grand principe^ appartenait à un autre. 

Mais cette manière dont Jacobi désigne les choses ne montre 
pas seulement quelle était la vraie situation. Si l'on compare ce 
qui est énoncé dans les Fundamenta nova avec ce que Ton trouve 
dans son mémoire de vérification, on arrive au même résultat; 
on est conduit à la même conclusion, que, dans la rédaction du 
dernier, il a mis à profit les Recherches d'Abel. Dans le mémoire 
cité, contenant sa démonstration, Jacobi applique en réalité 
l'addition aux fonctions elliptiques, c'est-à-dire l'addition sous la 
forme qu'elle revêt au moyen de l'inversion. Il ne vise ici immé- 
diatement aucun but indépendant, et il ne s'arrête pas à cet 
objet. Il est plutôt aisé de voir que toutes ces considérations ont 
pris une place secondaire, et qu'elles ne servent que de point de 
passage dans sa démonstration. Dans les Fundamenta nova, Jacobi 
attribue l'addition et la multiplication à Abel, sans revendiquer 
cette addition, malgré son importance essentielle, comme une 
chose à laquelle il serait parvenu indépendamment. Mais lorsque 
ainsi, même par cette voie, il ne fait aucune réclamation au sujet 
de l'inversion, cette idée fondamentale n'a pas été certainement 
dans sa propre pensée. L'addition abélienne ne signifie rien, en 
effet, sans l'inversion; car c'est jusqu'à Euler que remonte le 
théorème d'addition pour les transcendantes elliptiques. Il n'est 
donc pas douteux que Jacobi a eu les Recherches entre les mains, 
qu'il les a étudiées et qu'il a profité de leurs ressources. 

On ne pourra pas dire non plus que cette façon d'agir était une 
renonciation par laquelle il abandonnait tout le mérite à Abel 
comme au premier inventeur. Ce serait une abnégation peu 
naturelle, et aussi Jacobi, dans son ouvrage fondamental publié 
quelques années plus tard, revendique trop énergiqucment ses 
droits, en omettant même souvent le nom d'Abel, pour que la 
supposition d'une telle intention soit admissible. 



138 NIELS-HENRIK ABEL. — | X. 

Certainement Jacobi n'a donc eu aucune part dans Tinversion. 
Mais quand môme, dans ses travaux préliminaires, il aurait em- 
ployé une notation simplificative, coïncidant fortuitement avec 
celle de l'inversion, il avait encore un long chemin à parcourir 
avant d'arriver à y voir un vrai principe, même un principe d'une 
importance exceptionnelle. Après de longues études méthodiques 
et des essais attentifs, il dut être convaincu, avec une entière 
évidence, que c'était là le vrai chemin à suivre. Sans la vue des 
grands pays à conquérir, on n'a pas encore la découverte, mais 
tout au plus sa possibilité lointaine. 



Mais on rencontre encore d'autres lacunes essentielles dans le 
mémoire de vérification de Jacobi, lacunes importantes, si l'on 
voulait conclure de ce mémoire qu'à ce moment, sinon plus tôt, 
il venait de fonder la théorie des fonctions elliptiques. Il y 
manque ainsi cette utilisation du principe des imaginaires, reliée 
avec l'idée de l'inversion de manière que la double périodicité 
puisse en découler. En réalité, on n'obtient ici que la périodi- 
cité simple, et il n'y a plus ainsi rien de nouveau, mais le 
résultat est semblable à celui de la trigonométrie dans la forme 
de l'expression, qui était calquée sur le modèle des notations de 
Lcgendre. Sous cette forme trigonométrique on ne trouvait pas 
encore la généralisation des fonctions circulaires, et moins encore 
celle des fonctions exponentielles. 

On ne pouvait pas non plus dire que des résultats comme les 
précédents lui appartinssent; car tout ici est attribué par lui- 
même à Abel d'une manière précise. Cela résulte, et bien d'autres 
choses aussi, de la lettre de Jacobi à Legendre du 12 janvier 1828. 

Cette lettre est d'une grande importance, et cela sous plusieurs 
rapports en dehors de celui qui nous occupe. Jacobi, comme nous 
allons voir, exprime sa reconnaissance des éloges que Legendre 
lui a donnés; mais il n'ajoute sous une forme précise aucune 
restriction aux paroles partant du cœur qui ont été prononcées à 
sa louange en pleine Académie, bien que ces paroles continssent 
une erreur, dans laquelle Jacobi, par son silence sur la vraie 



Tni^:onÈMES de JAConr. 139 

position (le la qurslioii avait fait tomber le vieux géomètre. 
« Heureusement », avait dit celui-ci dans r^i communication 
élogieuse, « renvoi de cette lettre y> (que Legcndrc avait eu 
rinleniion, quelque temps auparavant, d'envoyer à Jacobi) (ca 
été assez retardé pour que j'aie pu reconnaître que c'était moi qui 
me trompais, et que M. Jacobi, sur ce point comme sur les autres, 
avait complètement raison; et je l'ai reconnu avec d'autant 
plus de plaisir que c'est un sujet dont je m'occupe depuis plus 
de quarante ans, qne j'ai ainsi été surpassé par M. Jacobi, mon 
émule. Ce n'est pas par induction », ajoute-t-il encore, «que 
M. Jacobi est parvenu aux résultats qu'il a publiés; c'est par une 
théorie profonde et infaillible, et à l'aide de deux théorèmes 
entièrement nouveaux, qu'il a fait cette découverte, qui agrandit 
considérablement la théorie des fonctions elliptiques » (suivant le 
langage adopté aujourd'hui, il s'agit des transcendantes ellipti- 
ques, la nomenclature ayant subi un changement depuis le temps 
de Legendre), « et en fait une branche parfaite dans son genre, et 
qui ne peut être comparée à aucune autre. 

«Une principale conséquence entre une infinité d'autres qui 
résultent de cette savante analyse», poursuit-il encore, «c'est que 
la trisection de la fonction F, qui dépend en général d'une 
équation algébrique du neuvième degré, se réduit à deux équations 
du troisième; que la quintisection, qui est du vingt-cinquième 
degré, se réduit à deux équations du cinquième; de sorte que 
la considération des propriétés de notre transcendante sert à 
résoudre des problèmes d'analyse algébrique d'une grande diffi- 
culté et en nombre infini. » 

Jacobi exprime sa gratitude en ces termes: a: Je chercherais 
en vain à vous décrire quels furent mes sentiments en recevant 
votre lettre du 30 novembre, et en même temps le numéro du 
Globe qui contient la communication que vous avez bien voulu 
faire à l'Académie des Sciences de mes essais. Je me sentis confus» 
accablé de cet excès de bontés que vous m'avez eues, et du 
sentiment que jamais de ma vie je n'en saurai mériter de pareilles. 
Comment vous rendre grâce? Quelle satisfaction pour moi que 



140 NIELS-HENRIK ABEL. — § X. 

rhomme que j'admirais, tout en dévorant ses écrits, a bien voulu 
accueillir mes travaux avec une bonté si rare et si précieuse! 
Tout en manquant de paroles qui soient de dignes interprètes de 
mes sentiments, je n'y saurai répondre qu'en redoublant mes 
efforts à pousser plus loin les belles théories dont vous êtes le 
créateur, d 

On ne peut le nier, la position de Jacobi était difficile. Son 
premier silence avait amené une conséquence inattendue et fatale; 
en même temps il y avait pour lui beaucoup d'honneur mérité. 
En présence de cela, et avec l'espoir de vaincre promptement les 
difficultés, il lui devait sembler bien dur de repousser résolument 
ces fausses apparences, qui enveloppaient de toutes parts ses 
mérites réels. Et il succomba sous l'empire d'une forte tentation. 

Il y a ici une étrangeté, qui se présente presque comme 
étant plus qu'un pur hasard : — c'est maintenant Abel que Jacobi 
nomme pour la première fois, et qu'il introduit auprès de 
Legendre. En faisant usage de la notation dont il s'était servi 
depuis qu'il avait écrit son mémoire de vérification, il explique à 
Legendre des parties essentielles du contenu des Recherches I. 
Et en suivant attentivement la marche de ses idées, on voit que 
les passages de ce mémoire qu'il expose de préférence sont 
précisément ceux qui pourraient avoir un intérêt pour ouvrir 
rintelligence du passage du théorème primaire au théorème 
secondaire^, dont il cherchait la démonstration, — mais une 
démonstration aussi indépendante que possible de toute connexion 
avec les découvertes d'Abel. Il cite entre autres un théorème fon- 
damental d'Abel, comme il l'appelle, et c'était justement très utile 
en ce sens pour Jacobi. Ce théorème est donc ici attribué par lui 
à Abel. Mais plus tard, dans une lettre à Legendre, datée du 
12 avril, Jacobi explique qu'il avait trouvé lui-môme ce théorème; 
et que par là il avait été conduit à deviner son théorème com- 
plémentaire. Ce dernier, très simple et si fondamental pour les 
recherches de Jacobi, coïncide ainsi avec celui qu'il avait précé- 
demment attribué à Abel,— mais à la condition qu'il fût dépouillé 
de son costume d'inversion. Jacobi passe ensuite à la double 



THÉORÈMES DE JACOltl. 141 

périodicité, qu'il ne revendique pas pour lui-môme, et il expose la 
division d'Abel, si im[)orlanle pour la théorie de la transformation; 
après quoi il passe à la division de la lemniscate. Enfin il fait 
remarquer chez Abel le passage au développement des fonctions 
elliptiques en séries infinies, avec cette observation, qu'ici il 
n'existe plus aucune difficulté. 

Il ajoute ensuite : « Vous m'avez permis. Monsieur, de vous 
communiquer l'analyse dont je me sers. Une démonstration 
rigoureuse du théorème général concernant les transformations 
s'imprime à présent dans le journal de M. Schumacher; elle vous 
sera envoyée aussitôt qu elle sera imprimée. Mes recherches ulté- 
rieures sont encore loin d'êtres finies, etc. y> 

Avec ces paroles, qui éveillent chez Legendre l'idée que 
Jacobi traiterait dans le journal de Schumacher et son premier et 
son second théorème de transformation, Jacobi se tire mainte- 
nant d'embarras à l'égard de son théorème complémentaire, qu'il 
était pour Legendre aussi important d'approfondir que le théorème 
primaire. A la place d'une courte explication des idées conductrices 
de ces deux démonstrations — c'était là ce que demandait Legendre 
— il lui arriva ainsi une longue exposition des théorèmes d'Abel, 
et ensuite il lui fut promis une analyse, qui était en partie faite, 
mais que l'on devait croire destinée à être prochainement complé- 
tée dans le Journal. Finalement Jacobi profite de foccasion pour 
exposer ses recherches concernant les équations modulaires, etc., 
après quoi il termine en renouvelant l'expression de sa reconnais- 
sance : (( Adieu, Monsieur, daignez recevoir les respects les plus 
profonds que m'inspirent la supériorité de vos lumières et la 
générosité de vos sentiments. Jamais de ma vie je n'oublierai 
cette bonté de père avec laquelle vous avez voulu m'encourager 
dans la carrière des sciences. Votre dévoué serviteur, G. G. J. Ja- 
cobi. » Immédiatement après on lit en postscriptum : a Le troisième 
cahier du Journal de Crelle, que je viens de recevoir, ne contient 
pas encore la suite du Mémoire de M. Abel {}). » 

(*) Il s'agit de la suite des Recherches. La première partie avait été publiée dans 
le 2« cahier du tome II du Journal, et il fut ajouté à la fui du mémoire que 
l'article serait continué dans le prochain cahier, par suite le 3^ 



I't2 NIELS-HENRIK ABEL. — | X. 

Mais quand maintenant l'inversion n'est pas revendiquée 
comme un principe appartenant aussi à Jacobi; quand tout 
indique que c'est un emprunt, qui ne joue d'autre rôle que celui 
de simplifier la notation; quand la nouvelle addition, issue de 
l'idée de l'inversion, est dans un autre endroit attribuée à Abel, 
également sans aucune réclamation de la part de Jacobi ; quand 
la double périodicité n'apparaît même pas; quand il en est de 
même aussi pour la multiplication — qui est liée à la double 
périodicité aussi bien qu'à l'addition d'Abel, — la multiplication 
que Jacobi à plusieurs reprises reconnaît comme appartenant à 
Abel; — quand, à plus forte raison, la division est absente aussi; 
quand on ne rencontre pas davantage les développements en 
séries des nouvelles espèces de fonctions — toutes choses en 
réalité comprenant ce qu'il y a de plus fondamental, et qui, dans 
la partie des Recherches publiée en septembre, se trouvent expo- 
sées au grand complet; — quand les choses se sont passées 
ainsi, — alors le mémoire de Jacobi relatif à la découverte des 
fonctions elliptiques n'a pas été un fondement ^ mais seulement 
un beau et important surhaussement de l'édifice. 

Bien plus, malgré tout ce qu'il y a de fondamental introduit 
dans ce mémoire et dans les notes et additions qui Tont suivi, 
jusqu'à l'apparition des Fnndamenta nova; malgré tous ces élé- 
ments empruntés aux Recherches, parce que Jacobi, tout en 
traitant son problème de transformation, s'efforçait aussi de 
donner des développements et des amplifications à des thèmes, 
qui, quant à leurs bases, se trouvaient déjà exposés dans ce 
mémoire d'Abel; malgré l'emploi fréquent qu'il était ainsi à 
même de faire des ressources de son devancier, et malgré l'enchaî- 
nement de plus en plus étroit qui s'opérait entre les idées et les 
sujets à traiter des deux côtés, voici quelle était encore la position 
réelle : de ces travaux de Jacobi, dans lesquels si naturellement 
l'ordre méthodique, à partir des principes mômes, manque et 
devait manquer — la nouvelle doctrine ne pouvait même se 
dégager avec clarté. 

On a de cela, en effet, un témoignage, l'attitude de Legendre 
en face des découvertes dont il s'agit. Le vieux maître, pendant 



+ 

! 



TIIIOOUÈMES DE JACOIM. i4'] 

une longue suite (.rannées, s'était occupé de la tliéoiie des trans- 
cendantes elliptiques. Son intérêt sétait fortement concentré sur 
les recherches de Jacohi, phis rapprochées des siennes propres 
que celles d'Abei. Aussi était-ce Jacobi qu'il étudiait de préfé- 
rence, tandis qu'il ne faisait que peu d'elîorts pour pénétrer ce 
qui chez A bel était une exposition de principes. Mais Legendre 
voyait seulement ce qui était chez Jacobi, dans ces courtes notes 
peu développées, c'est-à-dire tout ce qui existait, tant que l'on ne 
confrontait pas avec les sources, et avant que les Fundamenta 
nova n'eussent encore paru. Il y voyait traitée une suite de 
problèmes élevés et ingénieux sur les parties transcendantes de 
l'analyse mathématique, et cela par des procédés qui se rappro- 
chaient intimement de son propre cercle de connaissances. 11 ne 
s'apercevait pas, et il fut longtemps à s'apercevoir, qu'un nouveau 
domaine de fondions s'était isolé de l'ensemble. 

Mais ce défaut de clairvoyance était certainement bien moins 
la faute de l'éminent penseur que Ton se plaît à le croire : cela 
tenait plutôt à ce que tout se développait de telle manière qu'il ne 
lui était pas possible de se faire un aperçu clair de ce que la 
nouvelle investigation portait dans son sein, au moyen de ces 
travaux sous forme de notes. Il n'avait pas non plus été possible 
à Jacobi dans ses lettres de s'étendre avec assez de détails sur 
cette question : de quelle manière, de la théorie des transcen- 
dantes, s'était-il détaché une théorie des fonctions elliptiques, 
analogue avec celle des fonctions trigonométriques? Le nom 
d'Abel aurait été le seul à invoquer dans ce cas; car c'était une 
œuvre d'Abel. Ou, en d'autres termes, l'introduction des fonctions 
inverses était l'ère nouvelle, et — avec toute la certitude à laquelle 
on puisse atteindre par la voie des conclusions — à l'apparition 
de cette ère, Jacobi n'a pris aucune part. 

Ce qu'il faisait, c'était de bâtir sur les anciennes fondations un 
grand problème, et ensuite, avec l'aide des nouvelles idées créa- 
trices d'Abel, de transporter ses recherches dans le domaine, main- 
tenant créé, des fonctions elliptiques. En particulier, de son 
mémoire de vérification, il n'en a fait rien de plus, et n'en 
pouvait rien faire. 



144 iMELS-HENRIK ABEL. — | X. 

Le mérite de Jacobi a donc consisté — non pas à poser les 
fondements — mais à exhausser rédifjce. En se rapprochant, par 
un vaste effort de pensée, des découvertes abéhennes, il péné- 
tra dans un nouveau cercle d'idées, puis il les remania dans le 
sens de ses propres découvertes, et, à la fin, il les domina de 
plus en plus, et leur ouvrit une entrée, quoique certainement 
sous une forme plus étroite, qui pouvait offrir une plus grande 
facilité à la majorité des lecteurs. 

Nous ferons une dernière remarque. 

Dans son mémoire du 18 novembre, où il introduit sa notation 
de rinversion, Jacobi ne cite nulle part, avons-nous dit, le nom 
d'Abel. Cette abstention de citer les origines lorsqu'il s'agissait 
d'un objet d'une si haute importance, ou, en prenant les choses 
au mieux, 5/ l'idée pouvait lui avoir appartenu en même temps, 
ce procédé de ne pas s'expliquer d'une manière précise sur 
l'indépendance de sa découverte et sur son droit de copropriété, — 
tout cela constitue une manière d'agir que nous ne pouvons 
considérer que comme une faute du jeune mathématicien. 

C'était une faute semblable à celle qu'il commit lorsque, dans 
les mémoires et les notes, peu considérables d'ailleurs en éten- 
due et en nombre, qu'Abel a pu voir de lui avant sa mort, les 
découvertes de celui-ci de quelque importance ne sont citées 
jamais comme la source où Jacobi avait puisé. A plus forte 
raison le géomètre de Konigsberg n'a pas désigné ces mêmes 
découvertes de son devancier comme la vraie base sur laquelle 
ses recherches, à leur début, étaient fondées pour une si large 
part. 

Et cela bien qu'en môme temps et à plusieurs reprises, il le 
reconnaisse pour Legendre, comme il l'explique plus tard, quoi- 
qu'assez incomplètement, dans ses Fundamcnta nova. 

Cette omission de citer le nom d'Abel a été une faute, compa- 
rable aussi à celle qu'il avait commise en n'indiquant pas à 
Schumacher et à Legendre que ses théorèmes n'étaient qu'un 
résultat de l'induction, et môme qu'un peu plus tard, en face de 
réloge flatteur que lui décernait Legendre en pleine Académie, il 



THI'ORÈMF.S DE JACOBf. \M] 

laissait le vénérable savant dans la croyance que les théorèmes 
étaient le résultat d'une analyse rigoureuse. 

Mais on peut dire pour la défense de Jacobi, très jeune alors, 
que, dans cette occasion, il n avait pu songer aux malentendus 
qui pouvaient se produire par la suite. D'autre part, il n'aura pas 
tout d'abord jugé nécessaire de faire remarquer que sa notation 
de Tinversion dépendait de cette idée de Tinversion, qui était déjà, 
lorsqu'il envoya à Schumacher sa démonstration, sous les yeux 
de tous les lecteurs mathématiciens dans les Recherches, publiées 
depuis deux mois. 

Et, ensuite, le temps s'écoula, sans que le malentendu fût 
redressé. Toute l'affaire fut oubliée. 



10 



14G NIELS-HEMUK ABKL. — | XI. 



XI. 



La théorie de la transformation d'Abel; elle est complète et 
remonte à une époque plus ancienne. Comment elle a été 
préparée, et comment elle prend place organiquement dans 
un plan naturellement conçu; quel intérêt historique offre 
ce plan pour le développement des recherches de Jacobi. 

Ainsi, sur un point important, Jacobi ajouta quelque chose de 
nouveau à la théorie provenant d'Abel, tant qu'il s'est agi de son 
développement sur les fondements établis. Gela eut lieu en effet, 
comme nous Tavons dit, au moyen de la théorie de la transfor- 
mation elle-même, que, à Taide des représentations de l'inversion, 
il transporta du champ des transcendantes dans celui des 
fonctions elliptiques. La théorie de la transformation était en 
elle-même une précieuse contribution à l'analyse de cette époque, 
soit qu'il s'agisse de la forme donnée par Legendre à cette théorie, 
soit qu'on transforme le résultat suivant la nouvelle forme. Par 
son théorème d'induction du 2 août, par le suivant du 5 août, 
joint à son mémoire du 18 novembre, Jacobi rendit de plusieurs 
manières à la science mathématique, et en particulier à la 
branche qui se développait maintenant avec rapidité, d'importants 
services; et ici il prit en partie, dans un certain sens, les devants 
sur Aboi. 

La question se pose maintenant de savoir si Abel lui-même 
était alors en possession delà théorie de la transformation comme 
supplément à sa théorie; avec quelle étendue, dans ce cas, il en 
était maître; ce qu'il publiait ou avait publié là-dessus, et à quel 
temps cette publication avait eu lieu; enfin jusqu'à quel point les 
publications d'Abel et de Jacobi empiétaient les unes sur les 
autres. 

A cela on peut encore joindre cette nouvelle question, à 



TIII-ORIK nr. LA TFlANSrOUMAT[0\. \'kl 

laquelle cepeiuîant ce n'est pas ici le lieu de répondre : Où en 
était, au point de vue liislorique, le développement futur de la 
théorie des fonctions elliptiques pendant tout le reste de Tinter- 
valle qui précéda la mort d'Ahel? 

Qu'Abel eût pénétré cette théorie de la transformation, attribuée 
communément à Jacobi comme étant le premier; qu'il l'ait péné- 
trée non seulement avec plus de généralité et de profondeur, 
mais aussi bien longtemps avant son émule, c'est ce qui ressort 
clairement de maintes circonstances. Nous nous bornerons dans 
ce chapitre à produire une partie de ces preuves, et nous montre- 
rons plus tard que les déclarations et môme une communication 
d'Abel portent témoignage de ce fait. 

D'abord on peut déjà reconnaître, d'après les Recherches^ dans 
la première partie de ce mémoire publié en septembre, qu'il a eu 
en vue d'une manière bien précise la théorie de la transformation, 
comme un sujet qui devait venir à la suite. Dans la théorie de la 
division, il se sert ainsi de la même expression fondamentale qui 
constitue la base de la théorie de la transformation, théorie qui 
devait suivre celle de la division et qui était réservée évidemment 
pour la partie restante du mémoire. Bien plus, il désigne cette 
expression, dans ces deux endroits, par le même signe de fonction 
que la fonction elliptique principale, et avec cette nuance carac- 
téristique, qu'il y ajoute ce que l'on pourrait appeler son indice 
de transformation. Car cet indice n'est autre chose que celui qu'il 
emploie plus tard, dans la théorie de la transformation, pour 
désigner le module transformé. 

Que le lecteur versé dans les mathématiques compare, pour 
plus amples renseignements, les formules numérotées (68) et ((SO), 
ainsi que le texte qui les accompagne, avec les formules corres- 
pondantes (234), (235) et (236), dans la suite du mémoire. Qu'il 
remarque de même comment, dans la démonstration du théorème 
de transformation établi dans la dernière partie du mémoire avec 
toute sa généralité, les passages d'une importance fondamentale à 
la démonstration des expressions des fonctions (237) et (243) 
peuvent être regardés comme immédiatement prescrits par ce qui 



/ 



ViH NII-LS-IIENRIK M\Kl. — | XI. 

est développé dans la remarque du texte accompagnant la for- 
mule (80). Ici s'éclaircissent aussi toutes les questions, telles 
que la formation de ce 1 — y dont parle Legendre. 

Dans la marche des recherches d'Abel, en ce qui concerne 
Tordre de publication et le plan que cet ordre recèle, il existe 
en outre une particularité qui doit être remarquée attentivement 
à cette place. 

D'une part on trouve son mémoire de Freiberg (*), qui alors 
était depuis longtemps livré à la publicité. Là étaient exposées des 
idées ayant la parenté la plus étroite avec ce que Jacobi appelait 
le principe de transformation, 

Abel y traite, comme on le sait, une classe étendue d'intégrales 
hyperelliptiques, tant qu'elles sont réductibles logarithmiquement. 
Et si Ton imite de point en point et dans le même ordre la marche 
des idées dans les deux ou trois premiers paragraphes, on arrive 
sans beaucoup de difficulté, en essayant de généraliser la théorie 
de la transformation, à ce principe de Jacobi. — Pour en déduire 
ensuite par voie d'induction le théorème primaire de celui-ci, on 
n'aura qu'à s'appuyer sur les anciennes méthodes. 

D'autre part, nous avons dans la partie publiée des Recherches 
l'exposition, bien ordonnée et bien régulière dans la marche, des 
propriétés fondamentales des fonctions elliptiques. Et en particulier 
ressort maintenant la dépendance claire et logique entre la théorie 
de la division et la théorie de la transformation qui devrait la 
suivre immédiatement. La suite du mémoire fut annoncée, 
avons-nous dit, pour le cahier suivant du Journal. 

Ainsi, pour cette théorie finale qui prend ici sa place dans 
l'ordre naturel, tous les éléments étaient prêts, et en quelque 



(1) Ce mémoire (VI du tome I" de l'ancienne édilion, et XI du tome I" de la 
nouvelle) avait déjà paru dans le deuxième cahier du tome I*"" du Journal. On ne 
connaît pas exactement la date de la publication de ce cahier. Mais, d'après une 
lettre d'Abel à Hansleeu, datée du 12 août de cette année 1826, Abel dit qu'il y avait 
alors trois cahiers publiés, et qu'il recevrait bientôt de Crclic les deux derniers. 
Donc, comme il a été dit plus haut, avant le 12 août, et vraiscmbhihlomcnt pas plus 
tard qu'en juillet, les mathématiciens allemands avaient pu étudier ce mémoire 
d'Abel. 



IMI^IOIIIK l)i: I.A TnANSronMAilON. 141) 

sorte 1(3 plan d'opérations était aussi dressé, la démonstration do 
tous CCS théorèmes destinés pour la partie restante étant préparée 
dans son projet d'ensemble. 

Kn bâtissant sur les principes posés au début du mémoire de 
Frcibcrg, en se familiarisant ensuite avec les nouveaux fonde- 
ments établis dans les RechercJics, et particulièrement en consa- 
crant à la théorie abélienne de la nmltiplication et de la division 
une élude attentive, les théorèmes de transformation qui se 
présentent, même pour toutes les transformations rationnelles, 
auraient pu être découverts sans trop grande difficulté et démon- 
trés avec la rigueur nécessaire. 

Cela se fût accompli toutefois encore plus naturellement, si, 
au lieu de prendre son point de départ dans le premier mémoire, 
celui de Freiberg, on Peut pris dans les Recherches, et que Ton eût 
consulté le premier seulement pour achever la démonstration. 
De cette manière — tant qu'on n'opère pas encore plus simple- 
ment, en partant directement de l'idée de l'inversion — on suivra 
au moins une voie simple et naturelle : on descend de la multi- 
plication à la division, puis aux transformations, ainsi que l'avait 
fait Abel. 

On n'essaiera pas, suivant cet ordre d'idées, d'aller en sens 
inverse, de monter, pour ainsi dire, par les facteurs artificiels 
au résultat de la multiplication, résultat unique et complet, qui 
est plus simple au fond. 

Jacobi, dont les recherches et les idées avaient fixé en tant de 
points divers leurs racines dans le champ d'Abel, trouva en partie 
ces résultats, et en partie aussi il livra, le premier, leur démons- 
tration à la publicité. 

Les théorèmes appartiennent à une époque où la découverte 
des fonctions elliptiques lui était inconnue. Ainsi l'influence 
d'Abel, jusqu'à cette même époque, s'était bornée à cette impul- 
sion que, chez un esprit comme Jacobi, devaient produire ses 
idées et la grandeur de ses investigations. Quant à Jacobi, ce 
jeune savant émincnt et toujours méditant, qui, comme il résulte 



i:;0 NIELS-IIEMUK ADEL. — § XI. 

de sa nature munie et aussi de ses propres afTiraialions, s'enfonça 
avec tant d'ardeur dans les auteurs pour en tirer des inspirations, 
— quant à Jacobi, qui venait de lire sans fruit les Exercices de 
Legendre, ce devait ôtrc pour lui un puissant stimulant que de 
voir se produire les idées si originales d'Abcl. Ces idées, il en prit 
aussi, conime un collaborateur zélé, très promptement connais- 
sance par les publications insérées dans le Journal de Crelle. 
• La déuîonstralion — et nous ne parlons pour le moment que du 
premier tbéorème de Jacobi, publié dans le Journal de Scbuma- 
cber — appartient à l'époque suivante. C'est celle qui commence 
avec la publication des Recherches^ le 20 septembre. Et alors 
c est la base môme qui change, bien que ce changement ne soit 
encore que partiel. 

Maintenant la démonstration du théorème en question dans 
sa partie essentielle a-t-elle été trouvée indépendamment des 
Recherches, et s'est-elle ensuite uniquement transformée confor- 
mément aux nouvelles conceptions? ou bien la dépendance vis-à- 
vis des investigations d'Abel a-t-elle été plus grande? C'est ditficile à 
dire. Mais, en tous cas, les Recherches, comme nous en sommes 
convaincu, ont été utilisées avant que Jacobi fut parvenu à termi- 
ner sa démonstration. Et la conséquence de cela a été que cette 
démonstration, dans son plan et dans sa forme, s'est trouvée avoir 
une remarquable ressemblance avec celle qu'Abel lui-même 
présenta, mais plus tard, démonstration qui, nous pouvons le 
dire, résultait nécessairement des préliminaires posés. 

Et cette coïncidence n'était pas une conséquence forcée de la 
nature des choses. C'était un résultat des études faites par 
Jacobi sur le mémoire d'Abel, et du court intervalle dont il 
pouvait disposer dans la situation où il s'était engagé, et qui lui 
imposait l'obligation de publier une démonstration le plus promp- 
tement possible. Dans sa lettre à Legendre du li juin 1829, 
Jacobi dit lui-même, après avoir traversé auparavant tant de 
phases embarrassantes, qu'a: Abel s'est servi du même principe, 
de sorte que nos démonstrations sont au fond les mêmes. Vous 



TIII^()I^I•: l)K l.A TIlANSFOr.MAilON. |f)l 

êtes lo proiiiicr, Monsieur, » iijoule-t-il, «qui avez luonlrc qu'on 
peiii s\mi passeï', en eirectunnt la substitution cllc-menie nu 
moyen lio la résolution en Tractions simples. Aussi je n'ai pas 
tardé à exposer dans mon ouvrage cette démonstration, qui vous 
est propre et qui donne une excellente vérification. A présent^ jo 
suis en possession d'un nombre assez grand de démonstrations 
difiërenles. » 

Nous disons ici, quand il s'agit de Jacobi, «la démonstration 
do vérification, y) et malgré la grande ressemblance, nous no 
nous servons pas, pour Abcl, de la même expression. Cela peut 
paraître étonnant, mais ce n'en est pas moins une cbosc toute 
naturelle. Car chez Abel, dans le mémoire môme, tout était 
préparé d'avance, et l'enchaînement des idées est évident. Pour 
Jacobi, qui ne peut toujours porter avec lui la base d'emprunt 
dans une étendue suffisante et avec le développement nécessaire, 
il se présente dans son exposition, quelque ingénieuse qu'elle soit 
en général, quelque chose d'abrupt. Et c'est ce qui était inévitable. 
Même un vétéran des mathématiques, comme Legendre, profon- 
dément versé dans cette région de ses études, ne peut comprendre 
par où Jacobi a été amené dans cette voie, et demande une 
explication de l'idée conductrice. 

Toutefois l'usage qui a été fait des Recherches pour suppléer ou 
compléter cette démonstration du théorème de transformation 
n'a pas certainement été restreint à établir, par l'adoption de l'idée 
de l'inversion, une telle modification dans la forme extérieure de la 
déduction et du résultat. Il y avait toutes raisons, lorsqu'il serait 
fait quelque application des ressources présentes, pour soumettre 
la théorie de la multiplication et surtout celle de la division à 
une étude plus approfondie, et Jacobi n'a pu manquer de remar- 
quer les importants secours qu'offrait cette dernière théorie. 

A l'époque où Jacobi n'avait encore trouvé que son théorème 
de transformation restreint du 13 juin 1827, il avait remarqué 
une certaine liaison de ce théorème avec la trisection dans les 
fonctions circulaires. Il pressentit l'existence d'une analogie entre 



IrJ NIELS-IIENRIK ARF-L. — | XI. 

les théorèmes de transformation d'ordre supérieur et les théorè- 
mes de division généraux pour les fonctions en question, et il 
parvint ainsi, par une ingénieuse induction, à obtenir le résultat 
général. Après en avoir vérifié Texactitude, mais seulement sur des 
exemples particuliers, il envoya, en août, cette découverte à 
Schumacher et à Legendre, et peu après, celui-ci reçut aussi le 
théorème complémentaire. Par une heureuse conjecture, est-il dit 
plus lard, dans le môme aveu à Legendre, le 1^ avril 1828, il 
avait trouvé la transformation complémentaire pour la multipli- 
cation. 

Mais sur ces entrefaites, alors que la démonstration demandée 
par Schumacher était encore absente, et que Jacobi néanmoins 
avait communiqué le même théorème et un autre de plus à 
Legendre, théorèmes vérifiés seulement sur des exemples; il est 
impossible de ne pas admettre que, quand les Recherches lui ont 
passé sous les yeux — ce qui ne peut faire l'objet d'aucun doute, — 
il s'est mis avec toute l'ardeur possible à étudier les théories 
d'Abel sur la multiplication et la division. Là il a trouvé les 
moyens les plus à sa portée pour faire la démonstration qu'il 
cherchait et les meilleures indications pour les mettre en usage. 

Jacobi remarque aussi, dans sa lettre à Legendre du 18 jan- 
vier 1829, qu'Abel, dans son premier mémoire, avait passé « par 
le médium des transformations)), sans ((soupçonner» toutefois, 
ajoute-t-il, cette circonstance «dans le temps qu'il composa son 
mémoire». Cette addition est incorrecte; mais nous pourrons 
dire que l'assertion, dans son ensemble, témoigne que la présence 
cachée de la transformation dans ce « premier mémoire » n'a pas 
échappé à Jacobi. 

Cependant il est encore une autre remarque à faire. L'existence 
d'un post-scriptum, où la continuation des Recherches était pro- 
mise à bref délai, n'avait pas non plus échappé à l'attention 
de Jacobi. On le voit par sa lettre du 12 janvier 1828, où 
il dit que la continuation du mémoire d'Abel a doit avoir été 
publiée dans ces jours dans le cahier troisième dudit Journal ; 
mais elle ne m'est pas parvenue encore.» Et à la fm de sa longue 



i 



TIlf.ORIE DE Î-A TRANSFORMATION. 153 

lettre nialliéinaliqiic, vraiscml)labloincnt comrncncéo plus lot (\\\o, 
le 15, il ajoute en post-scripliim : «Le troisième cahier du Journal 
(le CrcUc, que je viens de recevoir, no contient pas encore la 
suite du mémoire de M. Abcl ('). » 

Jacobi savait donc qu'il ne sagissait que d'un seul mémoire. 
Et il s\'tait exprimé aussi, à cette première occasion, d'une 
manière complètement correcte, en parlant de (c la première 
partie d'un mémoire ); et de « la suite du mémoire ». En d'autres 
termes, on voit clairement qu'il était ici question d'un exposé qui, 
de prime abord, ne fut pas regardé par Abel — et qui ne pouvait 
l'être par qui que ce fût — comme un ensemble organique, avant 
qu'il fût terminé. Môme si, pour la commodité, on eût parlé de 
deux mémoires, ce qui n'aurait pu donner lieu à aucun malen- 
tendu, Jacobi, plus que tous les autres, avait dû supposer qu'il 
existait un lien, perceptible pour l'auteur, entre les théories de la 
fin et ces grandes théories qui avaient été développées, avec tant 
de soin et avec tant de profondeur de vues, dans la première 
partie. La seule conclusion simple et naturelle eût été d'admettre 
qu'au moins dans leurs fondements les théories restantes seraient 
terminées, alors que le retour d'Abel en Norvège le forçait à 
interrompre son travail — avec la promesse d'une reprise immé- 
diate. Et rien ne pourrait être plus conforme au bon sens que de 
penser que ce maître dans la théorie des transformations — c'est 
ce qu'était Abel pour Jacobi en janvier 1829 — avait vu aussi clai- 
rement que lui-même qu'il avait passé « par le médium des trans- 
formations. » 

De ce qui précède, il résulte — avec un très haut degré de 
probabilité — qu'Abel doit avoir été en possession des théorèmes 
de transformation pour les transformations rationnelles, au 
moment où il rédigeait la première partie de ses Recherches, 
pendant son séjour à Paris, et par suite vers la fin de 1826, ou 
au moins pendant son séjour à Berlin, au commencement de 

(') La date de publication de ce cahier était le 12 décembre 1827. 



154 NIELS-HENIUK ADEL. — 1 XI. 

1827. Mais avant de passer à des démonstrations encore plus 
convaincantes qu on peut donner de ce fait, nous pouvons alléguer 
un motif de vraisemblance, qui, joint au premier, n'est pas sans 
valeur. 

A cause de son voyage de retour, en avril ou, au plus tard, 
dans les premiers jours de mai de la môme année 1827, il dut 
donc interrompre son mémoire avant de Tavoir terminé. Comme 
nous Tavons indiqué, il ajouta alors, en terminant la première 
parti-e, que la suite paraîtrait dans le prochain cahier. Cette 
promesse de continuer immédiatement, on peut se demander à 
quoi aura-t-elle servi, si ce n'était pour annoncer cette même 
théorie de la transformation qui fut exposée dans la suite, et qui 
en fit la partie dominante? Les quelques feuilles où il donne une 
application de sa théorie de la division à la lemniscate, et au sujet 
desquelles, dès son séjour à Paris, Tannée précédente, il avait 
fait une communication à Grelle, ne pouvaient former, évidem- 
ment, à elles seules, la continuation d'un mémoire d'une si 
grande étendue. 

Abel — nous le répétons — a lui-même fait connaître claire- 
ment que les deux parties des RecliercJies formaient un mémoire 
unique. 



Tiii':()i;ÈMi:s i:t I'1U)I'.ij':mi:s. iri;) 



XII. 



Théorèmes et problèmes. — Nouveaux travaux qui se prépa- 
rent, et citation d'un livre manuscrit. — Conclusion à en 
tirer. 

La position d'Abel à son retour en Norvège ne lui permit pas 
de donner tout de suite ce qu'il avait promis. 

Il rentra dans sa patrie accablé de dettes. Sans pouvoir occuper 
immédiatement aucune position, sans même obtenir quon lui 
rendît la petite subvention de TÉtat sur laquelle il avait droit de 
compter, sa famille enfin étant dans la gêne la plus étroite, il 
était ainsi absolument dépourvu de tous les moyens de subsister, 
sauf le peu qu'il pouvait gagner en reprenant ses leçons de trigo- 
nométrie et de stéréométrie pour les candidats à V examen philo- 
sophicum. Cette source de revenus était, de plus, bien peu 
productive, comme il devait s'y attendre, dans le premier temps 
après son retour. Il était donc abandonné à la bonté de quelques 
amis, la haute science ne pouvant l'aider en rien et étant pour lui 
plutôt un obstacle. 

On ne voit donc guère comment il lui aurait été possible de con- 
tinuer vigoureusement cette remarquable production, qui n'était 
encore qu'à moitié achevée; et Ton comprend plus difficilement 
encore comment il ait pu entretenir avecCrelle une correspondance 
régulière, correspondance très volumineuse et de plus très chère, 
comme l'exigeaient les envois fréquents de longs mémoires. Les 
illusions une fois brisées, il ne pouvait plus être question pour lui 
de communications régulières et de rapides envois pour un écrit 
ayant une étendue aussi considérable que les Recherches. Pour 
avoir une idée des difficultés à vaincre, dans la position où se 
trouvait Abel, il suffit de remarquer qu'une lettre simple de 



io6 MELS-HENRIK ADEL. — | XII. 

Christiania envoyée seulement à Hambourg coûtait en monnaie 
norvégienne 08 skillings ('). 

On remarquera aussi, en tant qu'il s'agit de publications 
aussi considérables, un arrêt d'assez longue durée, finissant en 
février de l'année suivante, avec l'envoi de la partie restante des 
Recherche.^, Et c'était aussi vers cette époque que commença 
une amélioration dans la situation désespérée d'Abel, qui était 
maintenant en train de reprendre des articles qu'il avait laissés, 
en quittant Berlin, dans les mains de Crelle, en môme temps que 
la partie rédigée de son mémoire, ou bien de petits articles 
envoyés par occasion, du temps où les frais de correspondance 
étaient si gênants. 

Durant cet intervalle, il n'y a que trois articles à signaler, et 
ils étaient tous très courts. 

Le premier est intitulé : ((Théorèmes et problèmes^, et il se 
rattache, pour ce qui en constitue la partie capitale, à de très 
hautes questions relatives à la transformation des fonctions ellip- 
tiques. Cet article se trouve en rappDrt intime avec les Recherches^ 
surtout avec la partie finale de la Suite de ce mémoire. L'article 
fut publié dans le 3® cahier du tome II, où Ton attendait alors 
cette continuation; et la date de publication était le 12 décembre 
18-27. 

Après les a Théorèmes et problèmes» venait, dans le -4® cahier 
du tome II, publié le 12 janvier 1828, un court mémoire 
en allemand: (c Ueber die Functionen, welche der Gleichung 
o{x) -4- 9((/) = 'ii^fy -f l/fx) genugthucn. d Dans ce mémoire, 
relativement d'une moindre importance — en ce qu'il ne se rat- 
tachait qu'à des recherches accidentelles, — il examinait si un 
théorème d'addition spécial, que Ton rencontre, par exemple, 
en traitant l'arc sinus, ne pouvait donner lieu à une générali- 
sation. 

Enfin on trouve une note sur le mémoire d'Olivier, qui se 
rapporte à une question sur les séries. Cette note fut insérée au 

{}) Environ 3 fr. 17 c. 



THI^:ORÈMKS ET PHOIILÈMES. 157 

1"^'' caliior du tome lll, dont la date de publication était le 
25 mars 18^28. 

Or ce qui historiquement est l'objet principal, c'est de détermi- 
ner à quel temps le premier de ces articles fut remis à Grelle pour 
être publié. Car, à cette époque, Abel a dû être en possession non 
seuletnent de la théorie des transformations rationnelles, mais 
encore des transformations algébriques. Il a donc dominé aussi 
dans ses grands traits cette théorie finale, appartenant à un 
traité complet et rationnellement exposé des nouvelles fonctions 
elliptiques. 

Il est fort difficile de décider d'une manière précise cette 
question de temps, Abel n'ayant que très rarement ajouté une 
date en publiant ses découvertes ou en écrivant des notes pour 
son propre usage. Mais on peut chercher au moins deux limites 
bien certaines qu'il ne faut pas dépasser. 

Un premier fait dont on peut partir, c'est que le troisième, et 
par conséquent le dernier des articles de la série en question, la 
note relative au mémoire d'Olivier, a été envoyé au plus tard le 
15 novembre 1827. On conclut, en effet, d'un livre manuscrit 
qu'une esquisse de cette courte note a été composée beaucoup plus 
tôt, et vraisemblablement en août ou septembre. Cela est conforme 
aussi avec la date de publication du mémoire d'Olivier, le 
5 juillet. Or, de ce point de départ on arrive à la conclusion, qui 
n'est encore que probable, mais qui l'est à un très haut degré, 
que le premier article de la série, qui fut publié longtemps 
avant (dans le 3® cahier du tome II au lieu du l^"" cahier du 
tome III), avait dû être expédié pour la publication à une occasion 
antérieure au 15 novembre. 

Nous nous bornerons, d'abord, à montrer qu'un envoi coïncidant 
avec la communication du 15 novembre n'aurait que peu de 
chances de possibilité. 

D'après des renseignements que nous avons recueillis, une lettre 
de Christiania pour Berlin, au milieu de novembre, ne pouvait 
arriver dans cette saison à son lieu de destination avant dix jours. 
Et probablement il eût fallu un temps encore plus long, sans 



dî)8 NiKLS-HENRIK ABEL. — | XII. 

tenir compte des retards qui étaient si souvent à craindre à cette 
période de Tannée, pendant un voyage en partie par terre, en 
partie par mer. Dans Tannée 1827, une communication par vapeur 
avait bien commencé entre Christiania et Copenhague, mais elle 
était déjà arrêtée à la fin de septembre. Si près de Thiver, les 
routes le long de la côte étaient encore suivies pendant un mois, 
mais toute communication avec Tétranger venait d'être rompue, 
pour être reprise au printemps suivant. Il n'y avait donc rien à 
gagner à ces améliorations modernes. 

D'une lettre d'Abel expédiée de Vienne à Christiania entre le ^0 
et le 30 avril 1826, on peut conclure, en outre, qu'elle est 
arrivée à Berlin le 30 avril, à Stralsund le 4 mai, et qu'elle a été 
reçue à Christiania le 13 mai, de sorte qu'entre Berlin et Chris- 
tiania, via Stralsund, il se passa avant Tarrivée de cette lettre un 
laps de deux semaines. 

Donc, quant à la question de possibilité que les c; Théorèmes 
et problèmes » eussent été remis à Crelle dans une lettre 
expédiée le 15 novembre, ils n'auraient pu Têtre que vers la fin 
du mois. Et déjà le 12 décembre paraissait ce troisième cahier 
du Journal où Tarticle était publié. Nous ajouterons cependant 
que cet article était très court et qu'il obtint sa place à la fin du 
cahier. 

Mais nous pouvons donner de notre assertion une preuve plus 
décisive que la précédente et qui, en tout cas, combinée avec 
celle-ci, mettra la chose hors de doute. 

Quelque temps après la mort d'Abel, Crelle fit dresser une liste 
chronologique des communications tirées de ses lettres. C'était 
dans le dessein de les insérer dans le Journal, où elles furent 
publiées dans le 5® tome. De cette façon, il fit copier six parties 
distinctes appartenant à six communications diff'érentes. iMais le 
copiste avait numéroté les communications d'une manière diffé- 
rente de celle qui fut adoptée définitivement. On y trouve en 
effet les six numéros originaires 2, 8, 12, 1G, 17, 2G. Puis un 
changement a eu lieu, comme aussi la langue a été corrigée, en 
vue de la prochaine publication. Crelle a, en outre, mis lui-même 






thi':oui<:mi:s ht PuonLÈMi-s. ITiU 

la date sous chaque communication, à rexccption de celle du 
numéro 10. Celle-ci fut copiée, par erreur, comme étant publiée 
depuis longtemps, et l'article lut donc rayé ('). 

Les articles "2, 8, h2, datés respectivement de Freiberg le 
M mars 18^6, et de Paris le 9 août et le 4 décembre la même 
année, sont écrits en allemand. Ainsi c'était la langue dont Abel 
s'était servi alors dans ses lettres à Crelle; car on voit qu'il ne 
s agit pas d'une traduction. 

L'article 10 au contraire est écrit en français. C'est celui qui 
contenait les dits «Théorèmes et problèmes»; c'est en môme 
temps l'article rayé et sans date. 

Puis vient l'article 17, écrit de nouveau en allemand, et daté : 
Christiania, le 15 novembre 1827. 

p]nfin il y a un long article où l'auteur adopte pour la seconde 
fois la langue française. La date est ici : Christiania, le 18 octobre 
1828, et il porte le numéro 20. Tous les derniers articles d'Abel 
furent aussi publiés en français. 

Or la seule chose que l'on puisse naturellement se tlgurcr, 
c'est que les numéros primitifs se rapportent à Tordre des lettres 
d'Abel à Crelle. Cependant nous ne pensons pas qu'ils indiquent 
complètement chacun des renseignements écrits, quelque bref 
qu'il fût, que pourrait avoir reçu ce dernier. De courts renseigne- 
ments pouvaient être donnés quelquefois par Abel, sans qu'il lui 
fût nécessaire d'écrire des lettres réglées et de se mettre en des 
dépenses gênantes. 

Pour faire voir qu'il ne manquait pas de facilités de cette 
espèce, nous rappellerons aux lecteurs sa liaison avec Maschtnann, 
dont nous avons fait mention à l'occasion de la lettre de félicita- 
tions d'Abel à Holmboe. Maschmann, «notre constant porteur de 
lettres, » était camarade d'école d'Abel, et bien qu'il n'appartînt 



(') La raison pour laquelle on n'ajouta ici aucune date n'est pas, comme nous 
nous étions ilguiê anléricurement, une conséquence de ce que l'article fut commu- 
niqué à Crelle pondant le séjour d'Ahel ù Berlin et sans être extrait d'aucune lettre. 
On ne peut donc rien conclure de cette circonstance ni en faveur de cette époque ni 
contrairement. 



100 MELS-HKNRIK ABEL. — | XII. 

pas à la petite colonie des «jeunes savants voyageurs)), il était 
lié avec ce cercle, et il demeura à Berlin, non seulement pendant 
le premier séjour d'Abel dans cette ville, mais encore pendant le 
second séjour. Or le père de Maschmann, professeur titulaire et 
pharmacien à Christiania, était à cette époque en rapports 
fréquents avec Hansteen, et il eut aussi des liaisons à Berlin. 

Abel avait pu sans aucune gène faire parvenir de temps en 
temps à Grelle de courts renseignements. On voit même qu'il y a 
eu une certaine relation entre Maschmann père et Crelle; car ce 
fut par lui, et non pas par Ilolmboe, que Crelle reçut la première 
nouvelle de la mort d'Abel. 

Nous ne pensons pas ainsi avoir quelque chose de complet, dans 
le sens le plus rigoureux, exprimé par les numéros du copiste. Mais 
il faut d'autre part supposer que Tordre des lettres proprement 
dites, que Crelle avait reçues d'Abel, doive être exprimé par ces 
chiffres; de sorte qu'on a une chronologie à laquelle on peut s'en 
tenir. 

Mais cela étant, il faut fixer lô temps de la communication 
française n° 16 à une date antérieure au 15 novembre, date de 
la communication suivante en allemand. Et il s'ensuit que les 
((Théorèmes et problèmes» ont été remis à Crelle avant cette 
date de YaïUomne de 1827. 



Mais s'il faut rejeter l'hypothèse d'un envoi fait aussi tard que 
le 15 novembre, on peut se demander à quelle époque remonte 
alors l'envoi du premier article, celui qui a pour titre € Théorèmes 
et problèmes». Faut-il reculer cette date jusqu'au départ de 
Berlin, ou s'agit-il d'une date plus récente? 

Nous ne voulons pas nous prononcer d'une manière décisive 
sur cette question. Mais en supposant que la remise ne remonte 
pas au temps du séjour à l'étranger, on sera porté à croire qu'elle 
appartient plutôt à la première qu'à la seconde moitié de l'inter- 
valle entre le 20 mai et le 15 novembre. Ici, il faut en convenir, 
nous n'avons pas toujours pour nous fixer des dates aussi sûres 






TIlftORKMKS ET PROBLÈMES. IGI 

qu'auparavant. Mais les considérations suivantes feront, au moins, 
de cette su[)[)osition une hypothèse très plausible. 

Si Ton a égard à Tordre dans lequel se sont succédé les 
diverses publications, il est naturel, en tenant compte des cir- 
constances, d'en tirer des conclusions sur Tordre de remise des 
pièces. I^our Abel, lorsqu'il lui devint impossible de remplir la 
promesse faite au départ, il dut se préoccuper, dès que la 
situation changea, de se mettre aussitôt que possible en commu- 
nication avec Crelle pour Tinformer du retard de la continuation 
annoncée. Alors il dut bien aussi se heurter aux dilïicuUés qui 
l'entouraient, et en particulier à celles qui s'opposèrent quelque 
temps à Tenvoi d'un manuscrit aussi considérable que cette suite 
d'un grand mémoire, qui était attendue. Les circonstances, nous 
Tavons dit, n'étaient plus les mêmes qu'au départ. Des tentatives 
réitérées venaient d'être faites par TUniversité, et elles furent 
encore continuées pour lui faire obtenir la restitution de son 
stipendiiim. Mais ces négociations entre les autorités, qui traînè- 
rent en longueur pendant plus de deux mois, ne donnèrent plus 
que de très faibles espérances, et Ton dut fmir par y renoncer. 
Il devait lui importer d'autant plus de faire parvenir à Crelle 
aussitôt que possible un petit article au moins, comme témoignage 
de reconnaissance, et pour satisfaire aux besoins du journal. Et 
rien ne pouvait alors venir plus à propos que de donner un 
spécimen des objets dont il devait traiter dans la partie restante 
de son mémoire. 

Joignons à cela qu'à partir du commencement du tome second 
du Journal j il s'opéra un changement dans le plan de la rédaction. 
Il fut maintenant permis aux collaborateurs de se servir de la 
langue française, et Ton voulait ainsi étendre l'action du recueil 
sous une autre rapport, en s'efforçant d'intéresser les lecteurs par 
Tannonce des (c Théorèmes à démontrer et problèmes à résoudre y> . 
Depuis ce moment, on trouve dans tous les cahiers des énoncés 
provenant de Crelle lui-même et de ses collaborateurs, tandis que 
dans le tome I on ne voit rien de semblable. Crelle surtout montra 
ici un très grand zèle. Ainsi, dans le tome II, on ne rencontre 

11 



162 MELS-HENIUK AHKL. — | XII. 

pas moins de douze petits articles de cette nature, tous de sa main 

11 y avait aussi de bonnes raisons pour croire aux avantages 
obtenus par un tel arrangement, et naturellement Crelle devait 
tenir beaucoup à ce que l'on se conformât à cet utile perfection- 
nement. Il y avait, en outre, tout l'intérêt de la première mise en 
œuvre d'une bonne idée dans son Journal. 

Abel, pendant son séjour à Berlin, devait être considéré presque 
comme un corédacteur du Journal. Grelle faisait tous ses efforts 
pour lui persuader de s'y fixer définitivement. H « le bombard;-iit 
terriblement», et il lui avait proposé plusieurs fois de prendre la 
rédaction. Abel, de son côté, qui désirait revenir et qui entre- 
tenait un faible espoir d'acquérir une position à notre Université, 
refusa, en dépit de Grelle, c: cet homme galant. y> 

Il est donc impossible de croire que notre mathématicien, 
homme de cœur et vivement attaché à Grelle, n'ait pas voulu 
faire aussi de son mieux pour se conformer à ses désirs. 

Tant que les énoncés ne surabondaient pas dans les cartons de 
la rédaction, il était à penser qu'Abel essaierait de s'acquitter 
de ces petites obligations, môme pendant son séjour à Berlin. 
Mais surtout il dut avoir à cœur de lui fournir cette contribution, 
bien accueillie lorsqu'il fut en retard avec ses travaux et qu'il 
ne put tenir une promesse qui était importante pour l'avenir 
du Journal. Et par ces ((Théorèmes et problèmes», envoyés de 
bonne heure de Christiania, il faisait honneur à ses obligations. 



Gomme une preuve de l'état très avancé où étaient déjà les 
investigations d'Abel concernant la théorie des transformations — 
et même bien avant le temps dont nous parlons, — nous citerons 
un passage d'un livre manuscrit qu'il commença immédiatement 
après son retour. Mais avant cela il faut parler d'abord de la 
marche des recherches d'Abel pendant cet intervalle qui venait 
de commencer. On verra, en même temps, quels furent les 
travaux qui se préparèrent et à quelle époque ce passage remar- 
quable doit avoir été écrit. 



NOUVEAUX TRAVAUX. 163 

Abcl reprit donc son travail, et, comme on le voit, il le conti- 
nua pondant quelques semaines avec sa vigueur ordinaire. Mais 
les espérances des premiers jours, qu'avaient dû lui inspirer les 
clïbrts réitérés en sa faveur par TUniversité, devaient se changer 
avant peu en une vive inquiétude, qui ne pouvait guère être 
sans influence sur ses études et sur leur direction. Arrêté dans 
sa libre action par les graves circonstances où il se trouva dès 
lors, et qui bientôt allèrent encore en empirant, il semble 
que peu à peu il retourna à ses études, et s'enfonça dans des 
recherches qui Téloignèrent de son but primitif. Néanmoins elles 
se rattachaient encore très visiblement au sujet qu'il avait à traiter 
dans son mémoire inachevé. Rien aussi n'était plus naturel — si 
réduit qu'il fût pour le moment à l'impuissance de publier ses 
découvertes — que d'employer ses loisirs forcés à de nouvelles 
études. Et c'est ce qu'il fit, comme il paraît, dans une vaste 
étendue, avant de reprendre son travail de rédaction. On ne sait, 
en effet, rien de sûr quant au temps de la reprise des Recherches j, 
bien que l'on puisse suivre une série de travaux préparatoires qui 
appartiennent à cette longue époque d'angoisse et d'attente. 

Dans son livre manuscrit B de 178 pages grand in-folio, dont 
Abel doit s'être servi pendant le reste de l'année, il commença à 
composer un mémoire relatif au développement des puissances 
de sinus et de cosinus; il voulut faire ce développement sans 
aucune considération des imaginaires. C'était un sujet analogue 
à celui qu'il avait traité à Paris, en étudiant la série du binôme. 
Mais le sujet présentait aussi un certain rapport avec ses investi- 
gations sur la division, qu'il avait poursuivies dans la première 
partie des Recherches. Seulement c'était ici du cercle qu'il s'agis- 
sait; il avait traité déjà, en partie, la division de la lemniscate. 
Il avait mentionné alors cette division analogue à celle du cercle, 
et il avait promis^ dans la partie suivante de son mémoire, de 
donner plus de développements relativement au premier sujet, 
plus difficile. 

Il continua aussi, en réalité, de s'occuper des recherches 
algébriques correspondantes, et il prépara de celte foçon son 



104 NIKLS-HENRIK ABEI.. — § XII. 

beau (( Mémoire sur une classe particulière d'équations résolubles 
algébriquement. » C'était, d'ailleurs, un mémoire qui fut publié 
très lard. Mais il fut envoyé de Christiania peu de temps après la 
terminaison des Recherches, car la partie finale de celles-ci fut 
remise à Crelle dans une lettre du 12 février 1828, tandis que le 
mémoire algébrique en question, qu'il avait préparé dans la 
même période, suivit le premier mémoire dès le 29 mars. 

Ces recherches préparatoires d'Abel, dans son livre manuscrit, 
s'étendent presque du commencement du livre jusqu'à la page 39. 
Et dans les dernières pages, il dirige en particulier son attention 
vers la division en 17 parties. 

Mais à partir de ce point, les investigations ne marchent plus 
d'une manière régulière. A la page 39, on voit quelques calculs 
se rapportant aux équations modulaires. Puis, à la page 40, on 
trouve ce passage éminemment remarquable dont nous avons 
parlé, et auquel, du reste, nous reviendrons bientôt. Il est 
intitulé : «Sur la transformation de l'intégrale. — Comparaison 
des fonctions elliptiques relativement au module. » 

Nous remarquerons, en passant, que ces lignes isolées, bien 
qu'elles n'occupent qu'une seule page, se rapportent au grand 
mémoire intitulé : a Solution d'un problème général concernant 
la transformation des fonctions elliptiques » ; de même que les 
recherches préliminaires qui les précèdent se rapportent au 
mémoire algébrique en question. Ce travail (( Solution... » fut 
aussi rédigé et expédié pour la publication peu de temps après, 
savoir le 27 mai. 

A la page suivante 41, Abel s'occupe de la division de la 
lemniscate, sans pousser encore ces recherches au delà du 
commencement. Il s'arrête de nouveau, et soudainement l'on 
voit qu'après un travail régulier on est entré dans une période 
d'irrégularité qui semble indiquer une interruption de travail 
définitive. Cela serait d'ailleurs bien naturel vers la fin de juin 
ou au commencement de juillet, la belle saison dans notre pays 
septentrional, où le temps des vacances dure pendant le mois de 
juillet et la première moitié d'août. 



LES MANUSCRITS. 165 

Il y a lieu de croire que dans la seconde moitié d'août, Abel a 
recommencé ses travaux. On sait que, le 14 août, Abel n'était pas 
absout de Christiania, et sans doute le mémoire d'Olivier, qui 
parut le 5 juillet, était alors entre ses mains. 

On voit maintenant qu'un travail régulier recommence. Il 
examine le mémoire, fautif en un certain point, de ce mathéma- 
ticien, et il fait dans son livre 13, page M ^ Tesquisse d'une note 
pour le corriger. Il revient par la môme occasion à de nouvelles 
études sur les séries et leur convergence, et il les continue long- 
temps, non seulement dans ce livre B, mais aussi dans un autre 
livre D, portant la date du 3 septembre 1827, d'une forme et 
d'un caractère différents, où il s'occupa le plus souvent de recher- 
cbes relatives à ces dernières questions. 

Après cela le thème va changer, et l'on sent que, de plus en 
plus, l'ordre et la régularité reprennent leur empire dans ces 
travaux préparatoires. Cela commence avec la page 85, après 
quelques leçons sur la trigonométrie. Abel fait ici quelques études 
sur les fonctions elliptiques; mais, de nouveau, ce n'est pas des 
études pour les Recherches qu'il s'agit. Il fait de grands préparatifs 
pour un troisième mémoire fondamental, à côté du mémoire 
sur les équations résolubles algébriquement, il prépare, en effet, 
maintenant son dernier mémoire, le «Précis », laissé inachevé, 
«d'une théorie des fonctions elliptiques. » Ce travail préparatoire 
occupe un grand nombre de pages, de 85 jusqu'à 178, d'ailleurs 
avec une interruption à la page 148, où il intercale un exercice 
de trigonométrie pour ses élèves. Ce qui présente aussi un 
certain intérêt, c'est qu'Abel se sert ici de la langue allemande. 
Il intitule son ébauche de mémoire : « Versuch einer Théorie 
der elliptischen Fimctionen ; ii> ce qu'il a changé ensuite, en 
revenant à la langue française dans son «Précis». 

Or ce qui nous fournit une nouvelle date, c'est qu'à la page 111 
de cette ébauche on trouve la sommation d'une certaine série au 
moyen des fonctions elliptiques. Et c'est de cette proposition que 
parle Abel dans la lettre à Grelle, à la date du 15 novembre 1827. 



166 NIELS-HENRIK ABEL. — % XII. 

Après cette exposition de la marche des travaux préparatoires, à 
la suite du retour et jusqu'au milieu de novembre ou encore plus 
tard, revenons au passage dont nous avons parlé, relativement 
à la transformation du module. On voit par là qu'il doit avoir 
été composé non seulement beaucoup avant le 15 novembre, 
mais certainement aussi antérieurement au 3 septembre. Con- 
formément à la place d'une part, et d'autre part à la marche des 
développements, comme aux caractères différents de ceux-ci 
aux époques qui se succèdent, nous croyons qu'il est le plus 
naturel d'admettre que le livre en question date de la fin de 
juin. D'ailleurs à cause du contenu, où en particulier Abel parle 
d'une découverte faite depuis longtemps, il n'a qu'un intérêt 
secondaire pour la fixation plus précise de la date. Un mois plus 
tôt ou plus tard ne peut pas changer sensiblement les conclusions 
à en tirer. 



Voici donc ce qu'écrit Abel, et nous ferons remarquer aussi 
que les soulignements sont dus à l'auteur même. 

€ Dans les « Exercices de calcul intégral », M. Legendre tran- 
sforme la fonction elliptique (ici est insérée l'intégrale elliptique 
dans la forme adoptée par Legendre) avec un module différent, et 
il opère cette transformation en substituant à la place des sinus 
une certaine fonction algébrique de cette quantité. M. Legendre 
ne parle que de cette transformation, quoique il en existe une 
infinité d'autres. Je suis parvenu à ce résultat en résolvant le 
problème suivant : 

» Trouver toutes les relations possibles entre c et c^ qui per- 
mettent de présenter l'intégrale de l'équation séparée (ici est 
insérée l'équation différentielle de transformation dans la forme 
de Legendre) par une équation algébrique entre sin 6 et sin Gj. 

» La solution complète de ce problème, que j'ai trouvée depuis 
longtemps, m'a conduit à plusieurs résultats remarquables. Par 
exemple, si deux fonctions elliptiques dont les modules sont res- 
pectivement c et c^ peuvent se réduire l'une à l'autre en supposant 



LES MANIISCKITS. 1()7 

que les variables sin et sin 0, sont liées entre elles par une 
é(juation al^^ébrique (juelconque, on peut toujours eiFectuer la 
même transformation en supposant qu(j Tune de ees variables 
est une fonction rationnelle de Tautre. Donc pour trouver toutes 
les valeurs de c^ et de c, il sullit de substituer à la place de sin 0, 
la fonction rationnelle la plus générale en si fi 0, et ensuite à 
satisfaire à Téquation qui en résulte. » 



168 NIELS-HENUIK ADEL. — | XIII. 



Xlil. 

Résumé de la situation pendant l'année 1827. — Caractère 
différent des études d'Abel et de Jacobi. 

Avant de passer à cette description de la lutte d'émulation qui 
devait commencer bientôt entre Abel et le nouveau venu, Jacobi, 
nous ferons un court résumé de la situation. 

Nous nous occuperons, en premier lieu, seulement de ce qui, 
n'étant pas encore publié, était au moins expédié des deux côtes, 
en vue d'une publication, avant le 15 ou le 18 novembre. 

On voit qu'Abel, par la remise à Grelle de la première partie 
des Recherches, en avril ou en mai 1827, ensuite par une autre 
communication à peu près du même temps et en tous cas 
antérieure à celle du 15 novembre, — communication qui, le 
plus vraisemblablement peut-être, a été expédiée de Christiania 
vers la fin de juin, — qu'Abel, disons-nous, avait déjà donné la 
preuve qu'il dominait dans ses grands traits la théorie entière 
des fonctions elliptiques qu'il venait de créer, et la théorie des 
transformations y était comprise, même celle des transformations 
algébriques. 

Sur un certain point, très important, mais encore sans rapport 
avec la découverte des nouvelles fonctions, Jacobi avait réussi à 
prendre les devants sur Abel. Il envoya en août aux Astronomische 
Nachrichten des énoncés relativement aux transformations ration- 
nelles, tandis que les mêmes propositions, généralisées d'ailleurs, 
ne furent exposées par Abel que plus tard. Et néanmoins, Abel, 
par ses Théorèmes et problèmeSj a montré qu'avant le milieu de 
novembre il avait sur ce point devancé Jacobi de si loin, par sa 
connaissance profonde de son sujet, que, même en cas d'une 
remise dudit article à Grelle plus tard que le 2 août, date de 



LA SITUATION F,N 1827. 1()0 

renoncé de Jacobi, il ne pourrait etro question d'une égalité. Dans 
ses Recherches, en outre, Abcl avait préparé sa tfiéorie des 
transformations d'une manière évidente, comme d'ailleurs la 
prcmine entrée dans cette théorie avait perdu toute sa difficulté 
par la découverte de Tinversion et de la double périodicité. 

La différence sera encore plus grande si Ton ne pense pas au 
temps de l'envoi — en comparant la précipitation de l'un avec 
la tranquillité insouciante de l'autre, — mais qu'on fixe son 
attention sur l'origine de ces intéressantes propositions. Abel dit, 
dans son livre manuscrit B, et, comme il est à croire, en juin 
18^7, qu'il avait alors trouvé depuis longtemps la solution du 
problème des transformations algébriques, et qu'il l'avait trouvée 
dans sa plus grande généralité. Donc, bien qu'il fût prévenu 
quant à la première publication de quelques propositions relatives 
aux transformations, il avait approfondi, déjà, dans sa totalité, la 
théorie des transformations elliptiques, et cela à une époque si 
reculée qu'alors Jacobi n'avait pas fait encore le premier pas 
dans ses découvertes sur ce terrain. 

Quelle est précisément l'époque de l'origine des découvertes 
d'Abel dans la théorie des transformations? On ne la connaît pas. 
Ilansteen, en transmettant dans une lettre à Schumacher le 
célèbre mémoire d'Abel «Solution, etc.,» — pour être publié 
dans les Aslronomische Nachrichten, comme réponse à Jacobi 
qui s'était servi d'abord de ce journal spécialiste, — dit même 
qu'Abelj en mai 1828, était déjà depuis plusieurs années ^ dans 
la théorie des transformations, en possession d'une méthode 
plus générale que celle de Jacobi. La conséquence directe de 
cette assertion, le mot «plusieurs » désignant nécessairement un 
nombre plus grand que deux^ devait donc être que la découverte 
remontait à une époque antérieure au voyage et finissant dans 
l'été de 1825. 

Plus encore : à Tépoque qui suivit immédiatement le retour, 
ou certainement même avant le départ de Paris à la fin de 
l'année 1826^ la théorie entière des fonctions elliptiques avait 
été découverte par Abel, en tout ce qui était essentiel. Et c'est 



170 NIELS-IlENniK AHEL. — | XIII. 

cela qu'il avait annoncé à Holmboc en lui disant qu'il avait alors 
achevé le plus important de ce qu'il a exposé depuis sur ces 
fonctions. 

Ainsi dès lors le travail était entré dans sa seconde période. Il 
fallait revenir sur plusieurs points, sur de nouveaux détails et de 
plus grands développements; il fallait simplifier les procédés et 
corriger les démonstrations, où pouvaient se trouver des défauts 
de rigueur. Enfin il s'agissait d'étudier, pendant de longues heures 
de méditation, l'ensemble des phénomènes et leur enchaînement, 
pour réussir à faire une œuvre simple et sans art, comme 
une image d'après nature. 

C'est là ce que devaient être les Recherches, et c'est ainsi qu'elles 
devenaient ce chef-d'œuvre de simplicité. Son origine remontait 
à une époque où aucune idée des découvertes fondamentales 
qui se préparaient n'existait chez l'émule futur d'Abel. Et 
pendant qu'Abel continua en bon ordre son travail de description, 
arrêté ensuite soudainement par les pénibles circonstances qu'il 
eut à traverser après son retour dans sa patrie, pendant qu'il fut 
réduit ainsi pour longtemps, à faire pressentir seulement, par un 
court article, qu'il était le possesseur incontestable et libre de 
tout le nouveau champ qu'il avait ouvert pour la science, — 
pendant cela, Jacobi entra en scène, et compléta par ses belles 
recherches la théorie des transformations de Legendre, à laquelle 
il donna ainsi un haut degré de perfection. 

Néanmoins^ à cette époque, [Jacobi, qui fut le premier à 
exposer une partie essentielle de la théorie des transformations, 
relativement aux intégrales elliptiques, c'est-à-dire relativement 
aux fondions non encore inverses, était bien loin de pouvoir 
pénétrer profondément — comme le faisaient Abel et Gauss — 
cette même partie de la science. Alors c'étaient aussi ces deux 
hommes seulement qui connaissaient les grands secrets cachés 
dans les fonctions inverses. Mais déjà, le mois suivant, elles 
pouvaient être étudiées dans les Recherches. 



CARACTÈRE DES I^^TIIDES d'aREL KT DE JACOIU. J71 

Le 18 novombrc, date du mémoire de vérification de Jacohi, 
la situation change. 

La proposition principale énoncée en août fut démontrée. 
CtHle proposition, conjointement avec la proposition complémen- 
taire communiquée h liOgendre, et ensuite par celui-ci à l'Aca- 
démie des Sciences de Paris, forma une partie importante, mais 
encore incomplète, de la théorie des transformations rationnelles, 
transformations auxquelles s'étaient arrêtées jusqu'à ce moment 
ses études. 

La proposition principale, telle qu'elle se présente dans le 
premier article de Jacobi dans le journal de Schumacher, ou dans 
la lettre à Legendre, porte encore l'ancien vêtement; elle se rattache 
aux intégrales. La même proposition, telle qu'elle se présente au 
contraire dans le mémoire de vérification de novembre, après 
l'apparition des Recherches en septembre, indique la jonction des 
découvertes de Jacobi avec les idées fondatrices d'Abel. Mais le 
théorème complémentaire garde toujours une forme représentant 
la période Legendrienne, période qui est sur le point de faire 
place à une ère nouvelle. 

Si d'un autre côté, pour ce qui regarde Jacobi, on remonte de 
plus en plus haut, et qu'on demande quelle est la date de nais- 
sance de ses découvertes, on s'arrête à une époque plus tardive, 
mais aussi mieux déterminée que pour Abel. Car la première 
réussite — d'où découlaient ses théorèmes du mois d'août — eut 
lieu en mars 1829 avec sa découverte du principe de transforma- 
tion; et cela le mena d'abord à son succès, encore relativement 
très mince, en juin, puis à ses propositions plus générales, et 
d'une si grande portée. 



Abel appartenait à un petit pays, situé loin des grands centres 
de la science, et difficilement en rapport avec les pays populeux 
et très anciens du continent. Chez nous, après plusieurs siècles 
d'impuissance, l'indépendance nationale vint à être regagnée; et 
avec l'esprit de la liberté une nouvelle vie commença et se fit 



172 NIELS-IIENRIK ABEL. — | XIII. 

sentir bientôt dans presque toutes les directions. Quelques années 
plus tôt, après de grands efforts, on avait réussi à fonder une 
Université dans la capitale. Celle-ci était alors, et elle resta 
encore quelque temps une petite ville avec ses dix ou quinze 
mille habitants. Et comme il fallait s'y attendre, il ne pouvait 
être question, au commencement, de très hauts professorats dans 
les sciences abstraites. 

Abel, même s'il l'avait voulu, n'aurait pu passer par tous les 
degrés et tous les examens par lesquels doivent monter, comme 
règle, les jeunes gens qui désirent de s'habiliter pour les sciences. 
Pour qui voulait se perfectionner dans les mathématiques, le seul 
chemin à suivre dans l'Université devait être de faire des études 
pour la science des mines. A ces études étaient jointes quelques 
connaissances dans les hautes mathématiques, mais d'ailleurs 
d'une étendue peu considérable. Dans de telles circonstances, il 
ne pouvait naturellement être question d'études pour le doctorat; 
il n'y avait pas non plus, à notre Université débutante, de séries 
de leçons libres et plus transcendentales, destinées aux jeunes 
savants. 

Mais de telles circonstances, défavorables pour le développement 
moyen de la science, ne le sont pas toujours, pour les hommes 
d'élite, à un si haut degré qu'on serait tenté de le croire. Toutefois 
il faudrait, pour réussir, que les moyens d'instruction ne man- 
quassent pas, quand ils n'étaient pas représentés d'une manière 
satisfaisante dans les cours réguliers. Dans la bibliothèque de 
l'Université (nouvellement fondée) il y avait au moins quelques 
bons livres, et il y en avait assez, soit qu'il s'agît, pour quelqu'un, 
de faire sa première entrée dans la science, guidé par un auteur 
consciencieux qui se borne à une exposition claire des plus utiles 
principes; soit qu'un étudiant plus avancé dans ses études voulût 
monter plus haut et faire connaissance avec les hommes supérieurs 
de la science, qui ont conlribué le plus fortement à reculer ses 
limites. 

De cette manière, Abel s'édifia de bonne heure, pour ses inves- 
tigations de l'avenir, une base solide, comme il n'arrive peut-être 



CARACTÈRK DES ÉTUDKS d'aMRL KT DR JACOIII. 17'J 

que raroinont. Holinboe, qui originairement le guidait dans son 
choix ot qui (iiiit bientôt par étudier avec lui comme avec un 
condisciple, était pour un esprit comme Abel le meilleur maître 
quon pût imaginer. Sans être richement doué, il représentait 
à un haut degré, nous pouvons le dire, la conscience scientifique. 
Et même un certain défaut de facilité dans les explications 
orales, défimt qui devait obliger Abel à faire de plus grands 
efforts, et devenir finalement un avantage plutôt qu un danger. Il 
donnait assez d'explications pour conduire à la possession complète 
de l'objet d'étude. 

C'étaient aussi toujours les auteurs les plus clairs et les plus 
profonds qu'ils étudiaient ensemble, et que plus tard Abel 
approfondit tout seul. C'étaient Euler et Lagrange, et surtout 
c'était Lagrange. 

Dans un de ses livres manuscrits, Abel, vraisemblablement 
dans une citation prise au hasard chez un auteur, a aussi accen- 
tué la justesse de cette manière d'étudier. On y lit en langue 
française : « Si Ton veut savoir comment on doit faire pour 
parvenir à un résultat plus conforme à la nature, il faut consulter 
l'ouvrage du célèbre Laplace, où cette théorie est exposée avec 
la plus grande clarté et dans une extension convenable à l'impor- 
tance de la matière. Il est en outre aisé de voir qu'une théorie 
écrite par M. Laplace doit être bien supérieure à toute autre 
donnée des géomètres d'une classe inférieure. Au reste, il me 
paraît que si Ton veut faire des progrès dans les mathématiques, 
il faut étudier les maîtres et non pas les écoliers. » 

L'esprit avec lequel ces œuvres classiques de la science furent 
lues et pénétrées par Abel était aussi celui de son premier 
instituteur, son père. On raconte de lui, dans une biographie, 
qu'il exigeait (( que tout fût compris si clairement que l'on pût, 
pour ainsi dire, le saisir avec les mains. » 

Abel lui-même, d'après la tradition, attribuait le manque de 
réussite dans les mathématiques, en premier lieu à des connais- 
sances imparfaites des éléments et des principes. 



174 NIELS-HENRIK ABEL. — | XIII. 

L'auteur de cette biographie adressa, dans Tannée 18/^9, une 
lettre à son ancien maître, Ilolmboe, pour lui demander des 
conseils afin de pouvoir continuer ses études mathématiques. 
Ilolmboe dit, au commencement de sa réponse, que comme le 
meilleur guide à citer, il voulait faire connaître quelques notes sur 
Lagrange et quelques remarques de celui-ci, concernant cette 
étude. Il les avait trouvées, environ trente ans auparavant, dans 
le journal de Lindenau et Bohnenberger, et alors il les avait 
copiées. 

Ce qui est ici d'un grand intérêt, c'est qu'il sagit des règles 
que Holmboe lui-même avait adoptées et qu'il recommanda, 
comme maître du jeune Abel, pour le guider dans l'étude des 
mathématiques. On se rappelle qu'Abel entra à l'école cathédrale 
de Christiania dans l'année 1815, et que Holmboe y fut placé 
dans l'année 1818. Peu de temps après commencèrent leurs 
éludes en commun. Mais en remontant les trente années de 
l'époque où fut écrite ladite lettre, on arrive à l'année 1819 qui 
doit être environ l'époque en question. 

Holmboe continue maintenant en faisant observer que dans la 
notice mentionnée il est dit de Lagrange : 

(( Il s'effrayait pour ceux qui aspiraient à des véritables succès 
dans rétude de l'analyse, des progrès immenses qu'elle avait fait 
depuis le temps de ses premiers travaux. Il disait une fois avec 
celte naïveté qui ne le rendait pas inoins intéressant que son 
génie, et en montrant une pile d'ouvrages modernes déposée sur 
la table : (c Je plains les jeunes géomètres qui ont tant d'épines à 
avaler. Si j'avais à recommencer, je n'étudierais pas; ces gros 
in-4'' me feraient trop peur.» Il ajouta peu après : a On aura 
beau faire, les vrais amateurs devront toujours lire Euler, parce 
que dans ses écrits tout est clair, bien dit, bien calculé, parce 
qu'ils fourmillent de beaux exemples, et quil faut toujours 
étudier dans les sources. » 

» Sa grande réputation l'exposait à être souvent consulté par 
ceux qui voulaient faire des progrès dans la géométrie, et qui 
pensaient, avec raison, qu'il pourrait aisément leur indiquer la 



coNSKii-s 1)1-: i.a<;iia.\(;k ai;x jf.unks r.f^ioMKir.F-s. i7îi 

meilleuro direction à imprimer ù leurs travaux. Mais il aimait 
peu à donner des conseils de ce genre : il avait si parfaitement 
étudié seul et sans guide qu'il croyait de bonne foi les autres 
aussi heureusement nés que lui. Sa réponse ordinaire était qucn 
géométrie il ne faut pas de maître et qu'on n'apprend rien que ce 
qu'on apprend soi-môme, ou quand on insistait: <r Étudiez Euier, 
et attachez-vous à résoudre tous les problèmes que vous rencon- 
trerez; car en lisant la solution d'un autre, vous n'apercevrez ni 
les raisons qu'il a eues pour se tourner de tel ou tel côté, ni les 
dillicultés qu'il a trouvées sur son passage. y> 

» Un jour qu'il m'entretenait de cette répugnance à donner des 
directions et à conseiller une manière d'étudier plutôt qu'une 
autre, il la rapporta à ce qu'il n'avait jamais eu de maître ni de 
compagnon dans ses travaux, en sorte que les occasions de 
traiter ce sujet lui ayant manqué, il n'en avait point l'habitude. 

)) Ce n'était pas» , continua-t-il, a. que je n'eusse pu en parler tout 
comme un autre; car je crois avoir bien réfléchi de bonne heure 
sur la meilleure marche à suivre dans l'étude de l'analyse, et je 
m'en étais fait un certain nombre de principes que j'ai toujours 
fidèlement suivis et que je vais vous citer : 

y> Je n'étudiais jamais dans le même temps qu'un seul ouvrage; 
mais s'il était bon, je le lisais jusqu'à la fin. 

)) Je ne me hérissais pas d'abord contre les difficultés, mais je 
les lisais pour y revenir ensuite vingt fois s'il le fallait; si après 
tous ces efforts, je ne comprenais pas bien, je cherchais comment 
un autre géomètre avait traité ce point-là. 

y> Je ne quittais point le livre que j'avais choisi sans le savoir, 
et je passais tout ce que je savais bien quand je le rencontrais de 
nouveau. 

» Je regardais comme assez inutile la lecture de grands traités 
d'analyse pure : il y passe à la fois un trop grand nombre de 
méthodes devant les yeux. C'est dans les ouvrages d'applications 
qu'il faut les étudier : on y juge de leur utilité, et on y apprend 
la manière de s'en servir. Selon moi, c'est aux applications qu'il 
convient surtout de donner son temps et sa peine; et il faut se 



176 NIELS-IIENRIK ABEL. — | XIII. 

borner en général à consulter les grands ouvrages sur le calcul, 
à moins qu'on ne rencontre des méthodes inconnues ou curieuses 
par leurs usages analytiques. 

)) Dans mes lectures, je réfléchissais principalement sur ce qui 
pouvait avoir guidé mon auteur à telle ou telle transformation ou 
substitution et à l'avantage qui en résultait; après quoi je cher- 
chais si telle autre n'eût pas mieux réussi, afin de me façonner à 
pratiquer habilement ce grand moyen de l'analyse. 

D Je lisais toujours la plume à la main, développant tous les 
calculs et m'exerçant sur toutes les questions que je rencontrais; 
et je regardais comme une excellente pratique celle de faire 
l'analyse des méthodes et môme l'extrait des résultats quand 
l'ouvrage était important ou estimé. 

y> Dès mes premiers pas j'ai cherché à approfondir certains 
sujets pour avoir occasion d'inventer, et de me faire autant que 
possible des théories à moi sur les points essentiels, afm de les 
mieux graver dans ma tête, de me les rendre propres, et m'exercer 
à la composition. 

» J'avais soin de revenir fréquemment aux considérations géo- 
métriques, que je crois très propres à donner au jugement de la 
force et de la netteté. . 

)) Enfin je n'ai jamais cessé de me donner chaque jour une 
tâche pour le lendemain. L'esprit est paresseux; il faut prévenir 
sa lâcheté naturelle et le tenir en haleine pour en développer 
toutes les forces et les avoir prêtes au besoin; il n'y a que l'exer- 
cice pour cela. C'est encore une excellente habitude que celle de 
faire, autant qu'on le peut, les mêmes choses aux mêmes heures, 
en réservant les plus difficiles pour le matin. Je l'avais prise du 
roi de Prusse, et j'ai éprouvé que cette régularité rend peu à peu 
le travail plus facile et plus agréable. » 

((Ces règles», continue ici Holmboe dans sa lettre, «chacun 
se trouvera certainement bien de les suivre. Ce que Lagrange, 
dans son temps, disait d'Euler s'applique bien à Tépoque présente, 
à cause du progrès de la science, encore mieux à Lagrange lui- 
même, mais dans un degré plus haut encore à Cauchy, ce grand 



CAUSE DES SUCCÈS d'aREL. 177 

réformateur des mathématiques Outre Caucby, surtout Al)(3l 

et Jacobi méritent irètre étudiés avec soin, i) 

Mais les vraies sources de la grandeur à laquelle arriva Abel 
comme investigateur ne doivent pas ôtre clierclK'es seulement 
dans un génie supérieur, aux mains duquel étaient tombés les 
moyens de recherches les plus puissants. Les circonstances de 
sa vie Tout forcé de vivre, au point de vue scientifique, comme un 
solitaire parcourant ses propres chemins, et lui ont facilité singu- 
lièrement l'avantage de rester dans la plus pleine concordance 
avec soi-même. En poursuivant ses idées, il travailla donc en 
silence et avec la patience infatigable d'un investigateur qui veut 
faire une œuvre consommée et complète. 

A cause de ces mêmes circonstances et à cause aussi d'un trait 
bien prononcé de son caractère, il n'était pas non plus bien forte- 
ment tenté de s'en écarter, et il n'y avait rien qui divisât ses efforts. 
Il n'était pas préoccupé d'un ardent désir d'obtenir la bonne pro- 
tection des hautes autorités scientifiques, ni même d'acquérir 
de bonne heure un nom honoré comme mathématicien. Dans les 
premières années, où furent posés déjà en grande partie les 
vastes fondements de ses théories, il était même presque sans 
liaisons avec ses contemporains du continent et avec leurs 
recherches. Plus tard, il se lia avec Grelle; mais ce n'était que 
comme ami et collaborateur de son Journal. Vers la fin de 
sa vie, à une époque qui n'a guère duré beaucoup plus d'une 
année, il fut forcé par le début de Jacobi de changer un peu ses 
plans. Mais alors tout était prêt pour leur réalisation complète. 

Ainsi, vivant au milieu de ses propres idées et pour elles seules, 
il marcha toujours droit dans le même sens. Toutes ses forces, 
il les dirigea vers un seul but, tirant les meilleures et les plus 
vastes ressources bien plus en se concentrant dans les profondeurs 
les plus cachées de son être, que dans une étude inspiratrice 
des auteurs contemporains. 



12 



178 NIRLS-HKMUK ABEF.. — | XllI. 

Il existe de certaines analogies dans le développement de .lacobi 
et celui d'Abel durant les premiers temps de leurs études. On voit 
que, de bonne heure et dès Técole, ils ont commencé tous les deux 
par l'étude des œuvres des grands maîtres, celles d'Euler et de 
Lagrange. Nous avons fait remarquer que Jacobi s'est occupé aussi 
dans sa jeunesse du problème de la résolution de l'équation du 
cinquième degré, sans continuer cependant d'étudier cette difficile 
question avec le même acharnement et le même succès qu'Abei. 
Mais son intérêt ne pouvait guère se concentrer à la longue 
fortement et exclusivement autour des œuvres des grands auteurs, 
comme c'était le cas pour Abel. Le géomètre allemand vivait 
dans des circonstances essentiellement différentes, et il se trouva 
donc sous l'empire de nécessités et d'exigences d'une tout autre 
nature. 

Pour lui, comme pour le grand nombre des jeunes adeptes de la 
science, il dut se présenter, cela va sans dire, des avantages inap- 
préciables dans toutes ces institutions, et nous pouvons même dire 
dans toutes ces mœurs scientifiques, développées pendant le cours 
des siècles, dans leur ancien pays. De plus, pour lui comme pour 
tant d'autres, dans de pareilles circonstances, il s'était rencontré 
de bonne heure des occasions d'entrer en relation avec les 
grands hommes de l'époque et d'obtenir la protection précieuse 
de leur autorité; Jacobi, beaucoup plus tôt et plus intimement 
qu'Abei, se mit aussi en communication avec Legendre, et il eut 
la bonne fortune de faire la connaissance personnelle de Bessel, 
qui exerça sur lui, comme le raconte Dirichlet, la plus puissante 
influence. 

Jacobi, l'éminent écrivain futur, devait naturellement aspirer 
à obtenir une place dans une des Universités de l'Allemagne, et 
avec ses grands talents, avec « l'inépuisable trésor de connais- 
sances » qu'il avait su acquérir de très bonne heure, ses plus belles 
espérances devaient être légitimes. 11 avait au moins en ce sens 
un grand avantage sur Abel, qui, en récompense de toutes ses 
hautes études, n'aurait jamais obtenu vraisemblablement une 
position à T Université. 



CAHACTiniR niFFl^lRENT nKS l'TlJDF.S i/aHF.L FT DF JACOItl. |71) 

Mais cola fut nnssi iino nouvelle source d'inflopcndanco pour 
les (H\i(les d'Ahcl, laut 4110, [wir luie petite subvention de TEtai, 
il fut mis en position de continuer ces études qui s'étaient 
montrées si Iructueuses. Jacobi devait s'arranger d'une autre 
manière; il lui eût été très dangereux certainement dans de 
telles circonstances de se mouvoir aussi librement qu'Abel; il ne 
lui fallait pas alors dépenser ses riches facultés et son savoir si 
étendu et si varié dans de longs travaux d'attente et de résignation 
qui auraient exigé les grandes investigations, au plus haut degré 
désintéressées. 

Abel, appuyé sur ses études des grands maîtres, partit de ce 
problème, stérile en apparence, qu'il avait, étant écolier, cherché 
comme Jacobi — et peut-être comme une foule de jeunes savants, 
— la résolution de l'équation du 5^ degré. Après cela, vinrent les 
études sur les intégrales, surtout les intégrales elliptiques et les 
intégrales d'ordre encore plus élevé; c'était un nouveau commen- 
cement auquel avait donné lieu la réponse de Degen, quand celui-ci 
avait dû rejeter le résultat d'écolier présenté par Abel. Dans le 
résultat également impossible du savant professeur, il y avait 
pour un esprit comme Abel un germe fertile, conduisant au théo- 
rème d'addition avec ses innombrables conséquences. Mais plus 
tard tout cela se réunit en quelque sorte dans un vaste et unique 
problème, 011 les découvertes algébriques formèrent le principe 
qui pénétrait tout. 

Abel, après ses premiers échecs, tint donc toujours ferme sans 
se décourager, et continua à marcher dans la même direction. 
Mais au lieu de chercher d'après l'ancienne manière en essayant 
de trouver des solutions là o\j peut-être aucune solution n'existait, 
il prit une autre route qui infailliblement devait conduire au 
moins à des résultats, et par ce moyen il parvint à circonscrire 
et à étendre son problème ou les problèmes partiels dont celui-ci 
était composé. 

11 se détermina à donner au problème une forme telle qu'-il fût 
toujours possible de le résoudre, ce qu'on peut faire d'un problème 
quelconque. Au lieu de demander une relation dont on ne sait 



180 NIELS-HENRIK ABEL. — | XIII. 

pas si elle existe ou non, il faut demander si une telle relation est 
en effet possible. Par exemple, dans le calcul intégral, au lieu de 
chercher, par une espèce de tâtonnement et de divination, à 
intégrer les formules différentielles, on doit plutôt chercher s'il est 
possible de les intégrer de telle ou de telle manière. En présentant 
un problème sous cet aspect, renoncé même contient le germe 
de la solution, et montre la route qu'il faut prendre (^). 

De cette façon, par une espèce de reconnaissance méthodique 
du terrain ou par une suite d'expériences réglées, après un 
travail solitaire, dont l'existence était inconnue pour le monde, 
il finit par préparer ses grandes théories nouvelles qu'il fallait 
ensuite développer et finalement exposer. 

Mais il voulut le faire, s'il était possible, et comme c'était son 
désir souvent exprimé, dans une œuvre régulière, plutôt que dans 
une série de mémoires détachés, mieux appropriés à des sujets de 
détail et de petite étendue, chacun formant à lui seul une 
unité. 

Pour Jacobi, il devait être plutôt dans ses intérêts d'abandonner 
les problèmes de sa jeunesse, comme la résolution de l'équation 
du 5® degré, qui certainement devait résister longtemps c\ tous 
les efforts, et vraisemblablement ne pas lui donner plus de résul- 
tats qu'à tant d'investigateurs éminents qui l'avaient tentée avant 
lui. Au lieu donc de se jeter dans des entreprises aussi incertaines 
que celle-là et les autres de même catégorie, il pouvait employer 
ses riches et puissants talents avec fruit pour la science, avec 
honneur et avantage pour lui-même, en se posant des problèmes 
mieux déterminés et à des hauteurs plus accessibles, et en même 
temps plus rapprochés du centre de la science, telle qu'elle était 
au temps oii il vivait. 

Il existait un grand nombre de questions propres à cette époque, 
qu'on pouvait se poser à cause de leur caractère, avec la certi- 
tude de les résoudre, comme cela réussissait pour Abel, en 



(*) Voir l'introduction au mémoire inachevé : Sur la résolution algébrique des 
équations. {Œuvres complètes, tome il.) 



i 



CARACTÈRE DIFFi^lRENT DES ETUDES d'aBEL ET DE JACOBI. 181 

essayant avec sa méthode do pénétrer profondément dans un pays 
nonvoau. Il y avait des travaux de détail, dos travaux de dévelop- 
pement et d'anjplification; on pouvait passer de certaines questions 
connues à dos questions contij^uës et analoi^ues; on pouvait 
essayer de modifier ou de simplifier les anciens procédés. Et 
surtout on examinant soigneusement tout ce qui se produisait 
de nouveau, et en s'associant vigoureusement à chaque vrai 
progrès, on pouvait avancer sûrement vers de bons résultats; et, 
le temps propice venu, on s'élèverait peut-être jusqu'à traiter des 
problèmes plus grands, demandant une indépendance entière. 

Cette manière de travailler, qui naturellement s'est développée 
beaucoup grâce aux journaux scientifiques, suppose ainsi qu'on se 
mette en rapport intime avec les auteurs contemporains et qu'on 
s'efforce d'utiliser ce qu'on y trouve pour en tirer des avantages 
en vue de nouvelles recherches et pour s'inspirer de leurs idées 
auprès d'idées congénères. 

Dirichlet, dans son Éloge de Jacobin raconte ainsi une anecdote 
du temps d'études de ce mathématicien, alors qu'il n'avait pas 
encore réussi à s'initier à la théorie des fonctions elliptiques. 

« Le jeune géomètre, » dit-il, « qui s'était déjà essayé avec suc- 
cès dans tant de directions ditTérentes, sembla quelque temps aban- 
donné de son bonheur habituel dans la théorie des fonctions ellipti- 
ques. Un de ses amis, le trouvant un jour de fort mauvaise humeur, 
lui en demanda la cause, ce Vous me voyez,» répondit-il, «songeant 
» en ce moment à renvoyer ce livre » — les Exercices de Legendre 
— « à la bibliothèque; décidément je joue de malheur avec lui. 
» Toutes les fois que j'ai étudié un ouvrage important, cela m'a 
)) toujours suggéré quelques idées neuves, et j'y ai toujours gagné 
)) quelque chose. Cette fois, ma lecture me laisse les mains complè- 
» tement vides, et ne m'a pas inspiré la moindre idée. » 

Cette espèce de travail — différenle du travail d'Abel, en ce sens 
que celui-ci devait compter plus exclusivement sur ses propres 
ressources pour en tirer, par les plus patients efforts, ses idées et 
ses méthodes, — était donc naturelle, et surtout dans les premiers 
temps, à la position de Jacobi. Enrichi des idées dont, grâce à 



182 NIELS-HRNUIK ABEL. — | XIII. 

ses grandes lacultés réceptives, il put s'inspirer par la lecture des 
auteurs — et les combinant avec d'autres, dues antérieurement 
à son propre génie ci éateur; — joignant aussi à ces trésors les 
idées qu'il avait dû rencontrer en foule en lisant les mémoires 
d'Abel, il ne pouvait manquer de faire sortir de sa plume des pro- 
ductions très variées et très nombreuses. Et de cette manière, 
nous n'en doutons pas, en voyant se développer les unes après les 
autres les idées si grandiosement conçues par Abel, et en appro- 
fondissant particulièrement les procédés d'introduction du mémoire 
de Freiberg, il en a subi la plus heureuse influence, qui l'a mis à 
même de découvrir, en mars 1 827 , son principe de transformation , 
et plus tard, en juin et en août, dans la même théorie, ses 
célèbres propositions d'induction qu'il devait démontrer plus tard. 

Mais sa puissance créatrice, abondante et variée, étant appli- 
quée à d'autres objets, resta encore quelque temps avant de se 
fixer. Il avait, à cette époque, expédié à Grelle un si grand 
nombre de mémoires qu'il lui avait été impossible, malgré sa 
puissance de travail, d'achever ses nouvelles investigations sur la 
théorie des transformations des intégrales elliptiques, et qu'il 
ne termina sa tâche qu'après le 27 août 1827. 

A cette époque, finit ainsi pour longtemps cette série de 
travaux de discussion, relativement moins importants, et ils 
font place aux grandes études. Celles-ci, demandant une plus 
grande concentration autour d'un sujet unique, eurent d'abord 
pour effet une production relativement très hétérogène. Mais 
son fruit devait être une œuvre célèbre : ce fut les Fimclamenta 
nova. 



LA LUTTK. \H'\ 



XIV. 

La lutte et la suite du développement des événements, jusqu'à 
l'époque où Abel cède la place, et où parait le grand ouvrage 
de Jacobi : les Fundammta nova. 

Abel resta longtemps dans sa retraite lointaine sans connaître 
le début de Jacobi. Naturellement il ne pouvait s'attendre à trou- 
ver dans un journal astronomique quelque cbose qui touchât 
profondément ses propres intérêts. Le cahier de septembre, où se 
trouvaient les énoncés de Jacobi, était sans doute parvenu à 
Christiania dans le courant de l'automne. Deux ou trois fois par 
an, il arrivait à l'Observatoire un ballot de livres contenant aussi 
le journal de Schumacher. Mais ce n'est guère que par un hasard 
qu'Abel eût pu avoir connaissance de ce que le ballot renfermait 
d'intéressant pour lui comme mathématicien. Quant au mémoire 
de vérification de Jacobi, il était inséré dans le cahier de décem- 
bre et, d'après l'état de choses qui régnait alors dans notre pays, 
la mer étant prise par les glaces et la navigation se trouvant 
interrompue, il était impossible qu'il arrivât avant le printemps 
de 1828, et au plus tôt en avril. 

Abel, qui ne soupçonnait rien de la rivalité qui se préparait, 
et dont la position dans son pays n'était rien moins qu'heureuse, 
ne termina donc pas la rédaction de ses Recherches aussitôt qu'il 
l'avait promis. Le 12 février, il envoya le reste dans une lettre à 
Crelle. Il en forma la partie finale d'un mémoire étendu, conte- 
nant un exposé complet des fondements de la nouvelle théorie. 

Dans l'intervalle, relativement très long, entre la publication 
de la première partie des Recherches et Fenvoi de la seconde, on 
a seulement, de la part de Jacobi, outre son mémoire de vérifica- 
tion, une très courte note (d'une page) expédiée pour être publiée, 



I 



184 NIKLS-HKNKIK AIIKL. — ^ XIV. 

savoir, son ((Addition au mémoire d'Abeli). Cette addition est 
datée du 25 janvier 1828, et a pour but une simplifieation à 
introduire dans le procédé d'Abel pour résoudre algébriquement 
les équations d'où dépend la division d'une tbnction elliptique. 



Dans la seconde partie des RechercJtesj Abel expose maintenant 
la théorie de la transformation, et non seulement il la présente 
d'une manière complète, puisqu'il traite aussi toutes les transfor- 
mations imaginaires — lesquelles ne se trouvent pas dans le 
travail de Jacobi, — mais ici encore la démonstration ne fait pas 
défaut. Sous tous les rapports, elle était préparée d'avance, 
conformément à la marche suivie dans les premières parties du 
mémoire. Bien plus, au numéro 4-9, Abel mentionne qu'il est 
parvenu à résoudre les problèmes de la transformation dans leur 
plus grande généralité possible, rnême pour un nombre quelconque 
de fonctions elliptiques. Dans un paragraphe final, on trouve aussi 
ce théorème qui avait été inséré longtemps auparavant dans le 
troisième cahier du tome II du Journal, ainsi que des problèmes 
de même nature que celui qui y avait été déjà proposé. 

Avant l'envoi, et, comme il le dit lui-même, après qu'il eut 
terminé son mémoire, arrive maintenant sous ses yeux (ïla note» 
de Jacobi, insérée dans le numéro 123, année 1827, du recueil 
de Schumacher «qui a pour titre Astronomische Nachrichten:». 
11 fait alors une « Addition au mémoire précédent » , où il montre 
que ((ce théorème élégant que M. Jacobi donne sans démonstra- 
tion est contenu comme cas particulier y> dans sa formule 
générale (227), et qu'ctau fond, il est le même que celui de la 
formule (270)». SU avait su que Jacobi eût énoncé aussi un 
théorème complémentaire, — communiqué dans une lettre au 
seul Legendre, — il aurait pu pousser plus loin ses affirmations 
et remarquer que ce théorème aussi avait été mis en lumière par 
lui-même, comme on le voit par les cas A et B, dans les numéros 
47 et 48. Chez Abel, il faut alors descendre d'un théorème 
général. 



I,A l.VTVK. 185 

Oiloi «iiiil (Ml soil, ra|)[)!irilion de ces énoncés ne produisit pas, 
à ce (|ii'il parail, une très forte impression. Abel, après avoir 
achevé s(^s Recherches, continue ses travaux dans une autre 
direction. 11 va rédiger son «Mémoire sur une classe particulière 
d'équations résolubles algébriquement», ce beau travail dont il 
avait déjà donné une ébauche peu de temps après son retour. Par 
les énoncés de Jacobi, les nouveaux fondements ne furent pas 
encore touchés. 



Quelque temps après, lé 12 avril, Jacobi envoie à Legendre 
une lettre remarquable et historiquement intéressante. Le contenu 
de cette lettre se rapproche en partie d'une note du 2 avril, 
insérée dans le Journal de Crelle. 

Crelle l'avait informé que la suite du mémoire d'Abel était sous 
presse, cette suite qu'il attendait avec tant d'impatience. Entre 
Legendre et Schumacher il y avait eu aussi des lettres échangées. 
Legendre attendait de son côté non moins impatiemment l'arrivée 
de cette prochaine démonstration du théorème coruplémentairey 
qui tardait tant à venir et qui l'intéressait au plus haut degré. Il 
avait espéré d'abord qu'elle paraîtrait en même temps que la 
démonstration du premier théorème. 

Comme il n'en avait pas été ainsi, il attendait en tous cas une 
suite du mémoire de Jacobi; mais, informations prises auprès du 
rédacteur des Aslronomischc Nachrichten, on lui avait dit que 
rien n'avait été envoyé pour l'impression. Dès lors commencèrent 
de la part de Schumacher des demandes pressantes à l'adresse de 
Jacobi, de rédiger sa démonstration, et il s'ensuivit comme 
conséquence la lettre mentionnée plus haut, comme aussi une 
autre à Crelle contenant la note en question. La lettre de Jacobi 
à Legendre se croisa en route avec une lettre semblable de 
Legendre à Jacobi, datée du 14 avril, dans laquelle le mathé- 
maticien français, sous une forme amicale, mais pressante, 
exprimait le désir que Jacobi lui communiquât la manière de 
justifier son théorème complémentaire. 



J86 MELS-HRNHIK ABRL. — § XIV. 

Dans la lettre de Jacobi du 12 avril, la démonstration est 
réellement faite, et même la transformation complémentaire se 
présente ici moins comme une transformation parallèle à la pre- 
mière — ce qui est le point de vue originaire et plus restreint — 
que comme la seconde des deux transformations principales, 
lesquelles se distinguent dans le groupe entier des transformations 
réelles et imaginaires. Jusqu'à ce point, il n'y avait cependant 
aucune difficulté, dès le moment qu'on pouvait s'appuyer sur le 
principe de la double périodicité, exposé déjà dans les Recherches. 
Car alors la démonstration qui se rapporte au cas principal pouvait 
être répétée mot pour mot, en remplaçant une certaine expression 
par d'autres qui se présentaient de la manière la plus naturelle. 
Dans sa lettre du 15 janvier — où, dans son embarras de 
no pouvoir satisfaire aux demandes de Legendre, il parle des 
découvertes d'Abel — Jacobi avait dressé un exposé « des recher- 
ches de la plus grande importance d publiées par Âbel, « jeune 
géomètre qui peut-être vous sera connu personnellement. » Et là, 
sans revendiquer pour sa propre part, comme on devait s'y atten- 
dre, aucun droit d'inventeur indépendant, en lui d racontant les 
détails les plus intéressants )), il lui expliqua aussi la nouveauté 
abélienne concernant la double périodicité. 

Mais il y avait un point plus manifestement faible dans l'exposé 
de Jacobi. Il ne pouvait alors donner une démonstration du 
rapport, dont il avait parlé autrefois, entre la transformation prin- 
cipale et complémentaire d'un côté et la multiplication de l'autre; 
il ne pouvait la donner sans recourir, non plus au simple principe 
de la double périodicité, mais à un grand théorème fondé sur ce 
principe, théorème contenu aussi dans les Recherches. 

Le nouvel embarras dans lequel se trouve Jacobi se trahit donc; 
il ne peut pas le dissimuler. «Pour démontrer ceci, » dit-il, c( il 
faut remonter aux formules analytiques concernant la multipli- 
cation, données la première fois par M. Abel. » Et il arrange eu 
réalité de cette manière la déduction qu il expose à Legendre. 

Après cela, dans la même lettre, il présente ses excuses à Legen- 
dre. Celui-ci aurait voulu connaître la marche des idées de Jacobi 



LA LUTTE. 187 

et jclor un coup d'œil sur l'analyse profonde et rigoureuse, qui 
Tavait conduit à ces beaux théorèmes. Cette marche des idées est 
maintenant sous ses yeux. Jacohi reconnaît, — mais cet aveu 
n'est que pour Logendre seul, — que ses théorèmes n'étaient que 
des résultats de Tinduction. Les démonstrations avaient été trou- 
vées plus tard. 



D'après la lettre en question, ainsi que la note môme insérée 
dans le Journal de Crelle et dont nous avons parlé plus 
haut, Jacobi possède ainsi maintenant les transformations imagi- 
naires. Il possède en même temps de nouveaux et élégants 
développements des fonctions elliptiques. Mais ces deux résultats, 
très beaux d'ailleurs, reposaient sur des fondements qui depuis 
longtemps étaient livrés à la publicité, dans la première partie 
imprimée des Recherches. Là se trouvaient déjà établis des déve- 
loppements des fonctions elliptiques, et Jacobi ne fit que continuer, 
à la vérité d'une manière très ingénieuse, à donner de nouveaux 
développements pareils. En outre, dans ce travail d'Abel, le 
principe de la double périodicité, introduit maintenant pour la 
première fois dans les publications de Jacobi, avait été scruté 
avec soin; et nous savons, par la dite lettre de Jacobi écrite en 
janvier, qu'il avait bien remarqué l'importance de ce principe. 

Ajoutons toutefois que les transformations imaginaires, dont la 
découverte avait été tellement facilitée pour Jacobi, en ne consi- 
dérant que l'époque de leur publication, étaient indépendantes 
des transformations imaginaires d'Abel, qui avaient été rédigées 
quelques mois auparavant; car la note de Jacobi fut imprimée 
immédiatement après la seconde partie des Recherches et dans le 
même cahier du Journal. Mais, maintenant comme avant, la 
position de Jacobi relativement à la théorie de la transformation, 
pour ce qui est de l'étendue aussi bien que du degré de profondeur 
de son investigation, ne fit néanmoins qu'approcher de celle 
d'Abel. 

C'est donc dans de courts articles ou dans de simples notes que 



188 NIELS-HENRIK AKKL. — | XIV. 

Jacobi fit connaître le développement de ses idées, avant de 
rassembler ses résultats dans un ouvrage d'ensemble, les Funda- 
menta nova. Et, dans les circonstances présentes, il n'en pouvait 
être autrement. Tous ces développements étaient, en effet, fondés 
dans leurs parties essentielles — bien que Jacobi ne l'ait pas fait 
remarquer lui-même dans ses premières publications — sur cette 
mine de découvertes déposée dans le travail d'Abel, tel qu'il était 
au mois de septembre. Les développements si connus et si beaux 
des fonctions elliptiques en séries, avons-nous dit, se reliaient 
comme conséquence avec ce qu Abel avait déjà produit. Quand 
Jacobi introduisit les fonctions B, qu'on lui attribue ordinaire- 
ment, il s'agissait aussi, en réalité, de fonctions qu'Abel, à la 
vérité sans les désigner sous ce nom, avait exposées implicitement, 
dans cette même première partie des Recherches. Jacobi prit les 
numérateurs et les dénominateurs de quelques fractions qu'il y 
trouva. Et, comme il interprétait une pensée très voisine et très 
naturelle, il en fit des transcendantes nouvelles. Il réussit h leur 
donner une autre forme^ très élégante, en même temps qu'il 
montrait, dans un très beau théorème, l'importante utilité qu'on 
en pourrait tirer relativement à la réduction des intégrales de 
troisième espèce. Abel, pénétrant plus profondément au cœur 
de la question, ne voulut pas choisir ses propres numérateurs et 
dénominateurs tels qu'ils se présentaient, sans aucune modifica- 
tion réelle dans ses formules. Gomme on voit dans son introduction 
au Précis, il passa à une série de transcendantes proportionnelles 
qui se présentaient naturellement et que d'ailleurs, dans ces 
derniers temps, Weierstrass a prises pour base de ses travaux. 
Et précisément ces mêmes fonctions transcendantes, chose digne 
de remarque, le clairvoyant Gauss, à qui appartiennent tous les 
droits de premier inventeur des fonctions elliptiques — avant 
qu'Abel les eût réinventées, — Gauss les avait depuis longtemps 
introduites dans les résultais, alors inédits, de ses recherches. 



LA LUTTK. 18Î) 

Mais revenons encore une l'ois à la question de la découverte 
de la double périodicité. 

Jacobi avait ruinaïqué, au commencement d'août 1827, Téqua- 
tion de substitution de sin o ù / tang ^. Par là il fut amené, comme 
il dit, d'une transformation de k' en X', en partant de celle de k 
en X; et en faisant une conjecture beurcuse, il arriva à la trans- 
formation complémentaire. C'était à une époque où il ne faisait 
usage d'aucune inversion, ni dans sa note à Schuinacher, ni dans 
sa lettre à Legendre. 

Dans le mémoire de vérification, daté du 18 novembre 1827 
et, comme nous avons dit, deux mois après la publication des 
Recherches, Jacobi se sert de l'inversion, mais non de la double 
périodicité. Ces principes fondamentaux étaient alors connus tous 
les deux par les investigations d'Abel, et certainement Jacobi lui- 
même les avait bien remarqués dans ce mémoire très développé. 
Cependant, on peut admettre qu'en ce sens Jacobi se soit rappro- 
ché de la découverte en question, attendu qu'avec son équation de 
substitution, dont nous avons fait mention, le chemin à parcourir 
n'était pas très long s'il s'était appuyé seulement sur Vune des 
deux idées réformatrices, sur l'inversion abélienne. Si Jacobi, sous 
tous les rapports, indépendamment d'Abel, avait fait la décou- 
verte, il serait plus que singulier qu'il n'en eût fait aucune 
application dans son mémoire de novembre, et qu'il eût attendu 
jusquen avril avant de donner, dans le Journal de Crelle, une 
généralisation de son théorème de transformation. Là il la donna 
sous une forme très élégante, mais de telle sorte que la connexion 
avec le principe de la double périodicité se trouvât bien caché. 
Dans la lettre suivante à Legendre, il prend, au contraire, la route 
directe, et la connexion se montre ici manifestement. 

Dans sa lettre à Legendre du 12 janvier 1828, Jacobi, comme 
nous l'avons vu, attribue à Abel la découverte de la double pério- 
dicité, et il ne demande ici rien pour lui-même. Plus tard Jacobi 
fait, naturellement, un fréquent usage de cette propriété des 
fonctions elliptiques; mais alors il ne pouvait plus être question 
que d'Abel comme de celui qui l'avait exposée. 



190 N'IKLS-HEN'niK AHEL. — | XIV. 

Longtemps après, on voit Jacobi revendiquer maintenant pour 
lui-mèinc coiniiie une copropriété cette découverte de la double 
périodicité, ce qu'il n'avait jamais fait antérieurement, en termes 
exprès, comme c'avait été si souvent le cas pour la tbéorie 
des transformations. Dans l'introduction à un mémoire non 
publié par Jacobi lui-même, et intitulé a De division e integrnliuîn 
ellipticoriim in n parles œquales)), il dit qu'en même temps 
qu'Abel fit ses découvertes dans la théorie de la division et 
d'autres découvertes — celle de la théorie des transformations 
n'était pas désignée en particulier — il fonda, lui Jacobi, la 
théorie générale de la transformation des fonctions elliptiques. 
Il la fonda en partant et du principe de la double périodicité « ad 
quod et ipse devenerami> et d'un nouveau principe qu'il avait 
appelé, dans les Fundamenta nova : a principiiim transforma lio - 
nis:i>. 

De cette déclaration bien tardive de Jacobi, où il accorde à 
Abel très peu de chose en dehors de ces mots « prœclare et 
eleganterï>, mais où il s'attribue lui-même une découverte indé- 
pendante du principe de la double périodicité — de cette décla- 
ration, on devrait ainsi conclure que c'était par un accident du 
hasard qu'il n'avait pas publié sa découverte avant d'être prévenu 
par Abel. Mais s'il l'avait fait, s'il ne s'était donc pas trompé 
quant à la vraie indépendance de ses propres mérites — comme 
le font si souvent les hommes éminents qui se groupent en 
première ligne autour d'une découverte accomplie, pour la 
développer et l'utiliser — s'il avait ainsi rencontré lui-même la 
simple pensée fondamentale et s'il en avait vu toute l'importance, 
alors certainement il n'aurait pas manqué de signaler au plus tôt 
expressément que cette pensée avait été aussi la sienne et qu'il 
avait reconnu, indépendamment, sa grande portée. Et, nous le 
répétons, un jeune homme dans de telles circonstances et 
désireux comme lui de se distinguer, n'aurait pus attendu 
jusqu'au 2 avril 18^8 pour donner une note sur les transfor- 
mations imaginaires. 11 n'aurait pas non plus choisi une telle 
forme que le principe en question no se trouvât que caché, et 



I.A I.DTTK. iOl 

mémo UîUcmoiit ciiché qu il Inlliiil dos (HikIos pour lo faire rossortir 
de SOS lormulos. 

IMus tard oncoro, dans Taimoe icSri^i, Jacobi affirme, pour 
la promiùio fuis on lormos exprès, dans un moinoire publié par 
lui-niènio, (ju'il avait trouvé lui aussi le principe dont il sagit. 
Dans son célobie mémoire « Considerationes générales de trans- 
cencientibus abclianisD^ il dit (ju après une observation faite par 
lui-même et par A bel, la fonction elliptique sin am ne change pas 
de valeur quand on change son argument en ajoutant une certaine 
période réelle ou une certaine période imaginaire. C'était au 
moins maintenant bien tard de le dire; et pour juger dans quelle 
étendue pouvait être vraie une telle prétention soudaine, il aurait 
été nécessaire alors de mieux expliquer les choses historiquement 
et analytiquement. 



En somme, il existait donc une dépendance bien prononcée 
entre le travail de Jacobi et celui d'Abel; car tous les grands 
moyens auxiliaires contenus dans les Recherches étaient absolu- 
ment indispensables pour pouvoir élever l'édifice de la théorie 
des fonctions elliptiques. Jacobi creuse de plus en plus ce travail 
fondamental d'Abel; son esprit inquiet en attend de jour en jour 
la continuation. 

Avec quels détails ne signale-t-il pas, dans ses lettres et dans 
la suite de ses mémoires et de ses notes, l'intérêt et le soin 
minutieux avec lequel il sempresse d'étudier celte théorie de la 
division abélienne, d'une si grande importance pour les théorèmes 
de la transformation ! Et à une époque plus avancée, alors que, 
pour une grande part, la force même des circonstances avait exigé 
de lui, nous pouvons le dire, un tribut d'admiration pour les 
travaux de transformation^ d'Abel, comment ne répète-t-il pas 
alors, maintenant que Ton a ces travaux sous les yeux et que la 
ressemblance et la supériorité se montrent en chaque point, que 
dans cette théorie de' la division se trouve cachée celle de la 

aà 

transformation — sans qu Abcl lui-même y eût pensé? 



192 NIELS-HKNRIK ABEL. — § XIV. 

Abel était libre. Il parcourait ces domaines absolument seul, 
et il n avait plus aucun besoin d'assistance. Avec un calme parfait, 
quand il fut pleinement maître du terrain, il se mit à exposer 
ses résultats. 



Enfin, au mois d'avril ou de mai 1828, le second début de 
Jacobi dans le journal de Schumacher (avec son mémoire de 
vérification du 18 novembre) parvint à la connaissance du public 
norvégien. Abel en fut touché au vif, et il ne pouvait pas en être 
autrement; car il devait lui être impossible de méconnaître sous 
cette forme modifiée ses propres idées, mais il n'y trouvait pas 
son nom. Et ce qui allait ensuite lui sauter aux yeux, c'était qu'au 
fond, bien qu'avec un moindre degré de généralité, la démons- 
tration du théorème de transformation était identique à celle qu'il 
avait envoyée en février pour terminer son mémoire. 

Hansteen raconte qu'Abel (c devint tout pâle 'î> , quand on lui 
remit le numéro des Astronomische Nachrichten où se trouvait 
le mémoire de Jacobi. Le narrateur ajoute, avec la tournure 
humoristique qui lui était propre, qu'Abel «dut courir chez le 
con liseur et y prendre un bon schnaps pour se remettre de son 
émotion. Il était en possession,» continue Hansteen, «depuis 
plusieurs années, d'une méthode générale qu'il communique ici, 
et qui embrasse de plus vastes résultats que les théorèmes de 
Jacobi. » 

Schumacher, dans sa lettre à Gauss du 6 juin 1828, où il 
reproduit ce passage de la correspondance de Hansteen, dans le 
texte norvégien « pour ne pas altérer la naïveté de foriginal » , 
ajoute ces mots non moins caractéristiques : (c Si jamais vous 
faisiez connaître vos recherches, il est probable qu'Abel n'en serait 
pas quitte cette fois pour un seul verre de schnaps. » 

En voyant ainsi Jacobi lui « marcher sur les talons », Abel se 
décida à son tour à publier quelques mémoires plus étendus dans 
le journal de Schumacher : Solution dun problème général concer- 
nant la transformation des fonctions elliptiques et Addition, etc. 



LA LUTTE. 193 

Cotait, comme il récrit à Ilolmboe dans une lettre passionnée, 
pour «la mortification de Jacobi j) ('). Et il donne d'autant plus 
d'éclat à sa pensée en se servant d'un mot patois exprimant la 
même chose et néantnoins intraduisible. Autre chose à remarquer, 
il commence à partir de cette époque à dater ses mémoires les 
plus importants, et il ouvre la marche par son beau mémoire 
algébrique du 29 mars, concernant une classe particulière d'équa- 
tions résolubles algébriquement. 

Il n'était pas cependant dans le caractère d'Âbel de se récrier 
et de faire du bruit autour de sa personne et de ses travaux. Il 
gardait même le silence au sujet de la disparition de son mémoire 
de Paris, et plus tard seulement il en rappela l'existence. A l'égard 
de Jacobi, dont naturellement l'indiscrétion l'avait désagréable- 
ment touché, il ne sortit pas davantage de son calme, — sem- 
blable sous ce rapport à Gauss, qui, ayant conscience de sa 
propre richesse et nullement troublé de ce qui se passait autour 
de lui, continuait ses travaux. Abel conserve devant Jacobi, dans 
ses mémoires aussi bien que dans sa correspondance avec Legen- 
dre, la fornie bienveillante et obligeante. Même cette expression 
violente que nous avons citée plus haut reçoit une certaine 
atténuation, si l'on considère son penchant fâcheux à exagérer 
l'énergie de ses propos quand il s'entretient avec des amis aussi 
intimes que Holmboe, et ce ne fut jamais qu'un emportement de 
peu de durée à côté des sentiments de bienveillance qui le dis- 
tinguaient. Précisément à cette époque-là, il avait été excité par 
un événement d'une autre nature, qu'il avait appris par une lettre 
de Crelle, et il était dans ses heures sombres. 

Ce qu'Abel se bornait à faire, c'était de se montrer dans toute 
sa supériorité — rendant pleinement justice à tout ce qui était 
digne d'être apprécié, — et de maintenir son indépendance comme 
étant depuis longtemps en possession de la théorie de la transfor- 
mation. Il avait établi, dans ses Recherches, un théorème plus 
général que celui de Jacobi ; il voulait maintenant se placer à un 

(') Dodelse af Jacobi. 

13 



194 NIELS-HENRIK ABEL. — | XIV. 

point de vue encore plus général que celui qu'il avait choisi aupa- 
ravant. 

Nous allons voir maintenant quel sera l'effet de l'apparition, 
dans le Journal de Schumacher, de cette Solution. Il nous faut 
donc revenir à Jacobi et à Legendre. 

Nous rappellerons que, pour Jacobi, il s'agissait de passer de la 
démonstration du premier théorème au théorème complémentaire. 
Et suivant Legendre il valait mieux expliquer aussi le passage à 
la multiplication. Mais au lieu de parvenir à celle-ci par deux 
transformations, il arriva de la première transformation, en pas- 
sant par la multiplication, à son théorème complémentaire. A 
cela, il n'y avait au fond rien à redire, s'il ne s'était pas encore 
agi de sauver ces démonstrations du soupçon de dépendance à 
l'égard des travaux d'Abel; car des publications de Jacobi on 
aurait dû conclure qu'une telle dépendance n'existait pas. 

Dans la réponse de Legendre à la lettre d'aveu de Jacobi, dans 
laquelle se trouve aussi la démonstration de ces passages, on lit 
entre autres choses: «Pour établir le principe de votre démonstra- 
tion, il faut, dites-vous, recourir aux formules analytiques con- 
cernant la multiplication, données pour la première fois par 
M. Abel. Cet aveu, qui prouve votre candeur, qualité qui s'accorde 
si bien avec le vrai talent, me fait quelque peine; car, tout en 
rendant justice au beau travail de M. Abel, et le mettant cepen- 
dant fort au-dessous de vos découvertes, je voudrais que la gloire 
de celles-ci, c'est-à-dire de leurs démonstrations, vous appartînt 
tout entière. Mais enfin je me consolerai aisément, la science 
n'y perd rien; vos démonstrations ne vous appartiennent pas 
moins, quelque part que vous en ayez pris les bases, soit dans 
mes ouvrages, soit dans le travail récent et très estimable de 
M. Abel. » 

Cette lettre du il mai fut bientôt suivie d'une autre, datée du 
16 juin. (T J'ai enfin réussi d, écrit Legendre, « à déduire la 
démonstration du théorème II de celle du théorème 1, sans avoir 
recours aux formules de M. Abel, ce qui m'a entièrement satisfait. 

Ainsi Legendre avait réussi à poser lui-même la clef de voûte 



LA LUTTE. lUrj 

de rédifice, et Ton pouvait maintenant regarder rancicnnc doc- 
trine dos transcendantes elliptiques coninie terminée. Car Legen- 
dre ne se servit même pas de Fidée abélienne de Tin version, et 
quand cet autre élément étranger, la multiplication abélienne, 
finit aussi par être éliminé de la méthode directe de démonstra- 
tion, les lignes de démarcation reprirent leur pureté, et ainsi fut 
créé un ouvrage suivant f esprit de Legendre et dans le vieux 
style. Legendre se propose maintenant de rédiger un mémoire 
qui contiendra la démonstration des deux théorèmes de Jacobi. 
Peu de temps auparavant, il avait aussi rédigé un premier 
supplément à son grand ouvrage fondamental, et le 15 octobre il 
renvoyait à Jacobi. Ce supplément contenait les deux théorèmes 
de transformation. 

Dans cette même lettre du mois de juin, le bienveillant vieillard 
ajoute encore quelques mots qui avaient évidemment pour but de 
consoler Jacobi et de lui faciliter la retraite, mais qui ont pu 
réveiller aussi chez lui des illusions. (cJe serais parvenu sans 
doute, y> dit-il, « beaucoup plus tôt à ce résultat, si j'avais pu 
me livrer à un examen plus approfondi des divers objets contenus 
dans votre lettre; mais Tétat de souffrance où je suis resté pen- 
dant longtemps m'avait rendu incapable de tout travail, et 
m'aurait même empêché d'entendre mes propres ouvrages. » 

Jacobi répond, le 9 septembre, à Legendre que sa maladie 
lavait profondément affligé, et souhaite qu il se soit bien trouvé 
de son voyage dans le Midi, d Ma dernière lettre)), ajoute-t-il, 
(( a été écrite un peu à la hâte; sans cela je n'aurais pas cru que 
Ton doit supposer connues les formules de multiplication pour la 
démonstration du théorème complémentaire. Aussi il avait été 
trouvé et communiqué à vous sans la connaissance de celle-ci. s> 
Jacobi mentionne alors féquation fondamentale qui constitue le 
principe du passage de la démonstration du premier théorème à 
celle du théorème complémentaire, et il indique comment le 
passage se fait. Mais ce n'était pas de cela qu'il s'agissait seule- 
ment; ce dont il était question, celait de démontrer ces résultats 
sans employer la "multiplication abélienne. Que dans l'intervalle 



iUG NIELS-IIENRIK ABKL. — | XIV. 

qui venait de s'écouler, Jiicobi lui-même ait rempli la lacune exis- 
tante, ainsi que Legendre avait réussi à le faire, c'est à coup sûr 
extrêmement probable. Mais dans ce cas il a beaucoup trop 
oublié ce qu'il avait dit et développé dans sa dernière lettre, 
contenant son aveu tardif, et expressément personnelle; et, des 
paroles voilées que la bienveillance avait inspirées à Legendre, 
il avait tiré l'espoir de pouvoir regagner Tindépendance, perdue 
dans un nouveau moment de précipitation. 

C'est dans cette situation toujours embarrassante que la 
Solution avait paru. La complète domination d'Abel sur ces 
matières et sa supériorité au-dessus de tous les doutes allaient 
se montrer de la manière la plus éclatante. Et cela d'autant 
plus, après toutes ces inductions et ces vérifications, et après 
toute cette peine pour arriver sans son aide à un résultat incom- 
parablement plus restreint. 

Dans la même lettre de septembre, Jacobi continue ainsi : 
«Vous aurez reçu sans doute deux mémoires de M. Abel, l'un 
inséré dans le Journal de M. Crelle, l'autre dans les Nouvelles 
astronomiques de M. Schumacher. Vous y aurez vu que M. Abel 
a trouvé de son côté la tbéorie générale de la transformation, 
dans la publication de laquelle je l'ai prévenu de six mois. Le 
second mémoire, inséré dans le Recueil de M. Schumacber, 
n° 138, contient une déduction rigoureuse des théorèmes de 
transformation, dont le défaut s'était fait sentir dans mes annon- 
ces sur le même objet. Elle est au-dessus de mes éloges comme 
elle est au-dessus de mes propres travaux. » 

Dans ces paroles Jacobi a certainement exprimé une admi- 
ration bien sentie pour Abel. Nous pouvons d'ailleurs confir- 
mer cette opinion par les expressions suivantes, tirées d'une 
lettre à Crelle, dans laquelle, suivant ce qu'Abel écrit à M™'" Han- 
steen, Jacobi doit avoir dit : «Je tiens ce mémoire, inséré dans 
les Aslronomische Nachrichten sous le titre de « Solution, etc. », 
pour un des plus beaux chefs-d'œuvre des iMathématiques. » 

Malgré cela, on pourrait bien trouver que, dans celte expres- 
sion où il s'adjuge le rang inférieur, ce n'est pas sans une 



LA l-UTTK. 11)7 

coiiaiiic réserve; car cos mots scm])Icnt éveiller Tidéc que, si 
Abel lait preuve (runc plus j^raude [)orrccti()n, il y a néanmoins 
égalité au fond des clioscs. Mius celte é'jMlilé u'existo pas. C'est 
avec une tout autre généralité que la théorie de la transformation 
est sortie des mains d'Abel, et qu'elle avait été esquissée dans des 
parties plus élevées encore dans les Recherches. Il ne faut pas, en 
vérité, un aussi haut degré de modestie qu on Ta prétendu, pour 
s'exprimer comme le fL\it Jacobi. Après ce qui s est passé entre 
lui et Legendre, et sui'lout après que la faiblesse de son investiga- 
tion, encore trop peu mûi-e, eut éclaté au grand jour, rien n'était 
plus naturel, nous dirions presque plus nécessaire pour un homme 
d'honneur qu'une telle expression de haute reconnaissance. 

Mais il faut se souvenir des difficultés de la situation. Il est 
beau, de la part d'un homme de grand mérite qui se voit vaincu, 
de dire : « C'est au-dessus de mes éloges comme aussi de mes 
propres travaux. » Aussi devons-nous nous contenter de cet hom- 
mage sous une forme générale, et ne pas demander que Jacobi 
entre lui-même dans la réalité des choses, et qu'il se prononce, 
sans être provoqué, sur tant de détails montrant plus clairement 
son infériorité, — et cela précisément lorsqu'il avait fait un 
travail de grande portée, son plus beau chef-d'œuvre. 

Sur Abel, qui n'avait jamais été cité par Jacobi comme l'auteur 
dans les recherches duquel il avait trouvé tant de moyens précieux 
pour ses propres investigations, — ces paroles de Jacobi, qui lui 
furent rapportées vers la fin de sa vie par Crelle et plus tard par 
Legendre, causèrent une heureuse impression. C'est ce rapport 
du géomètre français qui donna lieu à ce post-scriptum dans la 
réponse d'Abel du 25 novembre 1828, où il s'exprime avec des 
sentiments de si haute estime pour Jacobi, comme pour un ma- 
thématicien qui devait à un degré inespéré perfectionner, non 
seulement la théorie des fonctions elliptiques, mais encore les 
mathématiques en général. Ce post-scriptum ne fut cependant pas 
publié par Crelle, sans qu'on en sache d'ailleurs la raison. 



198 NIKLS-HENRIK ABKL. — | XIV. 

Grâce aux appréciations sur Abel de la part de Jacobi, appré- 
ciations que par la force des circonstances il fut conduit à émettre 
dans sa correspondance si difficile avec Legendre, peu à peu 
celui-ci dirigea de plus en plus son attention sur le géomètre 
norvégien, jusque-là peu remarqué. Il arriva ainsi que Legendre 
laissa échapper, dans une lettre à Grelle, quelques mois d'éloge 
pour Abel. Grelle répéta à celui-ci les paroles de Legendre, et 
cela encouragea à son tour notre mathématicien, d'ailleurs si 
réservé, à écrire au vétéran de la science et à entamer avec lui 
une correspondance. 

A la première lettre d'Abel, du 3 octobre, lettre d'une grande 
importance sans doute, mais qui par malheur n'existe plus, 
Legendre répondit dès le 25 du même mois, par une lettre très 
flatteuse, dans laquelle il lui répète les paroles déjà citées de 
Jacobi. Legendre avait cependant demandé d'autres renseigne- 
ments, et il en résulta de la part d'Abel une lettre, expédiée vers 
la fm de novembre, c'est-à-dire peu de temps avant le voyage de 
Froland, d'où il ne devait pas revenir. Il arriva encore une autre 
lettre de Legendre, datée du 16 janvier 1829, et qui le trouva 
couché sur son lit de douleur. 

Cette lettre, comme toute la correspondance en général, est de 
la plus haute importance, même en laissant de côté ce dont nous 
ne pouvons plus nous occuper, le contenu réel qui y était 
renfermé. Cette correspondance a contribué encore davantage à 
porter l'attention sur Abel et sur ses travaux; elle devint aussi, par 
un enchaînement de circonstances, le point de départ d'une dis- 
cussion entre Legendre et Jacobi, qui a finalement abouti à tirer le 
mémoire de Paris de l'oubli où il était resté, bien qu'Abel lui-même 
ne parût pas disposé à se mêler personnellement de cette affaire. 
Du moins il ne s'était pas prononcé dans sa lettre assez explicite- 
ment pour que Legendre l'eût compris. Ce qui est hors de doute, 
c'est néanmoins que la question de la généralisation du théorème 
d'addition d'Euler a été touchée dans cette lettre; et les explica- 
tions tout inconnues dans leurs détails qu'y donne Abel devaient 
devenir la première occasion de nouvelles déclarations de Jacobi, 



LA LUTTE. 190 

qui sont du plus haut intérêt et qui ont été fécondes en résultats. 

Aboi avait récemment publié un nouveau mémoire, d'un 
intérêt exceptionnel : Recherches sur les propriétés générales 
d'une certaine sorte de fonctions transcendantes . Il y avait 
considéré un important cas particulier de ce qui faisait Tobjet 
du mémoire de Paris, et dans une noie il fit observer qu'il 
avait présenté sur ce sujet, en 4826, un mémoire à TAcadémie. 

Ce remarquable travail n'échappa pas, dans de telles circon- 
stances, à Tattention de Legendre, et ce qui contribua grandement 
à la faveur avec laquelle fut accueilli par lui ce mémoire, ce 
furent les rapprochements établis par la correspondance. Legen- 
dre s'exprima sur cette œuvre avec la plus haute estime, comme 
surpassant tout ce qu'Abel avait publié jusqu'alors, par la pro- 
fondeur de l'analyse qui y régnait, ainsi que par la beauté et la 
généralité des résultats. Il est aisé de voir dès lors, d'après ce 
jugement, que Legendre ne connaissait pas encore le contenu de 
ce mémoire plus étendu^ sur lequel lui- même avait été choisi 
pour porter un jugement. Il semble évident que cette affaire était 
entièrement sortie de sa mémoire, et la remarque ajoutée par 
Abel dans la petite note ne paraît pas avoir produit un effet suffi- 
sant pour réveiller chez le vieux savant le souvenir du passé. 

Mais le premier résultat du redoublement d'attention de Legen- 
dre pour les travaux d'Abel, ce fut qu'il commença à voir plus 
clairement l'état des choses. Ce changement se manifeste dans 
quelques mots adressés à Jacobi, mots d'autant plus remarqua- 
bles, puisque par là il devait caractériser les rapports entre les 
publications de celui-ci et celles d'Abel, précisément au moment 
même où les travaux du géomètre norvégien venaient de cesser 
pour toujours. «De son côté», dit Legendre à Jacobi le 9 février 
1829, (cM. Abel publie, des mémoires qui sont de véritables 
chefs-d'œuvre, et » , ajoute-t-il — en partie pour adoucir ses 
expressions, en partie aussi parce qu'il n'était pas au fait du 
véritable état de leurs rapports — « comme il n'a pas à sa dispo- 
sition les moyens de faire imprimer l'ensemble de ses recherches, 
cette raison le détermine à développer davantage ce qu'il publie 



200 NinLS-IIENRIK ADEL. — | XIV. 

dans les journaux de MM. Crelle et Schumacher. 11 obtient ainsi 
sur vous une sorte d'avantage, parce que vous n'avez guère 
publié jusqu'à présent que des notices qui ne font pas connaître 
vos méthodes. y> 

Plus bas, Legendre ajoute qu'il a reçu une «lettre fort intéres- 
sante )) d'Abel, et mentionne sa (c grande généralisation de la 
belle intégrale d'Euler. » 

Cette entrée d'Abel en correspondance avec Legendre, et 
la haute estime toujours croissante qu'éveillaient chez celui-ci les 
investigations d'Abel, ne pouvaient pas laisser Jacobi indifférent. 
Dans sa réponse à Legendre, le 14 mars, il s'occupe donc de nou- 
veau d'Abel d'une manière prononcée. Il rappelle encore une fois 
comment Abel, dans son premier mémoire, a passé à travers la 
transformation sans la traiter, « et qu'il ne paraît pas même y 
avoir songé! » Il déclare plus bas qu'il ne veut « ni reproduire ni 
prévenir les travaux de M. Abel; presque tout ce que j'ai publié 
dans ces derniers temps», ajoute-t-il, « sur les fonctions ellipti- 
ques contient des vues nouvelles; ce ne sont pas des amplifica- 
tions des matières dont M. Abel a traité ou même promis de s'en 
occuper. » 

Après ces réponses de Jacobi concernant les relations entre ses 
propres travaux et ceux d'Abel, et se rapportant plutôt à des ques- 
tions auxquelles il pouvait s'attendre qu'à la remarque même de 
Legendre, — laquelle, à l'égard d'Abel, n'avait d'autre but que 
de déterminer Jacobi à se hâter d'entrer en possession de ce qui 
était à lui, en publiant le plus tôt possible son œuvre, — après 
ses réponses vient la remarquable exclamation qui met l'alarme 
au camp, et qui devait devenir le moyen de sauver le mémoire de 
Paris d'un injuste oubli. Jacobi n'avait pas laissé inaperçue, comme 
Legendre, la note insérée au bas du texte des Remarques. Dans 
ces régions élevées, il n'était plus partie dans la cause, et à 
l'admiration qu'il éprouvait certainement pour Abel il pouvait 
donner pleine carrière, et avec une ardeur d'autant plus grande, 
il se mit donc en avant, puisqu'il y avait, dans tout ce qui s'était 
passé et que le monde ne connaissait pas, tant de choses qui moti- 



LA LUTTIi:. 20* 

vaiont iino toile sortie. «Quelle découverte de M. Abcl que celle 
généralisation de Tintégrale d'Euler! A-t-on jamais vu pareille 
chose! Mais comment s'est-il fait que cette découverte, peut-être 
la plus importante de ce qu'a fait dans les mathématiques le siècle 
dans lequel nous vivons, étant communiquée à votre Académie, 
il y a deux ans, a pu échapper à l'attention de vous et de vos 
confrères? » 

A la suite de cet éclat, Legendre procéda maintenant à des 
recherches relatives au sort du précieux manuscrit, — qui 
reposait toujours au milieu des papiers de Cauchy. 11 découvrit 
qu'il avait été désigné lui-même commissaire pour examiner ce 
mémoire, qu'il croyait d'ailleurs identique avec les Remarques 
dont nous venons de parler. 



Dans la correspondance entre Jacobi et Legendre, le nom 
d'Abcl figure très souvent, et par la force des circonslances qui 
se développèrent à cause d'une première faute commise, Jacobi 
fut contraint à reconnaître, au moins en partie, la dépendance 
de ses travaux relativement à ceux d'Abel. Beaucoup de grandes 
découvertes sont attribuées à Abel, surtout dans la lettre de 
Jacobi du 12 janvier 1828. Rien ne peut aussi être plus honorable 
pour Abel, ignorant de ce qui se passait autour de lui, que le 
grand intérêt qui s'attacha à ses recherches et l'impatience avec 
laquelle le public, et surtout Jacobi, attendait leur continuation. 
Mais il en est tout autrement de ce que publia Jacobi. Après les 
deux articles insérés dans les Astronomische Nachrichten — celui 
qui contenait les « énoncés » et l'autre que nous avons appelé 
son mémoire de vérificalion, — après ces deux articles, où le 
nom d'Abel ne se rencontre pas, il a été publié en tout par Jacobi, 
avant la date de ses Fundamenta nova, huit articles de lui, 
expédiés au Journal de Crelle pour y être insérés. Voilà mainte- 
nant comment les choses se passèrent relativement aux citations 
du nom d'Abel et de ses découvertes, qui devenaient les bases de 
tant de travaux futurs. 



202 NIELS-HENRIK ABKL. — § XIV. 

Nous avons d'abord une courte note intitulée ^Addition au 
mémoire de M. Abel sur les fonctions elliptiques», et datée du 
25 janvier 1828. Cette note a pour but d'indiquer en deux mots 
une simplification au procédé d'Abcl dans sa théorie de la divi- 
sion, théorie déjà exposée dans la première partie dos Recherches. 
Jacobi s'exprime ainsi: <iM. Abel, dans son excellent mémoire 
sur les fonctions elliptiques, a prouvé le premier que les équations 
du degré nw, desquelles dépend la division d'une fonction ellip- 
tique de première espèce en n parties, peuvent être résolues 
algébriquement. Cependant la méthode de cet auteur est suscep- 
tible d'une grande simplification. y> 

Ensuite, dans une «Note sur les fonctions elliptiques», datée 
du 2 avril 1828, — où, entre autres choses, Jacobi, dans le même 
cahier du Journal où fut insérée la continuation des Recherches 
(tome III, 2^ cahier), donne de nouvelles formes de développement 
pour les fonctions elliptiques, et en même temps fait connaître 
les transformations imaginaires, — Jacobi vers la fin de cette note 
termine par ces mots : «J'ajoute encore une remarque. M. Abel 
a proposé, tome II..., le théorème suivant.... » Jacobi s occupe 
alors du «théorème à démontrer», proposé par Abel, et dont 
nous avons parlé auparavant. Au lieu d'essayer cependant à 
donner la démonstration qui était toujours le point faible dans 
les recherches pas encore assez mûries de Jacobi, — celui-ci fait 
observer qu'on peut étendre le théorème, de sorte qu'on ait un 
multiplicateur imaginaire au lieu d'un multiplicateur réel. Puis 
il termine par cette phrase : « Tout cela découle immédiatement 
des principes établis par M. Abel. » Le « problème à résoudre», 
qu'avait donné Abel en même temps qu'il proposa de démontrer 
le théorème, ne fut pas mentionné par Jacobi. 

Enfin, dans la dernière de ces trois notes qui furent intitulées 
« Suite des notices sur les fonctions elliptiques », note insérée 
dans le tome IV, 2® cahier du Journal, et datée le 11 janvier 1829, 
on trouvera le passage suivant : « On pourra donc dire en quelque 
sorte que cette équation contient la solution générale des pro- 
blèmes de la transformation des fonctions elliptiques sous une 



LA li;ttk . 203 

forme tout h fait difTcrcntc de celle sous laquelle nous Tavons fait 
connaître, M. Abcl et moi, dans nos recliercliessur celte matière.» 

Ce dernier article, Abel ne Ta pas môme vu. Le cahier dont il 
s'agit fut publié le 28 mars 18:29, et le 9 avril était le jour de sa 
mort. Les seules fois qu'il s'est vu nommé dans un travail quel- 
confjuc de Jacobi, c'est donc dans les deux notes premièrement 
mentionnées. Là il est dit qu'Abel a démontré, le premier, que 
les équations dont dépend la division des fonctions elliptiques 
sont résolubles algébriquement — ce qui se rapporte plutôt à une 
découverte d'algèbre qu'à une exposition de nouveaux principes 
dans la théorie des fonctions transcendantes; — et ensuite il est 
dit qu'un certain théorème d'exercices qu'Abel avait proposé à 
démontrer pour les lecteurs du journal, « découle immédiatement 
des principes établis par M. Abel. » 

D'ailleurs, puisqu'on penche à croire qu'il y a eu beaucoup de 
rapports des deux côtés entre Abel et Jacobi, il peut être intéres- 
sant de noter ce qu'Abel a pu voir des recherches de Jacobi, sur 
les fonctions elliptiques, après l'insertion dans les Astronomische 
Nachrichten des « Énoncés )) et du mémoire de vérification de 
celui-ci. Tout se réduit à ces quatre choses : <l Addition au 
mémoire de M. Abel sur les fonctions elliptiques, t. Il, page 101 » 
(1 page); (( Sur la décomposition d'un nombre donné en quatre 
carrés )> (1 page); « Note sur les fonctions elliptiques» (4 pages); 
« Suite des notices sur les fonctions elliptiques » (8 pages). En 
somme, 14 pages environ, ou, en comptant rigoureusement, pas 
plus de 12. 

Nous pouvons ajouter à cela qu'Abel avait proposé un problème 
à résoudre, appartenant à la théorie des nombres. A cela Jacobi 
donna une réponse, sans nommer l'auteur du problème. Il y donne 
un tableau calculé par un de ses amis, Busch, mais sans aucune 
tentative de solution. Cette réponse, en deux pages, a clé vue 
aussi par Abel. 



204 NIKI.S-HEMIIK AHKL. — | XIV. 

Mais nous ne voulons pas nous arrêter davantage à ces cita- 
tions et à ces circonstances, concernant ce que, relativement à 
Jacobi, on pourrait bien appeler son temps de préparation. Nous 
penserons maintenant à son ouvrage capital, les Fundamcnta 
nova, produit de toutes ces études, et nous verrons alors quelle 
lumière cet examen va projeter rétrospectivement sur nos précé- 
dentes recherches et sur les rapports enti'c Abel et Jacobi. 

Dans cet ouvrage, la théorie des nouvelles fonctions elliptiques 
allait être reprise depuis ses fondements. Là ou jamais on devait 
s'attendre à un compte rendu de ce qui appartenait à Abel et de 
ce qui appartenait à Jacobi, et en maint endroit on devait chercher 
un renvoi au premier. Le 18 janvier 18^29, Jacobi annonce aussi 
que, dans des notes et des additions jointes à la première partie de 
son ouvrage, il exposerait ce qui était particulier à Abel, en rap- 
prochant les méthodes de cet auteur de celles dont lui, Jacobi, 
avait fait usage. En février de la même année, il écrit la préface, 
et le 23 mai il informe enfin Legendre que Timpression est ter- 
minée, et qu'il lui en envoie un exemplaire. 

Voici comment les choses se passent. Les Fundamenta nova 
commencent par un éloge d'Abel. L'addition et la multiplication 
sont attribuées à celui-ci, et quand Tauteur renvoie au tome II du 
Journal de Crelle, — mais à ce volume exclusivement, — où se 
trouve la première et principale partie des Recherches, 11 fait 
entendre, comme un écho des éloges contenus dans la lettre à 
Legendre, — ces mots bien connus, nostra lande majore. 

Mais à partir d'ici, tout s arrête. De belles paroles sans doute; 
mais quant à accomplir entièrement sa promesse d'exposer les 
choses comme elles étaient, Jacobi ne Ta pas fait dans le passage 
cité. 

Jacobi réclame à cet endroit la priorité de la théorie de la 
transformation, mais il ne mentionne pas formellement Abel, et 
ne cite aucun de ses travaux sur ce sujet. Il garde ici le plus 
profond silence, chose bien étrange après qu'il a rendu à son 
émule un hommage si grand, en disant — bien que ce fîit sim- 
plement dans une correspondance privée — que les travaux d'Abel 



LES iWNDAMKNTA NOVA. 20^ 

sont au-dessus de ses éloges comme ils sont au-dessus de ses 
propres travaux ! Non seulement, à cette occasion, il cite Legendre, 
mais il le cite à tout propos, ainsi, naturellement, que ses propres 
articles plus anciens. Gauss aussi est mentionné à plusieurs re- 
prises; mais Abel disparaît. On n'aperçoit rien de ces éclaircis- 
sements promis sur ce qui appartient à celui-ci ou à Jacobi. Une 
seule fois pourtant, il est question d'Abel. Après avoir montré que 
la double transformation conduit à la multiplication, Jacobi répète 
que celle-ci est due à Abel, mais que le moyen qu'il propose 
lui-même pour elTectuer le passage est plus court. 

On peut dire que, en lui donnant ce qui est compris dans ces 
deux mots, il a donné en même temps à Abel tout ce qui est le 
plus fondamental, tout ce qui seul était absolument indispensable. 
Sans le vouloir, il a consenti à lui attribuer les « fondements 
nouveaux » . Il n'y avait non plus aucun sens, avons-nous dit plus 
haut, d'attribuer à Abel l'addition, chose très ancienne, s'il ne 
voulait pas par là reconnaître tacitement que c'était l'addition, 
sous la forme où elle donne Tidée de l'inversion, qui est l'œuvre 
d'Abel. 

Mais hors de cela, il y a une grande série de faits qui sont 
oubliés. Dans la double périodicité avec le principe imaginaire, 
dans la division abélienne, tellement scrutée dans tous les sens par 
Jacobi; dans les transformations (prises avec toute leur généralité), 
dans les développements en séries, dans l'introduction de ces fonc- 
tions 0, dont la base se trouve dans les Recherches, etc., il n'y a 
nulle part de place pour Abel. Et cependant sans lui les Fanda- 
menta nova n'auraient jamais existé. 

Une telle omission, où il s'agit même de ce qui touche le plus 
intimement nos éléments — les fonctions elliptiques, — ne peut 
pas être compensée par l'éloge le plus flatteur, dont Abel est 
Tobjet, alors qu'on n'a plus à le rencontrer sur sa route, ou 
par un honneur abstrait ne consistant qu'en belles paroles (*). 



(^) Dans ce qu'a dit Jacobi peu de temps après, au sujet de la mort d'Abel, quelque 
chaud et quelque juste que soit son langage, cette circonstance principale, sa décou- 
verte des fonctions elliptiques et tous les grands progrès qu'on lui doit dans le 



206 NIELS-HENRIK ABEL. — § XIV. 

Cette omission se rencontrant dans un ouvrage qui a pour but, 
comme l'armonce son titre, de traiter les Nouveaux fondements, — 
livre se trouvant dans les mains de tous les géomètres, et ayant 
pour auteur un savant si distingué, un collaborateur et aussi, 
sans aucun doute, un admirateur de notre mathématicien, — 
personne n'aura plus raison de s'étonner de la confusion qui a dû 
se produire dans le public au sujet des droits de propriété de l'un 
et de l'autre et de ce que ces droits aient été altérés au préjudice 
de notre compatriote. Malgré toute la sympathie et l'honneur qui 
s'attachent unanimement au nom d'Abel, il y a une injustice qui 
subsiste encore, et il faut la réparer. 

Gela fait, cette dernière marque de la faiblesse d'un grand 
esprit qui craignait ce nom d'Abel dans le voisinage de ses 
propres travaux, sera effacée. Môme en cédant le pas à Abel 
comme au grand inventeur, il n'en sera pas moins un personnage 
historique, à jamais honoré. Et on lui attribuera avec plus de 
certitude ce qu'il aura ajouté par lui-même, quand la question 
de propriété, dans cette copropriété généralement supposée, 
pourra être tirée au clair; car, dans cette étrange communauté, 
non seulement la propriété d'Abel se perd, mais celle aussi qui 
revient à Jacobi. 

On remarque d'ailleurs une étrange ironie du sort, dans ces 
circonstances. Les Fttndamenta nova parurent à l'époque où 
Abel avait déjà depuis longtemps terminé ses travaux. C'était 
environ cinq mois après qu'il se fut alité dans sa dernière 
maladie, et six semaines après sa mort. Ainsi, de même qu'Abel 
avait accompli ses découvertes dans ce qu'elles avaient d'essentiel, 
avant que Jacobi eût ait ses débuts, de même il allait arriver 
aussi que, lorsque celui-ci présenta enfin au public ses recherches 
sur les fonctions elliptiques pour la première fois dans un 
ouvrage d'ensemble, — il n'existait plus d'Abel. 

perfectionnement de cette théorie, rien de tout cela n'est nienlionné non plus, pas 
même pur un seul mot. Il y a là un très singulier oubli, d'autant plus caractérisé 
par le soin avec lequel est rédigé le court exposé des grands mérites d'Abel. Voir 
plus bas à ce sujet quelques mots de Jacobi extraits de la dernière partie de la 
lettre à Legendre du 14 juin 1829. 



LES FUNDAMENTA NOVA. 207 

Nous ne nous arrêterons plus ni aux recherches d'Abel dans cette 
dernière période, ni aux rapports de ces recherches avec celles de 
Jacobi. Il fut cependant réservé à ce dernier, après la mort d'Abel, 
non seulement de développer encore un peu plus loin la théorie des 
fonctions elliptiques, mais aussi d'indiquer avec plus de précision 
la voie que devait suivre Tétude des transcendantes Ahélicnnes. 

C'est qu'il existait aussi pour ces transcendantes une inversion, 
et sur ce point, comme il paraît, Abel lui-même sétait trompé 
dans ses premières études. Mais avec les années, ses investiga- 
tions devaient être continuées avec une profondeur de plus en 
plus grande, et pour ce qui regarde ces mômes sujets, à la mort 
du jeune maître, les progrès de la science s'arrêtèrent pour toute 
une série d'années. 

Un travail de la plus haute importance, comme son mémoire 
présenté à Tlnstilut, n'était pas toujours accessible pour le monde 
scientifique; pendant un court moment, l'attention du public 
scientifique avait été fixée, mais la chose retomba bientôt dans 
l'oubli, et quinze années devaient s'écouler avant la publication 
de ce travail. Il s'écoula même un temps considérable — ce qui 
devait devenir peut-être d'une plus grande importance encore — 
avant que l'on connût la lettre d'Abel à Crelle, lettre datée Paris 
le 9 août 1820 (^), où il donne un exemple très instructif de sa 
théorie, en exposant, aussi brièvement que complètement, les 
formules fondamentales relatives au plus simple cas appartenant 

4 

aux transcendantes hyperellipliques. Cette lettre, si précieuse pour 
les chercheurs désirant de pénétrer dans les nouveaux mystères, 
fut publiée vers le milieu de l'année 1830; car elle se trouve 
insérée dans le cinquième tome du Journal ^ c'est-à-dire dans le 
premier des deux tomes qui parurent dans cette même année. 
Surtout avant ce temps, il y avait donc assez d'énigmes à résoudre 
avant de voir bien clairement s'il existait encore ici une inversion, 
et en cas affirmatif de quelle manière elle pouvait s'effectuer. 



{}) Œuvres complètes, nouvelle édition, lome II, page 267 (ancienne édition, 
tome II, page 263). 



208 NIELS-IlCiMUK ABF.L. — § XIV. 

Au milieu de toutes ces hautes généralisations, il devait être 
fort difficile pour un investigateur nouveau, même avec les qua- 
lités éaiinentes d'un Jacobi, de trouver sans quelque indication 
de l'auteur la véritable clef. Rien d'étonnant donc si, dans les 
premiers temps, il fut arrêté par ses essais infructueux; il en avait 
été ainsi avec Abel lui-môme pendant nombre d'années, avant 
qu'il réussît, au moyen de son théorème d'addition, à jeter des 
fondements nouveaux. Les complications avec les périodes mul- 
tiples ne pouvaient guère échapper longtemps à l'attention des 
mathématiciens s'occupant de ce sujet; et, de bonne heure, elles 
auraient dû pousser d'abord Abel, et plus tard, à son tour, Jacobi, à 
des efforts réitérés jusqu'à ce que l'énigme fût résolue. S'il y avait 
ici une issue, unique ou non, de ces difficultés qui se rapportent 
aussi à l'inversion, nous ne nous en occuperons pas. C'est seule- 
ment vers cette issue dont nous parlons que nous pouvons dire 
que tous les efforts d'Abel ont convergé. 

Or chacun des travaux ayant le moindre degré de difficulté 
mathématique — et ces difficultés avaient été très grandes — 
était, à la mort d'Abel, entièrement terminé; en sorte qu'on 
pouvait passer du principe aux applications, dans le sens où il 
avait été préparé par lui, seulement au moyen de quelques mots 
d'introduction, naturellement mis en tête d'une seconde série de 
travaux. Tel était l'ordre rationnel et économique des investiga- 
tions d'Abel; c'est ainsi qu'il posa, en tête de ses Recherches, 
finversion comme le principe qui pénétrait tout. Par un autre 
procédé, déduit de l'inversion généralisée, ouvrant les applications, 
à la fin de la théorie générale, ou comme un article isolé, il aurait 
même risqué, pendant le cours d'un long travail où il fallait 
d'abord traiter les nouvelles fonctions elliptiques, de perdre le 
fruit de ses efforts quand viendrait le temps de développer les 
conséquences. 

Au milieu de l'année 1830 fut donc publiée la lettre d'Abel. 
Jacobi, depuis un an, avait alors terminé ses Fandamenta nova, 
et il ne travailla plus pendant longtemps avec la même énergie 
et le même succès d'autrefois. Maintenant, après un silence d'un 



LF.S FrXDAMENTA M) VA. 209 

an, il écrivit de nouveau à Legendre, el il y parla alors de ces 
Iranscendantes d'un ordre supérieur qu'Abcl avait introduites. 

Dans cette lettre, datée du 2 juillet 18:]0, il exprime d'idjord 
son regret que les distractions d'un long voyage et d'autres 
circonstances eussent interrompu le cours de ses travaux, et qu'il 
n'avait pu reprendre sitôt le (il de ses recherches ordinaires; il était 
trop accoutumé à lui parler de mathématiques et à lui raconfer 
quelque chose de nouveau qui pouvait mériter son indulgence, 
pour remplir une lettre avec les seuls sentiments de sa reconnais- 
sance. Plus loin, dans la môme lettre, il dit qu'en ce qui regarde 
ses propres occupations, il a entrepris un bon nombre de recher- 
ches sur différentes matières, recherches qu'il voudrait avoir 
finies avant de retourner aux fonctions elliptiques et aux trans- 
cendantes d'un ordre supérieur qui sont de la forme.... «Je crois 
entrevoir à présenta, conlinue-t-il, «que toutes ces transcendan- 
tes jouissent des propriétés admirables et inattendues auxquelles 
on peut être conduit par le théorème d'Abel, qui établît une 
relation entre plusieurs de ces transcendantes qui répondent à 
différentes valeurs de x (^). » 

Il s'écoula maintenant deux années avant que Jacobi, bien qu'il 
eut fait pendant ce voyage la connaissance personnelle de Legen- 
dre, reprît de nouveau son ancienne correspondance avec lui. En 
attendant, Legendre avait terminé son grand ouvrage sur les 



(1) Le voyage de Jacobi commença dès l'année 1829, peu de temps après l'aclièvc- 
mcnt de ses Fundamenta nova. Pendant cela, il fit à Paris la connaissance person- 
nelle de Legendre, avec lequel il avait déjà entretenu une correspondance si suivie 
et si intime. A son retour, il passa par Gôltingne pour faire pareillement la connais- 
sance de Gauss. Ses premières publications dans le Journal de Schumacher avaient 
bien aussi eu pour but d'attirer l'attention de ce grand géomètre, et cela lui réussit 
aussi; car les deux astronomes commencèrent, comme on sait, à cchançer, dans le 
cours de plusieurs années, leurs opinions au sujet de Jacobi lui-même et de ses 
nouvelles découvertes, — échange d'opinions pendant lequel Gauss s'exprima 
toujours avec réserve, tandis que Schumacher, qui n'avait pas de confiance en 
Jacobi, donna souvent un libre cours à ses pensées et à ses sentiments. A en juger 
par une lettre de Schumacher, où il avertit son ancien correspondant de la possibi- 
lité d'une visite de Jacobi à son retour de Paris, il faut bien conclure que celui-ci 
ne revint pas à Kônigsberg avant le printemps de 1830, et le long arrêt dans la 
correspondance avec Legendre s'explique ainsi très naturellement. 



210 \iF.rs-Hr,\niK Anr.L. — ^ xiv. 

ibnclions elli[)liqiies; il Fannonça dans une lettre à CrcUe en 
date du ^4 mars 183^2: ((Vous verrez», disait-il, (( que je suis 
parvenu à tirer du beau théorème de M. Abel une théorie toute 
nouvelle, à laquelle je donne le nom de Théorie des fondions 
uUra-ellipiiqiics, laquelle est beaucoup plus étendue que celle des 
fonctions elliptiques et cependant conserve avec celle-ci des 
rapports très intimes. En travaillant pour mon propre compte, 
j'ai éprouvé une grande satisfaction de rendre un éclatant 
hommage au génie de M. Abel en faisant sentir tout le mérite du 
beau théorème dont Tinvention lui est due, et auquel on peut 
appliquer la qualification de (unonumentiim œre pcrennius )y . 

Grelle s'adressa alors à Jacobi, en le priant de donner dans son 
Journal un compte-rendu de Toeuvre de Lcgendre. « C'est une 
œuvre», dit Crelle (/), (cqui présente un intérêt singulier, en ce 
quelle constitue un monument vraiment digne érigé au génie 
d'Abel, de ce grand géomètre prématurément enlevé à la science, 
qui dès sa vingt-quatrième année, au fond des lointaines contrées 
du Nord, presque dépourvu de tout secours, recula les barrières 
des connaissances mathématiques au delà de ce qu avaient pu 
faire les Euler et les Lagrange, et qui vraisemblablement a 
emporté encore dans sa tombe de précieux trésors de vérités du 
règne des mathématiques. » Après avoir maintenant cité Thom- 
mage rendu par Lcgendre à la mémoire d'Abel, Crelle continue 
comme il suit, en réunissant dans un même éloge chaleureux 
rillustre vétéran des mathématiques françaises et le jeune mathé- 
maticien de Textrême Nord, sitôt ravi à la science. «On ne sait 
pas ce qu'on doit le plus admirer d'un octogénaire, encore dans 
la force et Fardeur de la jeunesse, se plongeant dans les régions 
les plus abstraites de la science, et reculant leurs barrières au- 
delà des limites connues, ou de cet empressement à reconnaître 
le mérite, quand il se présente chez un jeune homme qui pourrait 
être le petit-fils de Tillustre savant ! Plût à Dieu qu un pareil bon 
vouloir fût général ! ce serait un spectacle bien digne de la science ! 

(') Journal de Crelle, tome VIII, pa.uc 413. 



i.KS ir\i>.\)ih:\T.[ .vor.i. 211 

Comme il'habitiiili', le jiisto ot le bien so Iruuvciit ciicon; ici 
réunis. Abel aussi riait capable, avec une impulsion du cœur vi'aie 
et naturelle, cVapprécier le mérite d'aulrui. I/égoïsmc lui était 
inconnu. 

y> Personne » , ajoute Crclle, « ne peut guère mieiix comprendre 
et apprécier le nouveau travail de Legendre que Jacobi, du mémo 
âge qu'Abel et de la mémo famille intellectuelle; Jacobi qui aussi 
dès ses jeunes années, avec la même Ibrcc et le même succès, 
marcba dignement à son côté. » 

Dans une parentbèse, Crelle donne un supplément à ses appré- 
ciations. Lui, le protecteur actif de tous les deux et les connais- 
sant aussi tous deux personnellement, il parle de ce qui s'est 
passé et il en forme son jugement. Comme sincère ami d'Abel, il 
parle avec autorité quand il donne beaucoup à Jacobi. Mais il 
juge le passé comme trop rapprocbc de ces événements et des 
mystères de leur origine, et jamais le temps qui est témoin d'un 
progrès bors ligne ne le comprend à fond et à flieure de sa 
naissance. Les vraies proportions ne peuvent être reconnues qu'à 
une plus grande dislance et lorsque maints secrets sont enfin 
révélés. « A Jacobi aussi», dit Crelle, « la tbéorie des fonctions 
elliptiques doit sa perfection nouvelle, et il est arrivé au même 
but sans connaître les travaux simultanés d'Abcl. » 

Comme éditeur du Journal, Crelle avait donc fait à Jacobi la 
demande de rédiger un aperçu de Touvrage, et celui-ci consentit 
à s en charger pendant son séjour à Berlin, avant de retourner 
à Konigsberg. 

La date du rapport que fit ainsi Crelle dans le tome VIII de 
son Journal était le 22 avril i8o2. Jacobi, dans sa réponse, ex- 
prime d'abord son consentement aux désirs de Legendre, et il 
varie, dans des paroles éloquentes, la pensée de ce dernier, 
quand il parle du monument éternel qu'Abel s'était élevé par son 
théorème. Jacobi attache le nom d'Abel à ces grandes décou- 
vertes, et il dirige son attention plutôt vers l'avenir qui en 

découlera, peut-être un avenir lointain, que vers le passé et le 

ff(x)d.r 
fini, rt Legendre», dit-il, ':Mlonne à la transcendante I — — — , 



212 NIKLS-HENRIK AVAU.. — § XIV. 

lorsque X surpasse le quatrième degré, le nom d'ultra-elliptique. 
Nous aimerions mieux l'appeler la transcendante ahélienne, puisque 
Abel, le premier, l'a introduite dans Tanalyse, et qu il a montré 
dans un vaste théorème sa grande importance. A ce théorème 
lui-môme, comme le plus beau monument de cet esprit extraor- 
dinaire, on devait bien attribuer le nom de théorème d'Abel, 
Car nous pensons, d'accord avec Tauteur, qu'il porte toute 
Tempreinte de la profondeur de son esprit. Comme il énonce 
dans une forme simple, sans aucun appareil de calculs, la 
plus profonde et la plus vaste pensée mathématique, nous consi- 
dérons ce théorème comme la plus grande découverte de notre 
temps, bien qu'un grand travail futur, dans un avenir peut-être 
lointain, puisse seul nous éclaircir sur toute son importance. » 

Quelque temps après^ le 27 mai, Jacobi fait mention à Legendre 
du rapport qu'il avait donné de son œuvre. Il s'excuse du long 
intervalle de temps qui s'était écoulé sans qu'il lui donnât aucun 
témoignage de son dévouement et lui rendît compte de ses 
travaux. Il aurait bien voulu pouvoir l'avertir de l'achèvement de 
quelque ouvrage plus étendu, mais pendant tout ce temps-ci il 
n'avait pu regagner ni le goût ni l'énergie de jadis. Ce n'auraient 
été que des ouvrages commencés ou même seulement projetés 
dont il aurait dû lui faire mention.... Depuis les huit mois de son 
mariage, il avait cependant repris ses occupations ordinaires avec 
un zèle redoublé, et il espère que les années suivantes le dédom- 
mageraient, en quelque sorte, du peu de fruit que lui avaient 
porté les trois précédentes. 

L'attention de Jacobi s'était donc fixée dès lors vers les nou- 
velles et très hautes transcendantes d'Abel et vers son théorème; 
et bien que le mémoire présenté par lui à l'Institut fût retombé 
de nouveau dans l'oubli, il n'était pas douteux que le bon moment 
fût maintenant venu pour soulever la grande question qu'avait 
posée Abel à la science future. En ce sens, la lettre d'avertissement 
publiée deux années auparavant dans le Journal de Crelle était 
une acquisition de la plus haute valeur. On voit déjà la direction 
des pensées de Jacobi par un article sur les transcendantes 



[,KS /••r\7>.ii//;,V7'.i vori 'il'.] 

Iiypoivllipliqiios ou sur le Uiéorùiuo d'Aboi, dans uno noie daléc 
du \A mai 18o2. Mais riinportanl petit mcirioire qui lui succéda, 
et qui a pour titre « Considcr alloues générales de transcendcu' 
tibus abelianis -ù, fut révéncment décisif qui so préparait. Dans 
cet article, portant la date du 1^ juillet 18.']^, il montrait que 
l'inversion des intégrales abéliennos devait se faire par Tinvcrsion 
des sommes. 

Ici Jacobi,bien qu'il parlât du mémoire intitulé Remarques, aie., 
prit en réalité son point de départ dans la lettre d'Abel à Crelle, 
et en fliisant cela, le résultat ne pouvait se cacher longtemps. Il a 
eu le mérite d'être le premier à approfondir la question et à 
renouer les fds rompus; mais Abel avait mis tout en ordre, et ce 
n'était pas le hasard qui dirigea la marche de ses idées. Au 
contraire, tout avait été arrangé par lui de la meilleure manière, 
comme seul pouvait le faire un esprit doué de vues profondes 
dans l'avenir môme de la science qu'il préparait. 

Abel, dans sa lettre, avait donné les moyens pour la réduction 
d'une somme de trois transcendantes hyperellipliques, transcen- 
dantes appartenant à cette classe qu'il fallait d'abord soumettre à 
l'examen lorsqu'il s'agissait de passer de la théorie préparatoire à 
la série des applications. Cette somme de trois transcendantes fut 
réduite, par un procédé algébrique, à une somme de deux, ce 
qui était aussi la dernière limite des réductions. Et il déclara 
qu'au moyen de la formule fondamentale qu'il y donna explicite- 
ment, on pourrait établir une réduction pareille (à une telle 
somme de deux transcendantes) quelque grand que fût le nombre 
des transcendantes à sommer. 

Il s'ensuit, en premier lieu, qu'une telle somme de deux trans- 
cendantes simples constituerait une nouvelle transcendante ou, 
comme nous dirons, une transcendante binaire. Abel avait 
remarqué une propriété d'après laquelle on se procurerait une 
réduction à une somme d'un nombre déterminé, ici à deux. Et 
c'était un trait bien marqué dans ses investigations, que la 
manière dont il effectue d'abord les réductions aussi loin qu'elles 
peuvent se faire d'après la nature des choses, et qu'il traite 



^l't MiaS-IIFîMUK A)51«:L. — ^ XIV. 

ensuite les expressions irréductibles, qu il obtient en tirant de 
rimpossibilitc de pousser plus loin les simplifications les plus 
efïicaces ressources pour ses études. Celui donc qui s'était un peu 
familiarisé avec l'esprit de ses rechercbes devait nécessairement, 
dans cette somme binaire qui n'était plus réductible, rencontrer 
une nouvelle fonction à étudier; il fit aussi mieux ressortir funilc 
quelle représentait en la renfermant dans une parenthèse qu'il 
serait en cas contraire superflu d'introduire. 

Même sans avoir étudié beaucoup les travaux d'Abel, un 
mathématicien habile n'avait pas dû manquer d'essayer bientôt de 
considérer cette somme irréductible comme constituant elle- 
même une transcendante. Et alors en se figurant effectuée la 
réduction relativement à quatre transcendantes données et simples 
(au moyen du théorème fondamental se rapportant à trois), il 
établirait quelque chose de plus symétrique et de plus analogue à 
la formule d'addition pour les transcendantes elliptiques. En effet, 
la réduction précédente de quatre à deux sera, en même temps, 
une réduction d'une somme de deux transcendantes binaires à 
une seule de la même espèce, et la réduction s'opère au moyen 
d'une relation algébrique entre les variables. 

Mais, de plus, personne ne put aussi éviter de reconnaître 
que, dans les formules algébriques exposées dans la même lettre, 
il y ait deux quantités, a et [3, qui ne se présentent pas, bien 
qu'elles se trouvent dans les transcendantes données. Il s'ensuit 
qu'on pourra particulariser les dernières de deux manières, sans 
altérer cette relation algébrique; ce qui entraînera la possibilité 
d'établir une couple de formules d'addition, sans changer toujours 
la dite relation. L'une de ces formules se rapporte à la première 
subdivision des transcendantes binaires en question, l'autre à la 
seconde. Et la plus complète correspondance est ainsi rétablie 
avec des faits connus qui se présentent dans les fonctions 
elliptiques. 

D'après cela, pour imiter le procédé d'inversion dans la théorie 
de ces transcendantes hyperelliptiques, le chemin à suivre devrait 
être : d'essayer d'abord s'il existe une inversion directe, c'est-à- 



LES hr\l).\MI-:.\TA .\(i\A i^[^ 

dire une inv<3rsioii rclaliveiiioiit aux Irîinsccudanlcs simples; 
d'essayer ensuite, s'il se présente des dillicuités, s'il existera une 
inversion pour les transcendantes binaires, dont il avait à la fois 
deux à considérer, chacune d'elles dépendant d'une couple de 
variables x ai \j. Dans ce dernier cas, l'une de ces transcendantes 
composées sera égalée à n, l'autre à v, et en se figurant les 
équations résolues par rapport à a; et ?/, on aura les fonctions 
inverses cherchées. 

C'est maintenant cela que fit Jacobi en retrouvant la pensée 
qui se cache dans la lettre d'Abel, et qui ne demande plus comme 
on le voit, pour être dégagée, une profonde analyse, mais seule- 
ment le bon sens d'un penseur. L'attention de Jacobi fut dirigée 
de nouveau vers ce sujet à une époque où, à côté des anciens 
moyens, on avait obtenu, dans la lettre d'Abel, une indication 
très courte et très claire pour guider dans sa marche difficile 
entre toutes les généralités. Mais dès lors, comme il résulte des 
dates du rapport de la lettre à Legendre et du petit mémoire de 
Jacobi, il ne s'écoula pas longtemps avant que l'énigme fût 
résolue; et l'on pouvait ainsi passer aux travaux d'application, 
en d'autres termes aux travaux où l'on avait à considérer Tune 
après l'autre des hautes fonctions inverses dont il est question 
ici. Jacobi donne un exposé de son beau travail dans le mémoire 
du Journal de Crelle que nous avons mentionné; plus tard 
cependant il lé développa dans un court article pour l'Académie 
de Pétersbourg, article intitulé : a Notes sur les fonctions ahé- 
liennes )>, et inséré aussi dans le tome XXX du dit Journal. Mais 
comment tout avait été bien préparé par Abel, on en peut juger 
mieux par ce fait que la note elle-même n'avait guère plus 
d'étendue qu'une seule page, et néanmoins tout était aussi clair 
et élégant comme il était court dans l'exposé. 

Jacobi fit cependant plus. Il examina le fond des choses dans 
ses recherches sur la périodicité ; et par ses investigations 
célèbres sur les fonctions il prépara une étude approfondie des 
nouvelles fonctions inverses. 

Abel avait désiré lui-même de pouvoir entreprendre ces 



210 NIELS-IIENRIK AHEL. — | XIV. 

travaux d'applications auxquelles devait aboutir son théorème. 
On en aura un témoin dans ces mots qui terminent son dernier 
mémoire : « Démonstration d'une propriété générale d'une cer- 
taine classe de fonctions transcendantes », mémoire, ou plutôt 
note, qu'il envoya en toute hâte à Crelle pour sauver au dernier 
moment sa grande découverte qui était restée ensevelie et oubliée 
à Paris. Dans ce mémoire, où il donna la démonstration de son 
théorème d'addition dans toute sa généralité, il déposa son 
testament scientifique. Quoique datée de Christiania (le 6 jan- 
vier 18^9), la pièce est envoyée de Froland, et certainement elle 
fut écrite dans une heure critique avec la crainte de ce qui 
pouvait bientôt arriver. 

Dans ces paroles finales, il parle des «nombreuses applications » 
qu'il ferait de son théorème, et « qui jetteront du jour sur la 
nature des fonctions transcendantes dont il s'agit. » Certainement 
il est difficile de comprendre quel serait le sens de ces paroles, 
si l'inversion, vers laquelle tendent ses invesligations, n'était pas 
clairement devant ses yeux. 

Les voies et moyens n'étaient pas cependant indiqués encore 
d'une manière explicite; pour cela le temps lui avait manqué, bien 
qu'il eût fini tous les grands travaux préparatoires. Il fut donc 
réservé à Jacobi de renouer les fils rompus depuis si longtemps. 
Là comme ailleurs, il fut non seulement le plus proche colla- 
borateur d'Abel, mais aussi son héritier direct, qui, après sa 
mort, comme chef légitime, devait régler la direction du nouveau 
développement. C'était aussi Jacobi, plutôt que tout autre, qui 
devait expliquer au monde ce qu'était Abel. 



rnoLAM) i:t i.a mokt ir.MîKf-. 217 



XV. 

Froland et la mort d'Ahel. 

Nous allons maintenant laisser de coté les objets d'ordre 
transcendant; nous reviendrons à Abcl lui-môme et à ce qui 
le regarde personnellement. Toute Tannée 1827 s'écoula sans 
qu'une seule issue s'ouvrît devant lui, et l'on ne peut douter que, 
durant tout ce temps, sa position ne fût des plus pénibles. Le 
prochain départ de Hansteen pour la Sibérie offrit cependant à ce 
moment une perspective favorable. Ce professeur ayant renoncé 
temporairement à renseignement dont il était chargé à l'Aca- 
démie militaire, ses fonctions furent partagées provisoirement, de 
manière qu'Abel, après la disjonction du cours d'astronomie, devait 
faire un cours de mécanique de deux leçons par semaine. Pour cela, 
il devait toucher, à partir du commencement de l'année 1828, 
les deux tiers des appointements de Hansteen, savoir, par mois, 
11 spd. 13 ski. (*) en monnaie de Norvège. Telles furent les 
modestes ressources qu'il obtint, et qu'il devait de nouveau perdre 
deux ans après quand il eut terminé ce voyage scientifique. 

Peu de temps après, cependant, il s'opéra une nouvelle amé- 
lioration temporaire dans sa situation. L'absence de Hansteen 
laissait encore un poste à remplir à l'Université. Abel fut alors 
recommandé par le Sénat universitaire pour être charge, en 
qualité de doceni, de suppléer Hansteen, pendant cet intervalle, 
dans ses fonctions de professeur. Cette nomination fut sanctionnée 
par une résolution du 16 février, et, le 10 mars 1828, le Sénat lui 
envoya sa nomination officielle. Tant qu'il remplirait ces fonctions 
de docenl, il devait recevoir 400 spd. (-) d'appoinlemonls annuels. 

Sa principale fonction à l'Université fut maintenant d'enseigner 

(1) 67 fr. 14 c. 

(2) 2224 francs. 



218 MKLS-m-NRIK AHKL. — § XV. 

rastronoinie aux élèves qui se préparaient à subir Vexamen pliilo- 
sopliicum, — et il s'en tira sans trop tourmenter de mathémati- 
ques et de formules abstraites les nouveaux étudiants. 

Celte augmentation d'appointements qu'il obtint ainsi, Taurait 
bien certainement, d'après les circonstances et les exigences de 
l'époque, mis à même de vivre sans souci tant que cette position 
devait durer. Bien qu'il fût fiancé, il lui fallait renoncer toutefois 
à tout projet d'établissement. Mais le désordre économique était 
arrivé à une telle extrémité, qu'avec toute l'épargne possible, il 
serait exposé pour longtemps à des soucis continus et accablants. 
Il parvint, vers la fin de la dernière année de sa vie, à pouvoir 
cesser d'emprunter pour les besoins quotidiens, et à voir diminuer 
un peu ses dettes. 

« Je suis pauvre comme un rat d'église », écrit-il en juillet ou 
en août, on ignore à qui. — « Je n'ai plus maintenant que 
i spd. GO ski. ('), que je dois donner en pourboire. Pourtant, je 
n'ai pas dépensé un skilling mal à propos. Le marchand est payé, 
103 spd. 26 ski. (-), tout ce que je lui devais. » 

On ne connaît pas cependant au juste la date de ces communi- 
cations, vu qu elles n'existent que comme notes ajoutées sur un 
bout détaché d'une enveloppe. Qu'elles appartiennent en tout cas 
à une époque aussi récente, sans doute à la visite faite pendant 
les vacances de 1828 à l'usine de Froland, c'est ce que l'on 
peut conclure de ces lignes : ce J'ai reçu une lettre de Schumacher. 
Mon article est imprimé et parti pour Konigsberg. Si vous voyez 
Elisabeth, saluez-la cordialement pour moi, ainsi que les Treschow. 

» Votre ruiné. » 

Dans une lettre encore plus récente, il écrit, au sujet de son 
état pécuniaire, à M™*^ Hansteen, qui était alors à Copenhague 
chez sa sœur, M™'' Frederichsen. A en juger par le contenu 
de cette lettre, elle a été envoyée en novembre, c'est-à-dire pas 
plus d'un mois avant qu'il quittât Christiania pour n'y plus 



(») 8 fr. 34 c. 
(') 572 fr. 68 c. 



i-noi.Asn KT i.\ MOUT d'ahi:!,. 2Ul 

revenir. Il dit entre autres choses : « Je reste toujours au chiirrc 
400 (•), et j'ai des dettes par dessus les oreilles; mais j'ai toutefois 
tant économisé, avec de la peine et des épargnes, que j'ai réussi à 
en diminuer un peu le chiffre. Cependant mon ancienne hôtesse, 
Dronningen(2), ^'.^ p^g eu un sou de moi, et je lui dois 82 spd. {^). 
Je suis parvenu il réduire la Banque à 160 (*) et le marchand de 
drap de 45 à 20 (^). D'autre part, je dois au cordonnier, au tailleur 
et au restaurateur, mais je n'emprunte plus. Mais pour cela ne 
me plaignez pas. Je finirai bien par m'en tirer. » 

La position embarrassée dans laquelle il se trouvait, et que 
l'amélioration survenue dans ses finances n'avait pas encore fait 
disparaître, ne pouvait pas échapper h l'attention de ses amis, 
tant compatriotes qu'étrangers. Le Sénat universitaire — du 
moins dans les premiers temps après son retour — avait pris 
chaudement les intérêts d'Abel; mais les modiques ressources 
d'une part, d'autre part le manque de pénétration pour prévoir 
la grande portée de ses travaux, et — nous pouvons le dire — 
son importance nationale, tout cela formait d'insurmontables 
obstacles. Et en face des résistances éternelles qu'on ne pouvait 
vaincre, le zèle se refroidissait. A l'étranger, c'était Crelle surtout 
qui montrait le plus d'activité. On voit aussi Gauss et Humboldt 
intervenir en faveur d'Abel pour lui obtenir du ministre des cultes 
de Prusse une chaire à fUniversité de Berlin. En France aussi le 
mouvement se propagea dans le monde scientifique, provoqué non 
seulement par l'admiration pour ses travaux, mais aussi indubita- 
blement par le bruit qui devait s'être répandu de l'indigne état de 
détresse dans lequel il avait vécu et dont les conséquences ne 
pouvaient maintenant disparaître sur-le-champ. Des académiciens 
français (^) adressèrent une lettre au « Roi de Suède » pour l'en- 
gager à faire venir Abel à ce l'Académie de Stockholm. » 

(1) Pour ses appointements. 

(') La Reine 

(')455fr. 92 c. 

(») 889 fr. 60 r. 

(*) De i27 fr. 40 c. à 111 fr. 20 c. 

{^) Legendrt', I^isson et Lucroix. 



220 NIELS-HENniK AIîEL. — | XV. 

Quelque étrange que cela puisse paraître, aux efforts de Crelle 
en sa faveur, Abcl opposait souvent une certaine résistance, 
tant il lui semblait dur de ce s'expatrier ». D'autres fois, il désirait 
partir pour chercher une position meilleure, et il formait ce souhait 
surtout à cause de sa fiancée. Mais quand il s'agissait de prendre 
une part un peu active aux démarches qui étaient faites pour 
lui procurer une position, ou môme de prêter aux solliciteurs le 
moindre concours, c'était là quelque chose de tellement contraire 
à son caractère réservé, que lui-même, à l'occasion d'un article 
louangeur, publié par un journal de l'époque, sous le titre de 
(Si Dernier tableau de Chrisliania et de Stockholm'» , et occasionné 
par le bruit de sa nomination à Berlin, il se sentit compromis, 
comme si l'on eût pu l'accuser d'avoir provoqué cet article. 

Pendant qu'Abel restait hésitant s'il devait accepter l'invitation 
éventuelle à Berlin — pour laquelle, en juin, les circonstances 
furent très favorables, — il adressa une interpellation au Sénat 
universitaire pour savoir s'il pouvait s'attendre à obtenir quelque 
position fixe auprès de l'Université. Sa position de docent restait 
toujours incertaine, et au retour de Ilanstcen, tout serait fini. 

Le jour même où son interpellation fut remise au Sénat, le 
"21 juin, celui-ci écrivit au vice-chancelier, le comte Wedel Jarls- 
berg, qu'il regrettait de ne pouvoir proposer à ce jeune homme de 
talent une position fixe, grâce à laquelle il pourrait être conservé cà 
l'Université et à sa patrie. Néanmoins le Sénat avait cru de son 
devoir de soumettre l'affaire aux autorités compétentes, au cas 
où il pourrait être offert aux frais de l'État à M. Abel un posle 
correspondant cà ses mérites déjà reconnus dans le monde savant, 
et équivalent à celui qu'il avait l'espoir fondé d'obtenir dans 
une université étrangère, où vraisemblablement, après un court 
essai comme 'priv aida cent, il obtiendrait une nomination comme 
professeur. 

Telle était donc la réponse qu'il obtint. — Mais, malgré la mo- 
dicité des ressources d'alors, la proposition de l'Université, à ce 
qu'il nous semble, — dans un but comme celui-ci — aurait dû être 
faite sur un ton moins désespéré. Le pays qui, tout à Theure, 



FROF^AM) r.T I,A MOUT d'aIIKL. 221 

n'avait pas reculé devant un plus grand sacrifice pour la scionco 
en votant les Irais de voyai;-e du professeur llansteen en Sibérie, 
aurait bien du être consulté d'une autre manière que celle qu'on 
avait choisie; car, pour le résultat, un pareil appel aux autorités 
équivaudrait à leur demander un refus. 

Peu de temps après, la situation commença à s'aggraver aussi 
d'une autre manière. Il arriva de la part de Grclle de mauvaises 
nouvelles. La nomination éventuelle à l'Université de Berlin sem- 
blait s'en aller en fumée. Il y en avait un autre, disait-on, qu'il 
fallait d'abord pourvoir; mais qui était cet autre, Grelle n'en 
voulut rien dire. « Lui-même y> (Abel) (c ne connaissait aucune 
capacité de cette force. » Tout cela naturellement mit Abel' de 
fort mauvaise humeur; en outre, il se sentit compromis, comme 
nous venons de le dire, parce qu'il avait môme touché ce point, 
surtout à ce moment, où il semblait évident qu'il ne résulterait 
rien des efforts de Grelle en sa faveur. 

Ajoutez à cela, au milieu des soucis toujours renaissants qui 
l'agitaient — pour lui-même et pour sa fiancée, — qu'il n'avait 
plus pour se distraire les visites si animantes à la famille Hansteen. 
Depuis le 19 mai 1828, Hansteen lui-même était parti pour son 
voyage, et peu de teiups après la bonne consolatrice d'Abel, 
M"^^ Hansteen, avait aussi quitté Christiania pour se rendre à Co- 
penhague. 11 se sentit maintenant plus seul que jamais, et sa mélan- 
colie augmenta, en môme temps que les suites de cette vie d'études 
active à l'excès ne pouvaient manquer aussi de se faire sentir. 

A l'approche de l'automne, il se trouva souffrant pendant un 
mois ou un mois et demi; il gardait même le lit, comme il avait 
fait aussi à Berlin un peu avant son retour. Pour le Journal^ il 
avait, au milieu de tout cela, ce une épouvantable besogne à mettre 
en ordre. » Grelle lui avait offert, à cette époque, un ducat pour 
chaque feuille d'impression, et il ne pouvait plus, maintenant, 
dire non pour ce secours qui lui était ainsi promis. « Mais il n'en 
reste pas grand'chose » , dit-il dans une lettre; a: la gêne où je 
suis m'a forcé de l'accepter. » 

Des travaux excessivement fatigants, peu de repc-s, des chagrins 



222 MRLS-HFNniK Ani'L. — I XV. 

(jui le rungeaicnt sans cosse, avec cela peut-être les suites d'une 
véritable indigence et d'un régime fort irrégulier; tout cela devait 
maintenant entraîner des suites l'unestes. Sa santé fragile était 
minée, et le moindre choc suffisait dès lors pour hâter la catas- 
trophe (^). 

Vers le milieu de décembre, il partit pour Froland afin d'y 
célébrer la Noël avec sa fiancée et la famille Smith. Il y arriva, 
après un long voyage au cœur de l'hiver, le 19 décembre 1828. 
Il était insuffisamment vêtu, dit-on, pour un pareil voyage, et à 
son arrivée il se sentit indisposé. 

Avant son départ, il avait présenté une demande pour que ses 
honoraires comme docenl fussent augmentés de -00 spd. (-) par 
an, à partir du 1^' janvier 1829. Le Sénat adressa au Vice- 
Chancelier une déclaration officielle, dans laquelle il fit observer 
qu'Abel ayant dû «se charger de tous les cours appartenant au 
professeur Hansteen comme professeur de l'Université,... et main- 
tenant, dans le second semestre», ajoute-t-il plus loin, «ayant 
prouvé son habileté dans le poste qu'on lui a confié, le Sénat ne 
peut se dispenser de constater que la justice et l'équité demandent 
qu'il reçoive l'augmentation d'appointements par lui humblement 
demandée. i> Par résolution du 9 février, et par suite bien assez tôt 
pour que cette décision expédiée de Stockholm le trouvât encore 
en vie sur son lit de souffrance à l'usine do Froland, il reçut la 
notiiication de son augmentation de traitement, et ainsi, au point 
de vue économique, l'horizon commençait un peu à s'éclaircir. 

Il avait commencé à faire jour, et aussi dans d'autres directions 
on apercevait maintenant poindre une lueur plus consolante. 

On se rappelle qu'Abel était entré en correspondance avec 
Legendre. A sa première lettre, du 3 octobre 1828 il avait été 
fait une réponse sympathique. Il en parle en quelques mots à 
M'"° Hansteen : «Pour dire la pure vérité», écrit-il, «ce que je 



(i) Abel, comme Newton et Kepler, vint au inonde avant terme. Quant à Abri, 
c'est à force de soins et de précautions qu'il parvint à conserver sa vie, et il resta 
faible tant qu'il ^écut. 

(2) 1112 francs. 



l'HOt.AM) r.T I A MORT d'aI'.P.I,. S^li 

VOUS ai racuulc, cY'lail on [larlie pour laire un [leu do poussiôrc 
ol en [)arlio aussi parce que jo crois que cela vous fera plaisir, 
chère uiadanio llanslccn, d'apprendre les succès que j'ai, puisqu(* 
vous prenez une si grande part à mon heur et à mon malheur. Il 
ne faut donc pas que vous preniez cela pour une lanlaronnade. » 

Cette réponse de Lcgendre était datée du ^25 du morne mois, et 
Ton peut voir par là que, dans la lettre d'Ahel dont il était question, 
celui-ci a parlé, entre autres choses, de ses découvertes dans la 
théorie des transcendantes plus élevées que les Iranscendanles 
ellildiqucs. Il est donc d'autant plus regrettable qu'on n ait pas 
pris soin de garder ou de retrouver cette lettre d'Abel (du 3 octobre), 
si elle existe encore, puisqu'il n'a guère pu parier à Legondre préci- 
sément des mômes choses dont il s'occupa dans son mémoire pour 
rinstitut, mémoire qui devait être jugépftrLer/c/ic/rc lui-même. Tout 
le monde sait de quelle importance a été pour les investigations 
futures la publication de la seconde lettre d'Abel à Legendre, 
Vraisemblablement il en serait de morne de la première qui est 
perdue. 

Dans la lettre de Legendre du 25 octobre, on remarquera cette 
phrase, d'un intérêt historique : « La un de votre lettre me confond 
par la généralité que vous avez su donner à vos recherches sur les 
fonctions elliptiques, et même sur des fondions plus compliquées. 
Il me tarde beaucoup )), ajoute-t-il, (c de voir les méthodes qui 
vous ont conduit à de si beaux résultats; je ne sais si je pourrais 
les comprendre, mais ce qu'il y a de sûr, c'est que je n'ai aucune 
idée des moyens que vous avez pu employer pour vaincre de 
pareilles diflicultés. Quelle tête que celle d'un jeune Norvégien! » 

Plus haut, dans la même lettre, Legendre cite ces mots de 
Jacobi sur les travaux d'Abel dans le journal de Schumacher, 
mots qui sont devenus maintenant si célèbres : (c Ce numéro 
contient une déduclion vigoureuse des théorèmes de transforma- 
tions dont le défaut s'était fait sentir dans mes annonces sur le 
même objet. Elle esl au-dessus de mes éloges ^ comme elle est 
au-dessus de mes travaux. » 

Et nous le dirons, ces mots de Jacobi étaient, pour un liomme 



224 Nii'LS-iiENUiK xmi. — I XV. 

do cœur Ici que fui Abel, plus qu'il n'en fallait. Il répondit cha- 
leureusement ('). 

La seconde lettre de Legcndre parvint à Abel lorsqu'il était déjà 
alité, et qu'il ne pouvait plus répondre aux questions qu'on lui 
adressait. Les expressions du vénérable savant ont du produire 
sur Abel un effet extraordinaire. Maintenant on rendait honneur 
à cette œuvre — sans jour ni date — qu'il avait produite dans ses 
années d'étudiant — et avec laquelle il n'avait pu se faire jour 
dans la grande ville cosmopolite. Et cependant il apprit, par cet 
éloge tardif, à quel point ce môme Legendre, qui devait être son 
juge, qui l'avait encouragé une première fois et ensuite oublié, 
avait une connaissance imparfaite de ce qu'Abel avait fait dans 
ce travail. Le sort injuste de ce mémoire — après une attente 
de deux ans et demi, et peut-être avec le sentiment d'une mort 
prochaine — il le voyait écrit au milieu d'un glorieux éloge. 
Il ignorait que Jacobi, au même moment, allait pousser le cri 
d'alarme qui devait tirer le mémoire de Foubli. Lui-même heu- 
reusement avait cependant mis en sûreté le plus essentiel, au 
moment où le danger était imminent. Ce fut le grave travail 
d'Abel du G janvier. 

Mais bien que tout le contenu de cette lettre flatteuse ne fût pas 
absolumentsatisfiiisant, il s'y trouvait cependant beaucoup de choses 
qui durent lui causer un grand contentement — sans parler de la 
haute estime que Legendre avait pour les découvertes algébriques 
d'Abel, dont il disait qu'elles devaient être considérées comme !c 
plus grand pas qu'il restait à faire en analyse, — sans parler non 
plus des hommages que le géomètre octogénaire lui rendait dans 
ces belles paroles d'adieu : ce Adieu, monsieur; vous êtes heureux 
par vos succès dans vos travaux; je désire que vous le soyez 
encore par une position sociale qui vous permette de vous livrer 



(1) Voir le posl-scripfum de la leUrc d'Abel inséré dans les Œuvres complètes. Il 
est d'ailleurs bien singulier que ce post-scriptum ne se trouve pas dans la première 
publication de ladite lettre dans le Journal de Crelle, après la mort d'Abel. Elle est 
maintenant en la possession de notre Université, griicc au don que M, le proresscur 
Wcierstrass a bien voulu en faire. 



FUOLAND ET LA MOUT d'aIIEL. 225 

tout entier aux inspirations de votre génie. » Mais, à côté de ces 
paroles chaleureuses, il y avait aussi une action, et coite action 
était sur le point de porter des fruits. Dans un post-scriptuni 
Legendi'e ajoute : c( J'ai r(M;u il y a (pielque temps une lettre de 
M. lluniboldt, dans laquelle il nie lait savoir que le ministre de 
rinstruction publlipie à Berlin a reçu du roi Tautorisation de 
former un séminaire, pour Tétude des hautes mathématiques et 
de la physique, dans le(iuel vous serez appelé comme professeur 
avec M. Jacobi. » 

Abel avait aussi des nouvelles de Grelle, fort encourageantes 
pour lui. La perspective d'obtenir une chaire à Berlin était main- 
tenant des plus sérieuses, et la chose pouvait être regardée comme 
faite. Il semblait avoir triomphé lui-même de sa répugnance à 
s arracher de son pays natal, et il envisageait l'avenir avec plus de 
satisfaction. 

S'il désirait ardemment une chaire, c'était surtout à cause de sa 
fiancée. Cette jeune fille s'était élevée chez des étrangers par son 
travail, et elle aussi avait eu bien des contrariétés à l'occasion de 
son projet d'alliance, qui, jusqu'à ce moment, avait été sans espoir. 
Elle avait cruellement souffert de la nouvelle séparation qui avait 
eu lieu à Copenhague, quand Abel y passa au retour de son 
voyage, pour y rester très peu de jours auprès d'elle, et rentrer 
ensuite dans sa patrie, sans gagne-pain et sans espoir. Lui-même 
ne tenait guère aux honneurs; mais c'était elle qui représentait 
l'élément ambitieux et qui désirait s'élever dans le monde. Que de 
fois ne discutèrent-ils pas gaîment, pendant cette maladie fatale, 
leurs projets de vie commune ! Il connaissait les sentiments de la 
jeune fille; aussi ne pouvait-il lui causer plus de joie qu'en lui 
décrivant dans quelle situation ils se trouveraient un jour à 
Berlin. «On ne t'appellera pas madame ou ma femme )i>y disait-il 
en plaisantant; a: mais on dira: Der Hr. Professer , mit seiner 
Gemahlin. » 

On comprend bien que cet engagement lui ait créé plus d'une 
diQiculté. Mais, malgré les chagrins qu'il entraîna, il est d'une 
haute importance pour fhistoire. Sans lui, notre mathémalicien 

15 



220 NIELS-IIKNRIK AP.FL. — | XV. 

aurait indubilablemcnt élu perdu plus tôt pour notre pays, et son 
établissement à Berlin aurait cbangé la marche des événements 
et les relations des acteurs. Ces fiançailles avaient été conclues 
dans un temps meilleur, où Tespoir d'obtenir une position assurée 
(sans abandonner les études transcendantes) semblait réalisable. 
En tout cas, elles dataient d'une époque où Ton était venu à bout, 
en luttant, de bien des choses que le plus grand nombre n'arrive 
pas à surmonter; mais alors le courage de la jeunesse n'était pas 
encore perdu. 

A la Noël de 1824, Abel avait fait son premier voyage à Soon, 
petit village maritime, situé, comme nous l'avons déjà dit, au 
bord du Fjord, à quelques milles de Christiania. Il l'avait entrepris 
sur l'invitation qui lui avait été adressée d'y venir fêter la Noël 
par un de ses élèves, à qui il donnait des leçons de mathémati- 
ques. On raconte que lui et plusieurs de ses compagnons de 
voyage avaient loué un bateau de pilote, et que, dans le trajet, 
ils avaient fait naufrage, ou (selon d'autres) qu ils étaient rentrés 
au port, à cause des vents contraires. Le voyage, d'après cette 
dernière version, aurait été continué jusqu'à Risôr, d'où était la 
famille de sa mère. Mais il est à croire qu'il y a ici une confusion 
de deux événements. Ce qu'il y a de vrai, c'est le tableau qu'on se 
fait de ce temps-là, tableau que, même dans les parties les plus 
importantes de notre récit, nous ne devons pas perdre de vue. Un 
marchand de l'endroit recueillit, avec l'hospitalité la plus em- 
pressée, Abel et ses compagnons morfondus. En quittant ce séjour, 
il en sortit fiancé. 

D'après un autre narrateur, il aurait souvent raconté lui-même 
sa première rencontre avec sa future. Il est vrai que la chose 
n'est pas d'un grand intérêt, mais elle donne un aperçu des senti- 
ments du jeune homme à cette époque, et présente un contraste 
frappant avec sa triste fin. Ce fut donc à Copenhague, lors de son 
voyage de l'été de 1823, qu'il rencontra sa fiancée pour la pre- 
mière fois. C'était au bal, dit-on, et il l'avait invitée à la danse. 
Or, ni elle ni lui ne savaient danser. Mais quand ils s'aperçurent 
qu'il fallait tourner pour valser, ils se mirent tous les deux à 



FROLAND ET F,A MORT H'ARRL. 227 

tourner h contresens. — Telle fut la circonstance qui, phis lard, 
amena Stinc (Crelly) ù devenir la fiancée de Nicls-llenrik. 

Christine Keinp était fille d'un chaudronnier de Copenhague. 
C'était une jeune fdle vive (^t courageuse, désireuse de s'élever. 
De bonne heure, elle avait du quitter la niaison paternelle pour 
gagner son pain. Elle était ainsi venue habiter un petit village sur 
la côte, où elle remplissait dans une famille les fonctions d'insti- 
tutrice. C'est là (si nous avons bien compris les versions assez 
discordantes que nous venons de mentionner), c'est là qu'elle 
rencontra de nouveau Abel, et que leur alliance fut conclue. 

Pendant le long voyage de son fiancé à l'étranger, elle revint 
en Danemark, chez une sœur qui habitait Aalborg, et, en 1827, 
au retour d'Abel, ils se rencontrèrent à Copenhague, où ils pas- 
sèrent ensemble quelques jours. Plus tard, par l'intermédiaire 
d'un oncle d'Abel, le capitaine Tuxen, à Copenhague, qui pendant 
un séjour à ïvede avait fait visite à la famille Siuith, à l'usine de 
Froland, on obtint pour Christine un emploi de gouvernante pour 
les jeunes enfants de la maison. Cela donna lieu aux voyages 
d'Abel à Froland, où, sans compter la famille Hansteen, il trouvait 
un autre chez soi. 

A Froland il passait ses meilleurs moments. Là il était fré- 
quemment la vie et l'âme de celte société, soit qu'il s'agît de 
jouer quelques petites niches aux dames, soit qu'il se joignît, 
en biver, aux petits garçons, qui se laissaient glisser du haut 
des toits dans les profonds amas de neige. Il ne pouvait cepen- 
dant pas supporter longtemps ces exercices. S'il s'agissait, au 
contraire, de passer la soirée au jeu de cartes, « alors il était 
solide ï). Il ainiait à jouer et jouait très bien, et, au déplaisir de 
ses adversaires, avec tact et prudence. Mais il ne tenait guère au 
gain; cela l'amusait, parce qu'il s'occupait du jeu comme d'un 
art, dont il avait établi à son usage les règles et les principes. 
Il était donc toujours impatient de voir allumer les bougies quand 
le jour commençait à baisser. 

Mais, avant tout, il aimait à rester dans le salon avec les dames 
de la maison; souvent il y travaillait et fiusait sa correspondance, 



228 NIELS-IinNRIK ATIEL. — | XV. 

sur le papier le plus mince et de sa plus fine écriture, pour 
économiser les frais de poste. Lorsqu'alors il se levait de son 
travail, il n'avait pas de plus grand plaisir que de dérober un 
mouchoir dans une poche, ou de fouiller dans une boîte à 
ouvrage. Quelque chose qu'il eût prise, il était impossible de se 
fâcher contre lui. Dans sa manière d'agir, il élait sous beaucoup 
de rapports un enfant; la tristesse et la gaieté alternaient chez 
lui, et à quiconque ne lui était pas trop étranger, il adressait son 
singulier du (toi). Il pouvait passer toute sa journée à amuser 
les petits enfants, et à se divertir avec eux, et il les imitait 
parfois en respectant peu les convenances. Comme il leur res- 
semblait, à eux et à lui-même, quand il vidait la pelote aux 
aiguilles remplie de tripoli pour en ôter les gros grains, et que, 
s'apercevant qu'il avait mis l'objet hors de service, il restait tout 
confus ainsi qu'un enfant coupable! Ou lorsque, se trouvant dans 
la famille, il demandait qu'on lui servît davantage d'un plat, 
quoiqu'il sût très bien qu'on ne lui en donnerait plus; et qu'alors, 
au grand émoi des convives, il arrachait la terrine des mains 
de la grave et sévère maîtresse de la maison, pour y pêcher les 
raisins secs qui étaient au fond! Mais il fallait le prendre comme 
il était; on ne pouvait lui rien refuser, et personne ne s'offensait 
de ses manières. Son bon cœur compensait surabondamment ce 
qui lui manquait en savoir-vivre, et la gravité froissée finissait 
elle-même par un éclat de rire. Il savait cependant limiter ces 
péchés contre les règles des bonnes manières, partout où il savait 
que ses licences seraient mal vues, — c'est-à-dire partout où il 
follait que le vous réservé reprît sa place ordinaire. Rien de plus 
charmant que ses rapports avec M^"^ Ilansteen, soit qu'il lui 
racontât quel chagrin il éprouvait de voir Crelly se tant fotiguer 
au travail, ou que, arrivé jusqu'à sa porte, il revînt sur ses pas 
de peur de l'importuner. 

A tous les points de vue, et non seulement dans les profondes 
recherches, cette étrange nature primesautière se manifestait avec 
tous ses bons côtés, et quelquefois aussi ses côtés inférieurs. 
Yoilà pourquoi il se sentait tant à l'aise là où il pouvait montrer 



rnoLAM) i;r i,a mout ii'ai!i:i,. 'i2'.) 

son àmc syinpiUliique, cl où il se voyait, coiiinic il lo dil (luohnio 
part, « au milieu do tous les anges. » 



A son arrivée à FroUuKl,Abcl se sentit indisposé, et il avait 
un air maladif. Mais, comme il était toujours très vif, la crainte 
qu'inspirait à ses amis Tétat précaire de sa santé se dissipa bientôt, 
et les sombres soucis des premiers jours iinirent par tomber dans 
l'oubli. 

Il ne se passa, du reste, rien de propre à raviver ces soucis 
avant le 6 janvier. Mais l'événement de ce jour, quoique peu 
significatif en lui-même, s'est fixé dans la mémoire de son entou- 
rage. On raconte, en etTct — ou comme premier signe delà grave 
maladie qui était sur le point de se développer, ou bien comme 
quelque chose d'assez extraordinaire pour qu'on se le rappelât 
encore, en consultant ses souvenirs sur ce qui se passa dans les 
jours immédiatement antérieurs à la catastrophe — on raconte que 
« le 6 janvier, Abel monta, de temps en temps, et plus souvent 
que de coutume, dans sa chambre. » 

C'est ce que raconte, en fixant la date, une des dames qui soi- 
gnèrent alors Abel conjointement avec sa fiancée, c'est-à-dire 
une des deux filles de la famille. 

Et, sans doute, ce ne fut pas à son travail ordinaire qu'il alla 
dans ces heures où il disparut et se réfugia dans sa chambre. Du 
moins ce ne fut pas exclusivement pour de telles raisons qu'il 
chercha la solitude, attendu qu'il ne semble pas qu'Abel revînt 
bien souvent à ses recherches et qu'il pût s'y attarder longtemps. 
Pour lui le travail intellectuel, à dater de ce jour, ne consista en 
autres choses que de se rappeler une ancienne et très courte 
démonstration; ce qui ne put lui présenter aucune difficulté 
l'obligeant à changer ses habitudes. 

Nous avons dit qu'il aimait à travailler au milieu de la famille. 
Là il étudiait et écrivait. Et c'est ce que confirme aussi la dame 
dont nous venons de parler, et qui relève qu'en s'occupant de ses 
études mathématiques, «il les interrompait souvent pour prendre 



230 NIKLS-HENRIK ABKL. — § XV. 

part, avec de gaies plaisanteries, aux conversations et causeries 
de son entourage; rarement il choisissait une chambre séparée 
pour son travail. » 

Quoi qu il en soit, au jour où il ressentit une indisposition plus 
grave, il se passa silencieusement un événement de très haute 
importance pour Thistoire des mathématiques. iAIais, qu'il ait tra- 
vaillé comme autrefois dans la famille et cherché du repos de 
temps en temps, ou que, cette fois, par suite de son malaise, il 
se tînt une grande partie du jour dans sa chambre avec les travaux 
auxquels il se livrait, personne ne soupçonna qu'un fait extraordi- 
naire allait s'accomplir. 

Abel, à cette époque, était constamment occupé de son dernier 
grand mémoire : le Précis, etc.; mémoire qu'il ne lui fut pas 
donné d'achever. Mais, ainsi qu'on le reconnaîtra d'après la date 
(ajoutée évidemment par Grelle) de la note : a Démonstration d'une 
propriété générale d'une certaine ^classe de fonctions transcen- 
dantes », ce même jour (le 6 janvier 4829) Abel donna la 
démonslration de son grand théorème d'addition. Il l'avait bien 
fait déjà dans le Mémoire de Paris; mais il n'avait pas donné 
encore le théorème et la démonstration dans le Journal, où il 
s'était borné, jusqu'à présent, dans ses célèbres Remarques, à 
traiter le cas hyperelliptique. 

Abel interrompit donc soudainement ses travaux réguliers pour 
donner ce théorème général, qu'il avait gardé si longtemps dans 
l'attente d'une publication de son mémoire par l'Académie. Un 
pressentiment, semble-t-il, de ce qui pouvait bien lui arriver le 
poussa à ne plus ajourner la publication dans le Journal de cette 
ancienne découverte. Le théorème en question était la base du 
mémoire oublié, et ce mémoire (à moins qu'il ne vînt de Legendre 
une réponse satisfaisante à sa dernière lettre) devait bien mainte- 
nant être regardé comme une chose perdue, sinon rejetée avec 

» 

honte. 

Cependant cet état d'inquiétude ne Tempecha pas de penser 
une continuation de ses travaux sur les transcendantes « abé- 
liennes ». La possibilité d'un danger prochain le poussait à pren- 



FUOLANI) KT LA MOUT d'aIIKL. 231 

(Iro au plus toi les mesures qui préviendraient la perle de ce (ju'il 
y avait de plus beau et de plus fondamental dans ce qu'il avait 
réussi à découvrir. 

11 ne put combiner innnédiatement, dans l'état de faiblesse 
où il se trouvait, un travail de proportions aussi vastes, et sans 
doute il n'eût mémo pas voulu s'y arrêter, s'il l'avait pu, à un 
moment où il était fortement occupé d'un autre travail, travail 
bien important et de grande étendue, son Précis. Dans cette 
position, il se borna à rédiger ce qui était le plus important, et 
il ne se donna pas môme le temps de parler de ces nombres 
déterminés sur lesquels d'ailleurs il fixait toujours son attention. 
Se contentant de poser la base fondamentale de la tbéorie générale, 
relative aux liautes transcendantes qu'il introduisait, il finit en 
prononçant ces mots remarquables, les derniers de son testament 
scientifique : 

a Je me propose», dit-il, «de développer dans une autre 
occasion de nombreuses applications de ce théorème, qui jetteront 
du jour sur la nature des fonctions transcendantes dont il s'agit.» 

Et Crelle, à qui Abel fit envoyer cette <c Démonstration, etc. » , 
dans une lettre (la dernière qu'il reçut de sa main), Crelle chan- 
gea — et c'était presque son droit, comme on put s'en apercevoir 
— la trop modeste phrase « qui jetteront du jour » en celle-ci : 
(( qui jetteront un fjrand jour » sur la nature de ces fonctions. Ce 
mot «grand» a dû, d'ailleurs, être supprimé dans la nouvelle 
édition, où fut rétablie l'expression plus simple de l'auteur, ex- 
pression par laquelle, à la vérité, il appelait plus fortement 
l'attention sur ce qui est plus essentiel, sur les « nombreuses 
applications ». 



L'état d'inquiétude continua, et Abel, qui eût dû attendre la 
prochaine arrivée à Christiania de la réponse de Legendre, pressa 
son départ autant qu'il put. Il devait, du reste, reprendre, au 
milieu du mois, son cours de mécanique et d'hydrodynamique, 
professé à l'École du Génie, et, un un peu plus tard, ses leçons 



232 NIELS-HENRIK ABF-L. — | XV. 

sur rnstrononiio à TUnivorsité. L'astronomie surtout ne Tinlé- 
ressait guère : les problèmes dont cette science s'occupe n'étaient 
pas sa spécialité, non plus que la rédaction des almanachs, comme 
il venait d'en faire un pour l'année où l'on entrait. Ces cours sur 
des objets qui ne lui étaient pas encore familiers lui prirent beau- 
coup de temps, et cela, à une époque où peut-être il était plus 
que jamais surchargé de grands travaux scientifiques. 



Le 8 janvier, il fut décidé qu'il se mettrait en route pour 
Christiania. Ce jour-là, il était cependant plus indisposé : il se 
plaignait d'un rhume et de frissons dans le dos; en somme, il 
n'était pas comme à son ordinaire. 

Le 9 au matin, tous ses hôtes furent anxieux en le voyant 
cracher du sang. Il avait aussi des accès de toux, d'ailleurs assez 
légers encore. Son voyage fut ajourné, et on envoya chercher de 
suite le médecin cantonal. Celui-ci trouva l'état critique, et pres- 
crivit le repos absolu et des précautions sévères. 

Pendant quelques jours, Abel continua à ressentir des élance- 
ments dans la poitrine; mais peu à peu l'état s'améliora. Après 
deux à trois semaines, il fut considéré comme convalescent, et 
on lui permit même de rester levé quelques instants. Peut-être 
céda-t-on trop ainsi aux désirs du malade, qui aspirait à reprendre 
ses travaux. Tout danger imminent semblait cependant disparu, 
et il était, d'ailleurs, pour lui d'un vif intérêt de pouvoir continuer 
son Précis. Il en avait envoyé, depuis quelque temps, plusieurs 
chapitres, appartenant à une première partie, pour être publiés 
dans le Journal. 

Il restait maintenant hors du lit quelques heures de l'après-midi, 
s'occupant ardemment à écrire (i). 

Son état commença cependant bientôt à s'aggraver. Il ne sup- 
portait plus guère de parler. La toux et l'épuisement s'accroissaient,- 

(ij F.n 1874, on a trouvé un fragment de son Précis, formant la continuation des 
parties publiées dans le Journal de CrcUe. Ce fragment, qui a été ajouté dans la 
nouvelle édition, constituera les additions faites par'Abel à cette époque. 



FUOF,.\Nn KT I.A MOUT d'aBKï,. ^?,^ 

et, npros nno ainélioralion (.runo semaine nu plus, ou plutôt (Fuiio 
dizaine de jours, il dut reprendre le lit, pour no l(^, quitter que 
dans les courts moments que demaiulait Tarrangement de sa 
couche. 

Abel, retombé sur son lit de douleur, ne put se délivrer de ses 
pensées. H s'occupait toujours de ses recherches chéries, mais il 
ne pouvait plus écrire. 11 pressentait certainement, dès lors, son 
impuissance à accomplir les grands plans en vue desquels il avait 
travaillé. Il dut sentir bien vivement la gravité de la perte qu'il 
faisait ou qu il était menacé de subir pour toujours, et celle idée 
devait Taccabler d'autant plus, qu'il lui fallait dès lors garder 
pour lui seul ses pensées. Par la négligence de hauts person- 
nages, les grands fruits de ses efforts lui avaient été ravis, et il 
avait été témoin du partage de sa propriété, partage qu'avait 
fortement favorisé la situation touchant presque à la niisère dans 
laquelle il s'était trouvé au retour de l'étranger. 

Ainsi plongé, par moment, dans un état moral bien sombre, 
il jetait aussi des regards en arrière sur la « pitoyable vie qu'il 
avait dû mener», et il se plaignait amèrement de l'insouciance, 
ou môme de l'injustice, auxquelles il avait été exposé par ceux 
qui, placés au sommet de la société, avaient eu à décider de son 
sort. 

Il conserva toujours son amitié pour Holmboe. L'entrée de 
celui-ci à l'Université avait bien fermé sa propre carrière. Mais 
Abel sentait généreusement; et Holmboe (à ce qu'on dit) n'aurait 
pas voulu accepter de place, au préjudice de son jeune élève, 
s'il n'eût su d'avance qu'un tel sacritice de sa part aurait été 
inutile. Ce fut aussi Holmboe qui, plus que tous les autres et avec 
beaucoup d'empressement, lui vint en aide dans maints embarras. 
Et néanmoins, après tant de grands malheurs et de grands succès, 
il était impossible qu'Abel ne pensât point qu'il avait été roiiimis 
une injustice à son égard. H put donc arriver que, [)ar un léger 
sourire, il laissât entrevoir combien le sort avait été étrange ici-bas 
dans la distribution des rôles. 

D'ailleurs, il serait assez naturel qu'une certaine gcnc se fût 



234 NIELS-HENRIK ADEL. — | XV. 

introduite dans les rapports qu'Abel, d endette jusqu'aux oreilles», 
et obligé de renouveler sans cesse ses demandes d'argent, conser- 
vait avec bon nombre de ses anciens camarades. Rien d'étonnant 
même à ce que cette gêne ait fini par se glisser entre lui et 
Holmboe, qui avait eu à supporter tant de charges, semblables 
aux obligations qu'Aboi avait envers ses parents pauvres. Très 
caractéristique est, à cet égard, un passage d'une lettre écrite, en 
septembre, à M°^° Ilansteen, qui se trouvait alors à Copenhague. 
«Je vous assure», y dit Abel — en exposant à quel point il 
vivait solitaire, dbien trop solitaire» — , «je vous assure que je 
ne fi'équente, à la lettre, pas une seule personne. » 

Pendant sa maladie, il s'entretint souvent avec les amis qui 
entouraient sa couche, de l'extrême pauvreté dans laquelle il 
avait dû vivre une grande partie de sa vie. Comme nous le savons, 
en effet, pendant plusieurs années de sa première jeunesse, il 
n'avait eu d'autre ressource que la charité des quelques personnes 
qui, lorsqu'il eut subi médiocrement son examen d'entrée à 
l'Université, se cotisèrent pour lui permettre de continuer ses 
études. Ses protecteurs pensaient bien qu'il ferait tous ses efforts 
pour avancer dans la carrière académique, ainsi que le font les 
autres étudiants qui aspirent à devenir quelque chose ou à s'assu- 
rer un avenir. Plus tard — sans parler de Holmboe — des 
hommes comme Rasmussen et Hansteen lui vinrent encore en aide; 
bien que le premier se soit opposé, dans la suite, à la demande 
qu'Abel fit d'une bourse de voyage, déclarant que le jeune homme 
(c aurait auparavant dû passer un examen » . 

Vers la fin de cette première période, en 1823, alors qu'Abel 
avait déjà jeté les fondements de sa découverte des fonctions 
ft inverses des transcendantes elliptiques », Rasmussen lui fournit 
généreusement, de sa propre bourse, les fonds qu'il fallait pour 
un voyage d'étude à Copenhague. Quant à Hansteen, voyant le 
misérable état de sa garde-robe, il lui donna (c deux habillements 
complets». 

A partir de cette époque, et pendant deux ou trois ans, Abil 
mena une vie plus douce. C'est le temps où il reçut une subvention 



FHOKAM) KT I.A MOUT d'aIU'I.. 235 

tic TKlal, ol où il passa sa proinicrc année à rétranger. Mais 
bicntùt los jours d'épreuve revinrent, et plus durs que jamais. Vers 
la fin de son séjour ù Paris, puis tant qu il resta à ï)Crlin pour la 
seconde fois, et pendant le temps d'abandon qui no finit qu'après 
son retour dans sa patrie, il se trouva souvent dans les plus 
graves embarras, ne se procurant de l'argent qu'avec la plus 
grande difliculté. Ajoutons, d'ailleurs, qu'il lui en fallait aussi 
pour donner une légère assistance à ses parents dont la situation 
était plus malbeureuse encore que la sienne ('). 

Lorsque Abel faisait des retours sur toutes les tristesses de sa 
vie, il advint souvent que sa fiancée, émue d'une douleur profonde 
et ne pouvant supporter de l'entendre réveiller tant de sombres 
souvenirs, se retira pour être seule quelque temps. Les deux 
sœurs de la maison, Hannah et iMario (celle-ci était l'aînée), 
se voyaient alors obligées de donner presque tous les soins a 
malade, et se partageaient cette charge douloureuse. 

Abel plaignait profondément sa fiancée bien-aimée; il sentait 
quelle part de responsabilité lui incombait dans le grand malheur 
qui allait les frapper, elle et lui; et ne cessait de s'adresser des 
reproches dans leurs entretiens intimes. Il se proposait de faire 
telle ou telle chose dans le cas où il reviendrait à la santé : il 
devait commencer une vie nouvelle; et il s'accusait d'être la cause 
des douleurs que sa fiancée allait éprouver. 

Reconnaissons- le, en effet, sans trop le regretter — car il y 
avait un lien intime entre le génie d'Abel et son infortune — il 
fut, en partie, l'auteur de ses propres souffrances. Quand ses 
camarades ne voulurent pas le laisser seul, dans l'état de tristesse 
où il se trouvait au printemps de 1826, il se laissa entraîner par 
eux de Berlin à Dresde, de Dresde à Vienne, et, plus loin encore, 
de Vienne en Italie. Alors que ses ressources étaient épuisées et 



(^) Il avait, entre autres parents, un frère plus jeune que lui, auquel il fournissait 
les moyens de continuer ses études à l'Université. Quand Abel mourui, ce frère dut 
s'adresser à Holmboe pour avoir de quoi quitter Christiania et prendre une place de 
précepteur. Mieux placé que le reste do la famille, il put continuer dans la suite ses 
éludes, et il suivit la carrière ecclésiastique comme son père et son grand-père. 



230 NIELS-HENRIK ABRL. — | XV. 

que son avenir était devenu plus qu'incertain, bien qu'appartenant 
à une famille malheureuse, ruinée, dispersée, il ne sut résister à 
la tentation de l'aire à Paris de grands achats de livres. Quelque- 
fois enfin et plus souvent qu'il n'était raisonnable pour un homme 
dont la situation était aussi précaire, il alla, sans trop calculer, 
après des études prolongées, chercher un délassement (dont il 
avait peut-être besoin pour se tenir en haleine) dans les théâtres 
de Paris ou d'Allemagne. 

Malheureusement, il ne pouvait faire ces dépenses qu'en recou- 
rant de plus en plus aux emprunts. 

En somme, bien qu'Abel — au dire de ses camarades — ne se 
montrât pas ordinairement prodigue, il commit une série d'im- 
prudences qui finirent par le jeter dans des embarras dont il ne 
devait plus se tirer. Alors, il se laissa aller à ses inspirations, 
sans se soucier des conséquences ! 



Au reste, Abel n'était pas généralement triste. Ce n'était que 
par moments qu'il était sombre. Son caractère était doux et patient. 
Il plaisantait encore, vivement et aimablement, comme autrefois, 
avec ses amis attristés. Sa chambre de malade était le lieu où se 
réunissaient tous ceux qui s'entr'aidaient pour le mieux soigner. 

Pour consoler sa fiancée et lui faire plaisir, il l'entretenait 
volontiers de l'heureuse vie qu'ils allaient bientôt mener ensemble 
à Berlin. 11 discutait aussi avec elle tous les détails de leur futur 
emménagement. Les renseignements qu'il recevait alors lui 
permettaient, en effet, d'espérer qu'il obtiendrait une place à 
rUniversité de Berlin. 

Quand il songeait à cette ville ou à son séjour en Allemagne, il 
parlait souvent de Crelle, de ce mathématicien de Berlin qui fut 
son traducteur, et avec lequel il avait entretenu une correspon- 
dance si suivie. C'était pour ce dernier qu'il avait fait coudre par 
les dames do son entourage ces petits cahiers du papier le plus 
mince, sur lesquels on le vit souvent écrire avec la plus grande 
attention et de son écriture la plus menue. Il parlait également 



FUOI.AM) ET I.A MOUT D'AIIKL. 237 

d'un proresseur du nom do Jacobi, qu'il avait (') rcnconirc à 
Paris, cl (jui TavaiL inlérossé vivement connue clant « h; .seul 
qui le conqirît. » 

Au contraire, le nom de Lcgcndre n'est pas de ceux que les 
intimes dont Abel fut cnlour.; à son lit de mort se rappellent 
avoir entendu prononcer par lui. Néanmoins, il dut recevoir, 
pendant sa dernière maladie, la très aimable lettre du vieux 
mathématicien, pour lequel il avait conservé beaucoup de respect 
et d'alFection, bien que son entourage n'en ait gardé aucun 
souvenir. Il semble qu Abel ait voulu taire son insuccès à Paris, 
insuccès qu'il ressentait comme un allront à son honneur de 
savant. C'est ce qui explique peut-être qu'il n'ait pas mentionné 
fréquemment le nom de Legendre. 

Quoi qu'il en soit, Abel, malgré son silence, était fort préoccupé 
du sort de son Mémoire (de 182G). Sans doute, il avait effleuré 
cette question délicate dans la lettre, malheureusement perdue, 
qu'il écrivit le 3 octobre et qui paraît avoir présenté un grand 
intérêt historique et scientifique. Gomme dans sa réponse, si 
flatteuse d'ailleurs, Legendre ne lui fournit aucun renseignement 
sur ce point, il y revint dans une nouvelle lettre du 25 novembre, 
c'est-à-dire peu après son départ pour Froland. 

Dans cette lettre, pleine des renseignements les plus précieux 
sur ses travaux, il appelait l'attention de Legendre sur (c un petit 
Mémoire, inséré dans le ^'^ cahier du tome III du Journal de 
Crelley>. Or, il était question dans une note de cet opuscule (les 
célèbres Remarques, etc.) d'un « Mémoire présenté à l'Académie 
royale de Paris, vers la fin de l'année 1826. y> 

La nouvelle réponse de Legendre dut être attendue par Abel, 
dont l'état empirait de jour en jour, avec une impatience aussi 
légitime que vive : d'une part, on s'occupait sans doute à Paris 
de son Mémoire trop longtemps négligé; de l'autre, il gardait un 
secret qu'il ne pouvait révéler qu'après avoir reçu les renseigne- 
ments qu'il attendait. 

(^) D'après la légende. 



238 NIELS-HENRIK ABEL. — | XV. 

La lettre de Legondro, si chaude et si bonne, parvint-elle à 
Abcl? On n'en peut douter, bien quelle fût adressée à Christiania, 
et que Ton n'ait pas la preuve directe que le destinataire Tait 
reçue. Datée du 10 janvier (1829), elle mit bien un mois pour 
arriver à Froland. Elle dut, en effet, passer par Christiania; puis, 
après un retard, plus ou moins long, aller à Arendal. De là, 
elle ne put partir que par occasion; car la poste s'arrêtait à 
l'usine de cette ville maritime. On avait l'habitude à Froland 
d'envoyer chercher les lettres par un jeune garçon qui faisait ce 
long chemin. 

Ce n'est donc que quelques semaines après sa rechute qu'Abel 
a pu recevoir la lettre de Legendre, non moins honorable pour 
l'un que pour l'autre. Quand elle arriva, après de longs détours, 
les forces du malade étaient déjà bien diminuées; il ne lui restait 
guère qu'un mois et demi à vivre; et, moins qu'auparavant, il 
ne lui était possible de parler et de s'expliquer longuement. 

Dans sa lettre si affectueuse (comme nous l'avons déjà dit), 
Legendre lui apprenait qu'il savait par une lettre de Humboldt 
qu'Abel serait appelé, comme professeur, avec Jacobi, à l'Univer- 
sité de Berlin. Mais il ne fournissait aucun renseignement sur le 
Mémoire. Évidemnaent Legendre n'avait pas compris l'allusion 
que renfermait la lettre d'Abel. 

Aussi regardons-nous comme bien difficile de deviner ce qui 
dut faire l'impression la plus forte sur Abel dans cette circon- 
stance. Ce fut-il les nobles paroles de Legendre, exprimant pour 
lui, jeune homme, la plus haute admiration, et s'intéressant 
activement à son avenir? Fut-ce au contraire l'assurance (confir- 
mée d'ailleurs par Crelle) d'être appelé à l'Université de Berlin, 
en même temps que Jacobi (le confident de ses grandes décou- 
vertes), mais de l'être au moment où il ne pouvait presque plus 
espérer de jouir des avantages qu'on lui offrait si tard? Ou bien, 
fut-ce de voir qu'après deux ans et demi de tentatives réitérées 
et d'attente, il n'était plus question de son plus beau travail, dont 
il était si fier, et qui était perdu pour toujours? 

Cette dernière alternative semble la vraie, d'après le récit d'une 



rnOI AND KT LA MOUT I)"AIîEL. 2.'59 

des diniics qui soignèrent Abcl.— « Du jour », racontc-t-clle, « où 
nous entendîmes qifil allait être nommé à TUniversité de Berlin, 
nous le vîmes dé[)6rir sensiblement, et ses plaisanteries, naguère 
si vives, cessèrent |x>ur toujours. » 

Legondre n avait donc pas compris Tallusion si délicate d'Aboi ! 
Il n'avait pas sufTisamment remarqué la note sur laquelle son 
attention devait se fixer; et tant d'elForls multipliés aboutissaient, 
non à la délivrance du Mémoire captif, mais à la manifestation 
d'une admiration profonde ! 

Toutefois, le résultat qu'Abel poursuivait fut atteint; mais 
indirectement, et sans qu'il ait pu le soupçonner ou seulement 
l'espérer. En effet, dans une lettre datée du 9 février, Legendre 
parla à Jacobi des communications fort intéressantes qu'il avait 
reçues d'Abel, et qui contenaient une si large généralisation de la 
belle intégrale d'Euler. Il attira plus spécialement son attention 
sur cette matière, en citant le « 4-^ cahier du tome III du Journal 
de Crellc, page 313». C'est alors que Jacobi, dans sa lettre du 
14 mars, jeta le cri d'alarme, et que les yeux du vieux Legendre 
s'ouvrirent. 

Mais jamais Abel n'a pu connaître ce fait, si heureux pour lui : 
il devait mourir sans en rien savoir et en gardant son secret. 



A partir de ce moment, Abel perdit de plus en plus l'espérance 
de recouvrer la santé. Par moment, toutefois, il ne voulait pas 
croire à une fin fatale de sa maladie. Et son médecin le confirmait 
dans ses illusions, pour ne pas lui enlever tout espoir. 

Mais le travail de sa pensée ne s'arrêtait jamais. Son cerveau 
surexcité ne pouvait retrouver le repos dont il avait tant besoin. 
Il semble qu'il pensait à sa gloire perdue, et qu'il avait hâte de la 
reconquérir. 

Quinze jours avant sa mort, il dit à une des sœurs qui le 
soignaient, à Ilannah, dont le mari était marin : « Si j'avais le 
bonheur de vivre encore un mois, je deviendrais immortel aux 
yeux de ton mari et de tous les marins. » Il essaya ensuite 



240 MELS-HI'NRIK AI5KL. — | XV. 

d'expliquer en quoi consistai sa découverte. iMais llannah — non 
plus que les autres personnes de son entourage — ne put le com- 
prendre. Doucement, il en exprima sa surprise. Et, comme on 
voyait combien ses pensées Tobsédaient, on sY'llbrça de le distraire 
et de changer le cours de ses idées. 

Ainsi qu il arrive si souvent aux phthisiques, il se persuada de 
temps en temps, jusqu'à Theure suprême, que sa maladie n'était 
pas mortelle. 

Souvent il restait immobile, pressant ses doigts amaigris, et, 
quand le symptôme fatal, avec le dépérissement général, vint se 
montrer, il s écria quelques jours avant sa mort : « Regardez donc, 
ce n'est pas vrai ce qu on a dit à Paris! Je n'ai pas la phthisie. » 

A l'approche du printemps, ses forces étaient épuisées, et sa 
fin approchait rapidement. Il allait être séparé de ses projets au 
moment où toutes les fatalités qui l'avaient poursuivi étaient sur- 
montées et qu'un avenir meilleur semblait prochain. Et celle avec 
qui il avait espéré « vivre si heureux », lorsque le moment du 
bonheur allait luire, après avoir tant lutté dans l'espoir si court de 
jours meilleurs, se trouvait de nouveau abandonnée, après avoir jeté 
un coup d'œil fugitif sur un riant avenir. Enfin vint l'heure de la 
délivrance. L'agonie de la dernière nuit fut violente; vers le matin 
elle s apaisa. Christine fut infatigable! Des bras secourablcs en- 
tourèrent le mourant — tant qu'il resta quelque souffle de vie — 
pour le maintenir commodément sur sa couche; puis apparut la 
froide sueur de la mort. Alors Christine repoussa presque brus- 
quement Marie, qui accourait en toute hâte à son aide. — Elle 
voulait se réserver à elle seule ses derniers moments. 



Le G avril 1829 fut le jour de la mort d'Abcl; à onze heures 
du matin, il rendit le dernier soupir, tranquillement et en paix. 
Il avait alors vingt-six ans et demi. 

Huit jours après, le lA avril, il fut inhumé près de l'église de 
Froland, dans le lieu de sépulture, non enclos encore, de la 
famille Smith. 



rnoiwVNi) i:t i.a .moi t irAFtiii,. ^H 

Des villes et des villaj^es d'alentour, on accourut en Ibulc à la 
maison mortuaire, pour raccompagner à sa dernière demeure. Le 
bruit de sa mort se répandit au loin. Dans ces pays, d'où était 
issue sa famille, et où il était connu de[)uis le temps où il gran- 
dissait au presbytère de Gjerrestad, et où il visitait h ville de 
Uisùr, le fameux Niels-IIenrik avait laissé plus d'un souvenir; et 
les paysans et les babitants des villes se transportèrent de plusieurs 
lieues, pour lui rendre à l'usine de Froland les derniers devoirs. 

Mais dur comme sa vie fut le jour où le long cortège se rendit 
ù l'église. L'biver recommença ses rigueurs, un affreux tourbillon 
de neige se déchaîna avec furie. 

On ne s'apercevait guère, cependant, de la perte que la patrie 
venait de faire. Le conseil de l'Université fut informé du décès, 
et sans aucun doute cette nouvelle toucha vivement plus d'un de 
ceux qui étaient le plus attachés au mort et à l'Université. Mais 
aucune marque de sympathie portant un caractère général ne 
se manifesta. Aucun journal ne consacra une mention à cet 
événement. Une lettre d'annonce, à laquelle peu de gens firent 
attention, et qui fut bientôt oubliée, informa ses parents et amis 
qu'il n'était plus. 

Mais la nouvelle de la perte que venait de subir la science se 
répandit au delà de nos frontières. Holmboe, naturellement, en 
informa Grelle aussitôt que possible, et le 20 mai la réponse de 
celui-ci parvint à Christiania. Par l'intermédiaire du professeur 
Maschmann, Crellc avait déjà appris le fatal événement, et il 
s'était rendu en toute hâte au ministère de l'instruction publique 
pour lui en donner communication. La nomination à Berlin 
n'était pas encore ofïiciellement expédiée. Grelle avait alors posé 
à Abel la question de son acceptation définitive; mais la lettre 
ne parvint à sa destination que quelques jours après la mort 
d'Abel. Une annonce du décès, suivie de quelques brefs commen- 
taires, parut aussi à l'étranger, et par là le bruit de sa perte 
se répandit vite dans le monde mathématique, d'abord en Alle- 
magne, et quelque temps après en France. Un nécrologe plus 
étendu, destiné à l'insertion dans les journaux allemands et 

16 



242 NIELS-HENFUK ADEL. — § XV. 

français, fut en môme temps préparé par Grellc ; mais les matériaux 
(le ce travail devaient être préalablement recueillis à Christiania. 

Déjà, le 42 mai, Schumacher écrivait à Gauss : a Vous avez 
sans doute vu dans les journaux la mort d'Abel. Lcgendre a publié 
un second Supplément, dans la préface duquel il parle d'Abel de 
manière à faire croire qu'il le met au-dessous de Jacobi. Je sais 
de vous que c'est précisément le contraire qu'il faut croire. » 

Le 19 mai, Gauss répondit : a: La mort d'Abel, que je n'ai vue 
annoncée dans aucun journal, est une bien grande perte pour la 
science. Si par hasard on imprimait ou devait imprimer quelque 
chose touchant les circonstances de la vie de cette tête éminem- 
ment distinguée, et que cela tombât entre vos mains, je vous prie 
instamment de me le communiquer. Je désirerais aussi avoir son 
portrait, s'il est possible de se le procurer. Humboldt, avec qui 
j'ai parlé de lui, avait le désir marqué de faire tout pour l'attirer 
à Berlin. » 

Un peu plus tard encore, le 23 mai, Jacobi envoya à Legendre 
un exemplaire de ses Fundamenla nova, qui venaient de paraître; 
mais dans la lettre qui accompagne cet envoi, il ne dit rien qui 
fasse soupçonner qu'il connût la mort ou même la maladie mor- 
telle d'Abel. Chose singulière d'ailleurs! pour la première fois, ce 
nom, qui revenait toujours et toujours sous sa plume, et qui se 
trouve dans toutes ses lettres, sans aucune exception, depuis celle 
du 12 janvier de l'année précédente, ce nom ne paraît nulle part 
ici. Et cela à l'occasion de cette œuvre fondamentale qu'il avait 
commencée et finie à l'époque où ses pensées étaient toujours 
fixées sur les recherches d'Abel. — Toutefois, nous retrouverons 
Jacobi dans une autre occasion. 

Dans sa réponse du A juin, Legendre adresse ses remercîments 
pour l'envoi de l'exemplaire, et ajoute à la fin le posl-scriptum 
suivant : «En fermant cette lettre, je viens d'apprendre avec une 
profonde douleur que votre digne M. Abel est mort à Christiania 
des suites d'une maladie de poitrine, dont il était affecté depuis 
quelque temps, et qui a été aggravée par les rigueurs de l'hiver. 
C'est une perte qui sera vivement sentie de tous ceux qui sinté- 



FROLAND RT I,A MOnT u'Ar.nL. 243 

ressent aux proj^rôs de rniiMlyso malhomaliquc, considérée dans 
ce quelle a de plus élevé. Au reste, dans le court espace de 
temps qu'il a vécu, il a élevé un monument qui sudira pour 
rendre sa mémoire durable et donner imc idée de ce qu'on 
aurait pu attendre de son génie, ni fala obsletissent. » — Dans 
ces derniers mots, on peut voir, pour ainsi dire, le premier germe 
de Texclamation bien connue, proférée dans une lettre à Grelle, 
au sujet du théorème d'Abel : Moniimentiim œre pcrenniiis! Et 
en mémoire de Legendre, ces mots furent, après sa mort, insérés 
dans le Journal, comme fac-similé de son écriture. 

Le l^ juin, c'est Jacobi qui prend la parole. «Peu de jours 
après l'envoi de ma dernière lettre», dit-il, «j'appris la triste 
nouvelle de la mort d'Abel. Notre gouvernement l'avait appelé à 
Berlin, mais l'appel ne l'a pas trouvé parmi les vivants. L'espérance 
que j'avais conçue de le trouver à Berlin a été ainsi cruellement 
déçue! Les vastes problèmes qu'il s'était proposés, d'établir des 
critères suffisants et nécessaires pour qu'une équation algébrique 
quelconque soit résoluble, pour qu'une intégrale quelconque puisse 
être exprimée en quantités Unies (*), son invention admirable de la 
propriété générale qui embrasse toutes les fonctions qui sont des 
intégrales de fonctions algébriques quelconques, etc., etc. (-), 
marquent un genre de questions tout à fait particulières, et que 
personne avant lui n'avait osé imaginer. Il s'en est allé, mais 
il a laissé un grand exemple. » 

Peu de temps après, le 50 juillet, Grelle, ayant reçu de 
Holmboe quelques renseignements biographiques, date de ce 
jour son nécrologe d'Abel, dont nous allons donner quelques 
passages (^). 

«Tous les travaux de M. Abel portent l'empreinte d'une 

(ij II s'agit ici du mémoire de Freiberg, car le commencement du « Précis, etc. » 
d'Abel n'avait été publié à Berlin que quatre jours auparavant. 

(^) Dans ce double etc., etc., doit être comprise la création des fonctions ellipti- 
ques et tout ce qui s'y rapporte. Cela ne se trouve pas annoncé parmi les découvertes 
spécialement énumérées. 

(3) D'après une lettre de Grelle à Holmboe, datée du 10 mai, Grelle avait appris la 
mort d'Abel quelques jours plus tôt par le professeur Mascbmann. 



244 NIELS-HENRIK AHKL. — | XV. 

sagacité et d'une force de tête extraordinaires et souvent vraiment 
étonnantes, même sans considérer h\ jeunesse de Fauteur. H 
pénétrait, pour ainsi dire, souvent jusqu'au fond des choses, 
avec une force qui semblait irrésistible, les saisissait avec une 
énergie si extraordinaire, il les prenait de si haut et s'élevait telle- 
ment au-dessus de leur état actuel, que les difficultés semblaient 

s'évanouir devant la puissance victorieuse de son génie 

Mais ce ne sont pas les grands talents seuls de M. Abel », 
dit-il en terminant, « qui le rendaient si respectable et qui feront 
toujours regretter sa perte. 11 était également distingué par la 
pureté et la noblesse de son caractère, et par une rare modestie, 
qui le rendait aussi aimable que son génie était extraordinaire. 
La jalousie du mérite d'autrui lui était tout à fait étrangère. Il 
était bien éloigné de cette avidité d'argent et de titres, ou même 
de renommée, qui porte souvent à abuser de la science, en en 
faisant un moyen de parvenir. Il appréciait trop bien la valeur 
des vérités subliujes qu'il cherchait, pour les mettre à un prix si 
bas. Il trouvait la récompense de ses efforts dans leur résultat 
même. Il se réjouissait presque également d'une nouvelle décou- 
verte, soit qu'elle eût été faite par lui ou par un autre. Les 
moyens de se faire valoir lui étaient inconnus : il ne faisait rien 
pour lui-même, mais tout pour sa science chérie. Tout ce qui a 
été fait pour lui provient uniquement de ses amis, sans la 
moindre coopération de sa part. Peut-être une telle insouciance est- 
elle un peu déplacée dans le monde. Il a sacrifié sa vie pour la 
science, sans songer à sa propre conservation. Mais personne ne 
dira qu'un tel sacrifice soit moins digne et moins généreux que 
celui qu'on fait pour tout autre grand et noble objet, et auquel 
on n'hésite pas d'accorder les plus grands honneurs. Gloire donc 
à la mémoire de cet homme également distingué par les talents 
les plus extraordinaires et la pureté de son caractère, d'un de ces 
êtres rares que la nature produit à peine une fois dans un 
siècle! » 

Ce nécrologe de Crelle ne fut pas seulement inséré dans son 
Journal mathématique; il chercha à lui donner la plus grande 



l)ul)licito possible, c( pour (|U(! lii nMioininéo li()iioral)lc j), écril-il 
à Ilolinlioo, (( ([\w le (léfunt aurait conquise sans aucun doute, 
s'il avait vécu plus longtemps, lui revienne après sa n)oit. » 
llolinhoe, dans la mémo pensée, ivdiii,ea une bioj^^rapliie \\n [uni 
[)lus complète pour le Magazin for Naliirvidenska/jerne. Les 
a[)prcciations de Crelle lurent reproduites en môme temps dans 
les journaux norvégiens, afin qu'elles parvinssent à la connais- 
sance générale de tous les habitants de notre pays. 

Il est inutile de reproduire ici ce que Ilolmboe a écrit; cela 
coïncide pour tout ce qui est essentiel, avec ce qu'il dit dans 
Tavant-propos des Œuvres complètes , publiées en 1839, aux 
frais de TÉtat. Il est cependant d'un intérêt particulier pour notre 
récit de mentionner les paroles touchantes, ajoutées par Boeck 
au tableau présenté par Holmboe de la vie et de Toeuvre du 
mathématicien que nous venions de perdre. Nous allons repro- 
duire la fin de ces additions. 

« A mon retour de Tétranger, en 18ii8, je le trouvai très 
découragé; mais après le départ du professeur Hansteen il le 
fut encore davantage. La perspective d'un emploi à Berlin, que 
lui avaient fait entrevoir les lettres de Crelle, ne lui rendit pas 
son courage, comme on s'y serait attendu — bien qu'il en fût 
très content, surtout à cause de sa position de fiancé à une jeune 
fille, pour laquelle il avait une aftection plus tendre qu'il ne voulait 
le laisser voir à la plupart de ses connaissances. Il lui coûtait 
beaucoup d'être forcé de quitter la Norvège. Maintes fois, en. me 
parlant de sa position future, il disait qu'il était terrible de se 
reléguer ainsi soi-même, d'errer à l'étranger, peut-être pour ne 
jamais revoir sa patrie. Quand il parlait de ce sujet, il était 
toujours ému ; il ne pouvait dissimuler la douleur de ne pouvoir 
dans son pays travailler pour sa science. Aussi y avait-il des 
moments où il était décidé à repousser toute proposition do 
l'étranger, quoiqu'il vît bien l'incertitude de sa position s'il 
restait. Il savait qu'au retour de Hansteen, il se trouverait sans 
ressources et sans espoir d'obtenir des émoluments fixes. Il 
n'attendait nullement, de Li part de l'Université, qu'elle se 



24G MELS-HENRIK ABEL. — | XV. 

montrât plus énergique, et qu'elle fît pour lui des démarches plus 
décisives, — et une telle crainte n était-elle pas trop fondée? — 
N'avait-on pas dit qu'on était embarrassé d'Abel, qu'il était 
ou qu'il serait plus tard une charge pour l'Université? Et puis il 
lui manquait l'examen d'état. Tandis que les hommes de science 
les plus illustres se répandaient en éloges sur ses travaux de 
génie, ses découvertes et ses mérites scientifiques; tandis qu'une 
Université étrangère, une des plus célèbres de toute l'Europe, con- 
sidérait comme un honneur de le compter parmi ses professeurs, et 
qu'un État étranger voulait pourvoir plus largement à son bonheur 
temporel, en lui assurant une position honorable, — il a trouvé dans 
sa patrie à peine la reconnaissance de ses talents et pas le moindre 
encouragement. Tout cela était bien fait pour abattre ses espé- 
rances et son courage. Dans de telles circonstances, il ne trouva 
que dans ses études et dans son activité les moyens de s'assurer un 
avenir plus doux. Par ses travaux, il dut chercher à mainlenir et 
accroître l'estime et la réputation qu'il s'était acquises, et qui 
déjà lui avaient ouvert des perspectives plus riantes. Mais ses efforts 
ont contribué à sa mort prématurée. Il prenait peu de repos, il 
cherchait peu les distractions; des études excessives ébranlèrent 
son système nerveux; une immobilité continue exerça une 
influence funeste sur sa poitrine; il suffit d'un seul choc, et il 
succomba. Son désir que le pays de ses pères recouvrît sa pous- 
sière a été exaucé. Maintenant ses soucis sont terminés, il n'est 
pas allé chercher son pain sur la terre étrangère, mais la Norvège 
a perdu son fils ! 

» Sa mémoire vit dans le tendre souvenir de ses amis; la pos- 
térité prononcera son nom avec respect; l'homme du Nord sera 
fier du compatriote qui n'est plus ! » 

Ces publications en l'honneur d'Abel ne furent pas sans 
influence, ni ici, ni à l'étranger. Nous ignorons quels rapports 
elles eurent avec les plaintes portées contre l'Académie des 
Sciences de Paris, qui laissa passer encore bien des années avant 
de faire imprimer le mémoire de Paris; mais, en tout cas, elles 
contribuèrent à diriger l'attention sur Abel et sur son œuvre. 



FROLAND KT LA MORT d'ABEL. 2M 

L'année suivante, en IcS.'lO, rAcadémic partagea ('gaiement le 
grand prix de 3000 francs, pour les sciences mathématiques, 
entre Jacobi et les héritiers d'Abel (^). C'était une marque excep- 
tionnelle d'approbation des résultats des travaux des deux mathé- 
maticiens. 

Mais chez nous aussi il se produisit un peu de mouvement dans 
les esprits. Le grand honneur qu Abel venait de recevoir, joint 
aux paroles de Boeck, produisit un effet considérable. Une plainte 
parut dans nos journaux contre le Sénat de l'Université, et celui-ci 
eut à défendre sa conduite. De bonne heure, l'Université avait pris 
ouvertement et avec vigueur les intérêts d'Abel, et tout le monde 
le reconnaissait volontiers; mais on ne peut nier que, dans les 
derniers temps, elle eût faibli. 

Nous ne nous arrêterons cependant pas plus longtemps à ces 
discussions. Une intervention trop faible et trop tardive apparaît 
plus d'une fois dans l'histoire d'Abel. Le sombre (( trop tard » 
résonne aussi des hauteurs extrêmes de la société, dans ces paroles 
du comte v. Platen au prince Oscar : « Le savant Abel a terminé 
sa carrière, juste au moment où j'espérais pouvoir répondre aux 
désirs, si encourageants pour lui, de votre Altesse Royale. » 



Nous allons, en finissant, retourner encore une fois à Froland. 

C'est Keilhau que nous introduirons pour envoyer les derniers 
adieux à la tombe d'Abel. 

Quelques années s'étaient écoulées. Keilhau avait entrepris un 
voyage dans le village, — et il était allé visiter le cimetière. 

La vue de cette sépulture, sans clôture et sans pierre tumulaire, 
pour abriter un si grand nom, «le révolta». Il écrivit alors à 
Hansteen et à Boeck, en exhortant les amis du défunt à s'entendre 
pour élever à la mémoire d'Abel un modeste monument. Smith, 
conjointement avec un pharmacien d'Arendal, avait déjà formé le 
projet d'en élever un de son propre chef; mais Keilhau trouva 

(*j Les loOO francs furent acceptés avec reconnaissance par la très pauvre famille, 
qui se composait de la mère, de la sœur et des cinq frères du mathématicien défunt. 



2^lS mrls-henhik arrl. — | xv. 

blessant que cet honneur fût rendu par des étrangers. Il ne doutait 
nullement que, par une souscription générale, il fût possible 
d'obtenir une somme considérable, d'autant plus quà ce moment 
le Storthing était réuni ; mais un tel recours au public, pour se 
procurer « des dons forcés et faits de mauvaise grâce » , lui sembla 
odieux, et «du moins, dans sa tombe » , dit-il, ce notre ami ne men- 
diera pas! » 

Aussi ne fut-il pas question d'un pompeux mausolée. Cela n'eût 
pas concordé avec les sentiments du défunt. Rien que l'aspect 
des lieux et les modestes environs auraient contrasté péniblement 
avec un monument d'apparat. 

((Le cimetière», ajoute Keilhau, en donnant une description 
pittoresque du lieu où repose l'illustre mort, <( le cimetière, qui 
d'ailleurs, à l'exception de la famille Smith, ne reçoit d'autres 
morts que les habitants natifs de la paroisse de la vallée, entoure 
la simple église succursale, située sur une colline, à un détour 
du Nidelven. Sur les falaises, en remontant la rivière, on aperçoit, 
çà et là, quelques fermes. Du reste le pays est une contrée sauvage, 
presque uniquement couverte de sombres forêts de sapin, et tout 
à fait dépourvue de l'aspect imposant propre à nos grandes vallées. 
Pourtant c'est là justement que notre ami a trouvé un dernier asile 
si touchant. Cet asile sera rarement visité par un digne apprécia- 
teur de son génie ; mais cela pourra bien arriver parfois dans le 
cours des années, et alors ce sera lui qu'on viendra visiter. Que 
ce voyageur trouve alors un signe sûr et impérissable, au but de 
son pèlerinage! y> 

Les amis et les protecteurs du défunt se cotisèrent donc pour 
lui élever un monument de souvenir et d'immortalité. Il y avait 
en tout huit souscripteurs: Treschow, M'""^ Hansteen, Schjelderup, 
Holmboe, Rasmussen, Hjort, Boeck et Keilhau. Le tombeau de 
Kôrner fut pris pour modèle. La fonte fut coulée à l'usine de 
Froland, et l'emplacement entouré d'une grille. 

A l'église succursale de Froland, au milieu de ces sombres et 
sauvages forêts, s'élève maintenant un monument de fer qui peut 
défier les années. Quelque pèlerin saura en trouver l'endroit! 



^FFBNDIOB 



I 



A P P K N D I O E 



I. 

Le départ de Dresde. — Séjour à Prague et à Vienne. 

Cest à Dresde que pour la dernière fois « les jeunes savants 
voyageurs » se trouvèrent tous ensemble réunis. Abel et Keilhau 
venaient de Freiberg, accompagnés aussi par MôUer. Huit jours 
après arrivèrent Boeck et Tank. 

Mais la prolongation de cette réunion ne pouvait guère à la 
longue se concilier avec les intérêts différents des voyageurs. Les 
idées de Tank, portées vers la poésie et la philosophie naturelle, 
s'accordaient peu avec la manière prosaïque de voyager des autres, 
et entre les deux géologues, MoUer et Keilhau, se manifestèrent 
des opinions divergentes. Le résultat fut donc que Tank et provi- 
soirement Môller resteraient à Dresde, tandis que Boeck, Keilhau 
et Abel continueraient leur voyage vers le sud. 

Il est vrai qu'Abel devait aller à Goettingue et à Paris. Mais il 
avait toujours peu d'envie de visiter la première de ces deux 
villes, et il était encore trop tôt pour se rendre à Paris. D'ailleurs, 
cr il n'était pas bon de laisser Abel seul ; il aurait pris en haine 
lui-même et son prochain, et il aurait été continuellement de 
mauvaise humeur )). (n Certainement », écrit Boeck, (( Abel n'aura 
rien à apprendre d'une telle vie de voyage. Mais il pourra voir 
un peu le monde, il fera de bonnes connaissances et perdra de 
vue quelques-unes de ses anciennes relations. » 

Et puis c'était aussi un bonheur pour Boeck et Keilhau d^ivoir 
Abel avec eux. 11 pouvait les aider à faire des observations avec 
les instruments que leur avait donnés Hansteen, et il pouvait leur 
donner des avis utiles, s'ils se trouvaient embarrassés dans leurs 
calculs. 



252 APPENDICE. — I I. 

Abel, de son côté, sentait que par une telle dépense de son 
temps et de sa subvention, sa position deviendrait fausse. 

Quant à ces ccmar/nedca)'), il ne s'y entendait que médiocre- 
ment; il ne comprenait pas la méthode d'observation, et par 
conséquent il n'osait pas faire des calculs de peur d'arriver à une 
formule inexacte. Les services qu'il pouvait rendre n'étaient donc 
pas, en effet, bien considérables; car les deux observateurs, 
installés suivant l'occasion, étaient toutefois forcés d'avoir recours 
à Hanstecn pour éclaircir les difficultés trigonométriques. 

Évidemment Abel craignait le mécîontentement de son profes- 
seur, au sujet de ces plans de voyage, soit qu'il s'agît de visiter 
Leipzig ou les bords du Rhin, ou de partir pour le midi. Holmboe 
lui faisait moins de peur; cependant il éprouve aussi vis-à-vis de 
lui le besoin de se justifier. Et cette défense présente un intérêt 
historique, puisqu'elle témoigne à quelle époque reculée il avait 
déjà achevé les principales de ses découvertes, notamment celle 
des fonctions elliptiques. 

(c Tu n'avais pas cru », écrit-il d'abord — dans sa lellre à 
Holmboe, datée du 16 avril — le jour même de son arrivée à 
Vienne, — (( tu n'avais pas cru, je pense, que j'arrivasse à Vienne; 
mais il me semblait que je ne devais pas laisser échapper 
la bonne occasion de voyager avec Boeck et Keilhau. lié bien! 
je vais encore plus loin; je passe par Trieste, Venise, Vérone, 
Turin (pour voir Plana), et enfin, j'arrive à Paris. Cependant 
le plan de voyage n'est pas encore bien fixé. Moi, du moins, je 
l'abrégerai bien un peu. 

» Il doit te sembler bien horrible», ajoute-t-il, (cde gaspiller 
tant de temps en voyages; mais je ne crois pas qu'on puisse 
appeler cela du gaspillage. On apprend dans un pareil voyage 
maintes choses bien curieuses dont je pourrai tirer plus de profit 
que d'une étude acharnée dus mathématiques. Outre cela, il me 
faut toujours, comme tu sais, quelques périodes de paresse pour 
pouvoir faire rage avec des forces renouvelées. Quand je serai à 
Paris, ce qui aura lieu, je pense, en juillet ou en août, je com- 
mencerai à travailler avec fureur. Je lirai, j'écrirai. J'élaborerai 



I 



DKI'AUT 1)K Dnr.SDK. 2^1) 

alors mes affaires d'intégration, la théorie des fonctions ellipti- 
ques, etc., ce (\U(\ ^rAce à Crellc, j'espéro Lion voir imprimé à 
Berlin, quand j'y retournerai. y> 

Dans cette défense, il est donc adirmé qu'avant le iO avril 1826, 
Abel avait déjà fait faire un pas très considérable à sa découverte 
principale sur la (Jicoric des fondions ellipliqnes. Et cela ne 
regarde pas moins la théorie des fonctions abéliennes. 

La nouvelle théorie des fonctions elliptiques, fondée sur son 
ancienne idée de Tinversion et sur la double périodicité, inventée 
aussi depuis longtemps, était alors bien mûrie et considérable- 
ment avancée. Car sans cela, il n'aurait pas pu dire qu'il voulait 
élaborer ces choses, et qu'il espérait les voir imprimées, non 
sous forme de mémoires insérés dans un journal, bien entendu, 
mais sous celle d'un Ouvrage de plus grande étendue. 

Souvent, il fout s'en souvenir, Abel parle de l'éventualité de 
faire imprimer des travaux, trop volumineux pour le Journal. Le 
30 janvier de la même année, il en parle encore, et cela précisé- 
ment au moment où, grâce à son actif concours, le journal allait 
paraître, et où les mémoires arrivaient l'un après l'autre pour être 
publiés. Dans sa lettre à llansteen, datée de ce jour, il ne fait 
cependant qu'exprimer en général l'espérance d'avoir un éditeur 
de ses recherches sur le calcul intégral. Les fonctions elliptiques 
ne furent pas cette fois mentionnées expressément. 



Abel, Boeck et Keilhau effectuèrent donc leur départ de Dresde, 
et maintenant l'intérêt se concentre principalement sur les petits 
événements de chaque jour. 

Au passage do l'Erzgebirge, dit-il, il tombait de la neige. On 
était dans les derniers jours d'avril. Mais quand les voyageurs 
furent descendus dans la vallée, ils y trouvèrent le plus beau 
temps du monde, et une contrée belle et fertile s'étendait devant 
eux. Tout était changé, raconte Abel, depuis qu'ils avaient franchi 
la frontière de Bohême; — les gens et le pays. On voyait partout 
des statues de saints le long des chemins. Celle qu'on rencontrait 



254 APPi'NnfCE. — I I. 

le plus souvent était celle de saint Népomucène. Mais à côté de 
ces statues, stationnait une foule de mendiants, surtout d'aveugles; 
ils restaient sur le chemin toute la journée. 

Le premier jour, ils arrivèrent à Teplitz, lieu renommé déjà de 
C(i temps par ses bains chauds, et où pendant les mois d'été 
affluait une foule énorme de personnes riches, malades ou non. 
Plus loin on passa par le Mittclgebirge, d'où s ouvre une large 
vue sur la Bohême. Cela avait Tair d'une plaine immense. 

Le jour d'après ils arrivèrent à Prague; c'était le troisième 
jour depuis leur départ. 



1 



Ils avaient projeté de rester deux ou trois jours dans cette ville. 
Mais ils y demeurèrent toute une huitaine, Eoeck y ayant trouvé 
plusieurs objets d'histoire naturelle qui l'intéressaient. 

Abel pendant ce temps parcourait la ville pour en visiter les 
curiosités et jouir de la vue du paysage et de la cité. « Une partie 
de celle-ci », raconte-t-il, « est située à une grande hauteur; elle 
s'appelle le Hradschin. D'une tour qui y est construite, on a une 
vue épouvanlahle ; par un ciel clair, on peut voir, dit-on, le 
Miltelgebirge, l'Erzgebirge et le Piiesengebirge. » Abel y monta, 
nuiis il ne vit rien. Cependant il trouva que Prague n'était pas 
(c une laide ville », et qu'elle est fort bien située. 

(( Derrière le Hradschin », ajoute-t-il encore, (cse trouve l'Ob- 
servatoire dont se servit Tycho Brahe. A présent on en a fait un 
établissement militaire. Mais dans une des innombrables églises 
de la ville, on voit son tombeau. » 

Naturellement Abel n'oublie pas le théâtre de Prague. W aime 
l'art dramatique à la folie. Ce théâtre était aussi un des meilleurs 
d'Allemagne, et là il vit Eslair dans le rôle de Guillaume Tell. 
Eslair était un artiste de Munich, qui était considéré comme le 
meilleur acteur de l'Allemagne. Abel aussi fut entièrement 
captivé. « Ah ! » , s'écrie-t-il, « tu aurais vu ce que c'est que jouer ! » 

Le jeune habitant du Nord trouva le ton des gens de Prague 
assez grossier. Garder au théâtre le chapeau sur la tête! Et à 



AniUVKK A VIENNE. 25?) 

l'estaminet — oui donc, là il n'est pas gentil. Des individus à 
mine suspecte se rencontrent partout, et aussi des femmes avec 
de grandes cruches à bière devant elles. 

« La consommation de bière », dit-il, <( est très grande dans les 
États d'Autriche où nous avons été jusqu'ici. La première question 
qu'on vous fait dans un lieu public, c'est : Sc/iaa/fens Bicr, 
Gnaaden? Mais nous nous en tenons toujours aux vins qui, 
d'après mon goût, sont fort bons ici et pas trop chers. Deux 
bouteilles de bon vin coûtent environ un mark et demi en argent 
de Norvège. Mais on peut aussi avoir du vin à quatre ducats la 
bouteille. y> 

Abel alla visiter à Prague un professeur d'astronomie, David. 
((C'est un vieux grognon j), dit-il, (cet ce monsieur semblait 
avoir peur des étrangers, d Abel en conclut que ses connaissances 
devaient être très minces. «A Prague», poursuit-il, «il existe 
un autre mathématicien, Gerstner, que l'on dit très fort. Mais 
apprenant qu'on lui donnait le nom de vétéran, j'eus peur; car 
ce nom est ordinairement réservé pour les gens qui ont fait 
autrefois quelque chose, mais qui, à présent, ne valent plus rien. 
Aussi fis-je bien de ne pas y aller, car, à ce que j'ai entendu dire, 
il ne peut presque ni voir, ni entendre. » 



(( De Prague, nous sommes partis dans une voiture de louage 
qui devait nous conduire à Vienne pour le prix de 2i écus (*), ce 
qui n'est pas trop cher, vu que la route est longue de presque 
40 milles de Norvège. Nous roulions fort commodément dans une 
voiture vitrée (Glasiuagen) . A quelques milles de Prague, nous 
voilà tout près de l'Elbe, et nous pûmes voir le Riesengebirge 
couvert de neige. Nous avions une chaleur de près de 20 degrés, 
ce qui nous gênait particulièrement dans les observations magné- 
tiques que nous faisions d'ordinaire deux fois par jour, midi et 
soir. Sur la route de Vienne, on voit un nombre prodigieux de 

(1) 133 fr. 44 c. 



256 APPF.M)irj:. — | i. 

villes, et ici Ton ne fait presque pas attention à ces villes qui 
chez nous ne seraient pas regardées comme si insignifiantes. 
Dans les auberges où il nous est arrivé de passer quelque temps, 
nous étions ordinairement très bien, et le prix était modéré; 
cependant nous n'avons pas trouvé à beaucoup près la propreté 
de TAllemagne du Nord. 

» Le pays au sud de Prague n est pas aussi plat que la partie 
du nord, mais très fertile. Quand on pénètre en Moravie, le pays 
prend, en revanche, une physionomie assez stérile et ressemble 
à beaucoup de contrées de la Norvège. Mais quand on entre en 
Autriche, il se transforme tout d'un coup. L'Autriche est le pays 
le plus fertile que j'aie vu; et si bien cultivé! Pas un endroit 
qui ne soit ou un champ ou un vignoble. Il est arrivé souvent 
qu'autour de nous, aussi loin que nous pouvions voir, nous 
n'apercevions que des champs. Les terres servant de pacage ne 
se rencontrent que fort rarement. 

)) Après avoir voyagé en voiture pendant quatre jours, nous 
arrivons à Yienne peu de temps avant le coucher du soleil. A une 
très grande distance, nous pouvions déjà voir le haut de la tour 
de saint Etienne, qui est immensément haute. Quelque temps après 
toute la ville passa en revue devant nous, et un peu plus tard, nous 
traversons une branche du Danube. Après avoir subi une visite 
indulgente, nous roulons à travers Leopoldstadt et, passant par 
le Ferdinands Brucke, nous entrons dans la ville, et nous descen- 
dons à l'hôtel le plus cher, dit l'hôtel « Ziim ivilden Mann ». Nous 
sommes encore ici, mais nous délogerons aujourd'hui. Nous avons 
retenu des chambres privées, au prix de 30 fl. par mois, environ 
15 écus. C'est très cher. 

» Il fait cher vivre à Vienne, le séjour coule beaucoup surtout 
aux étrangers. Nous payons notre dîner au moins un demi-écu 
par tête, et cependant il serait mal de nous accuser de vivre 
somptueusement, surtout relativement aux Yiennois qui mangent 
énormément. 

y> L'autre jour, nous avons été chez un oncle de Môller qui 
demeure ici dans la ville, et qui s'est converti depuis longtemps 



sf:Joun A vii-NNK. 2')7 

au catholicisme. Il nous a reçus fort bien et nous a invités à 
dîner chez lui. H a pres(|ue oublié h parler le norvégien, mais il 
le comprend fort bien. H est marié, et il a un fils adulte. Nous 
avons aussi été chez Tambassadeur de Suède, et nous sommes 
tous invités chez lui pour demain. » 

«Il se dépense d\\illeurs une ([uantité épouvantable d'argent», 
dit Abel dans un passage précédent. — Il y a en général beaucoup 
(ï épouvantable et d'e/froyable dans sa lettre de Vienne. — (iW 
faut demeurer dans un hôtel et cela coûte énormément cher. Et 
puis, ajoutez à ceia qu'ici, à Vienne, il y a des occasions du 

diable de vivre à gogo » — Ici des mots indéchiffrables, — 

c( L'autre jour, j'ai observé quelqu'un qui, en commençant son 
repas, déboulonna ses culottes. Il s'en donna une terrible charge. 

y> Vienne est une grande ville, auprès de laquelle Berlin dispa- 
raît. Une foule immense dans les rues qui en partie sont étroites; 
rien que des maisons (à cinq, six, sept étages) et une infinité de 
boutiques, d'églises, etc. La plus haute tour, celle de Saint-Etienne, 
est l'édifice le plus élevé que j'aie jamais vu. Je demeure tout 
auprès. L'intérieur (c'est de celui de féglise que je parle) est 
magnifique, et l'on s'y tue à travailler pour le catholicisme. Ce 
culte a vraiment beaucoup de solennité, et il ne faut pas s'étonner 
que la foule y tienne beaucoup. 

» Vienne a cinq théâtres, qu'il me faut visiter tous; l'un est 
dans la ville, les quatre autres dans les faubourgs. Parmi ceux-ci, 
il y en a un qui se distingue; il est situé dans le faubourg de 
Léopoldstadt, et l'on y a l'occasion d'y étudier les Viennoises; — 
on n'y joue à peu près que des pièces qui concernent la ville de 
Vienne, particulièrement ses habitants des classes inférieures. La 
foule qui le fréquente y est énorme. Ce théâtre s'appelle Beim 
Casperl, parce que le rôle comique a continuellement été celui 
d'un Schildknappe (écuyer) nommé Casperl. A présent, on voit 
plus souvent le fabricant de parapluies Slaberl, la classe ouvrière 
de Vienne en personne, un personnage extrêmement comique. J'y 
ai été une fois, et je me suis bien amusé. Les spectateurs sont 
furieusement remuants; ils applaudissent et font du tapage sans 

17 



258 APPENDICR. — I I. 

cesse. La plupart des pièces qu'on y joue ne sont du reste qu'un 
tissu interminable des sujets les plus absurdes et des caricatures 
les plus exagérées. Mais les acteurs sont excellents. 

» J'ai été aussi dans un autre théâtre, le Théâtre Impérial et 
Royal, qui est très grand. On y donnait une fort bonne pièce, et, 
comme on peut le croire, on Ta jouée extrêmement bien. Quelle 
jouissance délicieuse qu'un excellent théâtre! Yoilà quelque chose 
qui nous manque tout à fait et que nous n'aurons probablement 
jamais. — Il est aussi fort utile d'y aller à cause de la langue. On 
y entend ce qu'il y a de meilleur et de plus pur. Je puis dire que 
ce que je sais d'allemand, je l'ai appris dans les théâtres de 
Berlin, car ailleurs je n'ai eu que peu d'occasions de l'entendre 
parler. A présent cela va assez bien, et je puis me tirer d'affaire 
partout sans être gêné. Je crains plus le français; cependant cela 
ira bien aussi, quand je serai un jour là où il faut le parler. 

t> Les étrangers sont ici fort observés, et on est tellement 
questionné que cela nous paraît étrange. Keilhau a été interrogé 
sur ce qu'était son père, et il a été obligé de raconter toute 
l'histoire de sa vie. — Pour avoir la permission de rester à Vienne, 
il faut présenter des garanties constatant qu'on a assez pour se 
soutenir. » 



Quelques jours plus tard, le 20 avril, Abel continue sa lettre. 
Il fait froid et il vente, et c'est avec beaucoup de peine qu'il peut 
écrire. L'écriture de cette longue lettre, rédigée à la hâte, n'est 
pas par conséquent facile à déchiffrer, d'autant moins qu'elle a 
été écrite en long et en travers, de manière que le tout forme un 
réseau de carreaux. 

Il raconte quil avait dîné chez l'ambassadeur de Suède, le 
baron Croncberg. Il ne s'y trouvait que les trois Norvégiens, trois 
dames, le baron et sa femme. Ce fut un vrai dîner de Vienne. On 
mangea énormément, surtout la belle-mère du baron, eine geborne 
Wienerin. «Moi, je ne manquai pas l'occasion non plus», dit 
Abel, (( mais, à vrai dire, je n'ai nulle envie de recommencer. » 



I 



Sl^JOUR A VIENNE. SîiO 

Croîle, comme nous Tavons dit plus liaut, av.iit muni Aboi de 
lettres de reconnnandation auprès de Biirg et de Littrow. Biirg 
n'était encore que professeui' à TEcoIe Tolytechnique, mais il était 
sur le point dVHre nommé professeur à TUniversité. En ce moment 
il n'était pas à la ville, mais Abel espérait cependant lier connais- 
sance avec lui cliez Littrow. Celui-ci aussi était impossible à 
trouver. Abel le découvrit enfin à force de questions; il se 
présenta un jour de très bonne heure chez lui, — à sept heures 
du matin. 

Littrow était très afliible et il le reçut de la manière la plus 
obligeante; ils causèrent de différentes choses, et Abel fut invité 
à venir le voir souvent, et surtout à dîner chez lui le dimanche 
suivant. 

Abel le dépeint comme un homme fort affable. Il avait la taille 
de Hansteen, à qui il ressemblait aussi beaucoup. «Mais on dit 
aussi qu il a la tête près du bonnet», écrit-il à son correspondant. 
« Quand il est contrarié, il est vif comme la poudre. » 

Abel voyait très souvent Littrow, et il se trouvait certainement 
fort bien au milieu du nombreux cercle qu'il y rencontrait. Car 
ici tout le monde était plein de vie et de gaieté. On y trouvait 
toujours Toccasion de discuter «des sujets énormément intéres- 
sants. )) 

«C'est un homme tout à fait excellent)), dit-il — dans une 
lettre envoyée plus tard à Hansteen — « et il a une femme on ne 
peut plus affable, avec laquelle il a eu douze enfants quoiqu'elle 
n'ait que trente-quatre ans. 

» Elle est Polonaise)), poursuit-il, — en esquissant à petits traits 
cette agréable vie de famille, « et elle prise beaucoup. Dans sa 
jeunesse, elle a aussi fumé comme un turc. x\insi s'exprimait son 
mari. En revanche, elle raconta maintes jolies histoires sur lui. )) 
Il n'est peut-être pas sans intérêt de noter qu'il fut invité par 
Littrow à envoyer des articles aux Annalen der Sternwarte. A 
cela, il répondit que naturellement il voulait profiter de cette 
bonne occasion. Selon toute probabilité, il n'a eu dans la suite 
aucune relation avec Littrow ; toutefois c'est un point sur lequel 



260 APPENDICK. — I I. 

on n'a pas une complète certitude. Aboi se prononce d'ailleurs 
avantageusement sur un cours d'astronomie élémentaire et popu- 
laire que Littrow venait de publier, et il annonce que la troisième 
partie de son cours d'astronomie théorique, embrassant la partie 
physique, allait bientôt paraître. 



Revenons de nouveau sur la lettre de Vienne : il y est encore 
dit une chose qui n'est pas sans intérêt. Holmboe demande la 
permission d'Abel pour faire insérer dans le Magasin quelques 
uns des mémoires qu'il avait laissés à Christiania. Il désirait 
aussi avoir l'opinion d'Abel sur quelques expériences scientifiques 
qu'il avait entreprises. Abel y répond ainsi : 

« Quant à tes recherches sur les formules pour l'expression 
de % et d'autres arc tang, je n'ai pas encore vu les formules 
dont tu parles. Je crois que le tout, bien lié ensemble, sera d'un 
bon effet. Quant à mes mémoires, je pense que ce qu'il y a de 
mieux à faire, c'est de ne pas s'en servir trop, vu qu'ils ne 
s'accordent pas précisément avec le Magasin. 

7> D'ailleurs, ce que tu as déjà et plus encore est avec le plus 
grand plaisir à ton service. » 



Dans l'enveloppe de la lettre de Vienne, il est écrit : ce Frauen- 
hofer est très malade et probablement mort. » Le cachet porte le 
monogramme B. M. K., et il est donc celui de Keilhau. Du reste, 
la lettre a été envoyée entre le 20 et le 30, elle est arrivée à 
Berlin le 30, à Stralsund le 4 mai, et a été reçue à. Christiania 
le 13 mai. Il a donc fallu à peu près un mois pour que cette lettre 
parvînt, et elle n'a pas passé par Hambourg, ainsi qu'elle aurait 
dû le faire. 



1 



LKTTIŒ DE BOTZIÎN. 201 



II. 

Âbel à Holmboe. 

« Bolzano (Botzen, flans le Tyrol italien), le 15 juin 1820. 

y> En ce moment, je viens de recevoir ta lettre datée du 2:2 mai, 
et je t'en fais mille remercîments; car tu ne peux pas croire quel 
plaisir j'ai à recevoir des nouvelles du pays et surtout de toi. 

D J'ai reçu la lettre ici à Botzen; à mon passage à Venise, il y 
a huit jours, elle n était pas encore arrivée. Tu peux juger par 
là avec quel soin je compte le temps. 

» Je suis bien content qu en somme tu prennes plaisir à mon 
voyage, et je crois aussi que le plan n'est pas trop mal conçu. Tu 
ajoutes que cela doit être une vie bien heureuse; or, je ne vou- 
drais pas pour beaucoup avoir manqué ce voyage ('); mais tu seras 
peut-être étonné quand je te dirai que je suis fort satisfait d'être 
arrivé à ce point et de me trouver hors de l'Italie. 

y> Ce que je viens de voir m'a intéressé infiniment, mais c'est 
un pays du diable pour les voyageurs. Je vais te raconter mon 
voyage en peu de mots. 

» Je quittai Vienne en compagnie de Moller et de Tank, le 25 
du mois passé, à dix heures du soir, par la soi-disant Eilpost — 
(ainsi appelée, parce qu'elle marche assez vite, pas aussi vite 
cependant qu'on va d'ordinaire en Norvège. Dans l'Allemagne du 
Nord on donne à un tel véhicule le nom de Schnellpost ou, par 
moquerie, celui de Sneelpost, parce que là elle se traîne un peu 
plus lentement) — pour me rendre à Graz, ville située à vingt et 
quelques milles (de Norvège) de Vienne. C'est un sentiment bien 



(*) Le texte original contient une erreur d'écriture qui fait dire à l'écrivain le 
contraire de sa pensée. Nous l'avons corrigé d'après l'évidence du sens. 



262 APPENniCK. — I il. 

étrange que celui de quitter pour toujours une ville aussi grande 
et assez variée, surtout quand on s'y est bien amusé. J'étais de 
mauvaise humeur et je passai une nuit fatale, presque sans dor- 
mir, ainsi que tu peux bien te l'imaginer. La première chose que 
je fis, quand le jour vint à poindre, fut d'observer mes compa- 
gnons de voyage, et après quelques méditations je découvris 
que, sans compter nous trois, il se trouvait dans la voiture deux 
Allemands, trois Italiens, d'affreux drôles, surtout un « Kaufmann 
von Venedig » qui faisait un tapage terrible. 

» Entre Vienne et Graz, à peu près à mi-chemin, on traverse un 
col des Alpes, le Simmering, et c'est par là que communiquent 
l'Autriche et la Styrie. Ici le paysage commence à devenir fort 
beau; je croyais être en Norvège, tant est grande la ressemblance 
entre notre pays et la Styrie. Le chemin traverse une vall'e assez 
étroite arrosée par la Mur, qui contribue beaucoup à animer la 
scène. A chaque moment un nouveau site charmant ; mais si le pays 
était beau, les habitants ne l'étaient guère. Partout on rencontre 
des individus couverts de goitres. C'est horriblement dégoûtant. 
On dit que cela vient de l'eau. Au sud de Graz, cette maladie ne se 
voit que rarement. 

» A huit heures du soir nous arrivâmes bien fatigués à Graz, 
et après avoir soupe on se mit au lit. Le lendemain, Môller et 
moi, nous allâmes contempler le paysage, qui est extraordinaire- 
ment beau; on a surtout une vue charmante d'une montagne située 
tout près de la ville. Au moment où je m'asseyais pour dîner, 
Boeck et Keilhau se présentèrent à la porte (*). Ils étaient partis 
à pied de Yienne quelques jours avant notre départ. Ils avaient 
pris une autre route et s'étaient amusés magnifiquement; mais ils 
avaient été très incommodés par la neige. Cette rencontre nous 
fit grand plaisir, car nous ne savions pas ce qu'ils étaient devenus, 
et ce ne fut que par un coup de hasard qu'ils arrivèrent à nous 
rejoindre. 

» Graz est une belle ville qui a 40000 habitants, un nouveau 

(1) L'écrivain fait ici un jeu de mois impossible à traduire. 



LETTRE DE BOTZEN. 203 

joli thcàtro, où nous allions tous les jours, car il fallait mainte- 
nant faire nos adieux au théâtre allemand qui nous avait donné 
beaucoup de jouissances. 

3) Le 29 mai, j(^ quittai Graz en compagnie de Bocck, de 
Keilhau et de .Môller. Nous avions loué un Lohnkuiscker qui devait 
nous conduire à Triestc en quatre jours et demi, moyennant 
M 11. (environ 21 spd. de Norvège). Nous fîmes un très agréable 
voyage. Le paysage est fort beau. Des champs fertiles, de grands 
fleuves (la Mur, la Save et la Drave) et de hautes montagnes 
font beaucoup d'effet. Les nuits que nous passions n'étaient pas 
au contraire aussi agréables; car les auberges sont mauvaises. 
Tout est si sale! et à bon marché cependant. Ce que nous vîmes 
de plus remarquable pendant le voyage, ce fut la galerie souter- 
raine bien connue auprès d'Adelsberg, à quelques lieues de Trieste. 
Cette cavité s'étend à plusieurs lieues dans la montagne, et il faut 
24 heures pour arriver à la limite où Ton est parvenu jusqu'à 
présent. Elle s'étend encore plus loin, mais là on est arrêté par 
un profond et large trou. Nous n'y fîmes qu'un petit bout de 
chemin. Au travers de la même montagne passe aussi un fleuve 
qui coule pendant trois lieues sans être visible à Toeil humain. 
Nous le vîmes entrer et sortir. 

» Le cinquième jour nous entrâmes en Italie et nous dînâmes 
dans la première ville italienne, Sissena. Les habitants étaient 
allemands, mais le dîner était italien, du macaroni, etc. Il fallut 
nous contenter de plats maigres, vu que c'était un vendredi. 

» Le vin rouge s'appelle ici vin noir, et peu s'en faut qu'il ne 
mérite ce nom. Il a l'air d'être colossalement bon; mais c'est 
presque toute sa qualité. 

;) Nous n'étions pas loin maintenant de la mer, et bientôt nous 
arrivâmes près d'un endroit d'où on pouvait l'embrasser d'un 
coup d'œil. Nous descendîmes de voiture pour mieux jouir du 
paysage. Tout à coup, sans y penser, nous avions les flots d'Adria 
s'étendant devant nos yeux. Bien au-dessous de nous Trieste, et là, 
dans le golfe, toute une foule de navires. D'une part nous voyions 
la côte d'Istrie, d'autre part celle de la Vénétie. La vue était en 



264 APPENDICE. — § II. 

effet très belle, cela ne peut être nié; cependant il s'en faut de 
beaucoup qu'elle puisse être comparée à celle de l'Egeberg (i). Mais 
sur nous, privés depuis si longtemps de l'aspect de la mer, elle 
faisait naturellement une impression de plaisir, d'autant plus que 
c'était l'Adria que nous contemplions. 

)) Nous descendîmes la falaise et peu de temps après nous 
étions à Trieste où nous nous logeâmes aW Albergo alV Aquila 
nera (Ziim schwarzen Adler). Pour nous tirer d'affaire, 
il nous fallait caqueter en quatre langues, en norvégien, en 
allemand, en français et en italien, et de ces quatre langues nous 
nous sommes servis à tour de rôle tant que nous sommes restés 
en Italie. 

)) La première chose que nous fîmes c'est d'aller prendre un 
bain de mer. Pour nous procurer un bateau nous eûmes beaucoup 
de difiiicultés, car personne là-bas ne comprenait ni l'allemand ni 
le français, et nos connaissances en italien étaient fort minces. 
Enfin une cinquième langue nous tira d'embarras ; nous tomba- 
mes par hasard sur un matelot anglais, et Môller parle anglais. 

)) Trieste est une fort belle ville de 36000 habitants et d'un 
commerce très actif. 11 y fourmille des gens de nations sans 
nombre. On y trouve bien tous les peuples de l'Europe, y compris 
des Turcs et des Grecs, puis des Arabes et des Egyptiens. Dans 
le port étaient aussi quatre bâtiments norvégiens chargés de 
poisson, deux de Bergen et deux de Drontheim. Nous sommes 
montés à bord de trois d'entre eux ; nous avons invité un des deux 
capitaines de Bergen, ainsi qu'un autre Norvégien nommé Larsen, 
et nous avons nagé dans les plaisirs de la dégustation des vins 
classiques. 

» J'ai remis un bout de papier par le patron de Bergen à 
l'adresse du lecteur Bohr, en lui envoyant quelques livres avec 
prière de te les remettre. Je te prie de les recevoir et de les 
garder jusqu'à mon retour. 

)) A Trieste j'ai vu pour la première fois une comédie italienne 



(i) Christiania est situé au pied de l'Egeberg. 



LETTriE DE BOTZEN. ^265 

«// Dottore e la Morte)). A rcxtéricur du théâtre on avait fait 
peindre les scènes les plus remarquables avec les titres en 
lettres longues d'une aune. 

» Le 7 juin à minuit nous quittâmes tous les cinq Trieste par 
le bateau à vapeur pour nous rendre h Venise. A huit heures 
nous en aperçûmes légèrement les tours, et peu de temps après 
nous étions à fancre dans cette ville singulière. Je ne pouvais 
me figurer que je me trouvais réellement à Venise. Nous étions 
tout près de la célèbre place Saint-Marc. Nous fûmes bientôt 
entourés d'une infmité de gondoles, qui toutes voulaient gagner 
quelque chose. Ces gondoles sont longues et étroites; elles ont 
comme une petite maison placée au centre, dans laquelle on est 
assis et où Ton est conduit à l'aide d'une rame. 

y> Nous prenons Tune de ces embarcations, après avoir traité 
du prix cependant, car sans cela on serait rançonné; tout le 
monde à Venise ne songe qu'à marchander. Il y a une telle 
infinité de fainéants, de mendiants et de filous qu'il faut toujours 
être sur ses gardes. Nous descendîmes à l'hôtel de l'Europe, qu'on 
nous avait recommandé comme un des meilleurs, mais il était 
suffisamment mauvais et passablement cher. 

» Nous fîmes venir un domestique de louage pour nous 
conduire dans la ville et nous en faire voir les curiosités. Nous 
louâmes deux gondoles et nous nous mîmes en route; car comme 
en d'autres villes on va en voiture ou Ton se promène à pied dans 
les rues, ici l'on parcourt des canaux, qui remplacent les rues. 
On peut cependant à Venise arriver aussi partout à pied, mais les 
rues étant très étroites et très tortueuses, on préfère aller en 
bateau. 

» C'est une vue mélancolique que la traversée de Venise. Partout 
on voit les traces d'ancienne magnificence et de misère présente. 
De superbes palais entièrement déserts, et beaucoup sont presque 
en ruines; des maisons horriblement laides dans lesquelles une 
ou deux chambres peut-être sont occupées; des ruines de bâti- 
ments tombées à terre ou démolies et qui ont été belles dans 
leur temps. Tout porte le témoignage de la décadence. On compte 



266 APPENDICE. — I II. 

que plus de la moitié de la ville reste déserte. Venise n'a 
plus maintenant que 80000 habitants. Le lieu le plus remar- 
quable de la ville est la place Saint-Marc. C'est une place magni- 
fique, entourée des plus beaux édifices avec des colonnes à l'infini. 
Cette place est surtout animée le soir et bien avant dans la nuit. 
Le public visite alors les innombrables cafés qui se trouvent sous 
les colonnades. D'un côté j'en comptai 25, dont plusieurs très 
grands. De l'autre côté, il y a de splendides boutiques. 

» Sur la place Saint-Marc il y a une tour isolée très haute, la 
tour Saint-Marc. Nous en avons fait l'ascension jusqu'au sommet, 
nous avions là une vue ravissante de la ville. C'est une vue sans 
doute la seule de son espèce; car partout on voit de l'eau et 
pas de terre, si ce n'est dans le lointain. Vis-à-vis de la tour est 
située la pompeuse église de Saint- Marc, construite toute en 
marbre avec les ornements les plus splendides. Presque tous les 
murs sont incrustés de mosaïques, le sol également, etc. Tout à 
côté de l'église se trouve l'ancien palais des Doges, sous le toit 
duquel on voyait autrefois les Plombs de Venise, connus par 
l'histoire de Casanova. Ils ont été détruits par les Français. 

» Je pourrais te raconter encore beaucoup de choses sur Venise ; 
mais il faut me résumer, puisque j'ai encore à écrire aujourd'hui 
à ma fiancée. 

)) Le 10, nous quittâmes Venise et nous nous rendîmes sur deux 
gondoles à Fussina, où nous avons loué un vetturino pour nous 
conduire à Padoue. Peu de temps après nous y étions installés et 
nous nous trouvions à l'aise maintenant dans une voiture excel- 
lente, grande et spacieuse. Nous suivions le cours de la Brenta, à 
travers le pays le plus fertile et le mieux cultivé qu'on puisse 
imaginer. Toute cette contrée était plate comme la mer et ressem- 
blait à un grand jardin. Partout des champs labourés, des vignes 
et des arbres fruitiers. 

y> Après un voyage de six heures nous étions à Padoue, une ville 
horriblement laide, la plus laide que j'aie jamais vue. Après avoir 
visité quelques églises, etc., — nous vîmes entre autres choses la 
maison habitée par Tite-Live, et qui a été conservée jusqu'à 



LETTRR DE BOTZEN. 267 

présent — et après y avoir passe un jour et une nuit chèrement 
payes dans une mauvaise aiilierj^e, nous partîmes le lendemain pour 
Vicence, située dans un charmant paysage. Nous y avons dîné et 
le soir, après un agréable voyage, nous sommes arrivés à Vérone. 

)) iNous sommes allés voir plusieurs des curiosités de la ville, 
par exemple, une porte du lemps des Romains, un pont construit 
par Vitruve sur TAdige qui traverse la ville et avant tout un 
immense amphithéâtre de l'antiquité, pouvant contenir ^.'UiOO 
spectateurs. — Le 12 nous avons quitté Vérone, et en suivant 
des lors le cours de TAdigo à travers une vallée étroite, bordée 
de montagnes d'une énorme hauteur, nous descendons dans le 
Tyrol. Hier l/<' juin, nous sommes arrivés à Botzen. A présent 
nous allons faire pendant quelques jours une excursion à la vallée 
de Fassa et dans les régions montagneuses. Puis nous nous ren- 
drons en toute hâte à SchatThouse, d'où nous partirons, Moller et 
moi, directement pour Paris, et j'espère y arriver dans un mois 
ou plus tôt. Pour Paris, j'ai reçu une lettre de recommandation de 
Litlrow adressée à Bouvard, et cette lettre, je pense, me sera fort 
utile, car elle est bonne. 

3) N'oublie pas maintenant, je te prie, de m'écrire tout de suite 
et de m'envoyer autant de nouvelles que cette fois, à l'adresse 
suivante: Mallet frères, à Paris. J'aurais voulu t'écrire encore 
beaucoup d'autres choses, mais je suis pressé, et il faut donc que 
je finisse. Quand je serai à Paris, je le ferai mieux (quand j'aurai 
reçu ta lettre). 

)) Salue bien Hansteen et madame Hansteen de ma part. Si la 
lettre est en route, je la recevrai bien. Fais-lui aussi compliment 
de sa décoration, il fallait bien qu'elle arrivât un jour. 

)) Salue mes amis que tu verras, et n'oublie pas absolument 
de m'écrire tout de suite. 

y> Ton ami, 

)) N. H. Abel. )) 



(') Le cachet porte une forge derrière une maison avec l'épigraphe: Bene qui 
caluit bene vixit, et avec les initiales N. B. M. (MôUer). 



268 APPENDICE. — § III. 



III. 

Voyage à Paris. Séjour dans cette ville. 

Abel, avec Môller qui était venu le rejoindre, poursuivirent 
maintenant leur voyage de Botzen vers Paris. Ils allèrent par 
Innsbruck au lac de Constance; puis ils tirent une pointe de quel- 
ques jours en Suisse en passant par Zurich, Zug, le lac des 
Quatre-Cantons, et gagnèrent Bâle par Lucerne. Chemin faisant, ils 
firent l'ascension du Rigi pour jouir de la vaste perspective que 
Ton a de son sommet sur les Alpes Suisses. De Bâle enfin, après 
un voyage sans interruption de trois jours et quatre nuits, ils 
arrivèrent à Paris le 10 juillet. 

Keilhau resta dans le Tyrol. Mais il avait fintention de se 
rendre à Paris, tandis que Boeck alla par Zurich à Munich pour 
y reprendre ses études physiologiques. Tank, comme nous 
l'avons vu, avait déjà quitté la compagnie. 

Cependant Abel ne demeura pas longtemps avec Môller. 
Fatigué de la vie de voyage, qui durait depuis longtemps, celui-ci 
retourna au milieu d'août, ou peut-être un peu plus tard, en 
Norvège. C'était à cette époque que Keilhau était attendu à Paris, 
et avec lui Abel avait espéré ((de camper pendant l'hiver » ; mais 
cet espoir ne fut pas de longue durée. 

La vie distrayante des vacances, qui se prolongea jusque dans 
les premiers temps du séjour à Paris, avait essentiellement 
contribué, sans doute, à mettre Abel en état de se remettre au 
travail avec de nouvelles forces. Et c'était un travail d'une haute 
importance qui l'attendait à présent. Assez de temps toutefois 
avait été perdu; car le but de son séjour à l'étranger était d'étudier, 
et c'était pour cela que des moyens lui avaient été accordés aux 
frais de l'État. Aussi, après tant de voyages, les embarras écono- 
miques devaient certainement recommencer, Hansteen ne pouvait 



amrivkf: a paris. 260 

donc voir avec plaisir une lolle dépense de temps et d'argent. 
Vivant au loin, exempt de tous som^is, il ne pouvait bien juger à 
quel point cette vie de vacances ét;nt alors utile et môme néces- 
saire pour Abel. Il ne soupçonna pas que cela dût porter bonheur 
à la science qu'Abel fût ainsi entraîné par des amis prévoyants, 
qui ne voulurent pas le laisser seul avec sa tristesse. 

A présent il se défend de nouveau contre les reproches que 
Ilansteen lui adresse et lui avait déjà adressés depuis longtemps. 

« Me voici enfin au centre de tous mes désirs mathématiques, 
à Paris» — écrit-il à Hansteen, le 12 août 182G. «J'y suis déjà 
depuis le 10 juillet. 11 vous semble sans doute que cela arrive 
un peu tard, et que je n'aurais pas dû faire le long détour par 
Venise. Cher professeur, je regrette beaucoup d'avoir fait quelque 
chose qui ne vous plaise pas; à présent que c'est fait^ je n'ai qu'à 
recourir à votre bonté; j'espère que vous avez assez de confiance 
en moi pour croire qu'en somme je saurai profiter de mon 
voyage. Je le ferai certainement. Je ne puis donner d'autres 
raisons pour m'excuser que la grande envie de connaître un peu 
le monde; et voyage-t-on seulement pour étudier la science dans 
toute sa rigueur? A partir de maintenant je travaillerai avec 
d'autant plus de zèle. » 

Cependant Abel dut bientôt abandonner l'espoir de trouver à 
Paris un séjour fort agréable. 11 lui était difficile de lier des 
connaissances intimes, ce qui lui avait été beaucoup plus aisé 
en Allemagne. L'ancienne vie avec de bons camarades était 
presque interrompue; jusque bien avant dans l'automne, le 
monde savant était resté inabordable pour lui, et plus tard il ne 
réussit pas non plus à s'y introduire; à la réserve que gardent 
les Français avec les étrangers s'ajoutait aussi, comme en un 
obstacle assez grave, sa grande discrétion, et puis, au commen- 
cement, la difficulté de se faire comprendre. H no faut donc pas 
s'étonner de ce que le mal du pays se soit manifesté de bonne 
heure. Abel de plus en plus se renferme ainsi en lui-même et ne 
vit que pour ses travaux. 

Pendant quelque temps il n'avait pas senti la gêne; à présent 



270 APPENDICE. — I III. 

les embarras pécuniaires s'annoncèrent. La vie de voyage avait 
retranché beaucoup sur les moyens qui étaient à sa disposition, 
et l'empressement qu'il mit à se procurer des livres utiles contri- 
bua également à cette baisse des fonds qui devait bientôt lui 
donner tant de soucis. 

«J'ai acheté plusieurs livres nouveaux de mathématiques, et 
j'ai pensé à en acheter encore d'autres, surtout quelques mé- 
moires, qu'on ne peut pas avoir si l'on n'est pas sur les lieux; 
mais puisque cela va coûter cher, j'ai eu l'idée de proposer à 
Holmboe de faire l'achat de concert avec moi. Entre autres, il me 
faut absolument la partie mathématique du Bulletin de Férussac. » 

Par bonheur, Gôrbitz s'intéressait à lui. Gorbitz, artiste-peintre, 
était le compatriote d'Abel, et il habitait Paris depuis longtemps. 
Il connaissait fort bien la grande ville, et il était toujours prêt à 
secourir ceux de ses compatriotes qui la visitaient. Pendant un 
séjour passager à Paris, quelques années auparavant, Hansteen 
était allé le voir. Abel, qui dans ce lieu étranger se trouvait dans 
un embarras d'où il semble qu'il n'ait pu sortir sans le secours de 
quelqu'un, se souvint de cette visite. Ainsi il se lia de bonne 
heure avec Gorbitz, qui s'empressa de lui prêter l'assistance dont 
il avait besoin. Abel allait très souvent le chercher. 

C'est à cette circonstance qu'on doit l'excellent portrait de 
notre mathématicien, fait par cet habile artiste, qui, de son côté, 
a étudié sans doute avec intérêt les traits caractéristiques d'Abel. 

Du reste, on n'entend parler que fort peu de quelque intimité 
avec des compatriotes. En passant il mentionne, — mais seule- 
ment pour la curiosité du fait, — un musicien nommé Skramstad. 
C'était un paysan compositeur, assez connu dans ce temps-là. Il 
demeurait dans un coin de la ville avec deux Suédois, et « il 
s'habillait en paysan de Hedemarken (') avec des bas de laine 
verts et un gilet rayé. » ce Je ne l'ai pas vu », dit Abel, « mais j'en 
ai entendu parler. Il parle suédois. )) 

Un jour il était avec Keilhau chez l'ambassadeur à un « dîner 

(}) District norvégien. 



sftjoim A PARIS. 271 

diplomatique)). Tous deux curent leur 'plumet, raconte-t-il, «mais 
un tout petit ». Du reste, il pouvait s'attendre à une [)MreilIe 
réunion diplomati(jue. Car le Vi décembre de chaque année, le 
comte Lowenhjelm réunissait chez lui tous les Suédois et Norvé- 
giens qui demeuraient à Paris, et alors ils étaient tous mis, en 
bonne forme, sous la table. 

Abel vivait donc tranquillement et n'avait guère le loisir de 
prendre qu'une très mince part aux divertissements qu'offre la 
grande capitale. De loin en loin il alla au théâtre : c'était, nous le 
savons, sa passion favorile. Cependant, à peu près un mois après 
son arrivée, il n'avait pas encore été à la comédie. 

Quand il était las de travailler, il se promenait dans le jardin 
du Luxembourg ou bien il allait au Palais-Royal, ce « lieu de 
perdition », comme le surnommaient les Parisiens, a On voit des 
femmes de bonne volonté en assez grand nombre», poursuit-il. 
«Elles ne sont pas indiscrètes du tout; la seule chose qu'on 
entende, c'est: «Voulez-vous monter avec moi, mon petit ami? 
petit méchant». Naturellement, en ma qualité de fiancé, etc., je 
ne prête pas l'oreille à leurs discours, et je quitte le Palais-Royal 
sans la moindre tentation. 11 y en a qui sont fort belles. » 

Il y avait alors bien peu de faits d'un intérêt universel. Talma 
avait été malade à la mort, écrit-il au mois d'août, mais à 
présent il est hors de danger. Toutefois ce rétablissement de sa 
santé ne dura pas longtemps. La mort du grand tragédien, qui eut 
lieu vers la mi-octobre, fut un événement. Force gens assistèrent 
à son convoi funèbre, et le Théâtre-Français, ainsi que les autres 
théâtres, furent fermés pendant deux soirs. 

» Le corps fut porté au cimetière», dit Abel, «sans entrer à 
l'Église, ce qui est d'ailleurs l'usage. En comédien, il était 
exclu de la communion des fidèles. Ridicule, mais indifférent! » 
« Les jésuites veulent tout diriger », écrit-il, « et les feuilles 
publiques sont remplies de controverses à leur propos. C'est une 
diable de canaille! » Et puis il raconte l'histoire d'un jeune 
jésuite « qui avait dénoncé un grand nombre d'entre eux et qui 
voulait encore en dénoncer trois cents autres. D'après sa descrip- 



272 APPENDICE. — ^ III. 

tion, il faut qu'ils soient les hommes les plus détestables de la 
terre. Ils ont voulu regorger, mais il Ta évité. » 

Les travaux et les études d'Abel furent souvent interrompus par 
une correspondance fort développée, dont il ne nous reste cepen- 
dant que bien peu de fragments, Il donna à pleines mains des lettres 
détaillées à ses amis; en même temps accablé sous le poids de la 
solitude, il pouvait y glisser un mot sur leur long silence. 11 reçut 
cependant souvent des lettres de Grelle, aussi souvent, dit-il, que 
de sa fiancée. Quel dommage que ces lettres de Grelle et surtout 
celles d'Abel à ce dernier — desquelles sans doute on aurait pu 
tirer tant de détails sur Fhistoire du développement de la science 
à cette époque — aient à peu près toutes disparu sans laisser de 
traces! Des communications d'Abel avec Grelle il ne.nous reste que 
quelques extraits, insérés dans le Journal après la mort d'Abel. 

De même qu'Abel menait une vie solitaire sans être remarqué 
du monde scientifique, qui ne le connaissait pas encore, de 
même son habitation, qu'après assez de peine il avait trouvée avec 
l'aide de Gorbitz, était d'une apparence fort modeste. 

Pour mieux apprendre le français, il s'était installé dans une 
famille, rue Sainte-Marguerite, 4-1, faubourg Saint-Germain, où 
il avait tout dans la maison, le blanchissage compris, moyennant 
120 francs par mois. On y était très prévenant, mais la chambre 
était mauvaise, dit-il. Le ton était lascif; toutes sortes d'équivo- 
ques étaient débitées sans la moindre crainte et par les hommes 
et par les femmes. Et on péchait sans doute passablement contre 
la décence, puisque Abel même, qui n'était pas prude à Texcès, 
s'en trouvait scandalisé. Le maître de la maison était un savan- 
tasse. Il était même un peu mathématicien, mais fort sot; sa 
femme était une étourdie de trente-cinq ans ou bien davantage. 

Accompagné de son hôte, Abel alla rendre visite à Legondre. 
Il se peut aussi qu'ils aient songé à visiter en compagnie d'autres 
mathématiciens. Or Legendre sortait pour se promener en voiture 
et quelques paroles seulement furent échangées. Abel dit d'ailleurs 
de lui à sa manière stéréotypée : ce G'est un vieillard, le plus excel- 
lent homme du monde, dit-on; comme mathématicien, on sait 



SI-JOUR A TA lus. 273 

assez qu'il est renommé. » Cependant Tespoir de lier une connais- 
sance ne se réalisa pas. Legendre recevait une fois par semaine, 
ce qui ouvrait une chance à Abel. Mais bien que celui-ci doive 
avoir rencontré Legendre au moins une seconde lois, il faut croire 
que cette rencontre fut très rapide. Sans cela, Abel n'aurait pas 
manqué d'occasion pour en parler, et, de son coté, Legendre ne 
Taurait pas si ûicileinent oublié, s'il avait existé entre eux quelque 
chose de plus que des entretiens fortuits. 

11 est plus vraisemblable qu'Abel eut un accès plus ou moins com- 
plet chez le baron de Férussac, Téditeur d'un BitUctin qui traitait 
aussi la branche des mathématiques. Abel avait été voir le baron 
en août, mais sans le trouver chez lui. Il pouvait cependant aller à 
ses soirées, dit- il, une fois par semaine; il avait alors l'occasion 
d'avoir des revues et des livres nouveaux. Et en cette saison, où 
les bibliothèques étaient fermées et tout le monde en villégiature, 
cela était un assez grand avantage. On sait aussi qu'Abel fournit 
des articles pour le Bulletin, « un diable de travail et bien 
ennuyeux», comme il dit, «quand on n'a pas écrit soi-même le 
mémoire. » 

Mais que n'aurait-il pas fait pour Grelle, (c l'homme le plus 
honnête qu'on puisse imaginer » ! 

Abel avait apporté une lettre de recommandation de Litrow à 
Bouvard, directeur de l'Observatoire. 11 n'en résulta pourtant 
aucune liaison suivie. Bouvard le reçut amicalement, lui fît voir 
l'Observatoire et s'offrit à le présenter aux mathématiciens les 
plus célèbres, s'il voulait se rendre à l'Institut. Mais Abel ne 
pouvait pas accepter cette offre tout de suite, « car il fallait 
donner d'abord un peu de mouvement à sa langue française;). 

De longtemps il n'eut donc que très peu d'occasions de faire 
connaissance avec les mathématiciens. Quant à Poisson, il ne fît 
que l'entrevoir dans une promenade publique ('). Du reste, tout le 
monde scientifîque était invisible. 

(^) « H me paraît être un peu entiche de sa personne », dit Aboi, « mais il n'en 
doit pas être ainsi, j» 

18 



274 APPENDicn: . — § iv. 



IV. 

Comment les travaux de Paris forment une série de travaux 
ayant leur origine dans ceux qu'Abel rédigea à Christiania, 
antérieurement à son départ. 

Nous le savons, déjà à Christiania, avant de partir pour 
rétranger, Abel avait découvert les fonctions inverses des 
transcendantes elliptiques. Il avait découvert, en outre, son 
théorème d'addition, et cela, dans toute sa généralité. Nous en 
avons la preuve dans le mémoire préUminaire : Sîir la comparai- 
son des fonctions transcendantes. 

De Vienne, dans sa lettre à Holmboe, il avait aussi annoncé 
qu'en arrivant à Paris il composerait (( ses choses intégrales, la 
théorie des fonctions elliptiques, etc. ». 

Il peut donc y avoir de l'intérêt à considérer un peu plus 
attentivement que nous ne l'avons fait jusqu'à présent quelques- 
uns de ces travaux préliminaires. On y reconnaîtra le développe- 
ment des idées d'où devaient naître bientôt des branches toutes 
nouvelles des mathématiques, et l'on y verra comment ces idées 
ont mûri, d'année en année, avant que l'auteur les eût exposées 
dans une série d'importants mémoires. Il en ressortira également, 
d'une façon plus claire, comment Abel s'était créé de bonne 
heure, pour ses recherches, une méthode excellente, qui l'a puis- 
samment aidé dans l'élaboration de ses conceptions successives. 



Il se proposa d'abord d'approfondir les questions relatives, 
d'une part à la résolution des équations algébriques, et de l'autre 
à Y intégration des différentielles algébriques. Cependant, dans 
cette vague généralité, il n'y avait encore rien de nouveau. On 



il 



TRAVAUX PRI^IPAUATOIKKS DE 1823. 27;) 

devait plutùt n'y voir qu'un premier essai criinnginer des pro- 
blènios à force de travail, et de provoquer des pensées, qui 
naîtraient pendant rellbrl. Il pouvait rneme paraître peu original, 
et certainement peu sensé, de vouloir essayer de résoudre les 
équations du cinquième degré; et quant à l'aire avancer sensible- 
ment la question d'intégrer des expressions différentielles ayant 
un très haut caractère algébrique, il n était guère probable qu'il 
y eût, de ce côté, grand'chose à espérer pour la science. De part 
et d'autre, en tout cas, il s'agissait primitivement de problèmes 
trop peu circonscrits pour être pratiques, à moins qu'ils ne 
tombassent aux mains d'un investigateur hors ligne. 

Mais aux mains d'un ingénieux et sévère penseur, sachant poser 
à la nature une série de questions méthodiques, dont chacune 
pût recevoir une réponse déterminée, les choses devaient se 
transformer rapidement à mesure qu'il avancerait son travail et 
qu'il apprendrait à mieux distinguer le possible et l'impossible du 
milieu de ses premières illusions. 



Un livre manuscrit, écrit en norvégien, tout récemment décou- 
vert (au commencement de l'année 1884), et antérieur à l'été de 
18"23, prouve qu'Abel fit un premier pas dans l'étude de très 
hautes différentielles algébriques, en effectuant les réductions qui 
conduisent aux intégrcdes hyper elliptiques. Dans un très court 
article, il considère la différentielle la plus générale s'exprimant 
rationnellement au moyen de la variable indépendante et d'un 
radical quelconque du second degré, dépendant de la même 
variable; il montre (ce qui naturellement ne présente encore 
aucune difficulté) que, si Ion ne s'occupe pas de certaines parties 
algébriquement et logarithmiquement intégrables, qui peuvent 
être séparées comme des parties additives, alors le problème se 
réduit à un plus simple, à l'intégration d'une différentielle, dont 
la fonction numérateur est une fonction rationnelle P de la varia- 
ble, tandis que le dénominateur est le radical de second degré, 
dont le carré R est une fonction entière quelconque. Jusqu'à ce 



27G APPENDICE. — I IV. 

point, rien n'était donc encore remarquable, sinon le fait même 
d'avoir commencé à soulever une très grande question. 

Abel continua, en plusieurs sens, ses études sur fintégration 
des différentielles algébriques. 11 se proposa, conformément au 
conseil de Degen, d'étudier plus particulièrement le cas elliptique, 
cas où le degré de R monte à 3 ou 4; dans le cas élémentaire, 
cas algébrique et logarithmique, ce même degré ne dépasse pas 
le nombre 2. 11 se proposa aussi d'approfondir les questions 
relatives aux intégrales plus générales dont il était parti, les 
intégrales JujperelliptiqueSy correspondant à un degré quelconque 
de R, savoir à un degré plus haut que A. Et s'efforçant toujours 
de considérer les questions du point de vue le plus élevé, il 
voulut aborder tous les problèmes accessibles aux investigations, 
lors même que les différentielles à examiner eussent le caractère 
algébrique le plus général possible. 



Abel se mit donc à étudier les transcendantes elliptiques. Il 
avait à sa disposition les Exercices de calcul intégral de Legendre. 
Ce fut dans le cours de ces études, mais sans qu'on sache exacte- 
ment à quelle époque de la période qui finit à son départ pour 
l'étranger, qu'il acheva une espèce de traité sur les dites trans- 
cendantes. Ce traité, intitulé (c Théorie des transcendantes ellip- 
tiques^^, se trouve inséré, comme un de ses travaux posthumes, 
dans le second volume des « Œuvres complètes » . 

Pour certains chapitres, il se contenta de renvoyer aux écrits 
de Legendre. Ce sont ceux où devait être employée la forme 
trigonométrique, et ceux où il s'agit de la «comparaison des 
transcendantes elliptiques», ou de leur «évaluation par approxi- 
mation D . 

Dans les chapitres développés de ce mémoire de début, chapitres 
non destinés encore à la publication, et hérissés d'une multitude 
de calculs et de formules, non seulement on reconnaît les premiers 
germes de travaux futurs, mais on y voit très bien, malgré le 
caractère préparatoire du travail, se manifester déjà la manière 



TRAVAUX rni-PARATOIUI-S DK 1823. 277 

do jwscr les (|iiostions qui distin^nic Abel. On y voit utilisée, en 
quelque sorte, toute une méthode expérimentale, appropriée à 
l'esprit des reclierches nn;dyti(|ues; on y remarque surtout ces 
réductions à la dernière limite compatible avec la nature des 
choses, et cet esprit, si rigoureux dans ses classifications, qui ne 
s'arrête jamais avant d'avoir découvert les vraies lignes de démar- 
cation des choses. 

Ainsi il part ici des deux formes, de caractères essentiellement 
diiïérents, auxquelles on parvient en effectuant seulement une 
décomposition de la fonction rationnelle P : formes dont Tune 
correspond à une puissance d'exposant positif, l'autre à une 
puissance d'exposant négatif. 

Alors il se propose d'abord, pour chacune des formes du 
départ, de trouver les réductions les plus gén'irales possible par 
voie algébrique, et, de cette manière, il arrive à quatre formes 
plus simples, et qui maintenant sont irréductibles, c'est-à-dire 
irréductibles dans le sens indiqué. Il dit lui-même, vers la fin du 
chapitre dont il sagit : «Nous avons maintenant épuisé le sujet 

de ce chapitre, à savoir de réduire l'intégrale, autant que 

possible par des fonctions algébriques. » 

Arrivé ainsi à ces quatre formes, il se propose, dans le chapitre 
suivant, d'établir les relations qu'on peut trouver entre elles par 
des fonctions logarithmiques. 

Dans ce chapitre, on voit aussi le commencement de son futur 
travail de Frei^er^/, travail se rattachant à un problème généralisé^ 
à celui des intégrales hyper elliptiques. 

On y voit, de plus, une application continuelle des procédés 
qui mènent au principe des transformations pour les fonctions 
elliptiques. 

Mais quant à l'objet lui-même de ses études présentes, il 
montre (\\xune des intégrales est irréductible dans tous les cas, 
et qu'elle constitue ainsi «une transcendante particulière». En 
môme temps, il donne la formule de réduction pour les autres, 
en tant qu'une telle réduction est possible, et applique ensuite 
cette formule à cinq problèmes spéciaux. 



278 APPENDICE. — I IV. 

Ayant ainsi démontré qu'en principe la réduction logarithmique 
est impossible et ne peut se faire que dans des cas particuliers, 
il s'efTorce de trouver toutes les intégrales de telle ou telle forme, 
susceptibles de s' exprimer logarithmiquement. 

Dans le troisième chapitre, il fait voir, en outre, comment 
peut s'établir une relation entre les mêmes quatre intégrales, 
quand on les prend entre certaines limites, etc. 

En conséquence, et bien qu'on n'ait encore affaire qu'à un de 
ces premiers travaux qu'Abel lui-môme jugea plus tard si sévère- 
ment et garda par devers lui, sans songer à les publier, on voit 
cependant déjà quelle pénétration il apportait dans ses recherches. 
Les résultats auxquels il était arrivé étaient bien ordonnés et 
importants pour ses investigations futures. 



Abel n'en continue pas moins ses recherches plus générales 
sur les intégrales hyper elliptiques, mais de telle sorte que les 
intégrales elliptiques, ou même des intégrales plus élémentaires 
encore, ne fussent pas d'abord exclues. 

Dans un autre mémoire préalable, « Propriétés remarqua- 
bles, etc.», il fait une inversion des transcendantes que repré- 
sentent les intégrales, et il remarque le caractère muUiplement 
périodique de cette fonction inverse. 

Pour réclaircir, il prend, caractéristiquement, l'exemple à la 
fois le plus simple et le plus instructif, en considérant l'intégrale 
élémentaire dont la fonction inverse est sinus. Le choix de ce 
terme de comparaison permet d'entrevoir qu'il s'agit déjà là des 
grandes généralisations de nos fonctions trigonométriqucs. 



En se bornant de nouveau au cas des transcendantes elliptiques, 
et spécialement à celles de la première espèce, et en procédant 
ensuite ici de même que pour l'intégrale dont la fonction inverse 
est un sinus, il fonda la théorie des transcendantes elliptiques 
inverses, ou, pour parler plus simplement, la théorie des fonctions 



TUAVAIIX PUl-,l'ARATOIRi:S DK 1823. 279 

elliptiques; f()nctions qui, à un si haut degré, sont analogues à 
cette l'onction des éléments. Ces fonctions cllipti(jues (conlbrnié- 
ment au résultat plus général qu'il venait d'obtenir, mais qui 
avait aussi besoin d'une explication ultérieure) présentaient la 
propriété caractéristique d'être doublement périodiques. 

Dans l'été de 1823, comme nous le savons, cette découverte 
était déjà Iliite dans ses grandes lignes, puisque Abel parle, dans 
une lettre à Holmboe, de ces « fonctions inverses aux transcen- 
dantes elliptiques». On ignore, cependant, à quel point il en 
était alors arrivé. Il avait été induit à une erreur qui l'arrêta. On 
ne sait pas davantage si c'est le petit mémoire « Propriété 
remarquable, etc.», auquel il fait allusion en cette occasion 
(sans en indiquer exactement le titre), ou s'il en vise un autre 
plus développé (comme nous sommes à présent disposés à le 
croire), — petit mémoire que l'éditeur des Œuvres complètes n'a 
pas pris en considération, le regardant comme un travail trop 
inférieur aux cbefs-d'œuvre qui l'ont suivi. 



Après avoir fait la découverte de l'inversion et posé ainsi une 
nouvelle base pour l'étude des fonctions elliptiques, Abel dut 
rédiger, avant la fin de l'année 1823, un autre travail important, 
au moins relativement à ce temps; mais il ne subsiste plus de ce 
travail qu'un petit fragment. Il avait été transmis au Sénat de 
l'Université, et ensuite au ministère du culte. 

Sans doute, ce fut un mémoire qui faisait connaître l'état des 
investigations d'Abel à cette époque; car il l'écrivit dans le dessein 
de montrer, par un travail soigné, sa reconnaissance pour la 
subvention qu'il recevait depuis deux années, et qu'il continua 
encore à recevoir de quelques professeurs. Il avait aussi l'espoir 
d'obtenir par cette preuve de son habileté une subvention 
publique; ce qui lui réussit d'ailleurs dès le commencement de 
l'année 1824. 

Sans parler de ce qu'Abel avait déjà découvert l'inversion des 
transcendantes elliptiques, et en avait tiré des conséquences 



280 APPENDICK. — I IV. 

imporlantes, il est certain que lorsqu'il présenta son travail, vers 
la fin de 1823, il était déjà à plusieurs égards un mathématicien 
distingué. On peut évidemment conclure de ce fait que dans le 
cours de Tannée qui suivit immédiatement (1824-), où il put 
continuer ses études dans des conditions plus heureuses, il arriva 
à résoudre le problème poursuivi avec tant d'acharnement et par 
lui et par les plus célèbres savants, le problème relatif à Tinsolu- 
bilité algébrique des équations générales du cinquième degré. 

Qu'il ait eu, en outre, lui-même Topinion d'être parvenu, dans 
les dites années, à des résultats importants, c est ce qui ressort de 
certaines autres circonstances, circonstances qui paraîtront 
d'autant plus significatives qu'on les rapproche de certains faits 
antérieurs. Il est bien caractéristique que, dans l'année 4823, 
Abel ait écrit en français son petit Mémoire sur les fondions 
inverses aux transcendantes elliptiques, et quon ne se borna plus 
alors à l'aider de la manière ordinaire, mais qu'on le mit en 
état, au moyen d'une subvention privée additionnelle, de faire 
un voyage scientifique à Copenhague. 

Le second travail dont nous nous occupons maintenant, soit le 
Mémoire d'intégral qui fut transmis à l'Université, était aussi 
écrit en français, tout comme le travail, de la fin de l'année 1823. 
L'importance de ce troisième travail, traitant des équations, et 
publié en langue française, dans le cours de 1824 (et cela aux 
frais du pauvre auteur), est maintenant hors de toute contestation. 
Ce petit mémoire existe encore, en effet, et se trouve publié dans 
la nouvelle édition des « Œuvres complètes y>. 

Mais revenons-en au Mémoire d intégral. Il est possible que ce 
mémoire, aujourd'hui perdu, n'ait pas encore contenu la décou- 
verte du grand théorème d'addition, et que cette découverte, 
dans toute sa généralité, n'appartienne qu'à la fin de l'année 
1824 ou à l'année 1825, à l'époque qui précéda le départ d'Abel, 
au mois d'août. Si les suppositions que nous émettons plus bas 
sont justes, il est même probable que ce théorème, s'il y était 
contenu, n'était pas encore arrivé à toute la généralité qui put 
lui être donnée. Quoi qu'il en soit, le travail dut avoir beaucoup 



THAVAiix rni'i^AUATOinr'S m J8'2'î. 281 

d'importance pour ce temps. Aussi fut-il jugé de la manière la 
plus favorable par rUniversito. Nous avons dit plus haut que, sur 
les indications de Ilansloon, Ab(*l y avait essayé de Irailcr le 
calcul intégral (F a près une nouvelle méthode. 

Jusqu'à sa mort — comme on peut le voir dans une note du 
Précis — Abcl a attaché un grand prix à cet objet de ses études. 
Il y dit qu'il avait créé une nouvelle théorie de Tintégration des 
formules dilTérenti elles algébriques; mais que les circonstances 
ne lui avaient pas permis de la publier. « Cotte théorie dépasse 
de beaucoup les résultats connus; elle a pour but d'opérer toutes 
les réductions possibles des intégrales des formules algébriques ^ 
à l'aide des fonctions algébriques et logarithmiques. On parvien- 
dra ainsi à réduire au plus petit nombre possible les intégrales 
nécessaires pour représenter sous forme finie toutes les intégrales 
qui appartiennent à une même classe. » 

On aurait donc pu, sans doute, tirer de l'écrit perdu les 
renseignements les plus précieux sur le développement des idées 
d'Abel, depuis leur naissance jusqu'à leur maturité. 

Holmboe ne parle pas d'ailleurs de ce travail, qui ne présentait 
pour lui qu'un intérêt secondaire, pourvu que le contenu (comme 
c'est vraisemblable), s'en trouvât complètement et sous une 
forme plus parfaite dans les mémoires postérieurs. Pour Holmboe, 
l'étude de V enchaînement des idées d'Abel et de leur naissance 
ne présentait pas encore l'intérêt qu'une génération suivante 
trouve à étudier les œuvres d'un grand homme au point de vue 
historique. 

Dans la première édition des « Œuvres complètes » ne fut pas 
publié davantage le premier mémoire sur les équations du 
5® degré : Holmboe s'est borné à mentionner la découverte qui 
y est exposée, tout inattendue et extraordinaire qu'elle ait été. 

Néanmoins, il subsiste, peut-être, un petit fraguient de cet 
écrit, et ce fragment, rédigé pareillement en langue française, 
est bien caractéristique. L'auteur s'y propose d'examiner les 
différentielles algébriques de la forme htjper elliptique. Et il tâche 
de les traiter au moyen des fonctions algébriques et logarithmi- 



282 APPENDICE. — I IV. 

ques; mais il ajoute (ce qui est bien remarquable) par les 
fonctions exponentielles. Cela semble indiquer qu'il se cache, 
dans le plan de l'auteur, un emploi de l'inversion, qu'il étudiait 
alors au moins depuis une demi-année. En tous cas, dans l'indi- 
cation même du sujet, on découvre la méthode à la fois ration- 
nelle et expérimentale, dont se sert Abel et qu'il explore 
toujours avec tant de fruit pour ses recherches. 



Pendant son séjour à Christiania, avant son voyage, entrepris 
en août 1825, il réussit certainement aussi à développer beaucoup 
sa théorie des transcendantes elliptiques et des fonctions inverses 
à ces transcendantes. 

En effet, bien qu'il ne se soit pas occupé de ces théories en 
Allemagne, et qu'il en ait seulement parlé comme des choses 
connues d'Holmboe (ajoutant qu'il rédigerait à Paris ces recherches 
sur ce point), Abel les mania de telle sorte, ainsi que nous le 
verrons plus tard, qu'il se révéla soudainement comme un véri- 
table maître. 

L'idée de l'inversion étant introduite avec la double périodicité 
et l'analogie avec les fonctions trigonométriques étant, en outre, 
bien observée, l'auteur, avec ses études profondes et simultanées 
de la théorie des équations, pouvait achever un grand travail avec 
une facilité relative. Car alors plusieurs questions se réduisaient à 
celles de trouver certaines racines, dont la découverte ne présen- 
tait pas de difficultés. Il en était ainsi, même quand il s'agissait 
du problème général de la transformation rationnelle. Celui-ci 
fut singulièrement facilité par l'introduction de la nouvelle pensée 
fondamentale. Pour achever la démonstration, il n'y avait qu'à 
reprendre les procédés qu'Abel avait employés si souvent dans 
son mémoire préalable sur les «transcendantes elliptiques», et 
dont il devait se servir de nouveau après son départ, dans le 
Mémoire de Freiberg. 

Cependant, nous connaissons seulement avec certitude Vétat 
général où se trouvait son esprit; c'est-à-dire qu'il possédait dès 



TRAVAUX DE 1825. 283 

lors les moyens les plus ciïicaces pour faire les découvertes d'appli- 
cation découlant des principes révélés par lui; mais on ne saurait 
déterminer exaclement à quel point il était arrivé pendant cette 
première époque. 



Mais il ne s'arrêta pas, dans ses recherches précoces de Chris- 
tiania, à rétudc des transcendantes des fonctions elliptiques, ni 
à rétude préalable des intégrales hyperelliptiqucs. Il se mit à 
méditer les inlograles des différentielles algébriques dans toute 
leur généralité; et il se laissa guider dans ses réflexions par 
certaines analogies communes à des fonctions d'un rang inférieur. 

Dans la préface de son Mémoire de Paris, il raconte lui-même 
comment il fut amené à faire ces anciennes découvertes; et il 
complète ainsi, par ses propres explications, nos connaissances 
sur la marche de ses idées : il fournit, en quelque sorte, lui-même 
de nouveaux renseignements sur ses études antérieures à son 
départ pour l'étranger. 

11 y dit : « Quant aux fonctions dont les dérivées sont ration- 
nelles, la somme d'un nombre quelconque de fonctions semblables 
s'exprime par une fonction algébrique et logarithmique, quelles 
que soient d'ailleurs les variables de ces fonctions. 

)) De même, une fonction elliptique quelconque, c'est-à-dire 
une fonction dont la dérivée ne contient d'autres irrationalités 
qu'un radical du second degré, sans lequel la variable ne passe 
pas le quatrième degré, aura encore la propriété qu'on peut 
exprimer une somme quelconque de semblables fonctions par une 
fonction algébrique et logarithinique, pourvu qu'on établisse 
entre les variables de ces fonctions une certaine relation algé- 
brique. y> 

« Cette analogie entre les propriétés de ces fonctions » , conti- 
nue-t-il, (( m'a conduit à chercher s'il ne serait pas possible de 
trouver des propriétés analogues de fonctions plus générales». 

Et il était parvenu ainsi à son théorème d'addition général. 



284 APPENDICR. — I IV. 

Arrivé à Paris, Abcl (ainsi qu'il l'avait annoncé) se mit à la 
rédaction de ses découvertes. 

En premier lieu, il reprit ses recherches dintcgralesy basées 
sur la découverte du « théorème d'addition )) , théorème relatif à 
toutes les transcendantes dont les dérivées sont algébriques. Dans 
un mémoire composé pour l'Institut, il voulut démontrer et 
discuter ce théorème, que jusqu'alors il n'avait pas publié lui- 
même. Plus tard, il voulut en faire des applications. Et, comme 
il était déjà depuis longtemps maître de son sujet, on croit qu'au 
lieu de commencer par des recherches préliminaires, il plaça en 
tête de son travail une ébauche d'introduction, rédigée au courant 
de la plume, mais fort instructive et très semblable à la préface 
définitive du Mémoire. 

Suivant un ordre naturel, il s'occupa, ensuite, des recherches 
sur les fonctions elliptiques, comme formant un premier champ 
d'application. Ici encore, nous renccfntrons le théorème d'addition ; 
mais dans sa forme restreinte, et depuis longtemps connue des 
savants. Abel voulut, cependant, le présenter cette fois avec une 
transformation fondamentale, en le liant à l'idée de l'inversion. 

Ces travaux finis, il se proposait (ainsi qu'il faut le conclure de 
l'indication que nous mentionnerons plus bas), de passer aux 
applications de la seconde série : à celles qui se rapportaient aux 
p/w5 simples transcendantes hyperelliptiques . Il exposa, en effet, 
explicitement et complètement, les propriétés fondamentales de 
celles-ci, dans une courte communication à Grelle; et, chose 
à noter soigneusement, il le fit justement le 9 août, jour où il 
entreprit le Mémoire de Paris. 



MftMoinK i>r, l'Auis. 285 



V. 



Abel commence son Mémoire de Paris. Communication à Crelle 
et son importance pour le futur travail de l'application. 

On possède quelques cahiers d'Abel avec des calculs prépara- 
toires et des ébauches pour ses mémoires; mais il n'en existe 
qu'un seul se rapportant à son séjour à l'étranger; c'est celui 
dont il se servit à Paris, et plus tard à Berlin. 

Ordinairement, pour déterminer l'âge de ses manuscrits ou 
d'autres débris de papiers laissés par lui, il faut se livrer à des 
comparaisons fondées et sur leur contenu et sur d'autres indices 
divers qu'on a recueillis grâce à des études prolongées. j\lais ici, 
tout est immédiatement clair. En effet, le cahier est daté du 
9 août 1826, et porte encore la marque du marchand : « Magasin 
de papier de France et de Hollande : M. Lhermitte, rue de 
Bussy». Il est d'ailleurs intitulé : a Mémoires de mathématiques, 
par N.-H. Abel. » 

Près du titre, avec une série d'abréviations, sont répétés les 
mots : (( l'Institut)). 

Les préoccupations de l'auteur apparaissent ainsi et elles 
ressortent également de ce que sur la première page on rencon- 
tre le nom de Legendre avec l'indication de sa demeure (^). A la 
vérité, cette célébrité française y figure à côté d'un très humble 
compatriote d'Abel, le paysan musicien du faubourg du Roule. 



Abel se mit donc à rédiger en premier lieu ses a: choses 
intégrales». Dans cette pensée, il en fit d'abord une ébauche 

(*) Hue Saiiit-GuilUiume, n'' 9. 






286 APPE^DICli. — %\. 

complète sur son cahier. Rappelons-nous, du reste, que le jour 
même de Tachât de ce cahier, il commença par adresser à Grelle 
une courte communication relative au même sujet et à la 
première applicalion qu'il comptait en faire. 

Dans sa lettre, il expose en peu de mots — comme nous l'apprend 
un extrait publié dans les « Œuvres complètes)) — (')son théorème 
d'addition . 

«Une propriété générale», dit-il, «des fonctions dont la 
différentielle est algébrique consiste en ce que la somme d'un 
nombre quelconque de fonctions peut être exprimée par un 
nombre déterminé des mêmes fonctions. Savoir, etc. » 

La formule qu'il écrit est maintenant composée comme il suit. 
On s'imagine formée des fonctions 9 dont il s'agit une somme 
de y. fonctions semblables, chacune correspondant à sa propre 
variable indépendante. On se figure aussi une somme formée de 
n fonctions, chacune correspondant à sa propre variable dépen- 
dante; et ces n dernières variables doivent dépendre des premiè- 
res fA suivant une certaine loi algébrique. Alors, quand on ajoute 
les deux sommes partielles de fondions transcendantes ^ on aura 
pour résultat une fonction algébrique et logarithmique. 

Abel remarque ensuite que « n est un nombre déterminé, indé- 
pendant de \}.. Si, par exemple, 9 est une fonction elliptique, on 
a. comme on sait, ?i = 1. Si la fonction n'est pas elliptique, on 
n'en connaît jusqu'à présent aucune propriété. Gomme un des cas 
les plus remarquables, je vais rapporter le suivant. » 

Ici la fonction 9, qu'il prend, est ^intégrale hyper elliptique la 
plus simple : c'est-à-dire — en adoptant les notations du chapitre 
précédent — qu'elle correspond à une fonction R (sous le radical) 
dont le degré est égal à 6; et, quant à la fonction numérateur, P, 
elle est choisie comme une fonction linéaire. 

Cela posé, la dite fonction algébrique et logarithmique v se 
réduit à une constante. Et, pour pouvoir passer à la formule 
la plus générale, il suffît de montrer comment une somme de 

(*) Ancienne édition, p. 253-254. — Nouvelle édition, p. 267. 



COMMIJNICATIOIN A chki.lk. 287 

trois fonctions o avec fies variables indépendantes, peut être 
réduite à une somme de deux fonctions ç mais avec des variables 
dépendantes; le nombre caracléristique n est, en effet, alors égal 
i\ 'i. Les deux variables dépendantes , appartenant ainsi à cette 
somme réduite, sont maintenant racines dans une équation dic 
second degré; et les coe/J'icienls de celle-ci s'exprimeront comme 
des fonctions algébriques des trois variables indépendantes se 
trouvant dans la somme donnée. 

Ces coefficients algébriques sont pareillement exposés en détail 
dans les formules de cette lettre. 

Toute la théorie de la fonction 9, dit enfin Abel, est comprise 
dans ses formules; c'est-à-dire qu'elle est entièrement donnée 
par la théorie d'addition relative à cette fonction, car on peut 
démontrer que par là la fonction sera complètement déterminée. 

Abel ne dit rien, dans cette lettre, des plus hautes fonctions 
inverses; du moins Grelle n'en parle pas. Gela devait d'ailleurs 
être très peu compréhensible à une époque où l'inversion la plus 
simple, celle qui se rapporte aux transcendantes elliptiques, était 
encore inconnue. Rien, en effet, n'avait été publié jusqu'alors sur 
cette matière. 

Mais, maintenant, on voit très clairement les premières consé- 
quences à tirer de ce qu'expose Abel, et nous les rappelons ici à 
cause de l'importance qu elles ont, et parce que, à cette place, 
elles seront plus aisément comprises après la courte exposition 
du théorème d'addition se rapportant à ce cas spécial. 

1° La somme irréductible composée de deux fonctions sembla- 
bles devait être considérée, par Abel, comme une nouvelle trans- 
cendante, une transcendante linéaire. 

2^^ Cela posé, passons du cas fondamental, se rapportant à trois 
fonctions simples, au cas voisin où le nombre de ces fonctions est 
quatre. Alors on aura, en même temps, une formule bien symé- 
trique et bien analogue à la formule fondamentale de la théorie 
des transcendantes elliptiques. On trouve qu'ttne somme de deux 
fonctions binaires données (quatre fonctions simples) se réduit à 
une fonction binaire unique (deux fonctions simples). 



AI'PKNDICR. — § V. 

S'^ Enfin, les deux coefficients a et p, dans la fonction numéra- 
teur et linéaire P, ne se présentent pas dans l'équation du second 
degré qu'expose Abel. Ils ne peuvent donc se présenter davantage 
dans la nouvelle équation du même degré, à laquelle on arrive 
en poursuivant ce premier cas voisin. Mais cette équation déter- 
mine comment les variables z^ et z^ de la fonction binaire réduite 
dépendent algébriquement des variables indépendantes ^, et x,, 
Vi ^t 2/t appartenant à la somme des deux fonctions binaires 
données. D'après cela, on peut donc particulariser de deux 
manières distinctes les fonctions que Ton traite, sans exercer 
d'influence sur les relations algébriques. Et l'on aura un couple 
de formules d'addition : l'une correspondant à une fonction 
binaire o,, (oii par exemple a et ^ ont les valeurs et 1); fautre 
à une fonction binaire cp2i (où a et p auront les valeurs 1 et 0). 

On aura donc un parallélisme complet entre la transcendante 
elliptique et les nouvelles transcendantes hyper elliptiques binaires, 
transcendantes de deux espèces distinctes. 

Soit 9 une transcendante elliptique. La somme de deux fonc- 
tions semblables, correspondant aux variables indépendantes x et 
y y se réduit à une fonction pareille, correspondant à une véritable 
dépendante z. Cette dernière quantité est donnée par une équation 
de premier degré, dont les coefficients sont fonctions algébriques 
des variables données x et y. 

Soient, d'autre part, 9,2 et 9^, deux transcendantes hyperellip- 
tiques et binaires. Considérons d'abord 9,2, et formons la somme 
de deux fonctions pareilles, Tune correspondant au couple de 
variables indépendantes x^ et x^, Fautre au couple de variables 
indépendantes ?/, et y^. La somme peut se réduire alors par la 
voie algébrique à une nouvelle fonction semblable, correspondant 
aux variables dépendantes z^ et z^. Il en est tout à fait de même 
quant à la fonction 921. Or, 2, et z^ sont maintenant donnés 
comme racines d'une équation du second degré, et les coefficients 
de cette équation sont fonctions algébriques des variables indé- 
pendantes x^J a^2 et 2/,, ^0. 

Ainsi l'analogie demande que, si ïon intervertit , dans le cas 



COMMUNICATION A ciu«:lli:. 28!) 

ellîpti<ine, la fonction ç, on invertira, dans le cas ItypercUiplique^ 
simultanément les fondions 9,^ et 9.^,. 

C'est lii ce qui ressort des formules d'Aboi exposées diins la 
lettre du 9 août, à Crelle, sans qu'on ait besoin de résoudre de 
nouvelles didicuUés niathéinatiques. Qu'il se posera des questions 
philosophiques quand on déviera de la marche que fit entrevoir 
ici Abel, connue un résultat de longues études, ou quand on ne 
connaît pas encore quelle est la marche à suivre, cela est une 
autre chose. Et Abel n'a rien laissé, à ce que l'on sache, d'où 
l'on pourrait conclure de quelle manière il a raisonné quand il 
arriva, en premier lieu, à son résultat d'une périodicité multiple, 
provenant d'une inversion directe des intégrales hyperelliptiques. 



19 



290 APPENDICE. — I VI. 



VI. 

Position d'Abel parmi les savants de Paris. 

(( Je viens de finir un grand traité sur une certaine classe de 
fonctions transcendantes pour le présenter à Tlnstitut, ce qui aura 
lieu lundi prochain. Je l'ai montré à M. Gauchy, mais il a daigné 
ù peine y jeter les yeux. Et j'ose dire sans me vanter que c'est 
un bon travail. Je suis curieux d'entendre l'opinion de l'Institut 
là-dessus. Je ne manquerai pas de t'en faire part. » 

C'est en ces termes qu'Abel, dans sa lettre à Holmboe du 
24 octobre, raconte la présentation prochaine de son « Mémoire 
sur une propriété générale dune classe très étendue de fonctions 
transcendantes. » Nous allons expliquer maintenant, après cette 
appréciation si peu encourageante, quelle était alors sa position 
parmi les savants de Paris. 



Nous avons déjà dit qu'Abel avait été recommandé par Littrow 
à Bouvard, directeur de l'Observatoire. Et c'était une très bonne 
recommandation, dont il se promettait beaucoup pour son séjour 
à Paris. 

Mais il ne s'établit pas de relations étroites entre le jeune 
mathématicien de Norvège et l'astronome français. Aussi à la fin, 
ce ne fut pas Bouvard, mais Hachette qui se chargea de le 
présenter aux mathématiciens de l'Académie. 

Comme collaborateur distingué du Journal de Crelle, le seul 
journal mathématique que possédât l'Allemagne, Abel était déjà 
bien connu parmi ses collègues dans ce pays, et on en sentait, 
même à Paris, quelques conséquences. Il correspondait avec le 
mathématicien Kùlp, de Darmstadt, qui lui avait demandé 



AIIEL ET I.KS SAVANTS Î)E PAHIS. î^91 

quelques éelaircissemcnts à roccasion de certains passages de 
ses mémoires. Le mriuc jour qu'il écrivit à Ilolmboo, il lui 
donna une réponse. Un autre jour, un jeune Prussien Tavait 
cherché dans sa chambre, croyant qu'Abel fût un de ses compa- 
triotes. C'était Lejeune-Dirichlet. (c C'est un mathématicien très 
fin», dit Abel. a: Il a prouvé, avec M. Legendre, l'impossibilité 
de résoudre en nombres entiers l'équation..., et d'autres fort 
belles choses. » 

Mais, rien ou peu s'en faut, de ce qui se rapportât aux travaux 
d'Abel n'était encore parvenu à la connaissance des mathémati- 
ciens français, du moins de ceux qui jouissaient de quelque 
autorité. 11 avait fait sa visite chez Legendre, « le gentil vieux 
géomètre»; mais il ne réussit pas, comme Dirichlet, à entrer en 
rapport avec lui, bien que de grands intérêts eussent dû les 
réunir. Sa connaissance avec Cauchy ne devait pas lui promettre 
beaucoup. Il ne restait donc que Bouvard et Hachette. Mais 
Bouvard ne pouvait pas lui être bien utile, et Hachette ne cultivait 
que lui. 

Telles étaient à ce moment, vers la fm d'octobre, toutes les 
connaissances d'Abel parmi les académiciens, et, en dehors de 
ceux-ci, il y avait deux ou trois mathématiciens avec lesquels il 
avait échangé quelques mots. C'étaient des personnes ce très 
habiles», mais d'un rang inférieur, et il n'en nomme qu'un : 
M. Saigey, rédacteur du Bulletin des Sciences. 

Abel ne fut donc pas aussi favorisé de la fortune qu'en Allema- 
gne. Et néanmoins, il lui semblait qu'après avoir obtenu des 
succès à Berlin (succès qui lui avaient procuré les meilleures 
réceptions à Vienne), il ne devait pas être exposé à être considéré 
par ses collègues de Paris comme un homme absolument nouveau 
et inconnu. Au moment dont il s agit, il avait déjà paru six 
mémoires de lui dans le journal de Crelle, et parmi eux, il y en 
avait au moins deux qui étaient éminemment remarquables; celui 
sur les équations était môme d'une portée extraordinaire. 

Toutefois, les publications en allemand n'étaient pas facilement 
accessibles aux Français, qui connaissaient peu cette langue 



292 APPENnicFî. — I VI. 

étrangère, et, en outre, la puLlication du Journal de Crelle àiml 
bien trop récente pour que la connaissance de son existence et de 
son contenu fût alors assez répandue parmi les lecteurs français. 

De plus, dans les grands centres tels quêtait déjà alors 
Paris, on ne se soucie guère de ceux qui viennent et qui s'en 
vont. Il s'y développe de tout autres mœurs que dans les villes 
universitaires de F Allemagne, y compris môme le Berlin de 
ces anciens jours, ville beaucoup moins importante et moins 
populeuse que la capitale de France. La différence était encore 
plus grande en comparaison d'un pays aussi lointain et aussi 
neuf que celui d'où Abel était parti. 11 est aussi fort douteux 
qu'Abel ait su tenir compte des nécessités qui se présentaient à 
lui; qu'il ait pu, sans gêne, se conformer aux circonstances. 

La lettre de recommandation à Bouvard dont nous venons de 
parler, ne lui procura que l'avantage de voir l'Observatoire, et 
nous avons vu que la visite chez Legendre ne réussit que médio- 
crement. De bonne heure, d'après le désir de Grelle, il avait 
sans doute cherché le baron de Férussac ; (( mais il n'était pas 
chez lui», — malheur qui se répète souvent. Enfin, quant à 
Poisson, « il l'avait vu sur une promenade publique. » 

Tel était l'état des premières connaissances d'Abel, un mois 
après son arrivée. A cette époque cependant, il avait conservé ses 
espérances; mais il se tenait à l'écart, comme il le dit (peut-être 
pour s'excuser), à cause de la difficulté de la langue. 

Plus tard, vers la fin d'octobre, son cercle de connaissances 
s'était étendu un peu, comme nous l'avons déjà remarqué; mais 
très peu. La rencontre avec Gauchy avait été malheureuse et ses 
rapports avec les jeunes mathématiciens étaient toujours très 
restreints. 

Pour Abel — homme de cœur avant tout, et d'un tempérament 
tantôt vif et gai, tantôt profondément mélancolique — cet état 
d'isolement forcé était à un très haut degré déprimant et, de 
plus, fortement nuisible pour ses intérêts scientifiques. Aussi se 
plaignait-il très vivement de cette «immense réserve des Français 
envers les étrangers. y> a 11 est difTicile de faire avec eux des 



I 



Ani:i. KT l.KS SAVANTS I)K PARIS. 293 

connaissances intimes; et jo n'ose (aire coiupto sur cela. Gliacun 
travaille pour soi-nièine, sans se soucier des autres. » 

Et il ajoute ces mots graves, par lesquels il explique lui-mômc 
en grande partie les événements qui allaient lui arriver prochai- 
nement : «Tous veulent instruire, et personne apprendre. » 

Abel ne possédait pas, du reste, les qualités personnelles qu'il 
lui aurait fallu pour s'ouvrir un chemin dans le grand Paris, et 
pour y obtenir au moins une faible et première reconnaissance 
de sa valeur. Il avait eu besoin de Tassistance de Gorbitz pour se 
tirer d'aflaire à l'arrivée, et, par rapport à ses intérêts scienti- 
fiques, il était certainement trop timide pour pouvoir s'arranger 
vite et d'une manière satisfaisante, au milieu des conditions 
nouvelles où il se trouvait. Ni le bienveillant peintre norvégien, 
ni ce savantasso de mathématicien chez lequel il demeurait, et 
qui l'accompagna dans sa visite à f.egendre, ne pouvaient lui être 
ici de quelque utilité appréciable. Ce qui lui manquait, à lui qui 
ne savait ni même ne voulait fortement se faire valoir, c'était de 
trouver à Paris un autre Crelle ou un autre Littrow, c'est-à-dire 
des amis plus âgés, et en situation de lui servir d'intermédiaires 
auprès de leurs collègues français. 

Ce rôle eût convenu à Legendre, qui eût mis Abel en avant dans 
son milieu, comme il le fit plus tard pour Jacobi, et même à la fin 
pour notre mathématicien absent et oublié. Mais le sort ne voulut 
pas que le a gentil vieux géomètre» plaidât déjà la cause d'Abel. 



Mais il y eut aussi d'autres circonstances plus générales, qui 
concoururent à rendre sa position difiicile, et à l'isoler parmi les 
savants français. Nous avons fait déjà allusion à ce que nous 
allons dire, en citant les fortes paroles de regret qui lui échap- 
pèrent lorsqu'il comprit combien, pour un étranger «débutant)) 
comme lui, il était difficile de se faire entendre à Paris. 

Il y avait une dizaine d'années que la France était sortie de 
cette période que signalèrent d'abord la grande Révolution et 
puis de longues et glorieuses guerres. Or, l'exaltation qui était 



204 APPKNDICE. — I VI. 

née d'un mouvement puissant dans le monde des idées, avait 
aussi laissé des traces profondes dans la science entière. Des 
découvertes fécondes sur certains points, et même fondamentales, 
venaient d'ouvrir une longue série de travaux d'application, tout 
comtne elles devaient produira aussi de forts ébranlements dans 
les conceptions traditionnelles. 

Les grands événements de toute espèce qui s'étaient accomplis 
ne pouvaient rester sans influence ni sur l'état de la société, ni 
sur l'avenir de la science, ni même sur la direction des esprits 
dans les investigations scientifiques. 

Pour ne parler que des mathématiques, la période qui venait 
de s'accomplir ou qui s'achevait avait rendu célèbres des noms 
comme ceux de Monge et de Lagrange, ou comme ceux des 
survivants du temps passé, Laplace et Legendre. A ces grands 
morts ou à ces illustres vétérans de la science, on pourrait 
ajouter des savants comme Fourier et Ampère, comme 1 acroix, 
comme Poisson et Cauchy; les deux derniers dans la pleine 
force de Tâo-e. 

Parmi les plus éminents devait aussi être compté l'illustre 
Poncelet. Plus que tous les autres, il pouvait être comparé à son 
jeune collègue de Norvège, ayant été forcé, pendant sa vie solitaire 
de prisonnier de guerre en Russie, de refaire ses connaissances 
mathématiques; ce qui l'avait conduit à créer toute une nouvelle 
géométrie. Mais Poncelet avait aussi à lutter pour arriver à se 
faire rendre justice, justice qu'il méritait hautement, bien qu'il 
pût rester des points faibles dans ses grandes conceptions. Écrasé 
sous l'autorité de Gauchy, le célèbre représentant des études 
sévères, le futur juge d'Abel, il perdit son prestige et dut renoncer 
pour longtemps à se faire entendre. 

Poncelet se trouvait donc relégué parmi les savants de second 
ordre. Aussi Abel, qui s'occupait de tout autre chose que de 
géométrie, ne paraît pas avoir pensé plus à Poncelet que celui-ci 
ne semble avoir fixé son attention sur Abel, qui ne mentionne 
pas même son nom. 

Au temps dont nous nous occupons, on était donc encore dans 



ABEL ET LES SAVANTS DE PARIS. 205 

une poriodo éininomrnont riche en investigateurs et écrivains 
s\Uant illustrés dans les niath6niati({ues. Toutefois, cette richesse 
était sans doute trop pjrande pour pouvoir se conserver longtemps, 
même dans un pays comme la France. En ce qui regarde les 
mathématiques 'pures, ou, pour parler avec plus de précision, la 
pure anaUjse, on avait dépassé le point culminant. Telle était du 
moins Topinion d'Abel lorsqu'il considérait Tensemble de la 
situation, et non pas seulement quelques représentants distingués 
do la science. 

Sauf de rares exceptions, toutes les fortes intelligences qui ne 
s'occupaient pas de géométrie, comme Poncelet et Hachette, 
cultivaient les diverses branches des mathématiques appliquées. 
Cet état de choses enlevait tout intérêt d'actualité aux recherches 
d'Abel, qui appartenaient à un tout autre ordre, et devait devenir 
un nouvel obstacle au succès du jeune Norvégien. Bien des faits 
confirnient d'ailleurs l'opinion d'Abel. Laplace, devenu très vieux, 
qui avait maintenant terminé sa grande œuvre et qui n'écrivait 
plus, s'était surtout occupé des hautes questions de la mécanique 
céleste. Fourier, Ampère, Poisson, etc., s'intéressaient surtout 
aux questions physiques. Lacroix était bien mathématicien, dans 
le sens propre du mot, mais déjà trop âgé pour pouvoir pénétrer 
avec quelque énergie dans des recherches abstraites aussi nouvelles 
que l'étaient celles d'Abel; et d'ailleurs, il était plutôt écrivain 
qu'investigateur profond. Legendre travaillait encore avec une 
vigueur admirable, et cela dans le même sens qu'Abel; mais la 
force d'un octogénaire devait bientôt s'épuiser. Aussi lorsque le 
vieux géomètre connut enfin les travaux du jeune homme— qu'il 
rencontra par hasard à Paris — , il arriva qu'il lui était très difficile 
de le suivre : Abel marchait trop vite pour lui. Cauchy, parmi les 
savants distingués encore dans la pleine vigueur de l'âge, était 
donc presque le seul qui cultivât alors, avec prédilection, les 
mathématiques pures ou Vanalyse. 

Mais ici, pour quelque raison que ce soit, il devait y avoir 
défaut d'entente entre les deux esprits. D'ailleurs, il ne nous 
étonnerait guère que Cauchy, mathématicien de haute réputation 



2% Al'I'KNDICi:. — I VI. 

et partisan des progrès lents et rationnels, grand seigneur, en 
outre, et homme cérémonieux, n'ait reçu, pendant le court 
entretien qu'il eut avec le jeune Norvégien, l'impression d'avoir 
alliiire à un pauvre utopiste, une tôle turbulente qui prétendait 
avoir résolu des problèmes faux ou absolument inaccessibles. En 
effet, longtemps après, à une époque où déjà, depuis bien des 
années, l'Académie des Sciences de Paris avait honoré le mémoire 
d'Abel, on put constater encore qu'un savant comme Arago, 
secrétaire perpétuel de cette Académie, s'exprimait comme si la 
découverte fondamentale du géomètre ainsi honoré (dans la 
théorie des équations) n'était qu'une chose oc fort contestable ». 



A un autre point de vue, Abel, au détriment de ses intérêts 
scientifiques et de ses plans d'avenir, croyait découvrir, dans 
les études de mathématiques pures en France, des signes d'un 
mouvement rétrograde et môme d'un ce bien laid » recul. 

Pendant qu'il rassemblait et rédigeait ses recherches, il était 
toujours en peine de trouver un éditeur. Il lui manquait, surtout, 
un recueil où il pût insérer ses travaux de plus grande étendue^ 
travaux qui convenaient moins au journal tout nouveau de Crelle. 
Aussi avait-il de très bonnes raisons pour s'ôtre décidé à se faire 
juger, en France, par la célèbre Académie des Sciences de Paris. 
En même temps, il espérait arriver à publier, dans le pays qui 
occupait une place éminente, grâce au nombre et à la supériorité 
de ses investigateurs, ses Recherches elliptiques^ recherches qui 
devaient suivre son Mémoire de Paris. 

Parmi les journaux sur lesquels Abel pouvait compter, à l'oc- 
casion, pour des publications de cette importance, à côté des 
Mémoires des savants étrangers, il y avait, en première ligne, 
les (n Awtales de Gergonne^. Mais, même pour ces Annales^ 
jadis si excellentes, on constatait qu'elles dégénéraient « de jour 
en jour ». Gergonne aussi était devenu a trop vieux ». 

a C'est avec lui», ajoute-t-il, (( comme avec v. Zach; mais, 
à la vérité, celui-ci n'a jamais valu grand'chose » . 



Anm. KT ij:s savants i»k paius. ^î)7 

S'il y avait donc dos côtés faibles, à Totat auquel s était élevé 
la science dans la France d'alors, cet état iTcii était cependant 
pas moins remarquable au plus baut degré, et les Français avaient 
tout lieu d\Hre fiers de tant d'bonmies distingués que leur pays 
avait produits, (jui y avaient vécu récemment ou (pii y vivaient 
encoi'e. Aussi n'est-il pas étoimant qu'on y eût un sentiment de 
supériorité à l'égard des étrangers, et que, dans les entourages 
d'Abel, on le lui fît entendre. 

(ï Personne ne peut penser qu'un Français », dit Abel, cr est 
le seul qui puisse produire quelque cbose de théorique. » — 
(c L'unique chose que les Français recherchent chez les étrangers, 
c'est le côté pratique. » 

Mais, dans de telles circonstances, la situation d'un étranger 
qui avait quelque chose à dire au monde, n'était pas toujours des 
meilleures. Il ne lui servait guère qu'il y eût, à Paris et dans 
d'autres villes de France, de célèbres recueils, destinés à recevoir 
les pensées des investigateurs contemporains! Et particulièrement 
défavorable devait être la position d'un jeune homme, né dans un 
petit pays du Nord, à peine remarqué en Europe. De ce coin du 
monde on n'attendait aucune contribution au progrès général. 

Et c'était de ces contrées, considérées comme presque barbares, 
même par des hommes distingués, qu'arrivait maintenant un 
étudiant, avec quelques idées aventureuses, qu'il désirait soumettre 
aux illustres savants de la France! 

Mais ces préjugés n'étaient pas fondés. Plus d'une fois Abel dut 
protester contre l'accusation de demi-barbarie adressée à sa 
patrie, sans méconnaître, d'ailleurs, le rôle modeste qui convient 
à une population pas plus nombreuse que celle de Paris et 
répandue sur un vaste territoire. 

Si les idées courantes avaient été fondées, il eût été naturel, 
non de mettre en doute, mais de nier purement et simplement de 
prétendues découvertes, si extraordinaires, que ni Crelle ni Gauss 
ne semblent d'abord y avoir attaché aucune foi. Un Abel n'aurait 
pas pu naître et se développer dans une société qui eût ressemblé 
à la Norvège, telle qu'on se la figurait généralement. Au contraire, 



298 APPENDICE. — I VI. 

son apparition s'expliquait au milieu d'un peuple régénéré et 
recouvrant son ancienne indépendance, dos que la passion de la 
vérité pure s'empara de son esprit, à l'exclusion de toute préoc- 
cupation étrangère. 

Abel — si imprudent que cela fût — jeta, enfin, un défi public et 
éclatant aux idées erronées qu'on avait sur son pays, en signant 
son savant chef-d'œuvre présenté à l'Académie : 

N.-H. Abel, Norvégien. 



L'esprit de réaction qui, après tous les bouleversements des dix 
dernières années, exerça un empire si étendu sur la société fran- 
çaise (comme sur presque toute l'Europe), nuisit, lui aussi, dans 
une certaine mesure, à Abel et au succès de ses découvertes. Un 
temps, ayant soif de repos et de bon ordre, avait succédé à une 
époque d'irrégularités et d'agitations; aussi le libre mouvement 
des idées, comprimé sur un point d'abord, fut-il ensuite gêné 
sur tous les autres, sous la pression de l'opinion qui désirait le 
retour à l'ancien état de choses et qui craignait les nouveautés de 
tout ordre, comme autant de causes de trouble pour la société et 
pour les systèmes arrêtés. 

Cet esprit, fortement conservateur^ nous paraît s'être aussi 
emparé alors, et de plus en plus, de la science. Sans doute il 
contribua puissamment à assurer les progrès acquis, et il favorisa, 
à un très haut degré, le tranquille développement des vérités 
acceptées et amassées comme un tas considérable de matériaux. 
Mais peut-être les savants du temps ne voyaient-ils pas avec assez 
de bienveillance les entreprises hardies des penseurs qui essayaient, 
avec plus ou moins de bonheur, de pénétrer plus profondément 
dans la nature des choses et de résoudre les grandes énigmes. Or, 
c'est à cette classe d'investigateurs qu'appartenait Abel. 

Parmi les mathématiciens français de l'époque, il en est deux 
qui auraient dû le comprendre le mieux : Legendre, de l'ancienne 
école, et Gauchy — plus jeune — , del'école nouvelle. Et, en effet, 
le premier, malgré son grand âge et malgré la répugnance que 



Am:i, KT LKS SAVANTS l)K l'AUlS. 299 

génornlcmont la vieillesse rc^ssent pour les nouveautés, tciuoigna 
au moins de la bienveillance à Abel. Mais le second, penseur 
sévère, (lui avait si bien mérité de la science en observant les 
anciens systèmes, ne sut pas trouver de « ça prendra » pour 
encourager le jeune bomme. 

Aussi n est- il pas sans intérêt de relever les opinions de ces 
deux futurs juges d'Abel. I/uu, entbousiaste octogénaire, qui plus 
tard salua si cbaleureusement les progrès de Jacobi et d'Abel lui- 
même, bonora toujours les idées de liberté, idées du temps de sa 
jeunesse; comme on le voit par une lettre à Jacobi, écrite le 
4^'' octobre 1830, où il parle de a fruits amers pour les partisans 
des gouvernements absolus. » Au contraire, Tautre grand géo- 
mètre, le clérical Cauchy, plus jeune et plus sceptique, suivit son 
Roi détrôné dans son exil. 

Abel, fils d'un pasteur qui avait défendu, par ses actes et par 
ses paroles, la cause de Tindépendance de son pays, était, même 
au point de vue politique, plus rapproché de Legendre. Il semble 
avoir pensé, bien qu'il ne Tait pas dit expressément, que la réaction 
énergique qui triomphait alors en France et qui dominait les 
esprits, finirait par produire une stagnation dans la science. « Les 
Jésuites veulent gouverner! » s'écrie-t-il, et cela quand il venait 
d'exprimer son opinion sur la décadence des études mathéma- 
tiques. 



Abel, isolé au milieu de ses collègues parisiens et peu compris 
d'eux, ne pouvait jouer que le rôle d'un spectateur, contemplant 
à distance les savants distingués de la France. 

Aussi n'avons-nous à citer sur ceux-ci que quelques traits épars, 
jetés en passant, tels qu'ils se trouvent dans une lettre adressée à 
Holmboe, juste au moment où Abel allait se rencontrer avec les 
mathématiciens de l'Académie. 



300 appkndicf;. — | vi. 

a LegcndrciD, dit-il, «est un homme extrêmement complaisant, 
mais il est malheureusement steinall )) (^). 

Après avoir remaïqué, comme nous l'avons mentionné déjà, 
que I.ejcune-DiriclHet et le vieux Legcndre avaient fait de concert 
une découverte dans la théorie des nombres, Abel, insérant dans 
le texte norvégien un mot allemand composé pour Toccasion, 
exprime, d'une manière saisissante, la crainte qu'on n'ait plus 
grand'cliose à attendre de l'illustre et très méritant géomètre. 
. Par contre, pour peindre Gauchy, il se sert d'un mot français, 
marque d'une sympathie infiniment moindre. On peut même voir, 
dans le choix qu'il fait tour à tour des deux langues étrangères, 
pour les mêler à sa langue maternelle, une preuve de colère et 
d'humeur envers ce dernier, dont il finit cependant par reconnaître 
la haute valeur. 

«Gauchy est fou », dit-il, « et il est impossible d'avoir affaire 
avec lui. Pourtant c'est lui qui, à présent, est le mathématicien qui 
sait comment doivent être traitées les mathématiques. Ses travaux 
sont excellents; mais il écrit obscurément. D'abord je ne compre- 
nais presque rien à ses œuvres; maintenant j'y arrive mieux. Il 
fait publier une série de mémoires sous le titre ^'Exercices de 
mathématiques. Je les achète et les lis assidûment. Neuf livrai- 
sons en ont paru depuis le commencement de cette année. 

» Cauchy », continue-t-il, « est infiniment catholique et bigot. 
Chose bien singulière pour un mathématicien ! D'ailleurs, il est 
le seul qui travaille les mathématiques pures. Poisson, Fourier, 
Ampère, etc., etc., s'occupent exclusivement de magnétisme et 
d'autres parties de la physique. » 

Abel parle encore de Laplace, et décrit aussi, avec sa brièveté 
ordinaire. Poisson, Fourier et Lacroix. 

Il dit textuellement de ces personnages : 

«Laplace n'écrit plus rien, je crois. Son dernier ouvrage est 
un supplément à sa (l Théorie des probabilités)). Lui-même dit 
que c'est son fils qui l'a écrit; mais, en fait, c'est bien lui-même. 



(1) Vieux comme les pierres. 



AI'.KI, KT I.I'S SAVANTS I(K l'AIlFS. I^O I 

Je Pai vil soiivoni à rinslihil. (Vost un petit lioiiiiuo, très ^^a il lard ; 
mais il a le (h'faiit (|ue le Diable boiteux impute à Zambullo, la 
mauvaise habitude de eou[)er la parole aux j^ens. » 

«Poisson est un bomme eourt, avec un joli petit ventre. Il 
porte son cor[)s avec di^niti''. Il en est de môme de Fourier. 
Lacroix c^s! Icrrihlemcnl clumve et exlraordinairemcnl vieux, 

D Lundi, je dois ôtrc présente à plusieurs de ces messieurs par 
Hachette. » 



302 APPENDICE. — 1^ VII. 



VII. 

Achat de livres. Lettre à la sœur d'Abel. Solitude et gêno. 

Keilhau était sur le point d'obtenir une position à FUniversité, 
comme et lecteur d de géologie. Il s'était donc mis en route en 
prenant pour revenir par le Havre et par la voie de mer. Trois 
jours après son départ de Paris (qui eut lieu le 16 octobre), il 
s'embarqua, avec les objets qu'il rapportait du Tyrol et de Tltalie, 
pour Arendal, ville maritime située sur la côte méridionale de la 
Norvège. De là, il devait continuer sa route sur Christiania. 

Abel profita naturellement de la (c bonne occasion » pour 
renouveler ses envois en Norvège, si commodes par la voie de 
mer. A son arrivée à Triesle, il en avait déjà fait un premier. 
Maintenant que son ami partait, il expédia bon nombre de livres 
de mathématiques et les adressa à Holmboe, exprimant le désir de 
partager avec lui « le contenu du grand cotîre rouge, avec son 
inventorium y> . Nous avons vu, en effet, qu'il nourrissait depuis 
longtemps un projet d'achat de livres, mais qu'il était obligé de 
chercher quelqu'un qui partageât avec lui une dépense trop forte 
pour ses moyens. C'était sur Holmboe qu'il comptait principale- 
ment alors. 

Il avait acheté, disait-il, ce qu'il croyait qu'on ne possédait pas 
en Norvège. Au printemps il comptait envoyer le surplus. 

Parmi ces livres, on remarque le cinquième tome de la Méca- 
nique céleste. Ce tome était destiné à Hansteen, qui s'était déjà 
procuré les quatre premiers. 

(( La Mécctnûjiie céleste est donc finie ! » dit Abel. (c Celui qui a 
écrit un pareil livre peut faire avec plaisir un retour sur sa vie 
scientifique. » 

Legendre avait imprimé un remaniement do ses Exercices. 



i 

I 



LF'TTIIK I)'Ani:i. A SA S^i•A]l{. 3015 

Mais au inoniont du dnparl de Kcilhau, la nouvelle édition 
n'était pas encore en vente. 



Abel profita aussi du départ de Keilliau pour écrire à sa sœur 
Elisabeth et pour lui transmettre un cadeau de Paris. 

Le ton de sa lettre est plus satisfait que celui d'une autre lettre 
qu il écrivit la semaine suivante à Holniboe. Mais le temps des 
grands soucis n était pas encore venu ; soucis qui devaient 
coïncider avec le sentiment de solitude et d'abandon qui allait 
bientôt s'emparer, avec tant de force, de notre mathématicien, 
trop enclin par nature à la mélancoh"e. Peut-être aussi n'avait-il 
pas encore eu sa décourageante entrevue avec Gauchy, ou n'en 
voulait-il rien dire à sa sœur. 

« Le départ de Keilhau», dit-il, «est une occasion que je no veux 
pas négliger pour t'écrire quelques lignes. Très souvent, chère 
sœur, je pense à toi, et je te souhaite toujours le bonheur. Tu te 
portes bien, n'est-ce pas, chez les excellentes gens où tu te 
trouves? — Mais comment vont et ma mère et mes frères? Je 
ne sais rien d'eux. J'ai écrit, il y a déjà longtemps, à ma mère. 
La lettre est arrivée, je le sais, mais je n'ai rien entendu d'elle. — 

Où est ? Yit-il, et comment? Je suis bien inquiet pour lui. 

Quand je partis, il ne semblait pas devoir se bien porter. Dieu 
sait combien de fois j'ai eu du chagrin à son sujet. Pour moi, il 
ne m'a guère témoigné d'affection, et j'en suis bien fâché, car 
jamais je n'ai fait volontairement quelque chose qui ait pu lui 
déplaire. Écoute! Elisabeth, écris-moi (ne l'oublie pas) tout ce 
que tu sais de lai> et de ma mère, et de mes autres frères. 

» Ici, à Paris, je mène une vie assez gaie. Je m'applique à 
l'étude; visite de temps à autre les curiosités de la ville, et prends 
part aux plaisirs qui me conviennent. Je n'en attends pas moins, 
avec impatience, le moment où je pourrai m'en retourner, et 
volontiers je partirais aujourd'hui, si cela était possible. Mais je dois 
rester encore assez longtemps. C'est au printemps que je reviendrai. 

y> Il est vrai que je devais rester à l'étranger jusqu'en août 



304 APPENDICK. — I VU. 

prochain ; mais je reconnais que je n'ai plus beaucoup à gagner 
en restant. Je partirai donc pour le pays par mer, ou peut-être 
par terre en passant par Berlin (que je voudrais bien visiter avant 
de revenir). Mais je ne sais pas si mon argent y suffira. 

» De ma bien-aimée, qui est maintenant à Aalborg chez sa 
sœur, je n'ai rien entendu depuis assez longtemps. Je commence 
déjà à en être inquiet. J'espère toutefois qu'elle se porte bien. 
Elle a sans doute écrit, mais la lettre se sera perdue. 

y> Et M"''' Hansteen, comment se porte-t-elle? Elle se porte bien, 
n'est-ce pas? iN'oublie pas surtout de la saluer de la façon la plus 
aimable. De même, pour le professeur Hansteen. Je lui écrivis, il 
y a quelque temps. Tu les visites bien quelquefois? 

D Au conseiller d'État et à sa femme, mes compliments les 
plus respectueux. 

y> Keilhau a eu la bonté d'emporter un petit cadeau que je 
t'envoie. J'aurais désiré pouvoir le faire plus considérable, mais 
mes moyens ne me le permettent pas. C'est une paire de brace- 
lets et une agrafe destinée à être mise à une ceinture, ainsi 
qu'une petite bague. Ne refuse pas mon cadeau, et pense quelque- 
fois à ton dévoué frère, N.-H. Abel. 

» Quand tu écris, il faut écrire à l'extérieur de la lettre, etc. 
Elle ne doit te rien coûter, ou, du moins, pas plus que 2 skilling. 

» Porte-toi bien, ma sœur chérie; et m'écris aussitôt que tu 
auras reçu cette lettre. Ne l'oublie pas ! 

» Adieu, solte, sompe, sova. » 

Ces mots, qui appartiennent sans doute à une langue enfantine 
servant à Abel et à sa sœur, terminent la lettre. 

Sur l'adresse était écrit : « A Monsieur, Monsieur Elisabeth 
Abel, chez M. Treschow, Conseiller d'État, etc., par bonté. » 
Mais le double Monsieur^ écrit par distraction, avait été rayé 
ensuite et remplacé par un simple « Demoiselle y> . 



Les voyages et les courses onéreuses avaient épuisé les res- 
sources de Keilhau. Pour le mettre en état de revenir et de 



SOLITUDE ET GÊNE. 305 

prendre possession do sa cliaire, Abcl dut, sur ses ressources 
déjà trop restreintes, lui prôter une somme de 180 marcs-banco, 
somme cpii devait ôtre remise à llolmboc, dès que Keilliau serait 
revenu ù Christiania. 

Les diflicultés matérielles recommencèrent dès lors pour Abel. 
Toutefois elles ne semblaient constituer d'abord qu'un embarras 
temporaire, résultant du prêt qui devait être remboursé au plus 
tard dans un espace de deux mois. Mais, indépendamment de cet 
emprunt, la situation était pénible, et devait aller s'aggravant de 
jour en jour. 

Le grand voyage improvisé avait été singulièrement coûteux 
et pour Abel, et pour Keilhau, et pour Boeck aussi, dans Tétat de 
leurs ressources. Mais il y avait une différence capitale dans la 
situation de ces trois compagnons d'étude. 

Keilhau, revenant tôt et allant occuper une position dans son 
pays, n'avait qu'à gagner Le Havre et à y chercher un capitaine 
retournant en Norvège. 

Il en était autrement d'Abel. 11 s'était engagé à rester deux ans 
à l'étranger. Or, il n'était encore qu'au milieu du mois d'octobre, 
et à la rigueur, il ne devait être libre qu'au mois d'août de Tannée 
suivante. 

Sans doute, il y avait aussi des difficultés analogues dans la 
position de Boeck, qui (nous nous en souvenons) séjourna à 
Munich après s'être séparé d'Abel en Tyrol. Mais le sort d'Abel 
était incomparablement plus mauvais. Il appartenait à une 
famille ruinée et dispersée, qui ne pouvait lui donner la moindre 
assistance. C'était plutôt à lui d'aider les siens de ses faibles 
ressources, dans la mesure où il lui serait possible. 

De plus, Abel, au moment où il se sépara de Boeck, avait dû 
hii venir en aide, et, bien que l'avance qu'il lui fit fût peu 
importante, elle n'en avait pas moins réduit ses minces facultés. 
Ajoutons que Boeck ne pouvait pas facilement rembourser sa 
dette : ses obligations étaient identiques à celles d'Abel, quant à 
la durée de son séjour à l'étranger, et il n'habitait pas le même 
pays que son créancier. 

20 



306 APPENDICE. — I VII. 

Et ce fut alors que se fit cet achat de livres, qui priva encore 
Abel d'une part notable de ses ressources, trop près de s'évanouir. 
— Il n'en avait pas moins la tentation de se procurer toujours de 
nouveaux ouvrages. 

« Peut-être », écrivit-il à Holmboe, quand il ressentit pour la 
première fois de graves embarras, « peut-être que je serai contraint 
de te causer l'ennui de me procurer une traite sur Hambourg 
pour cette somme » (les 480 marcs -banco qu'il avait prêtés à 
Keilhau). 

« Encore une chose, une seule et modeste demande! Pourrais- 
tu me prêter 2:20 m. b.; ce qui ferait en tout 400? Tu me rendrais 
un éminent service; car je tiendrais diablement à aller à Berlin, 
avant de revenir, et à acheter quelque chose que je ne puis me 
procurer chez nous ou qui y coûterait le triple. 

y> Ne sois pas fâché de ma demande et donne-moi une réponse 
au plus tôt; — 71 oublie pas : — aussitôt que possible. Une longue 
lettre, avec beaucoup de nouvelles! » 

d Je regrette», dit-il ailleurs, en parlant de ses embarras et 
des inconvénients qu'il y avait pour lui à ne pouvoir revenir 
comme Keilhau, — (c je regrette d'avoir fixé à deux ans la durée 
de mes voyages; un an et demi aurait suffi largement. J'ai un 
violent mal du pays, et, dès à présent, mon séjour à l'étranger 
(ici ou ailleurs) ne me portera plus tout le profit qu'on pourrait 
croire. Je suis au fait de tout ce que les mathématiques pures 
offrent d'essentiel et d'insignifiant. Il me tarde seulement de 
pouvoir exclusivement consacrer mon temps à rédiger ce que j'ai 
recueilli. Il me reste bien des choses à faire! Mais tant que je serai 
en pays étranger, cela n'ira pas comme cela devrait. 

)) Ah ! si j'étais dans les habits de Keilhau, quant au professorat ! 
Je n'ai pas d'assurance, il est vrai. Mais je n'ai pas peur : car, si 
cela craque quelque part, cela portera sur une autre. » 



Après le départ de Môller et puis de Keilhau, dernier et plus 
intime compagnon de voyage d'Abel, celui-ci souffrit, plus 



SOLITUDE ET T.ÉNE. :J07 

qu'aulrofois, de sa solitude à Paris. 11 s'y trouvait maintenant 
« blankcnborg alcne y> et seul jusqu'à la nudité. 

Dans ses heures de loisir, après un travail acharné, il n'avait 
que rarement Toccasion d'échanger des idées avec quelqu'un, 
surtout avec des personnes dont l'entretien pût l'intéresser. Et ce 
n'étaient pas les conversations de table auxquelles présidait, avec 
son (( sanglier » d'épouse, le bon mais stupide hôte matliénialicien 
d'Abel, qui devaient parvenir ù chasser le sentiment d'isolement 
dont souffrait le jeune homme. 

Toujours il fallait entendre les mêmes discussions sur les 
secrets du ménage; toujours les mêmes trivialités et les mêmes 
équivoques, anciennes ou modernes, constamment répétées. 

« L'autre jour )) , raconte-t-il, (( il alla si loin, qu'une dame 

Mais nous ne redonnerons pas l'innocent bon mot de la pension- 
naire en question. — Parler de vases de nuit, etc., voilà un des 
sujets les plus décents. — Moi, je bois toujours du café dans 
mon petit vase de nuit. » 



A cela s'ajoutait pour Abel que les embarras de sa situation 
matérielle commençaient à lui permettre de moins en moins la 
recherche de ses petites distractions auxquelles il attachait tant de 
prix, et qui, un moment, lui faisaient oublier, les soucis et les pen- 
sées qui l'obsédaient. Si, même quelquefois, dans un accès d'étour- 
derie, au milieu de ses plus grands embarras, il céda à son désir 
ardent de voir une belle comédie, et surtout d'admirer le grand 
art qui se déployait sur le Théâtre français, alors il eut à com- 
battre intérieurement le sentiment qu'il avait d'être réduit à 
l'épargne, et ses plaisirs en étaient gâtés. En effet, bien qu'il soit 
arrivé à Abel de se laisser entraîner par la vivacité de son esprit 
et par son insouciance, il était naturellement, au témoignage 
de ses amis, sagement économe de ses ressources. 

«Étudier, manger, boire et dormir», telle fut dès lors sa vie 
à Paris et à l'étranger; sans parler de quelques visites à la 
Comédie. 



308 APPENDICE. — I VII. 

Sa profonde tristesse, on pourrait dire sa peine d'âme, se 
peint même au début de sa lettre à Holmboe, lettre écrite (on 
s'en souvient), après le départ de Keilhau, quand Abel avait 
terminé ce grand travail de Paris, qui fut si mal reçu par Cauchy. 

((ïu es un liomme brave à garder le silence, cela ne saurait 
être contesté. Tu ne peux le faire une idée de Tanxiété avec 
laquelle j'ai attendu quelques mots de toi. L'unique raison pour 
laquelle tu ne m'as pas écrit doit être que tu n'as pas reçu ma 
dernière lettre, datée de Botzen (Bolzano). 11. y a déjà quatre 
mois et plus encore, qu'elle a été expédiée. 

y> Ghercbe maintenant, mon ami, non pas à me tromper, mais 
à m'adresser quelques mots de consolation et d'encouragement 
dans ma solitude. Oui, bien que je sois dans la cité la plus 
vivante du continent, je me trouve néanmoins comme dans un 
désert : je ne connais presque personne. » 

Abel se préoccupait beaucoup de ses amis absents. Et, naturel- 
lement, il pensait à Holmboe et à tout ce qui le concernait d'une 
façon toute spéciale. En effet, il n'avait pas assez d'amis, ainsi 
qu'il le fait remarquer, pour qu'il risquât d'oublier ceux qu'il 
possédait. 

«Combien de traitement as-tu? Est-ce que tu es fiancé, et 
avec qui? Telles sont les questions auxquelles il faut que tu 
répondes. 

y> Moi, d'ailleurs, je vis fort sagement. J'étudie, mange, bois, 
dors; et quelquefois je vais à la Comédie, ce qui est le seul soi- 
disant plaisir dont je jouisse. Mais c'est aussi un grand plaisir. 
Je ne connais rien de plus amusant que de voir une pièce de 
Molière, où joue M"^ Mars. Véritablement alors je suis tout à 
fait ravi. Elle a quarante ans, et n'en remplit pas moins des rôles 
très jeunes. 

;) Écris! Ne m'oublie pas. Écris, au moins huit jours (au plus 
tard) après la réception de cette lettre, et n'affranchis pas. Je 
n'ai pas voulu le faire, parce qu'il en coûte moins pour nous deux 
et que les lettres arrivent plus sûrement. y> 



DERNIERS TRAVAUX DE PARIS. 309 



VIII. 

Derniers travaux de Paris. — Abel prépare la rédaction de ses 
« Recherches sur les fonctions elliptiques. » 

Abel se sentait donc bien découragé par la solitude, par les 
difficultés matérielles où il se trouvait de plus en plus engagé, et 
aussi par le peu de succès qu'obtenait un travail qui méritait un 
tout autre accueil. Il ne se sentait donc pas disposé au labeur 
régulier et soutenu qu'eussent exigé la composition et la rédaction 
des matériaux qu'il avait accumulés. H ne comptait plus en tirer 
de résultat satisfaisant tant qu'il n'aurait pas terminé son voyage 
et tant qu'il ne serait pas bien installé chez lui, a si cela doit 
jamais arriver. » 

Mais, à d'autres égards, il continua ses travaux, moins réguliè- 
rement sans doute, mais avec une plus grande vigueur dans les 
moments où il était mieux disposé, et le succès le plus décidé 
couronna ses investigations. Il ne semble pas avoir beaucoup 
avancé la rédaction du second travail capital qu'il s'était proposé 
d'élaborer pendant son séjour à Paris, séjour qui, dans ses pre- 
miers projets, devait être d'une plus longue durée. En revanche, 
il élargit très heureusement le cercle de ses découvertes, en 
poursuivant ses « Recherches sur les fonctions elliptiques ». 

Occupons-nous ici de l'ensemble des travaux qui appartiennent 
à la seconde période de son séjour à Paris, et surtout de ce qui 
est relatif au très important mémoire que nous venons de men- 
tionner. 



Abel avait terminé son mémoire pour l'Académie quelque temps 
avant la fin d'octobre; il raconte, en effet, qu'il l'avait montré à 
Gauchy, le 24 de ce mois, et le 30 il le présentait à l'Institut. 



310 APPENDICE. — I VIII. 

Ce travail fini, il s'occupa, pendant quelque temps, de questions 
d'une moindre étendue et relativement d'une moindre importance. 

Il fit, par exemple, des études sur les intégrales définies; et Ton 
doit remarquer que le premier mémoire qu'il publia alors dans le 
Journal de Crelle, traite aussi d'un sujet qui se rapporte à cet 
ordre de questions. Ce mémoire, dans la série de ses travaux, 
précède immédiatement les ce Recherches ». 

On constate encore, en particulier, que, dans les jours de répit 
qu'il s'accorda entre ces deux grandes entreprises, il s'occupa des 
écrits de Gauchy, dont il parle dans sa lettre à Holmboe. Il paraît 
s'être appliqué alors au célèbre et très important travail que le 
géomètre français a intitulé : (c Mémoire sur les intégrales définies 
prises entre des limites imaginaires. » C'est peut-être sous l'in- 
fluence de Cauchy qu'il fit aussi diverses recherches, bien modernes 
du reste, sur les quantités imaginaires, dont il dit qu'il y avait là 
beaucoup à faire. 

D'ailleurs, il continua ses investigations sur le calcul intégral, 
et surtout sur la théorie des séries infinies^ « très mal fondée », 
d'après lui. 

Au moment même où il écrivit à Holmboe la lettre précitée, il 
reprit son thème de prédilection : la théorie des équations. Il était 
arrivé à ce point, explique-t-il, qu'il voyait le moyen de résoudre 
le problème général que voici : « Déterminer la forme de toutes 
les équations algébriques qui peuvent être résolues algébrique- 
ment. )) — <k J'en ai trouvé, dit-il, un nombre infini du 5% 6® 
et 7° degré, qu'on n'a pas flairées jusqu'à présent. J'ai, en même 
temps, la solution la plus directe des équations des A premiers 
degrés, avec la raison évidente pourquoi celles-ci sont les seules 
résolubles et non pas les autres. Quant aux équations du 5® degré, 
j'ai trouvé que, quand une telle équation est résoluble algébri- 
quement, il faut que la racine ait la forme suivante, etc. )) 

Mais ces travaux ne pouvaient être considérés que comme des 
travaux accidentels et, en partie, préliminaires, auxquels Abel se 
livrait avant d'entreprendre la rédaction de ses « Recherches sur 
les fonctions elliptiques » . Si le temps où ils furent achevés ne 



DERNIKRS TRAVAUX DE PARIS. 311 

courut qu'à partir du ^i) octobre, jour de présentation du Mémoire 
à rinstitut, cette période intermédiaire fut de courte durée. Le 
2 novembre, en ciïet, soit quelques jours après seulement, Abel 
envoya à Gcrgonne, à Montpellier, un petit mémoire intitulé : 
« Recherche de la quantité qui satisfait à la fois à deux équations 
algébriques données. y> C'était pour voir, dit Abel, <r s'il voulait 
rimprimer. » Dans ce cas, il comptait lui envoyer (c un grand 
mémoire sur les fonctions elliptiques ». 



Abel s'appliqua alors à un ordre d'idées qui le préparait plus 
directement à la nouvelle théorie qu'il voulait exposer; et, chose 
remarquable, il ouvrit ces recherches par une petite étude relative 
à la théorie des transformations. 

Pour cela, il répéta les procédés dont il s'était déjà servi si 
fréquemment dans son ancien travail inédit sur la « Théorie des 
transcendantes elliptiques d, et dans son mémoire de Freiberg; en 
d'autres termes, il exposa la série des calculs qui mènent au 
principe des transformations. 

Conformément à la base de ses études, cela voulait dire pour 
Abel qu'en commençant, il rappelait ce qui était nécessaire pour 
achever la démonstration du théorème général de la théorie des 
transformations, il s'agissait donc pour lui de confirmer une 
théorie qui était déjà découverte dans ses parties essentielles. 
Car, nous le répétons, Vexposilion même des formules de trans- 
formation ne présentait pour Abel aucune difficulté, dès qu'il 
était en possession des idées de V inversion et de la double pério- 
dicité, et, en outre de l'idée si naturelle alors, et d'ailleurs 
déjà employée dans ses précédents mémoires, de se servir de la 
forme des produits dont il resterait à chercher les racines. Cette 
théorie partielle, sur laquelle il jetait ainsi d'abord un coup 
d'œil rapide, devait cependant être naturellement placée à la fin 
d'un mémoire complet, rédigé dans l'ordre le plus simple et le 
plus rationnel. 

Dans son livre manuscrit, on trouve ensuite, d'ailleurs, àes 



312 APPENDICE. — I VIII. 

calculs se rapportant à la transformation des intégrales de la 
seconde espèce. 



Peu de jours après, nous voyons subitement Abel en possession 
de la nouvelle théorie des fonctions elliptiques, dans tout ce 
qu'elle a d'essentiel. 11 ne peut donc être douteux qu'il se trouvait 
sur un terrain depuis longtemps connu, et que, pour lui, il s'agis- 
sait seulement d'éteridre et di' approfondir d'anciennes découver les. 

Pour s'en convaincre, il suffira toujours de noter le contenu 
du même livre manuscrit, tel qu'on le trouve analysé dans les 
indications données aux pages 284 et 285, à la fin de la nouvelle 
édition des Œuvres complètes. 11 faut cependant se rappeler 
aussi ce qui s'était passé auparavant, et, particulièrement, que 
le fondement de la théorie était déjà posé. 

Voyons donc, avec quelques détails, les notes qui se rapportent 
à la fin d'octobre et au commencement de novembre. Les 
pages 117-118 contiennent une ébauche du mémoire XIII du 
tome l^'' des Œuvres complètes. Or, cette ébauche a dû 
être écrite avant le 2 novembre 1826, jour auquel le mémoire 
fut envoyé à Gergonne afin de voir « s'il voulait l'imprimer ». 
L'ébauche était donc finie, au plus tard, peu de jours après la 
présentation du mémoire composé pour l'Institut. Abel s'était 
donc déjà décidé alors à entreprendre le « grand mémoire » sur 
les fonctions elliptiques annoncé depuis six mois, comme un des 
travaux qu'il voulait achever à Paris. 

Immédiatement après, aux pages 119-121, il traite de la 
transformation des intégrales elliptiques : il y rappelle quelques 
séries de conclusions très importantes, dont nous avons déjà fait 
mention ci-dessus. 

Vient ensuite une courte interruption. Mais elle n'est qu'appa- 
rente : ses notes prouvent, en effet, qu'il poursuivait ses recher- 
ches, quoique, d'une manière moins directe, en résolvant 
certains points difficiles avant de commencer la rédaction même 
de son mémoire. 



RECHERCFIES SUR LRS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 31 'i 

Ainsi, des pages 15 i h 127, il traite de la couver f/cncc des 
séries. C'était un sujet évidemment utile à approfondir lorsqu'il 
s'agissait d'exposer avec exactitude les développements des fonc- 
tions elliptiques en séries. 

Des pages 129 à 133, il s'occupe des équations abéliennes; et 
l'utilité que présentaient ces études pour les investigations sur la 
division, peut être encore moins contestée. 

Tout à coup, à la pai^c 135, on trouve notés les résultats sur la 
division de la leniniscate, résultats du plus haut intérêt pour la 
nouvelle théorie des fonctions elhptiqucs. 

De ce dernier résultat, si beau et si transcendantal, il ressort 
que non seulement A bel était, à ce moment, en possession de ses 
anciennes découvertes, de l'idée de Vinversion des transcendantes 
elliptiques, jointe à celle de l'analogie de ces fonctions inverses et 
des fonctions trigonométriqiies^ et de l'idée de la double périodicité 
de ces nouvelles fonctions, mais qu'en outre il connaissait com- 
plètement et était maître des théories de leur addition, de leur 
multiplication et de leur division, théories qu'il s'agissait dès lors 
seulement de perfectionner. 

Abel ne s'occupe donc, avant de passer à la rédaction, que 
d'étendre ses découvertes et de résoudre quelques difficultés de 
détail. Il voulait surtout faire une très intéressante application de 
la théorie de la division et il tenait à s'assurer que rien ne 
manquait pour une complète démonstration des formules de 
transformation, ni pour bien établir la convergence de certaines 
séries. 

Comme nous Tavons déjà fait remarquer pour Abel, les théo- 
rèmes principaux relatifs aux transformations des fondions 
elliptiques devaient être alors faciles à exposer. Et il en était de 
même des théorèmes fondamentaux sur le développement des 
fonctions. Il ne s'agissait plus, en effet, que de trouver quelques 
racines et puis de faire quelques passages à l'infini. Aussi Jacobi 
dit-il dans sa lettre du 12 janvier 1828, après avoir parlé de la 
découverte par Abel de la double périodicité et de la division, etc : 
(( Connaissant les racines des équations mentionnées, M. Abel les 



31^A APPENDICn:. — I VIII. 

résout en facteurs ; ensuite, dans les formules qui en résultent, il 
pose n^==oc, d'où il lire des expressions très remarquables. 
Mais cela », ajoute-t-il, ce n'a plus aucune difficulté, d 

Abel a dit à Holmboe qu'à Paris il avait trouvé « l'essentiel de 
ce qu'il a traité plus tard dans ses écrits sur les fonctions ellip- 
tiques »; et l'on voit de ce qui précède que cela se confirme dans 
les détails par fexamen de son livre-manuscrit. 

Les principes avaient été déjà trouvés à Christiania. Plus tard, 
il n'en avait plus été question, jusqu'au jour où il annonça de 
Vienne qu'il élaborerait à Paris ses recherches sur les fonctions 
elliptiques. Et, à peine a-t-il commencé qu'on le voit, tout à coup, 
déjà maître de la théorie dans sa plus grande extension ! 



Dans ses lettres à Holmboe et à Crelle, relativement à ce sujet — 
lettres écrites toutes les deux en décembre 1826, — Abel ne parle 
pas de ses découvertes au point de vue général et abstrait. ïl se 
borne à expliquer des choses pratiques, qui résultaient de ses 
études et qui pouvaient être facilement saisies du lecteur, sans 
les détails des démonstrations. Mais, de ces communications, 
on peut conclure à quel point élevé, il était parvenu de très 
bonne heure, dans ses investigations. Car les résultats obtenus 
supposent la connaissance de toute une grande théorie fonda- 
mentale. 

Dans la lettre à Holmboe, il s'exprime de la manière suivante 
sur la découverte relative à la division de la lemniscate: 

(( Item, j'envoie à Gergonne un grand mémoire sur les fonctions 
elliptiques, où il y a de bien drôles de choses qui piqueront (je 
m'en flatte) tel ou tel : entre autres quelque chose sur la division 
de la lemniscate. Tu verras comme c'est gentil. J'ai trouvé qu'au 
moyen de la règle et du compas, on peut diviser la lemniscate 
en 2" -h 1 parties, lorsque ce nombre est premier. La division 
dépend d'une équation du degré (2" -[- 1)'— 1; mais j'en ai 
trouvé la solution complète à l'aide des racines carrées. A cette 
même occasion j'ai éventé le mystère qui a régné sur la théorie 



RECHKnCHES SUH LKS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 315 

de Gauss, de la division du cercle. Je vois clair comme le jour 
comment il y est parvenu. 

(( Ce que je viens de dire de la lemniscale est un des fruits de 
mes recherches sur la théorie des équations. Tu ne saurais 
l'imaginer combien j'y ai trouvé de théorèmes délicieux, par 
excniple celui-ci, etc. » 



316 APPENDICE. — i IX. 



IX. 



Fin du séjour à Paris et sort du mémoire présenté par Abel 

à l'Institut. 

Avant que la lettre à Holmboe parvînt à Christiania, celui-ci 
avait déjà écrit à Abel; mais, dès qu'il Teut reçue, il s'empressa 
de lui écrire de nouveau et de lui procurer Targent demandé, y 
compris la somme que lui devait Keilhau. Cet envoi donna lieu à 
la dernière lettre qu'Abel adressa de Paris, celle qui est datée de 
décembre, et où il fait mention de sa découverte relative à la 
division de la lemniscate. Dans cette lettre, il exprime à son 
ancien maître et ami ses meilleurs remercîments; et de ce qu'il 
dit, ressort une fois de plus combien grand était son embarras et 
combien il devait lui avoir été pénible d'en être réduit à recourir 
à la bonté d'Holmboe. Du reste, il avait dû en même temps faire 
également appel à celle d'un autre ami, ou il était sur le point de 
le faire. 

«Mille remercîments», dit-il, «pour tes deux chères lettres, 
iterrij parce que tu as été si ponctuel. Si j'avais su que tu 
m'avais écrit, je n'aurais pas osé te demander tant de sacrifices. 
Ne sois pas fâché de mon embarras d'argent. J'ai deux amis, à 
proprement parler, et je suis ainsi forcé de les importuner 
malgré moi. 

)) 11 est possible que je pourrai l'épargner ; mais il est probable 
que je serai contraint de recourir à ta bonté. Pas encore cepen- 
dant; mais quand je viendrai a Berlin. Dans peu de temps, en 
effet, je quitte Paris, où je n'ai rien plus à « pêcher » , et d'abord 
j'irai à Gôttingue pour y « bloquer » Gauss, s'il n'est pas trop 
((fortifié» d'orgueil. « J'aimerais aussi beaucoup à rester quelque 
temps en Allemagne pour apprendre un peu mieux la langue 



FIN DU SÉJOUR A PARIS. 317 

allemande; ce qui sera de la plus haute importance pour mon 
avenir. Quant au français, je me tire d'affaire suffisamment pour 
écrire un mémoire; et je voudrais bien pouvoir en faire autant 
eu allemand. » 

C'est dans celte lettre qu'Abel parle pour la première fois 
et d'une manière précise de son projet d'envoyer à Gergonne le 
grand mémoire sur les fonctions elliptiques, dont il avait com- 
mencé à s'occuper. Mais son attention avait été attirée bien plus 
tôt vers ces Annales, à raison des difficultés où il se trouvait, 
comme nous l'avons dit, cliaque fois qu'il désirait publier quelque 
chose. 

Rappelons qu'à l'origine il s'était proposé, en approfondissant 
et développant ses recherches, d'en faire un traité complet. Il 
avait espéré d'abord pouvoir trouver un éditeur, alors qu'il avait 
réussi à se faire un certain renom par ses articles dans le Journal 
de Crelle. Puis, il avait compris toutes les difficultés qui s'oppo- 
seraient à la réalisation d'un semblable projet, et il semble qu'il 
ait pensé quelque temps à l'Académie de Paris. Mais il dut 
bientôt changer d'idée, en voyant combien étaient minces les 
résultats de sa première tentative. Se servir du Journal de Crelle 
n'était pas chose bien facile, ainsi que nous l'avons indiqué déjà. 
En premier lieu, il s'agissait de publier un travail d'une étendue 
considérable. Or, ce Journal en était encore à ses débuts et il 
était d'autant plus douteux que l'insertion de tout un traité pût y 
être entreprise sans danger. En outre, on sait que pendant cette 
première période, le Journal fut rédigé exclusivement en langue 
allemande, ce qui, à plusieurs égards, était désavantageux pour 
x\bel, habitué qu'il était à se servir du français. Sans doute, 
Crelle lui-même traduisait en allemand ce qu'il écrivait. Mais 
pour des travaux d'une très grande étendue, il était singulière- 
ment gênant de procéder de la sorte : soit qu'Abel — il Tavait 
fait à Freiberg, à la fm de son séjour en Allemagne — essayât 
d'écrire tout d'abord en allemand, langue qu'il possédait mal, 
soit qu'il employât, comme précédemment, la langue française, 
sauf à s'adresser ensuite à Crelle, pour obtenir de sa bonté 



318 APPENDICK. — I IX. 

lin concours dépassant ce qu'il était raisonnable d'en attendre. 

Il est donc bien naturel que, dans les circonstances où il se 
trouvait, Abel ne vît d'autres ressources que de chercher à faire 
publier son travail dans un journal français, comme celui de 
Gcrgonne, surtout alors qu'il pensait encore devoir rester à 
Paris jusqu'au printemps. 

Il ne pouvait cependant songer à rédiger un mémoire d'une 
telle étendue et d'une telle importance dans le court délai qui 
restait à courir avant son départ; d'autant plus que les difficultés 
matérielles contre lesquelles il luttait, même après avoir obtenu 
d'Holmboe un prêt d'argent, l'obligeaient à faire hâter l'époque 
de son retour. 

On peut dire qu'Abel resta à Paris tant que cela lui fut humai- 
nement possible, espérant toujours qu'on en arriverait au juge- 
ment de son mémoire, ce Mais rien n'aboutit avec ces hommes 
lents. y> 

Legendre raconte dans sa lettre du 8 avril 1829, que lui et 
Cauchy qui avaient été nommés commissaires, étaient conve- 
nus entre eux de demander à l'auteur une copie plus nette et 
plus facile à lire. Le mémoire, disait-on, n'était presque pas 
lisible, il était écrit « d'une encre très blanche; les caractères 
en étaient mal formés. » Depuis, les choses en étaient restées là. 
Le manuscrit, ajoute Legendre, « n'avait jamais été dans ses 
mains : il fut gardé par Cauchy » qui ne s'en occupa pas. Et 
(d'auteur Abel paraît s'en être allé sans s'occuper de ce que 
devenait son mémoire; il n'a pas fourni de copie, et il n'a pas 
été fait de rapport. )) 

Arago, dans sa biographie d'Abel, répète les mêmes choses 
pour ce qui regarde Legendre. (( Ses yeux de près de quatre-vingts 
ans)), dit-il, «ne parvinrent pas à suivre, à déchiffrer avec 
sûreté des formules écrites avec une encre blanche. » Mais il ne 
dit rien sur les «caractères mal formés» et ce serait aussi, sans 
doute, un injuste reproche adressé à Abel, dont l'écriture était 
très nette et très lisible. Sur ce point, Legendre, qui n'avait 
jamais eu le mémoire «dans ses mains )), doit s'être trompé, 



FIN DU SI'JOUR A PAHIS. 319 

d'autant plus qu'à un autre point de vue, la lecture lui en donnait 
de la peine. 

Arago ne dit rien aussi de ce que Legendre et Caucliy se 
fussent entendus pour demander une nouvelle copie; et il semble 
que, d'aucune part, on n'ait attaché beaucoup d'importance à 
cette demande, puisque ni Arago, défenseur de l'Académie des 
Sciences, ni Abcl, qui était le plus intéressé dans TalTaire, n'en 
ont eu connaissance. Certainement on n'a rien fait pour prévenir 
l'auteur qu'il eût à récrire son mémoire. 

Abel, nous l'avons dit, resta à Paris tant que cela lui fut 
humainement possible, toujours dans l'espoir d'apprendre quelque 
chose sur le sort de son travail. Mais bien qu'il fût d'une nature 
timide et qu'il craignît beaucoup d'importuner les gens, il n'est 
guère douteux qu'il ait fait une dernière tentative pour se mettre 
en rapport avec Legendre, ou au moins pour obtenir quelques 
renseignements par d'autres voies, avant de partir. 

« Il est vrai, )> écrit-il plus tard de Berlin à Holmboe, «j'aurais 
dû t'écrire depuis longtemps, seulement je voulais savoir d'abord 
ce qu'il adviendrait du mémoire que j'ai présenté à l'Institut. 
Mais rien n'aboutit avec ces d hommes lents )). Legendre et 
Cauchy ont été chargés de l'examen, Cauchy du rapport. Legen- 
dre a dit : « Ça prendra. » 

«Et alors», ajoute-t-il immédiatement après, « le voyage à 
Berlin vint sur moi, comme la veille de Noël sur la commère. y> 

Ce qui est également remarquable, c'est que dans la lettre 
d'Abel datée de Paris et du mois de décembre, il n'est pas 
question du mémoire ni de son sort. Il semble donc qu'au 
dernier moment, Abel se soit procuré les pauvres renseignements 
qui viennent d'être rapportés, et qu'il ait eu un court entretien 
avec Legendre. Mais, s'il en est ainsi, il n'a nullement compris 
qu'on lui demandât une copie nouvelle. Il est parti avec l'impres- 
sion que certainement ses hauts juges ne se presseraient pas 
trop de finir leur tâche; mais qu'il y avait aussi, parmi eux, un 
vieillard bienveillant, qui avait eu pour lui quelques mots d'en- 
couragement. Malheureusement, Legendre s'était trop peu occupé 



320 APPENDICE. — I IX. 

des matières du mémoire, et ses courtes rencontres avec le jeune 
étranger n'étaient pas au nombre des faits qui s'étaient gravés 
dans sa mémoire. 

Arago, en expliquant pourquoi il no fut pas fait alors de rap- 
port, ne dit donc rien de la demande d'une «nouvelle copie». 
Après avoir remarqué que presque immédiatement le mémoire 
passa aux mains de M. Gauchy, il s'exprime en ces termes : 

(( L'illustre géomètre ne se hâta pas de faire le rapport. En 
veut-on l'explication? c'est qu'il se hâtait de compléter et d'im- 
primer ses propres découvertes; c'est qu'à l'époque dont on parle 
les cahiers des Exercices mathématiques se succédaient avec 
une rapidité dont le monde savant était étonné; c'est enfin, 
tranchons le mot, que l'Académie serait bientôt déserte, que ses 
membres les plus célèbres, les plus laborieux, donneraient leur 
démission, si les règlements exigeaient qu'à jour nommé chaque 
académicien abandonnât ses travaux pour discuter les idées de 
quiconque aurait jeté un chiffon de papier sur le bureau du 
président. Heureusement, d'aussi absurdes règlements n'existent 
pas et n'ont jamais existé. 

» Je lis dans la lettre d'Abel du 24- octobre, que j'ai si souvent 
citée : 

(c M. Gauchy est celui des mathématiciens (français) qui sait le 
» mieux comment les mathématiques, pour le moment, doivent 
» être traitées. Il y a des choses excellentes, mais sa manière 
» manque de clarté. Je ne le compris presque point d'abord, 
)) mais à présent je suis en train. )) 

» Faudrait-il s'étonner, si M. Gauchy, à son tour, n'avait pas 
de premier abord facilement apprécié les idées entièrement 
nouvelles d'Abel, s'il lui avait fallu aussi quelque temps pour se 
mettre en train? On doit remarquer qu'Abel était revenu en 
Norvège. Quand les matières sont abstraites et neuves, les expli- 
cations verbales des auteurs peuvent seules hâter les rapports. » 

Ges explications du célèbre physicien contiennent une part de 
vérité; mais ne justifient pas un retard de quinze années. 

Du reste, bien avant, à la date du 24 juillet 1830, le même 



FIN DU SÉJOUR A PAULS. 321 

savant, en sa qualité de secrétaire perpétuel de l'Académie, avait 
déjà eu à proclamer que le grand prix était partagé entre les 
héritiers de feu Abel et avec Jacobi, et à cette occasion il avait 
exprimé à la famille du défunt les vifs regrets que la perte de 
son illustre membre avait inspirés à TAcadémie des Sciences. 

On aurait donc bien pu espérer que quatre ans après la 
présentation du mémoire, et im an après la mort d'Abel, la 
Compagnie ne tarderait pas à entreprendre la publication de son 
travail. 

Et cependant, il devait s'écouler encore dix ans, au moins, à 
partir de l'année 1830, avant qu'Arago écrivît cette courte biogra- 
phie d'Abel, qu'on pourrait appeler plutôt une défense de 
l'Académie. Cette biographie, en effet, est fondée sur celle 
quHolmboe rédigea pour les (a Œuvres complètes yy, publiées en 
l'an 1839. Or, ainsi que nous le verrons plus tard, aucun 
exemplaire de ces Œuvres ne put parvenir en France que dans 
le cours de 1840. Ne semble-t-il pas qu'à l'expiration de ces dix 
nouvelles années, on eut dû s'être assez rendu compte de la 
valeur des travaux d'Abel, pour ne plus s'arrêter aux raisons 
données par facadémicien français lorsqu'il sefforce d'expliquer 
un trop long retard? 

De plus, certaines idées que l'on considéra d'abord comme 
((fort contestables)) et qui purent jeter même leur ombre sur 
di'aiUres investigations d'Abel, de son vivant, auraient dû si tard 
être regardées d'un tout autre œil par les mathématiciens fran- 
çais, à moins que presque toutes leurs forces ne fussent cons- 
tannnent tournées vers des questions se rattachant à d'autres 
parties de leur science. Si jadis Abel avait pu, avec quelque 
raison, apparaître au sévère Gauchy comme un aventurier en 
mathématiques, il y avait longtemps qu'il ne pouvait plus en être 
ainsi, pour peu que l'on respectât le jugement que Ton avait 
rendu antérieurement soi-même. 

Sûrement, d'autres raisons que celles qu'Arago expose doivent 
être prises en considération pour expliquer un regrettable retard. 
Il dut tenir à certaines situations, à certaines personnalités, à des 

21 



322 APPENDICK. — I IX. 

choses, en somme, que nous ne connaissons pas assez. Mais on 
ne saurait soutenir, comme le célèbre physicien essaie de le faire 
à Toccasion de ce retard, dans un autre petit endroit du même 
petit écrit, qu'on accorde drjà à quelqu'un un grand honneur et 
un grand avantage en lisant quelques mots sur lui en pleine 
séance d'Académie, et quensuite on peut, en bonne conscience^ 
mettre de côté, pour une demi-génération, un travail de la portée 
la plus haute. 

Vraiment, c'est là s'exagérer singulièrement la valeur d'une 
semblable lecture, à laquelle on procède d'ailleurs après un 
examen bien superficiel. Ce qu'il importe, c'est de constater la 
date et, par suite, la nouveauté même d'une découverte. Autre- 
ment, rien n'est de nature à satisfaire ni le véritable chercheur 
ni les intérêts de la science elle-même. 

Une des vraies raisons du retard et de l'oubli signalés fut 
peut-être, — bien qu'Arago n'en parle pas — que dans le même 
mois de juillet 1830, et seulement quelques jours après qu'on 
eut décerné et partagé le grand prix, la Révolution de juillet 
éclata à Paris; et que Gauchy, rapporteur du mémoire, et presque 
le seul, à part quelques vétérans, qui, d'après Abel, cultivât alors 
avec grand succès la pure analyse, Cauchy suivit le roi détrôné 
dans son exil. 



SECOND VOYAGK A BEULIN. 323 



X. 

Second voyage à Berlin. — Six semaines d'embarras. 

Vers la fin de décembre, la position d'Abel devint insupportable, 
et il dut, en conséquence, se dépêcher à partir tandis qu'il avait 
encore assez d'argent pour faire le voyage de Berlin. Après avoir 
ainsi prolongé son séjour à Paris, il ne put même être question 
d'aller à Gôttingue, pour faire le « blocus de Gauss». Le 29 dé- 
cembre Abel partit donc. 

Dans la diligence de Paris à Valenciennes et Bruxelles , il y 
avait ce jour-là deux voyageurs. C'était le contingent de la grande 
capitale! Ainsi commença <( l'efProyablement maigre voyage y> 
d'Abel à Berlin. 

« Bruxelles est une très belle cité », remarque Abel; il y resta 
une nuit et un jour, parcourant tout le temps les rues. Il conti- 
nua sa route par Liège, et alla à Aix-la-Chapelle, et puis à 
Cologne. Vers la fin du trajet, il eut pour compagnon un très 
bon garçon de Francfort-sur-le-Mein. 

A (( Cologne-sur-le-Rhin, il s'arrêta de nouveau pendant un 
jour et deux nuits. Cologne est, dit-il, une ville vieille et laide. » 

De Cologne, il se rendit en poste, par Elberfeldt et Arnsberg, 
à Cassel. «Le paysage passe ici pour être extrêmement joli», 
raconte-t-il; mais ce la nuit et Thiver » l'empêchèrent de l'appré- 
cier. Un accident se produisit pendant ce voyage : un enfant 
de sept à huit ans fut écrasé par la voiture qui lui passa sur 
le corps; il fut tué sur place. « On continua son chemin sans 
s'arrêter. » 

A Cassel, ville très belle, on demeura la nuit. Il y avait là un 
très beau théâtre, et Abel alla à la comédie, tout gêné qu'il 
devait se savoir pendant ce voyage subit, ou, pour mieux dire, 



324 APPENDICE. — I X. 

cette fuite à Berlin, alors qu'il en était arrivé au bout de l'argent 
qu'il avait emprunté. « On joua très bien. » 

« Pendant le séjour à Cologne, je fus aussi au théâtre, » dit-il, 
(( mais mal ! » 

Il voyagea ensuite avec un négociant allant à Berlin et à 
Kônigsberg. 

Pour la première fois, le nom de cette ville apparaît dans 
l'histoire d'Abel. Nous nous figurons que, pendant le voyage, les 
deux compagnons parlèrent souvent d'un certain mathématicien 
Jacobi, qui demeurait dans cette ville. Jacobi, il est vrai, n'avait 
pas encore un nom. A cette époque (en janvier 18:27), il luttait sans 
doute; mais il n'était pas encore entré dans la voie de ses futures 
découvertes. Toutefois, il était un collaborateur du Journal de 
Crelle, trop zélé et trop actif pour qu'Abel ne l'eût pas remarqué. 

Par une coïncidence curieuse et qui caractérise l'époque, un 
peu plus tard, Jacobi parle aussi d'un marchand avec lequel il 
aurait fait un voyage semblable. Il lui avait confié une lettre 
pour Legendre. Et qui sait? — car on était alors dans le temps 
des petites villes et d'un commerce relativement très restreint, — 
qui sait si le marchand de Jacobi n'était pas le même que le 
compagnon d'Abel? 

Avec son «négociant», celui-ci se rendit de Gassel à Magde- 
bourg, en « Extrapost » sans s'arrêter à la résidence de Gauss. 

Puis, on traversa le Hartz, <c où il doit faire fort beau en été. » 
Mais après Quedlinberg il y avait, dit Abel, «la plus infâme route 
où j'aie jamais passé. » Nos deux voyageurs étaient seuls dans la 
voiture; et, cependant, c'est à peine si l'on avança, bien qu'on 
eût attelé quatre chevaux. 

A Magdebourg, les deux compagnons de voyage se séparèrent : 
le négociant avait beaucoup d'affaires dans la ville, et Abel, après 
y être resté la nuit, continua son voyage dans une voiture de 
louage. 

Tout changea à l'approche de la capitale. Au lieu des routes 
primitives, on trouva des voies excellentes. Mais la compagnie 
était <( honteuse y> : un cordonnier, un gantier et un soldat ayant 



SECOND VOYACR A RI-RLIN 32.^) 

fini son temps de service, qui buvaient continuellement de Tcau- 
de-vie. ï) 

Abel s'ennuya dans cette société, et personne ne fut plus heu- 
reux que lui, lorsque, après deux jours passés de la sorte en 
voiture, il entra i\ Berlin par le Potsdamcr Thor. 

11 descendit au Kronprinzen, mais s'installa bientôt dans la 
Franzosische Sti^asse (au n^ 89 et au second étage), près du 
Gens'd' armen Marks. Un quart d'heure après son arrivée, il était 
déjà assis à Kônigsstàdterenj où il se réjouit en voyant d'anciens 
visages et en entendant des voix connues. 



A son arrivée à Berlin, qui eut lieu le 10 janvier 1827, ses 
ressources étaient bien réduites. Toute sa fortune consistait en 
14 thalers, et il dut s'adresser à des amis et même à des compa- 
triotes, plus ou moins connus, pour se tirer d'embarras. 

De Becker il accepta 50 thalers. 

Un ancien ami qu'il retrouva alors fut Maschmann, « le perma- 
nent porteur de lettres ». Ce jeune homme lui était bien connu 
depuis qu'étant tous deux à l'école, Abel faisait des visites quoti- 
diennes à la pharmacie du père de son camarade. Celui-ci resta 
encore quelque temps à Berlin pour s'instruire dans la pharmacie. 
11 vint sans doute en aide à Abel dans ces circonstances difficiles. 

Un autre Norvégien également pharmacien, Monrad, de Bergen, 
demeurait aussi à Berlin et y habitait avec sa femme et sa mère. 
Ce fut une famille dont Abel fit maintenant connaissance et chez 
laquelle il se sentit à l'aise. 

Il avait donc tout lieu d'espérer qu'une assistance bienveillante 
ne lui ferait pas défaut jusqu'au moment où il pourrait obtenir des 
secours plus efficaces de ses plus intimes amis de Norvège. La 
situation n'en était pas moins bien pénible. Toutes ses ressources 
(excepté la petite somme que lui devait Boeck) étaient épuisées. 
11 ne restait plus rien de l'argent que lui avait remboursé Keilhau, 
par l'intermédiaire de Holmboe, ni des "â^O marks que ce dernier 
lui avait prêtés de ses propres fonds. Quant à un nouveau subside 



326 APPENDICE. — I X. 

du gouvernement, il n'en était pas question. Donc il fallait 
continuer à faire des dettes et à adresser d'humbles prières à un 
petit nombre d'amis. Abel était, en effet, obligé de séjourner à 
l'étranger tant qu'il y avait pour lui possibilité de le faire; car ses 
deux années de voyage ne finissaient qu'au mois d'août. 

En toute hiite, il écrivit donc à Munich à Boeck; celui-ci était 
le moins éloigné de ses amis hors de Berlin; il fallait plus de 
temps pour obtenir une réponse de Christiania. 11 pria donc Boeck 
de lui rembourser le plus expéditivement ce qu'il lui devait; à la 
fin de sa lettre, il le somma même une seconde fois de le payer 
sans retard. 

Il ne s'agissait d'ailleurs pas de grand'chose. D'un nombre, à 
demi effacé, qui se trouve dans une lettre à Boeck, écrite de Paris 
à la date du i"' novembre, il résulte qu'il était question d'une 
somme de 75..., mais de 75... quoi? Impossible de le déchiffrer! 
En tout cas, que l'on eût à évaluer la somme en monnaie de 
Norvège ou (bien moins favorablement) en monnaie de France, il 
était de la plus haute importance pour Abel de la recevoir, et de 
la recevoir au plus vite. 

Mais si modestes que fussent les obligations de Boeck, il n'était 
rien moins que sûr qu'il pût les remplir immédiatement. Aussi 
bien qu'Abel, Keilhau avait dû l'aider de sa bourse; de même que, 
plus tard, Abel était venu en aide à Keilhau. Il était, en outre, 
survenu toutes sortes de complications dans les envois d'argent 
faits de Norvège à Boeck. 

Depuis longtemps on lui avait expédié deux lettres, mais 
adressées à Paris, où elles étaient restées à la légation suédo- 
norvégienne. L'une d'elles contenait une traite de 600 francs. Un 
jour qu'Abel dînait chez le ministre (et sans doute ce jour d'octo- 
bre où — à ce qu'il avoue lui-même — l'affaire avait été un peu 
chaude pour lui, mais « très peu »), Abel prit connaissance des 
deux lettres, et pria le secrétaire de la légation de les lui remettre 
pour les faire parvenir à Boeck. Mais le secrétaire oublia la chose: 
il préférait, d'ailleurs, que Boeck s'adressât directement à la léga- 
tion. Pour hâter le paiement, Abel avait donc dû inviter son ami 



SKCOM) voYA(;i': a iikhlin. 32 

absent h écrire lui-môme quelques mots, quMl promettait de 
renietirc sui'-le-cliamp ù destination, si Boeck voulait les lui 
adresser. La traite étant sur Paris, il se ferait ensuite un plaisir 
d'en toucher le montant, pourvu qu'elle fût endossée h son nom. 



Cependant, il s'en fallait de beaucoup qu'Abel en fût arrive au 
comble de ses peines et de ses préoccupations d'avenir : il gardait 
encore de Tespoir, et, aux yeux de ses amis du moins, les dilïi- 
cultés de sa situation semblaient ne devoir être que transitoires. 
Sans doute, la chaire qui lui eût convenu, Holmboe l'avait obtenue; 
mais rUniversito elle-môme avait déclaré, en même temps, qu'il 
ne fallait pas perdre de vue « l'étudiant Abel ». On songeait donc 
à le placer à TUniversité, et Hansteen s'intéressait à lui, ce qui 
devait lui être d'un puissant secours. De plus, Abel avait fait de 
bonnes choses pendant son séjour en Allemagne, et il avait été 
très heureux avec le mémoire qu'il avait présenté à l'Institut. S'il 
n'avait pas eu de succès auprès de Cauchy, au moins Legendre 
l'avait encouragé, et le jugement d'une autorité aussi élevée que 
l'était l'Académie des Sciences de Paris devait produire beaucoup 
d'effet en sa faveur dans son propre pays. 

Ce n'était donc pas sans raison que Keilhau — bien qu'il eût déjà 
une chaire à l'Université — croyait que, de tous les compagnons 
du même voyage, c'était Abel qui finirait par arriver à la situation 
la plus avantageuse. ' 

Abel ne pouvait pas nier qu'il y eût quelque chose de probable 
dans cette opinion. Cependant, il avait des doutes : il savait que, 
même dans les cas les plus favorables, il rencontrerait encore 
beaucoup de difficultés, tenant à ses embarras et à ses rapports 
personnels. 

(( Ma position », écrit-il à Boeck, (( deviendra la meilleure, à 
ce que pense Keilhau. Officiellement, il en sera peut-être ainsi; 
mais, entre nous, je vois, privatim, bien « des laideurs » sur la 
route que je dois parcourir. En vérité, j'ai grand' peur de l'avenir! 
Peut-être devrais-je chercher à rester pour toujours en Allemagne, 



328 APPENDICE. — I X. 

ce qui no rnc serait pas bien diiricile. Crclle m'a terriblement 
bombardé pour que je reste ici. Il est même un peu fâché que je 
dise non. II ne voit pas ce que je veux faire en Norvège, pays qui 
lui paraît être une autre Sibérie. » 



A son arrivée à Berlin, Abel avait une foule de lettres à écrire : 
à Boeck, d'abord — et, vu sa situation pécuniaire, c'était alors la 
plus importante — ; mais, de plus, à sa fiancée, à Hansteen, à 
Keilhau, à Holmboe, à Miller, etc. En outre, il avait déjà « une 
damnée besogne y> à faire pour le Bulletin de Férussac et le 
Journal de Crelle. 

Une lettre, avec demande d'argent, à Holmboe ne pouvait plus 
être ajournée. Mais ce ne fut encore qu'un petit billet, tant Abel 
était occupé pour lui-même et pour Crelle. 

ce Bientôt je t'écrirai plus en détail, » dit-il dans ce billet du 
20 janvier. <k Mais ce que je voudrais surtout, c'est de l'argent, 
tu as été assez bon pour me promettre de m'aider. Gomme je 
suis diablement à court d'argent, je désire naturellement beau- 
coup que tu puisses m'en fournir et aussi vite que possible. Quant 
à la traite, il vaut mieux que tu en parles avec le professeur 
Maschmann, qui a un commissionnaire à Hambourg. » 

Maschmann, le père, pharmacien à Christiania et ayant le 
titre de professeur, avait, en effet, des relations avec Hambourg et 
Berlin. Il était, en outre, en rapport avec Hansteen, et, plus tard, 
il fît la connaissance de Crelle : il joua donc certainement un 
certain rôle dans les graves événements qui devaient se produire. 

« Le fils de Maschmann)), dit ensuite Abel,» le fils, qui est ici, 
a promis d'écrire à son père; ce qu'il y a de mieux, c'est qu'on 
envoie tout en (c Hamburger Banco. 3) 

» Ne sois pas fâché, mon ami, de ce que je te donne tant de 
peine. Mais que veux-tu que je fasse, pauvre diable que je suis! )> 

Cette petite lettre de demande fut solennellement adressée : 
(( Seiner Hochwohlgehorcn Herrn, Herrn Bernt Holmboe, Lecior. » 



SIX SEMAINES D'EMBARRAS. 329 

Un mois so passa dans cette misère! Abel, depuis son arrivée, 
n'avait souvent d'autres ressources que de vivre aux dépens de ses 
compatriotes qui se trouvaient à Berlin. Sa vie était donc généra- 
lement bien fastidieuse! Comme à Paris, il ne faisait qu' «étudier, 
manger, dormir, et d'ailleurs très peu d'autres choses. » Quelque- 
fois, cependant, en dépit de sa pénurie, il ne savait pas résister 
à son ardent désir d'aller au théâtre; il comptait sur des temps 
meilleurs. A d'autres moments, au contraire, il se laissait aller 
au désespoir. 



Sous certains rapports, la vie à Berlin, quoique bien monotone, 
était plus agréable que celle de Paris, à condition, toutefois, 
qu'Abel fît abstraction de sa gêne, de plus en plus pressante, et 
de sa situation de plus en plus endettée; à tel point [qu'il devait 
lui être bien difficile de s'en jamais tirer. 

Abel était souvent chez Grelle, cet homme sympathique, qu'il 
ne mentionne qu'en ajoutant quelque chose de bon sur son 
compte. Chaque lundi, il assistait à sa réception, et, de plus, il 
était en relations fréquentes avec lui. 

Il allait surtout dans la famille de Monrad. Deux ou trois fois 
par semaine, il y jouait aux cartes, en même temps que Masch- 
mann. C'était là une distraction heureuse, qui reposait Abel de 
ses études continuelles, et qui, pour un habile joueur comme lui, 
devenait pour lui une petite source de revenus, les seuls qu'il ne 
dût pas à des emprunts. 

Abel, en racontant à ses amis tous ses embarras d'argent, a dit 
plus d'une fois comment, lorsqu'il était invité à une soirée, il 
trouvait dans ses gains de jeu un soulagement à ses misères du 
moment, misères qui devaient se renouveler sans cesse pendant 
un temps assez long. Sans doute, entre camarades et en famille, 
les mises étaient modiques; juste ce qu'il fallait pour donner de 
l'intérêt au jeu. Les profits qu'il réalisait ne pouvaient donc con- 
duire Abel bien loin. Mais les plus petites sommes lui devenaient 
précieuses alors qu'il n'avait pour vivre que les emprunts minimes 
qu'il contractait auprès de ses nouvelles connaissances. 



33 APPENDICE. — I X. 

Il ne reniait pas, A l'occasion, ses succès de joueur passé 
maître en son art; il exprime même à Boeck et à Holmboe la 
satisfaction que lui causaient ses triomphes, en disant étourdi- 
ment : « Je plume ces gens; j'en ai besoin, et c'est juste. » 



Pendant un mois et jusqu'à la fin de février, Abel avait eu beau- 
coup à faire, non seulement pour ses travaux scientifiques, mais 
aussi parce qu'il avait un «nombre effroyable de lettres» à écrire. 
Combien de ces lettres renfermaient de demandes à des amis, on 
l'ignore; mais il est sûr qu'ïïolmboe ne fut pas le seul auquel il 
s'adressa afin de continuer son séjour à l'étranger jusqu'au mo- 
ment où il pourrait se considérer comme libre. 

En outre, Abel fut malade et alité, mais peu de jours. Vers la 
fin de février, il était remis. L'hiver était d'ailleurs très rigou- 
reux : il y avait beaucoup de neige, et « il faisait un froid de 
loup ». A Berlin, on avait eu jusqu'à 18° Réaumur au-dessous de 
zéro; à Munich, le thermomètre était descendu à 24-^. 

Quant à la langue allemande, Abel commençait à s'en servir 
mieux qu'à son dernier séjour. Naturellement, toutefois, il ne 
pouvait point se mesurer avec Maschmann, qui avait déjà passé 
à Berlin presque deux années. (( Maschmann », dit Abel dans une 
langue familière, mais assez peu correcte au point de vue gram- 
matical, c( Maschmann y est tout à fait devenu un chien qui salue. » 



En attendant; était arrivée une lettre du professeur Hansteen et 
de sa femme. Datée de Christiania et du 25 janvier, elle avait 
passé par Paris et n'arriva à Berlin qu'un mois après son départ. 
C'était une grande lettre de six pages pleines in-quarto. Elle ne 
renfermait guère cependant que des choses qui ne touchaient que 
M'"® Hansteen et Abel. 

Peu de nouvelles du pays ! Il y est question d'Esmark, profes- 
seur de minéralogie à l'Université, prédécesseur de Keilhau et, de 
plus, disciple fidèle de l'illustre Werner, sous lequel il avait étudié 
à Freiberg; on en dit qu'il avait été chargé de prononcer un dis- 



SIX SEMAINES iriiMBAHHAS. 331 

cours en latin à l'occasion du jour de naissance du nji, (\\[ « il 
avait sué beaucoup » sur ce discours, détail qui l'ut ensuite 
transmis à RoiTk. 

De Sonunerield et Ratke {^), il était dit qu'ils étaient en guerre 
dans le Magazin; Ilansteen espérait que le professeur s'en tirerait 
avec les « oreilles coupées ». 

Ilansteen était devenu membre de deux sociétés savantes : la 
Société de Copenhague et la Société Werncrienne d'Edimbourg; 
mais il ignorait comment un Ici honneur lui était arrivé, vu qu'il 
n'entendait rien aux pierres. 

11 y avait aussi dans la lettre un passage qui intéressait 
personnellement Abel : Hansteen pensait qu'il obtiendrait, à son 
retour, une place à TUniversité. Cependant, il avait été question 
de le « torturer dans une école », au préalable, pendant un an. — 
«Si Ton veut cela », disait Abel, «je me dresserai absolument 
sur les pieds de derrière. » 

Peu après l'arrivée de la longue lettre que lui avaient écrite 
ensemble M"'° Hansteen et le professeur, Abel eut enfin des 
nouvelles de Boeck, qui était aussi en correspondance suivie avec 
Hansteen. Il reçut de son ami non moins que deux lettres à la 
fois, toutes deux de Munich. Mais elles avaient passé par Paris 
et elles étaient parties avant que Boeck eût entre ses mains la 
lettre où Abel lui avait adressé une demande pressante d'argent. 

Elles n'apportaient donc pas de fonds. 

Abel, bien que déçu dans ses espérances, n'en fut pas moins 
reconnaissant d'apprendre quelque chose de cet « honnête garçon 
de Boeck)). Sans doute, il comprit qu'il n'était pas facile à son 
débiteur de se démunir alors d'argent, vu qu'il devait se passer 
du temps avant qu'il entrât en possession des 600 francs qui 
étaient déposés à la légation de Paris. 

Boeck, au lieu de retourner directement en Norvège, où il 
devait revenir à l'automne, s'était maintenant décidé à aller à son 
tour à Paris, et plus tard à Berlin. Keilhau lui donna une lettre 

(1) Ratke, professeur de zoologie, l'ut le prédécesseur de Rasch, l'ami et le cama- 
rade de chambre d'Abel au Regenssen. 



332 APPENDICE. — I X. 

de recommandation pour Paris, adressée à M. Broquart. De son 
côlé, Abel lui avait fourni des renseignements qui devaient lui 
servir pendant son séjour dans la même ville. Il ne voulut pas lui 
recommander la pension de son mathématicien ; et lui conseilla 
tout au plus d'y dîner. Mais, naturellement, il l'engagea à se 
mettre en rapport avec Gorbitz, Tartiste peintre, autre <r honnête 
garçon ». Il y avait aussi à Paris un jeune Norvégien, Grônvold, 
également c( honnête garçon )) , qui se ferait un plaisir de guider 
Boeck à son arrivée. 



Bien qu'Abel eût enfin reçu une lettre de Holmboe, il était trop 
dans la nécessité de rassembler toutes ses ressources propres pour 
qu'il pût se dispenser d'insister encore une fois auprès de Boeck. 
Il fallait «absolument» que celui-ci lui remît le peu d'argent 
qu'il lui devait, et cela avant de quitter Munich. « Je ne suis pas 
du tout en fonds. Hier j'ai reçu de Bernt Holmboe — qui a été à 
Stockholm et à Upsala, et qui s'est beaucoup amusé pendant cette 
excursion — 293 MarkBanco. C'est, pour le moment, le seul argent 
qui me reste. En mai, je partirai donc d'ici, faute de ressources, 
mais sans déplaisir. ii> 



TRAVAUX D'aHEL A IIERLIN. )J33 



XI. 



Travaux d'Abel à Berlin. Sa situation au moment du retour 

au pays. 

Jusqu'au 25 février, lorsque après une attente de plus de six 
semaines, il reçut enfin la lettre de Holmboe — prompternent 
expédiée d'ailleurs comme toujours — . Abel semble donc n'avoir 
eu pour vivre que les prêts que lui faisaient les compatriotes de 
sa connaissance qui demeuraient à Berlin. 

Il est possible que, pendant ce commencement de séjour à 
Berlin, Abel ait pu tirer de Christiania quelques fonds en dehors 
des prêts de Holmboe. On peut supposer qu'il s'adressa, par 
exemple, à ce Skjelderup, dont il parle dans la lettre du 20 janvier 
et à qui il avait écrit de Paris; ce dernier, mieux que la plupart 
des autres personnes auxquelles Abel pouvait songer, était en 
position de le secourir. Quant à Hansteen, tout porte à croire qu'il 
ne connut pas, avant Holmboe, la pénurie de notre voyageur 
et que celui-ci ne lui en avait pas parlé dans ses lettres; ce 
qu'il put en savoir, il l'apprit de Holmboe et de Keilhau, et il dut 
penser que les deux prêts consentis par le premier et le rembour- 
sement de la dette du second avaient suffi pour parer aux 
nécessités les plus impérieuses. 

Mais tout ce que quelque ami ou quelque ancien camarade a 
pu fournir d'argent à Abel, pendant les semaines dont nous 
parlons, n'a pu être grand'chose, si Ton ne tient pas compte des 
avances que lui firent ses nouvelles connaissances de Berlin. Ce 
fut sur Holmboe que dut alors, comme plus tard, retomber presque 
tout le fardeau, et c'était comme un fardeau qu'Abel se considérait 
lui-même, disant qu' a il était créé pour être à charge à ses amis. ;) 

Ce qui prouve, d'ailleurs, qu'Abel ne reçut presque rien de 



334 APPENDICE. — I XI. 

Norvège, en dehors de la somme que lui procura son ancien 
maître, c'est qu il dit que cette somme était tout ce qu'il avait 
alors à sa disposition. Et c'est avec elle qu'il devait encore vivre 
deux mois, du moins sil lui était possible de prolonger aussi 
longtemps, dans ces conditions, son séjour à Berlin. Il fallait 
ensuite gagner Copenhague, et puis Christiania. 

Le 4 mars, Abel écrivait à Holmboe pour le remercier, ce J'ai 
déjà constaté, depuis plusieurs jours, les suites de ton honnêteté, 
cher Holmboe, et de mon chiffon de papier, en recevant par 
Cordes, de Hambourg, 293 By iO p. Merci bien de ton obligeance! 
ïu me rends un service d'une importance capitale, car j'étais plus 
pauvre qu'un rat d'église. Maintenant, je vivrai ici de ton argent 
aussi longtemps que je le pourrai, et puis» — ajoute-t-il, en parlant 
de lui-même comme d'un vagabond — « je courrai vers le Nord. » 

« Je resterai un peu de temps à Copenhague, où ma fiancée 
viendra. Ensuite je retournerai au pays, et j'y retournerai si dénué 
qu'il me faudra sans doute tendre la sébille à la porte de l'église. 
Pourtant je ne me laisse pas décourager, car je ne suis que trop 
accoutumé à une vie pitoyable et à la misère. Ça finira bien par 
passer! » 



Telle était la situation matérielle où Abel se trouvait pendant 
qu'il achevait la première partie de ses Recherches sur les 
fonctions elliptiques. Dans la même lettre à Holmboe, il s'exprime 
ainsi sur ce travail et sur d'autres dont il s'occupait alors : 

«Par Peckel», dit-il, ce je t'ai envoyé, depuis un mois, le 
troisième cahier du Journal de Crelle et un peu plus que la moitié 
du quatrième cahier qui, maintenant, est terminé. y> 

Le troisième cahier, publié dès le mois d'août 1826, contenait 
le mémoire de Freiberg, mémoire, nous le rappelons, dans lequel 
l'auteur discutait les cas où une certaine classe d'intégrales 
hyperelliptiquos peut s'exprimer logarithmiquement. 

Ce grand mémoire fut suivi de celui qui est relatif à la série 
du binôme et qui est inséré dans le quatrième. 



TUA VAUX d'aIIKL A BERLIN. 33.^ 

La lettre d'Abcl prouve que ce derniei' caliicr était presque 
terminé pour la publication, ou bien même déjà publié avant le 
4 mars 18^27. 

ce Que penses-tu du mémoire de moi qui s'y trouve?» dit-il, 
à propos du quatrième cahier, sur la série du binôme. (( J'ai 
l'usage d'être si rigoureux qu'aucune objection fondée ne puisse 
m 'être faite. » 

Déjà, en octobre, Abel avait parlé de ce dernier mémoire, alors 
sous presse, et à la fois du précédent, publié pendant son séjour à 
Paris. A cette occasion, il disait : « J'espère que tu seras content 
d'un mémoire sur une intégrale, inséré dans le troisième cahier — 
un très long mémoire. — Mais je suis surtout content d'un autre 
qui s'imprime, en ce moment, dans le quatrième cahier, sur la 
série simple. — J'ose dire qu'on a là la première démonstration 
rigoureuse de la formule du binôme pour tous les cas possibles 
aussi bien que d'un grand nombre de formules en partie connues, 
mais mal établies. » 

Continuant, dans sa lettre de mars 1827, ses explications sur 
ses travaux, Abel remarque qu'il y aura bien un petit arrêt dans 
la publication du Journal, — Hansteen sait quelle en est la raison, 
— mais qu'après il sera publié en français. Puis il dit : 

« J'ai déjà préparé un mémoire bien étendu où il y a » "— Abel 
se sert du présent et non du futur — « beaucoup de drôles de 
choses » (fonctions elliptiques). « Ainsi jd, ajoute-t-il, répétant ce 
qu'il avait dit à Paris, «j'ai trouvé qu'avec la règle et le compas, 
on peut diviser la circonférence de la lemniscate dans autant de 
parties égales que Gauss Ta montré pour le cercle, par exemple 
en 17 parties. » 

«Ceci», continue-t-il plus bas, après avoir rappelé que la 
division de la lemniscate en 17 parties dépend de la solution d'une 
équation d'un degré «énormément élevé », d'une équation du 
288^ degré, « ceci n'est qu'une conséquence très spéciale de mes 
recherches, et l'on en tire une foule d'autres propositions plus 
générales. Ce sont mes recherches générales sur les équations qui 
m'y ont amené. Dans la théorie des équations, je me suis proposé 



336 APPENDICE. — I XI. 

et j'ai résolu (^) le problème suivant, qui contient en lui tous les 
autres : Trouver toutes les équations possibles d'un degré déter- 
miné qui se peuvent résoudre algébriquement. Ainsi je suis 
parvenu à une foule de théorèmes magnifiques, par exemple, .... 
Mais le plus brillant, je l'ai dans la théorie des fonctions transcen- 
dantes en général et celle des fonctions elliptiques en 'particulier .y> 

De ces expressions, on voit qu'en dehors des recherches sur les 
fonctions elliptiques, auxquelles il se livrait alors, il méditait des 
travaux à venir d'une portée encore plus haute que ces recherches 
elles-mêmes. 

Nous nous étions figuré d'abord que ces paroles faisaient allu- 
sion au dernier grand travail d'Abel sur les fonctions elliptiques, 
travail qu'il publia, sans pouvoir le terminer, sous le titre de 
Précis, etc. Nous supposions, en effet, qu'une certaine ébauche, 
écrite, par exemple, en allemand (dans le livre manuscrit qui fait 
suite au registre dont Abel se servait à Paris), datait de son second 
séjour à Berlin. Mais celte hypothèse ne se soutient plus mainte- 
nant qu'il est conslaté, comme nous l'avons expliqué ailleurs, que 
cette ébauche en allemand, premier jet du Précis, n'a été écrite 
qu'à Christiania, pendant l'automne de l'année 1827. H est donc 
plus logique et plus conforme au sens même des mots d'admettre 
que le passage précité vise certaines recherches préalables se 
rapportant, en général, aux ce transcendantes abéliennes » , qui 
allaient entrer dans la science, grâce au Mémoire à l'Institut, et, 
en particulier, aux transcendantes elliptiques. C'est là ce qu'Aboi 
trouvait « le plus brillant de tout )). 

Il semble, cependant, en tenant compte de ses habitudes de lan- 
gage, qu'il ne s'agisse ici que de ces travaux préparatoires auxquels 
étaient réservés les livres manuscrits. Nous croyons, en effet, que 
ces registres lui servaient plutôt pour la rédaction de ses mémoi- 
res que comme des cahiers où l'on note une pensée qui vient de 
naître, avant qu'elle soit devenue claire et simple pour fauteur. 
Du reste, Abel décrit lui-même l'état des choses en ces mots : 



{}) Auparavant, à Paris, Abel avait aussi parlé de ce problème, mais en disant 
seulement qu'il voyait la manière de le résoudre. 



iiiAVAix d'ahki. a iU'Ui.in. 3.37 

(( Mais il faul ((ue jo iwioniio avant de pouvoir t'en faire part. 
En somme, j'ai l'ait une a masse informe » de découvertes. Si je 
les avais seulement mises en ordre et rédigées! car la plupart ne 
sont pas encore sorties de ma tête. Il n est pas possible de penser 
à de telles choses tant que je ne serai pas de retour et tant que je 
ne serai pas tranquillement installé chez moi-même. Alors, j'aurai 
à travailler comme un cheval de trait, mais avec plaisir, s'entend. » 



Vers la fin de sa lettre, Abel parle de Boecket dit qu'il partira 
pour Paris au mois d'avril, et qu'il sera à Berlin en août. Boeck 
aussi avait été malade et alité. Il était rétabli maintenant, mais 
attristé de la mort de sa mère. 

Abel revient ensuite sur la nécessité d'abréger son séjour à 
l'étranger. Mais on voit que, tout en attendant avec impatience 
rheure du retour, il a des altaches au dehors. La patrie qui le 
réclame est un pays sévère. 

«Il me tarde», dit-il, ((de revenir; car je ne vois pas grand 
profit à prolonger ici mon séjour. Chez soi, on se fait de l'étranger 
des idées diablement différentes de ce que Ton devrait. Ce n'est 
pas tellement supérieur! En somme, le monde est fade, mais 
passablement droit et honnête. Nulle part, il n'est plus fticile de 
faire son chemin qu'en France et en Allemagne. Chez nous, c'est 
dix fois plus difficile. 

» J'apprends que tu as été à Upsal et à Stockholm. Pourquoi 
ne pas aller plutôt à Paris? Je veux y revenir avant ma mort! » 

(( La lettre incluse » , dit-il en terminant, ((je te prie de la taire 
parvenir au professeur Hansteen, en mains propres. J'ai reçu de 
lui, il y a quelques jours, une lettre qui avait passé par Paris. — 
Je n'ose pas te demander de m'écrire; mais si tu veux me sacrifier 
ton temps, et les frais de port (car on ne peut rien envoyer, tu le 
sais, sans affranchir), je n'ai pas besoin de te dire que tu me 
rendras bien heureux. Cependant, alors, il faut te presser; et, du 
coup, me donner des renseignements sur le vapeur, d 

Abel avait appris qu'au printemps prochain un bateau à 

22 



338 APPENDICE. — I XI. 

vapeur allait régulièrement faire le trajet entre Copenhague et 
Christiania. 



Nous ne savons pas ce qu'A bel crut devoir ne pas confier à la 
famille Hansteen. On avait sans doute appris, à Christiania, 
quelque chose de la situation difficile d'Abel ; il est vraisemblable 
cependant qu'on ignorait, au moment où partit la lettre du 
professeur, à quel point cette situation s'était aggravée, et en 
pays étranger. Hansteen avait toujours et vivement désapprouvé 
les longs et coûteux voyages. Il n'en est pas moins possible, bien 
que nous en doutions fort et que la chose dût être pénible à 
Abel, que celui-ci, pressé par le besoin, ait révélé au professeur 
une part de la vérité. C'est même ce que semble indiquer une 
phrase que nous aurons à citer tout à l'heure : a. comme vous 
pouvez bien le penser. » 

En dehors même des difficultés matérielles, il ne lui manquait 
pas, d'ailleurs, d'ennuis à surmonter, et à l'occasion desquels il 
pouvait être obligé de s'adresser à quelqu'un. C'étaient ses parents 
dont la misère était extrême et qu'il devait secourir dans la 
mesure du possible; c'était son plus jeune frère, qui n'en essayait 
pas moins de faire ses études à fUniversité; c'était sa fiancée, 
qui travaillait pour vivre dans un autre pays. Toutes ces questions 
étaient de la nature la plus délicate. Certainement, elles n'étaient 
pas ignorées de la famille qui prit tant de part au sort d'Abel ; et, 
entre lui et sa maternelle amie, M™^ Hansteen, il devait y avoir 
bien des sujets à traiter dans leur échange de correspondance. 

On a conservé un bout de papier, faisant partie de la lettre qui 
fut conservée dans la lettre à Holmboe. L'écriture en est très 
serrée; et c'est précisément à M™^ Hansteen que le morceau est 
adressé. Mais ce n'est qu'un simple fragment! Impossible de 
savoir le contenu du reste, qui a été coupé. 

Ce fragment commence ainsi, au milieu d'une phrase : 

(( .... sens chez moi, que j'irai vous voir fréquemment. Vrai- 
ment, cela sera un de mes meilleurs plaisirs. Bon Dieu, que de fois 



TRAVAUX d'ABEL A BERLIN. 339 

n'ai-jo pas désiré aller chez vous, mais sans Toscr! Maintes fois, 
je suis venu près de la porle, et je m'en suis relourné, de peur 
de vous importuner; car le pis qui pourrait m'arriver, ce serait 
que vous vous lassiez de moi. Il est heureux que je puisse croire 
qu'il n'en est pas ainsi.... 

» Quand je pense au plaisir que vous avez eu, vous et Hanstccn, 
lorsque M'"" Fredrichscn et Charité étaient chez vous, je me sens 
tout jaloux. Toutes les deux me sont, en elîet, si chères! Je me 
réjouis de tout mon cœur de les revoir à mon retour à Copenha- 
gue, qui ne tardera plus longtemps. Ma bien -aimée (qui est 
maintenant à Aalborg) y viendra aussi. A Copenhague, j'ai tou- 
jours mené la vie la plus agréable. 

;) Hier j'ai reçu une lettre de Boeck, )) continue-t-il, répétant 
ce qu'il a raconté à llolmboe. ce II a souffert quelque temps d'un 
rhume et d'autres indispositions. Maintenant il est rétabli. Sa 
mère est morte. Au milieu d'avril, il partira pour Paris, et il 
reviendra par Berlin. D'ailleurs, il n'est guère de bonne humeur. 
C'est un brave garçon ! 

D Je suis heureux, plus que je ne puis le dire, de ce que cela 
aille si bien pour ma sœur chérie. Je l'aime du fond du cœur. 
Son bonheur et la joie que j'en ressens, nous vous en sommes 
redevables, chère Madame Hansteen. Saluez-la, je vous en prie, 
mille fois, quand vous la verrez. Je songe sans cesse à elle. 

y> Du reste, comme vous pouvez bien le penser, je mène une 
vie éminemment tranquille et monotone. Toutes mes distractions 
consistent à aller quelquefois au théâtre et à me rendre, chaque 
lundi, à la réception de Crelle. 

)) Et maintenant adieu, très chère et maternelle conseillère! 
Gardez à votre Abel dans votre cœur une petite place, si petite 
qu'elle soit. » 



Nous ne savons rien de certain sur le séjour d'Abel à Berlin à 
partir du -4 mars. C'est à cette date (on s'en souvient) qu'il écrivit 
à llolmboe, en lui donnant des renseignements sur son grand 



VlO APPENDICE. — I XI. 

niéiTioire fondamental, alors dnjà bien avancé, les Bechcrchcs f;ur 
les fondions elliptiques. C'est à celte date aussi qu'il faisait allu- 
sion aux choses a les plus brillantes » de la « théorie des fonctions 
transcendantes en général et des fonctions elliptiques en parti- 
culier. )) 

Par une singulière rencontre, ce fut le môme mois que Jacobi, 
qui se livrait à ses études préparatoires des transcendantes de 
Legendre, et qui Pavait fait d'abord sans succès, entra dans la 
voie des découvertes, en trouvant son a principe de transforma- 
tion » . Collaborateur du Journal de Crelle, il avait pris alors depuis 
longtemps connaissance des procédés d'Abel, surtout grâce au 
mémoire de Freiberg, où un éminent savant comme lui avait dû 
puiser des inspirations pour ses propres et audacieuses recherches. 

Maintenant Abel allait retourner bientôt en Norvège; mais il 
devait n'y trouver longtemps qu'abandon et détresse, et y être, 
par suite, arrêté dans ses travaux réguliers et dans son libre déve- 
loppement. Ici commence la plus pénible période de sa vie, période 
qu'une lueur ne vint éclairer que vers la fin de l'année. Toutefois, 
nous ne pouvons pas entrer dans de nouveaux détails, d'autant 
plus que nous nous heurterions à d'impénétrables mystères. Nous 
ajouterons donc seulement quelques dernières remarques, et, pour 
le reste, nous nous bornerons à renvoyer le lecteur à ce que nous 
avons exposé plus haut. 

L'abandon où se vit Abel ne fut pas heureusement du fait de 
ses amis; sans eux, au contraire, il n'aurait pas eu d'histoire, car 
il se serait entièrement perdu. 

Pour comprendre la situation d'Abel, il ne faut pas songer 
seulement aux secours que lui fournissait constamment Holm- 
boe, et à l'aide qu'il trouvait dans la famille Hansteen et chez 
quelques autres amis dont la plupart suffisaient à peine à leurs 
propres besoins; il faut se rappeler que le malheureux s endettait 
de plus en plus; que sa famille était dispersée et ruinée; qu'il 
n'avait d'autres ressources propres que le salaire de quelques 
leçons trop rares, et que cependant sa fierté et sa timidité le rete- 
naient et lui imposaient silence. 



TRAVAUX n\\ni:L a reriin. ?tï\ 

Comme lo dit Docck, pou de personnes connurent Abcl tel qu'il 
était véritablement. 11 cachait ses pensées et ses soucis à ses 
camarades, sous une apparence de gaîté feinte ou d'élourderie 
dans les manières et dans le langage; étourderie et gaîté qui 
Irahissaient sans doute une fermenlation intérieure et lui servaient 
do dégagement. 

Du reste, malgré sa pénurie, les apparences au moins furent 
sauvées ù Christiania; Abel ne fut jamais réduit h une misère 
patente : ses amis ne l'auraient pas permis. Bien qu'il n'eût presque 
rien qu'il pût appeler le sien, il était toujours bienvenu dans les 
familles; il put inviter parfois ses camarades à venir jouer une 
partie dans sa chambre; et l'on raconte même qu'après son retour 
en Norvège, « il était habillé plus conformément à son état. » 

Il vivait donc de crédits, d'emprunts successifs, aidé par des 
amis, et entouré d'une famille dont la plupart des membres, 
aussi peu fortunés que lui-même, le regardaient comme un de 
leurs soutiens. iMais ses camarades ne connaissaient que très 
imparfaitement sa véritable situation. Ce ne fut qu'aux plus 
intimes qu'il parla do ses difficultés matérielles contre lesquelles 
il avait à lutter pour se maintenir, sans importuner toujours les 
mômes amis. Et ces amis qu'il était contraint d'importuner (( à 
son grand regret ^), qui l'invitaient chez eux, qui l'aidaient en lui 
prêtant de l'argent ou en le cautionnant, qui faisaient toute sorte 
de démarches, restées longtemps vaines, pour lui procurer une 
situation officielle, ces amis, rassurés par tout ce qu'ils faisaient 
pour lui, ne se rendirent guère compte de toute la gravité de sa 
situation. 

H y a des choses que l'on voit, et d'autres que Ton ne voit pas 
ou que l'on ne comprend pas clairement, si l'on n'a pas quelque 
peu passé par les mêmes épreuves. Dans les entretiens intimes, 
ou dans les lettres qui n'étaient pas destinées au public, mais 
dont quelques fragments subsistent encore, Abel a laissé échapper 
des paroles qui témoignent d'une lutte silencieuse et de nombreux 
jours de privation. 



342 APPENDICE. — I XII. 



XII. 



Réunion des œuvres d'Abel dans une première édition, et 
publication du Mémoire présenté à l'Académie des Sciences 
de Paris. 

Nous ne nous occuperons plus de la vie et des œuvres d'Âbel, 
bien qu'il eût été très intéressant de voir se développer le drame 
où lui-même, dans son isolement, oii Jacobi, et Gauss, et Schu- 
macher, et Legendre jouèrent chacun son rôle et manifestèrent 
leurs personnalités. Faute d'espace, nous avons dû exposer ce 
drame, en son temps, sous une forme systématique, et non en 
racontant les faits dans leur ordre chronologique et en laissant la 
parole aux acteurs. Il ne serait donc pas possible de revenir ici 
sur ce sujet sans multiplier les répétitions. 

Mais il peut être curieux de savoir comment on se détermina 
à faire une édition des œuvres d'Abel, et c'est ce que nous allons 
maintenant raconter en détail. 



A la date du 17 juillet 4831, le baron Maurice adressa une lettre 
à notre ministre de Paris, M. Lowenhjelm. Il commençait par y 
rappeler qu'il avait fait une visite au comte, lorsqu'il avait eu la 
douleur d'apprendre que M. Abel, si jeune encore, avait été enlevé 
à son pays, dont il eût été une des gloires. A cette occasion, il 
s'était permis de parler du grand intérêt que présenterait pour la 
science une édition de l'ensemble des écrits de cet éminent 
mathématicien, et qu'il avait cru remarquer que Son Excellence 
était disposée à croire que Son Altesse le Prince royal ne refuserait 
as de favoriser l'exécution de cette entreprise. 

Le baron regardait actuellement comme son devoir d'informer 



PUBLICATION DKS OEUVRKS d'aRKL. :Î43 

le comte de tout le prix qu'aurait une semblable publication aux 
yeux des malbématicicns dont les signatures se- trouvaient au bas 
de la Lettre au Roi, lettre que le comte avait eu la bonté de 
transmettre au mois de septembre précédent (^). Ces mathéma- 
ticiens étaient convaincus que rien ne serait plus avantageux au 
progrès de l'analyse malhémati(jue, plus honorable pour la mé- 
moire d'Abel, et plus digne de sa patrie que le soin qu'on prendrait 
de réunir en un seul volume les travaux du jeune savant, travaux 
qui, malheureusement, se trouvaient dispersés dans plusieurs 
journaux, dont l'acquisition complète était toujours diiïicile et 
coûteuse. On pensait que, publiés dans un volume in-^'' de 400 
à 500 pages, les écrits de feu Abel se répandraient commodément 
dans le monde scientifique. Cette diffusion de ses œuvres assu- 
rerait à l'auteur la gloire posthume à laquelle il avait tant de droit, 
et cette gloire rejaillirait infailliblement sur le pays qui l'avait vu 
naître. 

Rien ne serait, d'ailleurs, plus naturel que de confier le soin 
de rassembler et de publier les travaux en question aux mathé- 
maticiens membres de l'Académie royale de Stockholm. On 
pourrait même donner au volume projeté la forme d'un supplément 
aux mémoires de cette Académie. On rattacherait ainsi les bril- 
lants travaux d'Abel aux travaux des membres dont la compagnie 
se composait. 

« Si les détails que je viens de vous exposer. Monsieur le Comte, 
vous paraissent dignes d'attention, je me trouverais heureux 
d'avoir provoqué une mesure sans laquelle, peut-être, la dispersion 
des écrits d'un homme de génie préjudicierait à l'éclat que mérite 
son nom. » 

La lettre de Maurice fut communiquée par le ministre à Berze- 
lius, le célèbre chimiste de Stockholm. Mais, naturellement. 



(^) Nous ne comprenons pas le sens de cette phrase, d'après laquelle la Lettre au 
Roi n'aurait été transmise qu'au mois de septembre 1830. Peut-être la première 
lettre avait-elle été suivie d'une seconde. On en doit aussi conclure que l'Adresse 
où le Roi était sollicité d'appeler Abel à l'Académie de Stockholm, avait été signée 
également par Maurice. 



314 APPENDin:. — I xn. 

celui-ci reconnut trop bien la confusion de nationalité qui ressortait 
de récrit adressé au Roi par les savants étrangers. Il écrivit, en 
conséquence, le 27 septembre 1831, à Hansteen, en lui envoyant 
la lettre du savant Français. <k L'Académie », disait-il, « n'a 
pas les moyens de publier une semblable édition, et la gloire 
nationale quon pourrait en acquérir reviendrait incontestable- 
ment à la Norvège. Si l'Université de Christiania se chargeait de 
l'affaire, le Storthing ne refuserait certainement pas de voter les 
fonds nécessaires. y> 

Hansteen présenta alors les deux lettres (celle de Maurice et 
celle de Berzelius) dans une séance du Sénat de fUniversité. Il en 
résulta que, conformément à la proposition du Sénat, il fut décidé 
que les œuvres d'Abel seraient publiées aux frais de l'État, et l'on 
confia à Ilolmboe, comme à celui qui avait été le maître d'Abel, 
et plus tard, quelque temps, son compagnon d'études, le soin de 
l'édition. 



La tache de Holmboe était bien plus difficile qu'on ne le croit 
ordinairement aujourd'hui. Il avait à s'occuper de matières aussi 
profondes que nouvelles et, entre autres, d'une excessive géné- 
ralité. La publication ne pouvait donc être terminée qu'après 
plusieurs années. De plus, malgré les scrupules minutieux que 
l'ancien maître d'Abel apporta dans sa tâche, pour la remplir 
dignement, on peut se demander s'il n'y a pas beaucoup de choses 
qui aient échappé à son attention ou qu il ait omises, faute de les 
comprendre, en étudiant les manuscrits. Il est naturellement fort 
probable qu'il n'a pas pu, en général, deviner le sens de maintes 
notes ou premières esquisses que l'auteur n'avait pas eu le temps 
d'élaborer avec soin et de rédiger sous la forme définitive de 
mémoire. 

On ne sait pas davantage dans quelle mesure Holmboe a disposé 
des manuscrits d'Abel. Un bon nombre de ceux-ci ont été certai- 
nement anéantis et dispersés, par suite d'un incendie qui, peu de 
temps après la mort de Holmboe, menaça la maison où celui-ci 



l'UHMCATION I»r:S (EUVHHS iTAlirL. IVlV) 

demeurait. Ainsi que nous l'avons àô\k dit, on n'a guère retrouvé, 
do temps à autre, ((uo les manuscrits ayant la forme de livres et 
contenant les rcclicrches auxquelles Fauteur se livrait imim'îdia- 
tement avant do rédiger ses mémoires. La plupart des papiers 
détaches ont été détruits par l'eau et dispersés, en sorte (ju'ils 
sont bien perdus pour toujours. 

Il est aussi diflicile de comprendre comment il s'est fait que le 
mémoire qu'Abel envoya de Paris à Gergonne et dont Ilolmboe a 
eu connaissance par une lettre d'Aboi, n'ait pas trouvé place dans 
l'édition. Quant au Mémoire de Paris, il fut fait des tentatives 
pour en obtenir une copie, mais en vain; et cela, bien que des 
membres de l'Institut de France s'intéressassent très vivement h 
Abel, au géomètre dont le travail le plus précieux avait été gardé 
par leur Académie, sans qu'elle eût encore rien fait pour le publier. 

Au milieu de l'année 1839, Ilolmboe finit sa tache. Un exem- 
plaire des Œuvres complètes (ou plutôt incomplètes) fut transmis 
à Crelle avec une lettre datée du i5 août. A cette époque, 
il fallait bien du temps pour qu'un semblable envoi arrivât à son 
adresse! En effet, Crelle ne reçut son exemplaire qu'au commen- 
cement du mois d'avril 1840, et la lettre d'accusé de réception 
adressée à Holmboe est datée du 15 mai. Il y exprime sa recon- 
naissance pour le don du livre, si précieux pour lui, de l'homme 
rare, mort trop jeune, qui l'avait honoré de son amitié et de sa 
confiance (*). 

. L'incident du baron de Maurice et des académiciens suédois 
tomba bientôt en oubli, ainsi que la lettre adressée parles savants 
Français au <k Roi de Suède li), afin qu'il appelât Abel à l'Académie 
de Stockholm : les contemporains ne devaient guère conserver la 
mémoire d'événements relatifs à un homme qui était mort si 
jeune et dont les mérites n'étaient pas de ceux que peut apprécier 
le grand public. 



(*) Cotte IcUre, dalée de Rorlin, 15 mai, fut reçun par Holinboo le 2 juin. F.lle 
piouve, do nouveau (ce qui n'est pas sars intérêt imur l'îiistoiro d'AbcT, qu'ordinai- 
rement il se passait deux seniairi''S avant ([u'unc lolln; arrivât de Berlin à Cljristiania, 
ou réciproquement. 



346 APPENDICE. — I XII. 

D'ailleurs, d'autres circonstances contribuèrent à ce résultat. 
L'une des deux affaires que nous venons de rappeler, celle de la 
nomination à TAcadémie de Stockholm, fut regardée par tout le 
monde comme une chose qui ne touchait pas les compatriotes 
d'Abel. Les académiciens français avaient, sans doute, agi dans 
les meilleures et les plus louables intentions; mais presque comme 
s'ils s'étaient adressés, à cette époque, au roi de la Grande-Bretagne 
pour qu'il fît entrer un Hanovrien dans la « Royal Society )>. Quant 
à la seconde affaire, qui s'explique naturellement par la première, 
elle équivalait, dans la même hypothèse, à une demande adressée 
à la Société savante de Londres, pour qu'elle se chargeât de la 
publication des écrits d'un jeune et éminent Allemand. Or, la 
dernière invitation (l'invitation du baron Maurice aux académiciens 
suédois) est la seule qui, après quelques retards forcés, soit arrivée 
à destination. Mais on en fit si peu de bruit, que le public qui y 
était vraiment intéressé, n'en eut presque aucune connaissance. 
On paraît même s'être arrangé de manière à employer les fonds 
publics de la Norvège sans qu'on eût besoin de proposer à l'As- 
semblée nationale l'ouverture d'un crédit spécial. Ainsi, tout fut 
réglé dans les hautes régions, par la voie diplomatique, ou par une 
courte intervention de l'Université. H n'est donc pas étonnant que 
cette affaire ne contribuât pas beaucoup à augmenter la gloire 
d'Abel parmi ses compatriotes, ni à éclairer ceux-ci sur la haute 
estime que professaient pour lui les plus illustres savants de 
l'Europe. On ne se souvint pas, non plus, de Maurice et des 
généreux savants français. 



La nouvelle que les œuvres d'Abel étaient publiées, se répandit 
parmi les savants de Paris vers le milieu de l'année 1840. Un 
peu plus tôt, le premier exemplaire était déjà arrivé à Berlin. 
Maurice qui désirait ardemment posséder un exemplaire de l'ou- 
vrage, alors, sans doute, que les libraires étrangers ne pouvaient 
pas se le procurer encore, s'adressa au comte Lovvenhjelm. Il en 
advint que, conformément au désir exprimé par Sa Majesté le Roi, 



PUBLICATION DRS OEUVRES d'AHEL. 347 

un bel oxomplaire lui fut transmis, accompagné d'une lettre de 
Ilolmboe, datée du 2^2 juillet 1840. 

La publication des œuvres d'Abel allait être sous peu un fait 
généralement connu de tout le monde scientifique. 

L'année suivante, en 1841, quinze années après la présentation 
du mémoire d'Abel à l'Académie de Paris, ce mémoire, exclu 
d'abord de la collection, fut inséré enfin dans les Mémoires des 
Savants étrangers. Il avait pour titre : « Mémoire sur une pro- 
priété générale d'une classe très étendue des fonctions transcen- 
dantes, par M. N. IL Abel, Norvégien; présenté à l'Académie le 
30 octobre 1826. » 



348 APPENDICE. — I XIII, 



X1!I. 

Remarques finales sur le caractère et la situation de la société 
d'où sortit Abel. — État de la Norvège pendant sa première 
jeunesse et à son retour de l'étranger. 

Pour mieux comprendre Thistoirc d'Abel, il est bon de jeter 
un coup d'œil sur les grands changements qui s'accomplirent 
dans sa patrie pendant ses premières années. Nous rapporterons, 
en outre, quelques traits de l'existence que menaient les classes 
de la population au milieu desquelles il vécut dans le presbytère 
de son père. Ainsi nous verrons comment les événements de 
cette époque, tout en modifiant le sort du pays, exercèrent une 
influence profonde jusqu'aux foyers des familles; si bien qu'on 
doit y chercher la cause complexe de bien des choses qui se 
passèrent alors. 

Dans cette exposition, nous introduirons aussi le père d'Abel; 
Il prit une part, bien que peu apparente, aux événements du 
temps. Cet homme, qui fut l'instituteur et le précepteur de notre 
mathématicien, représenta avec distinction une société qui 
aspirait à regagner et regagna sa liberté, société éprouvée fort 
durement et contrainte à compter jusqu'au bout avec ses faibles 
ressources. Pour le futur savant, un semblable milieu compensa, 
dans une large mesure, quelques-uns des défauts qu'on découvrait 
aux institutions d'un petit pays renaissant à peine au milieu des 
circonstances les plus graves. L'influence puissante des premières 
impressions de sa jeunesse dut se manifester plus tard dans les 
recherches aussi sévères qu'indépendantes auxquelles il se livra. 

Mais les revers de fortune qu'éprouva sa famille, eurent une 
action non moins profonde sur la vie du jeune Abel ; d'autant 
plus que sa position devait déjà se ressentir péniblement des 



LA NOUVKCK Ml COMMKNCRMKNT DU XIX^ SIKCLE. '.\\\) 

malheurs qui avaient IVappi; lo pays tout on lier. Ces revers (1(3 
for! une fureni la conséqu(}nco clos gran<ls boulovorscments qui 
agitèrtMil la société d'alors, mais surtout de quelques contre-coups 
qui se produisirent dans les contréi's où était située la paroisse 
dWbel pore. Le désastre l'ut complot quand survint la mort du 
père, avant que le fils eût quitté les bancs de l'école. 

En expliquant toutes ces choses avec un peu plus de détails, 
nous ferons aussi voir plus clairement quels étaient les risques 
et périls que courait Abel en revenant dans son pays; et nous 
ferons sentir combien il avait raison de redouter à Berlin ces 
a laideurs» qu'il rencontrerait sans doute, même dans le cas 
où il obtiendrait une place à TUniversité. 



A la fin du siècle passé, ainsi qu'au commencement du 
précédent (mais après une courte interruption), il y avait eu 
une période bien florissante dans ce pays du Nord où naquit Abel. 
Presque toute l'Europe était impliquée dans de grandes guerres 
et les Anglais dominaient sur mer. Mais l'Etat danois-norvégien 
put d'abord garder la neutralité; et ses côtes étendues (celles de 
Norvège su i tout) étaient admirablement situées pour une naviga- 
tion profitable. Ce fut là un avantage d'autant plus grand qu'on 
avait, à l'époque, à pourvoir d'autres pays, fortement gênés dans 
leurs communications respectives. Aussi la flotte marchande 
s'accrut-elle considérablement, peut-être même hors de proportion 
avec le nombre des habitants. De plus, la Norvège, en particulier, 
obtint de très hauts prix pour les produits de ses forêts. 

Et ce n'étaient pas seulement les habitants des districts 
maritimes ou des villes de la côte qui firent des bénéfices 
extraordinaires dans ces circonstances ; ceux des vallées, dans 
l'intérieur du pays, furent aussi favorisés par cette liberté de la 
mer, sans laquelle on ne peut presque pas vivre, encore moins 
parvenir à quelque aisance, dans ces régions dont une si grande 
partie ne saurait subvenir à sa propre subsistance. 

D'autant plus grand fut le désastre, lorsqu'on 1807 (c'était 



350 APPENDICE. — I XIII. 

encore dans Tenfance d'Abcl, TÉlat danois-norvégien, mal dirigé 
par un gouvernement absolu, sans ressources rassemblées à 
temps, se vit une seconde fois en guerre avec l'Angleterre, avec 
laquelle il avait eu un premier conflit au commencement du 
siècle. D'un seul coup, les Anglais s'étaient emparés de la flotte 
de guerre à Copenhague, et, par la suite, mille navires marchands 
(danois et norvégiens) furent capturés. Pour la Norvège, en 
particulier, les plus importantes ressources de ce pays de pêcheurs, 
de marins et de montagnards, furent ainsi presque perdues et 
même toute communication fut sévèrement interceptée avec le 
Danemark, siège du gouvernement et magasin de blé de la 
contrée. En môme temps, éclata la guerre avec la Suède, qui 
occupe la partie orientale de la péninsule Scandinave et dont la 
frontière est longée à l'ouest par la Norvège sur une grande 
étendue. 

Dans ces temps extrêmement durs — comme à l'époque de la 
première guerre avec les Anglais, on dut maintes fois subvenir, 
dans son isolement, à ses besoins tant bien que mal, avec ce qui 
vous restait. Pour défendre d'immenses côtes, avec leurs îles, 
leurs ports et leurs villes, la flotte canonnière et le petit nombre 
de vaisseaux de guerre dont on disposait encore ne suffisaient 
pas, alors qu'on luttait contre un ennemi si puissant — sur lequel 
on remporta, cependant, quelques avantages en s'abritant derrière 
les nombreux écueils de ces parages. Encore moins put-on faire 
prendre la mer aux navires marchands. — On raconte, entre 
autres traits de cette époque et de la précédente, que le père 
d'Abel, le paisible pasteur, rassembla lui-même ses paroissiens, 
quand les Anglais menacèrent le pays, et organisa la défense de 
son île. Pour cette action, il fut décoré de l'ordre du Danebrog. 

Des banqueroutes, la misère, et même, pour un grand nombre 
d'habitants, la famine, telles étaient les conséquences des événe- 
ments politiques. 

Les croiseurs anglais surveillaient les côtes et capturaient les 
navires à voile qui, par de sombres et orageuses nuits, essayaient 
de traverser le Skagerak, afin d'aller chercher des céréales et 



LA NORVÈGE AU COMMKNCKMENT OU XIX" SIÈCLE. 3f>l 

craulros ciioscs de première nécessité. Quelquefois aussi, en plein 
hiver, dans quelque port débarrassé de glaces, on essaya de faire 
de périlleux voynges en bateaux ouverts, sans oser lever la voile, 
de peur d'être aperçu, et, quand alors on réussissait à revenir, 
c'étaient deux ou trois tonneaux de blé à partager. Voilà quelle 
était la situation des cotes. 

A Tintérieur, en maiuls endroits, on fut réduit à remplacer les 
céréales par de l'écorce, ou bien on recueillit de la mousse sur 
les montagnes et on la prépara de manière à la mêler à la farine. 
Et le sort des habitants s aggrava encore quand, dans ces circons- 
tances critiques, les désastres d'une ou deux années stériles vinrent 
plus tard s'ajouter à ceux de la guerre et de la fermeture des mers. 

On avait été contraint de développer outre mesure la culture du 
blé. Cependant, il ne fallait pas restreindre le nombre des têtes 
de bétail. On dut donc, même en hiver, conduire chaque jour, 
pendant quelque temps les bestiaux chercher leur nourriture dans 
les bois, où ils vécurent des feuilles en aiguille. Mais, quand 
vinrent ensuite les années stériles, et que, dans les hautes terres, 
le blé gela, le mal redoubla, et en bien des lieux la misère alla 
jusqu'à la famine. 

Les finances de l'État avaient été mauvaises même dans les 
bons temps. Maintenant l'argent n'eut presque plus de valeur. 
On en arriva même à de telles extrémités qu'on dut payer pour 
un tonneau d'orge mille écus dansk kurant, et un pareil écu 
devait équivaloir à | spd. 11 fallut donc des sommes énormes 
pour les objets les plus nécessaires, surtout dans une telle mon- 
naie; et il arriva en exécution d'anciens marchés, que le prix 
convenu d'une ferme se payait avec celui d'une vache. 

Bien des familles furent ainsi ruinées. Les plus grands boule- 
versements économiques se produisirent en peu de temps, et tel 
qui était riche hier, n'avait plus rien aujourd'hui. 



Le père d'Abel, pasteur à Findci, — une des innombrables îles 
de la côte Sud -Ouest de la Norvège — fut envoyé en 1803 à 



352 APPKNDICR. — I XI!f. 

Gjorresiacl (*), paroisse où son propre père, récemment décédé, 
avait exercé le ministère avant lui. Son second fils, notre mathé- 
malicien, n'était alors qu'un enfant âgé d'un an. 

La nouvelle paroisse formait un district situé auprès de la 
mer entre le cap Lindesnes (point le plus méridional de la Nor- 
vège) et l'entrée du fjord de Christiania. Cette paroisse, par 
exception à ce qui se voit dans un pays dont la population est 
clair-semée, confinait à la fois à plusieurs petites villes de la côte. 
C'étaient Krajero, Ristir, Tvedestrand et, un peu plus vers le sud, 
Arendal. Dans toutes ces villes, et surtout dans la dernière, 
s'exportaient les produits forestiers des districts voisins, et, de 
plus, il s'y faisait d'importantes affaires commerciales avec un 
grand nombre de navires. On peut même avancer que là s était 
concentrée l'activité maritime du pays. 

En conséquence, pendant les premières années qui suivirent 
la prise de possession de la paroisse par Abel, la situation était 
excellente, au point de vue économique, tant pour ses paroissiens 
que pour lui-même. Avantageusement connu dans la contrée, il 
fut reçu avec beaucoup de bienveillance; et il contribua fortement 
pour sa part au progrès les plus divers, prenant la direction de 
toutes les réformes utiles : qu'il s'agî^t d'améliorations relatives 
à la vie pratique, ou bien d'écoles et de petites bibliothèques 
communales. xMais soudain éclata la guerre avec l'Angleterre et 
avec la Suède, et elle jeta partout la confusion. Aucune partie 
de la côte ne fut surveillée plus rigoureusement par les croiseurs 
anglais, que la paroisse et les rivages contigus. 

Toute activité fut dès lors arrêtée dans les petites villes 
maritimes qui vivaient presque exclusivement du commerce; et, 
à part une conséquence inévitable, une stagnation semblable des 
affaires se produisit dans les campagnes voisines, peuplées de 
marins, de pilotes et de paysans, vivant tous plus ou moins des 
villes, où les uns cherchaient des engagements sur les navires, et 
où les autres écoulaient les produils de leurs bois. 



(1) Ou, plus exactement, à la paroisse de Sondclcr, qui ne faisait plus partie de 
Gj erres lad. 



LA NOnVKC.K AU COMMIiNCEMENT DU XIX'' SIÈCLE. 3rj3 

Au bout (le quoique temps, le riciie ariuateur, le inarchand, le 
propriétaire de bois, le rentier, se virent bien des fois dans une 
situation à peine meilleure que riioinme du peuple, et cependant 
leur argent semblait devoir leur permettre de se procurer plus 
aisément tous les agréments de la vie, ou du moins les moyens 
d'existence, alors si rares. L'État ne pouvant plus tenir ses pro- 
messes et l'argent ayant perdu presque toute sa valeur, la confusion 
arriva au dernier degré, et il en résulta les plus extrêmes vicissi- 
tudes de fortune pour le ricbe comme pour le pauvre. 

Naturellement, la condition du pasteur Abel se ressentit grave- 
ment de tous ces bouleversements, de cette confusion financière, 
de cette cberté des vivres, de toutes les difficultés, en somme, 
contre lesquelles ses paroissiens avaient à lutter chaque jour: il 
suffisait que le temps s'écoulât, et que le nombre de ses enfants 
s'accrût, pour que sa situation devînt de plus en plus mauvaise. 

Quand ces temps pénibles commencèrent, son fils cadet, notre 
futur mathématicien, était encore un enfont de cinq ans. Cet 
enfant ne fit donc que trop connaissance avec la gêne, dans la 
maison paternelle, où il resta pendant toute sa première jeunesse, 
jusqu'à l'âge de treize ans, époque à laquelle il fut mis en pension 
à Christiania (1815); et, pendant tout ce temps, il ne vit autour 
de lui que dénûment et misère. 

Telles furent les circonstances au milieu desquelles il reçut 
ses premières et plus vives impressions et dut aussi commencer 
à apprendre quelque chose d'une manière régulière. 

On ne pouvait point songer alors à se débarrasser de ses 
enfants, en les plaçant à un âge encore peu avancé dans une 
école de la ville la plus voisine. On ne pouvait pas davantage, 
sans une nécessité absolue, se charger de faire vivre chez soi une 
personne étrangère qui remplirait dans la maison les fonctions 
de percepteur. Là où c'était possible, il fallait se tirer d'affaire 
de toute autre façon. Aussi, ce ne fut pas loin du foyer domes- 
tique qu'Abel reçut ses premières leçons. Il eut son père pour 
maître. 

Mais c'était un père de très haute capacité! A l'Université de 

23 



354 APPENDICE. — I xrii. 

Copenhague, il avait subi ses examens avec une distinction 
exceptionnelle, et Ton raconte que le grand'père avait été bien 
fier d'un tel fils. En outre, Abel père n'était pas un homme de 
routine. Il pensait par lui-même. C'est ce dont témoignent les 
projets d'améliorations de divers ordres, dont il était toujours 
occupé. Nous avons mentionné déjà, comme quelque chose de 
bien caractéristique, qu'il voulut que, dans l'enseignement, tout 
fût si clair qu'on pût, en quelque sorte, le a toucher des mains ». 
Peut-être ce que son fils apprit à son école n'était pas conforme 
en tout point aux connaissances d'un élève ordinaire : il dut y 
avoir des lacunes dans cet enseignement. Mais si Ton admet 
que c'est à la vie que l'école a vraiment mission de préparer, on 
jugera que cet inconvénient était bien compensé par Yesprit d'une 
méthode visant toujours à la clarté la plus parfaite, et par des 
rapports journaliers avec un maître et un père semblable. 

On vivait donc, alors, dans un temps où chacun faisait effort 
pour se soutenir, et on luttait, à cette époque cruelle, non seule- 
ment pour l'existence, mais aussi pour conserver les avantages 
de la civilisation et de l'ordre social. 

Entre les deux pays formant le même État, une espèce de 
séparation avait commencé à se produire par suite de l'interrup- 
tion des communications. Ce n'étaient plus que de très faibles 
liens qui rattachaient maintenant la Norvège, possession lointaine 
de la couronne danoise, au pays où siégeaient l'Université com- 
mune et le Gouvernement. Aussi, dans ces circonstances, le 
besoin de prendre une part plus active à sa propre destinée et à 
celle de son pays devait se manifester énergiquement dans tout 
le peuple. On allait bientôt se trouver en présence de nécessités 
irrésistibles. 

Il ne pouvait plus être question de continuer à se rendre dans 
la capitale, si lointaine et séparée par la mer, pour achever ses 
études ou pour subir les examens d'entrée au service de TEtat. 
Le désir d'avoir une Université propre prit en Norvège, dans 
ces jours de danger et d'isolement, une énergie telle qu'il fallut 
le satisfaire. Le résultat en fut la fondation de l'Université de 



LA KOnVKf.r: au rOMMKNCKMFM DU XI\° SIÈCLF. 3^);) 

Christiania, oï> l'an 1811. — Ilanslccn, dont nous avons déjà 
parlé si souvent dans ces esquisses, appartient à la première 
série de professeurs. Pour prendre possession de sa place, il dut 
alors se rendre par mer en Danetnark, voya^^e dangereux à 
cause des croiseurs anglais. 



Quand les longues querelles des puissances de TEuropc furent 
sur le point de finir, et que le jour de la justice et de la récom- 
pense approcha, le pays fut traité comme une marchandise. Il 
fut séparé du Danemark, mais pour être livré à la Suède, à titre 
de pays vassal. 

Toutefois, les événements que l'on décrète à l'avance ne sont 
pas toujours ceux que l'histoire enregistre. Souvent il faut 
compter avec des facteurs que l'on n'a pas pu prévoir. 11 en fut 
ainsi dans le cas qui nous occupe. Mais ce n'est pas le lieu 
d'expliquer en détail comment la balance finit par s'établir en 
faveur du plus faible, ni d'essayer de faire voir que ce qui se 
passa était presque la seule chose possible. Nous verrons, 
ailleurs, qu'en réalité aucune des deux parties ne gagna ce quelle 
s'était proposé, et que l'une et l'autre durent se contenter d'une 
transaction. L'accord qui intervint était, du reste, très acceptable 
et fut heureux par la suite, en dépit des dangers qui devaient 
naître d'une lutte inévitable entre des intérêts majeurs et 
opposés. 

Le pays qui devait être la proie du plus fort commença par se 
constituer, après s'être dégagé de ses anciens liens avec le Dane- 
mark, en royaume indépendant. 11 se donna, au mois de mai 18 17, 
une constitution libre, et choisit comme souverain un prince 
danois. Par bonheur pour le pays « rebelle » , on était trop occupé 
avec la France pour pouvoir agir contre les Norvégiens. Ceux-ci 
gagnèrent ainsi un temps précieux, jusqu'au mois d'août. 

Cependant la situation du prince danois, héritier de la couronne 
de Danemark, et homme trop faible de caractère pour diriger 
un mouvement national si plein de péril, était trop difficile, en 



356 APPENDICE. — I XIII. 

présence de l'opposition des grandes puissances aK-'ees, pour se 
prolonger longtemps. 11 n'osa rien et se borna, pendant quinze 
jours, à des «parades militaires)). On n'eut de succès que là où 
le prince ne put tout confondre par sa présence. Enfin il céda, 
et renonça à sa pauvre couronne de Norvège. 

Mais cela môme fut une nouvelle faveur inespérée de la fortune. 
On ne pouvait rien faire définitivement en traitant avec un 
simple rebelle. Il fallait convoquer le « Storthing », l'assemblée 
nationale. On avait, d'ailleurs, obtenu un grand avantage en 
forçant le prince à se retirer. De cette façon, les choses traînèrent 
jusque vers la fin d'octobre. On arriva à la veille de l'hiver. 

Pour la Suède (qui elle-même était épuisée par suite des luttes 
et des malheurs du siècle), la guerre n'était pas encore une 
guerre nationale, comme elle menaçait de le devenir pour la 
Norvège. Ce n'était jusque-là quune guerre essentiellement 
politique, pouvant produire de grands avantages pour le pays, 
dont la frontière occidentale n'aurait plus d'agression à craindre 
et serait mise en communication avec la mer. Il n'était pas, du 
reste, si facile de mettre sur pied le nombre de troupes néces- 
saires pour conquérir le pays révolté et pour le garder en sa 
possession. Il y avait aussi des ditficultés pour se procurer 
l'argent indispensable à une telle entreprise. Enfin, alors qu'on 
avait déjà gagné beaucoup, la position du prince royal de Suède, 
ancien maréchal de France, n'était pas des meilleures aux yeux 
des princes légitimes de l'Europe. 

Il fallait donc se hâter. L'hiver approchait. Une occupation 
éventuelle de Christiania, avec ses dix mille habitants, n'avait 
pas une si grande importance, et pouvait même devenir dange- 
reuse plus tard. Les forces norvégiennes étaient intactes, et, si 
l'on osait entreprendre une campagne d'hiver, le pays à défendre 
réunissait les avantages d'une Espagne, d'un Tyrol, d'une Russie, 
et mieux encore; car les Norvégiens pouvaient, de plus, former 
des corps se transportant partout avec une très grande rapidité. 

On comprit, de part et d'autre, qu'il était bon et nécessaire de 
céder sur quelques points importants pour gagner et conserver 



LA NOnVKr.I- AU COMMFNrFMrîNT DU XIX" SlèCLF. 357 

rcspoctivemcnt ce qui, pour lo momont, était plus importnnt 
cnroro. Quand on on fut arrivé là, la situation du Stortliin^^ fut 
la nioilloiiro pendant los dcrni«'TCs négociations, et ce fut aussi 
lui <pii sutlo plus souvent faire accepter ce qu'il voulait, lorsqu'il 
fixa les conditions sans lesquelles la Norvc^ge ne consentirait pas 
à s'unir à la Suède. Si nous entrons dans ces détails, c'est qu'ils 
ont rapport à certaines déclarations que nous allons citer et qui 
émanèrent du père d'Abel, dont il va être de nouveau question. 

Ce fut en novembre que fut définitivement acceptée l'union, 
en vertu de laquelle la Norvège devait former un royaume 
particulier, libre et indépendant, qui (c de sa libre volonté » 
tendait la main à la Suède, mais gardait ses institutions en tant 
qu'il n'était pas nécessaire de les modifier, pour les mettre en 
rapport avec le nouvel état de cboses. 

Dans les événements de cette année, le père d'Abel, pasteur 
d'une paroisse maritime qui avait tant souffert du blocus, ne 
joua aucun rôle marqué; toutefois, député à l'Assemblée natio- 
nale qui fut convoquée alors, il sut exprimer fidèlement l'opinion 
générale, en déclarant les conditions auxquelles il consentait, 
pour sa part, à l'union éventuelle. 

«Nous sommes encore, » dit-il, « grâce à Dieu, un peuple libre 
et indépendant; et il faut agir comme tel. Ce n'est pas à la 
Suède, mais c'est à nous de préciser les principes conformément 
auxquels des libres Norvégiens appelleront les Suédois leurs 
frères. » 

Un nouvel état de choses était maintenant fondé : les deux 
nations voisines, ennemies depuis plusieurs siècles, se métamor- 
phosaient, comme le dit Abel, en «frères». 

Abel père continua à représenter ses districts à l'Assemblée 
nationale. Il fut spécialement membre du premier « Storthing 
ordinaire», celui de l'an 1815; et comme député il s'y joignit à 
l'opposition qui défendit la cause de la liberté et des intérêts 
nationaux, contre toutes les tentatives de fusion des deux peuples 
et de modification de la constitution du paysan profit du pouvoir 
central. 



358 APPENDICE. — I XIII. 

La môme année (1815), son fils Niels-Henrik Abel fut misa 
récole cathédrale de Christiania. 



On s'était donc donné une constitution très fibre, et on avait 
fondé des institutions bien conformes certainement à la nature 
du pays et aux besoins d'un peuple arrivé, par un développement 
historique, à Tétat d'une pure démocratie. Néanmoins les pre- 
mières années n'en devaient pas moins être critiques. On avait 
été soumis naguère à un gouvernement absolu, et, aux désastres 
de la guerre et du blocus, s'était joint le fléau d'années stériles. 

Les finances étaient donc fatalement, tout d'abord, dans un 
désordre très regrettable. On créa, grâce à de grands sacrifices, 
une banque nationale. Quelques années après, on n'en vint pas 
moins à une nouvelle banqueroute. C'était la seconde dans le 
court intervalle qui s'était écoulé depuis le commencement du 
siècle. La valeur de l'argent descendit cette fois au huitième de 
la valeur nominale. 

Il y avait donc des côtés bien sombres dans l'état social de 
l'époque, malgré tous les effets bons et salutaires qu'avaient pro- 
duits les changements politiques. On éprouvait l'action vivifiante 
de la liberté; mais on ressentit également les contre-coups des 
terribles événements qui venaient de s'accomplir ou qui s'ache- 
vaient alors. En quelques endroits môme, une plus grande 
indépendance contribuait à rendre plus manifestes les consé- 
quences du mal. 

Nous ne faisons pas ici allusion à des faits qui ont exercé une 
influence immédiate et visible sur la société en général. Nous ne 
parlerons que de petites choses; nous exposerons certaines altéra- 
tions des mœurs qui se produisirent très fâcheusement dans la 
paroisse d'Abel, vers la fin de sa vie. Ces circonstances portèrent 
une rude atteinte aux intérêts du pasteur et de sa famille. 

Les événements avaient imposé et imposaient encore à tous 
les plus courageux efforts pour se tirer d'affaire. D'excellentes 
conséquences devaient en résulter dans l'avenir. Mais ces appels 



LA NORVÈGE AU COMMENCEMENT DU XIX° SIÈCLE. 359 

cxni^érés à Tonorgic individuelle devaient aussi produire, à côté 
du bien, des résultats inconnus et mauvais, c'est-;'» -dire des habi- 
tudes démoralisantes. 

L'ivrognerie et d'autres vices se répandirent avec les soucis, 
la misère, rinsuffisancc de la nourriture surtout, au milieu des 
vicissitudes extrêmes de la fortune, par suite de l'abandon et du 
désœuvrement. Ces maux firent môme de plus rapides progrès 
quand la vie commença enfin à reprendre. Dans les districts les 
plus durement éprouvés surtout, Tctat moral ne bénéficia point 
du nouveau régime, qui, en 18IG, supprima d'anciennes entraves, 
augmenta brusquement la liberté dans un temps critique, et 
nmlliplia ainsi, pour les faibles, les occasions de chute. 

A Gjerrestad (d'après une description de cette paroisse et de 
ses pasteurs), la contagion fit de grands ravages pendant les 
premières années qui suivirent la fondation du nouveau gouver- 
nement de la Norvège. Le fait coïncida avec les dernières années 
de la vie d'Abel père. Ce réformateur, toujours zélé, toujours 
actif, avait même fini par se faire des ennemis dans les contrées 
où il avait été reçu d'abord avec tant de dévouement. Il n'en fut 
que très affligé, lorsqu'il se vit impuissant à combattre la démo- 
ralisation qui croissait sans cesse et qui menaçait même son 
foyer. 

Le nouveau régime avait, en effet, supprimé certains privilèges 
du temps de la domination absolue, et l'on avait commis la 
grande imprudence de lâcher soudainement tous les freins. A la 
campagne, chacun put maintenant utiliser le produit de ses terres 
comme il le jugeait le plus avantageux pour lui, et, bientôt, 
l'eau-de-vie du fermier ou de l'habitant d'une simple cabane 
devint une valeur d'échange. Le dimanche, quand les paroissiens 
se rassemblaient pour entendre le sermon de leur pasteur, celui-ci 
put voir de ses yeux ses propres domestiques marchandant la 
funeste liqueur devant les portes mômes de son église. 

Ces faits déplorables, de grands embarras financiers — qu'aug- 
menta, dans ces moments pénibles, l'accroissement que prit sa 
famille par la survenancc d'un grand nombre d'enfants, — des 



3f)0 APPENDICE. — I XHI. 

chagrins, enfin, nés de certaines circonstances domestiques, 
finirent par miner la santé d'Abel, et tellement qu'il mourut de 
douleur. Dans un poème composé à l'occasion de sa mort, on fait 
remarquer que sa vie est une preuve de la grande instabilité de la 
fortune. 

C'est en 1820 que cet événement se produisit, c'est-à-dire 
alors que le second fils, Niels-Henrick, absent de la maison 
de son père, n'avait pas quitté l'école de Christiania et n'était 
pas encore étudiant. Du coup, toute la famille, si nombreuse, 
composée de la mère, de six fils et d'une fille — un des enfants 
était môme idiot — tomba dans la plus profonde détresse et fut 
dispersée. 



La situation du pays avait changé par l'union des Norvégiens 
avec un peuple très rapproché d'eux par une commune origine, 
mais beaucoup plus nombreux et doté d'institutions toutes diffé- 
rentes. D'un côté, un (c peuple de paysans » , de l'autre, une 
nation ayant une aristocratie puissante, portant des noms célèbres. 
Comme roi futur, devant hériter des deux couronnes, on avait 
un ancien républicain, un glorieux maréchal de France. Mais les 
intérêts des deux nations étant opposés sur bien des points, on 
devait, dans le petit pays, être bien en garde contre d'anciens 
désirs, incomplètement satisfaits, qu'on entretenait de l'autre 
côté de la frontière. L'on avait à soutenir en même temps une 
lutte de plus en plus vive contre une réaction très hostile' aux 
nouvelles institutions démocratiques, réaction partant de haut 
et encouragée par toute l'Europe réactionnaire. 

Toutefois, ce n'était pas là tout ce qu'il y avait de plus grave 
dans la situalion, bien qu'on fût obligé de céder sur certains 
points. Le danger de perdre, en temps de paix et petit à petit, ce 
qu'on avait tout récemment sauvé avec tant de peine, dans les 
temps les plus difficiles, ce danger, toujours imminent, main- 
tint mieux que toute autre considération l'union de toutes les 
forces indépendantes du pays. L'esprit de liberté, source de tant 



LA NORVÈGE AU COMMENCEMENT DU XIX" SIÈCLE. 361 

de bonnes et grandes choses, en fut constamment tenu on 
haleine ('). 

]\Iais ce qui était pUis inquiétant — du moins pour un avenir 
immédiat — ce fut que les finances, dont l'Etat n'était déj.^ que 
trop précaire, furent soudainement compromises de la manière 
la plus grave. On contraignit, en effet, TÉtat norvégien à se 
charger d'une part de la dette du Danemark. Cela se passa 
en 18^1. 



Un semblable état de choses ne promettait rien de bon, évidem- 
ment, pour Tavenir prochain de la nouvelle Université, ni pour 
celui d'un jeune savant qui se livrerait à des études très élevées 
sans aucun rapport immédiat avec les besoins de la vie de tous 
les jours. Et cependant, c'était le moment où un Abel allait 
entrer en scène. Il avait bien encore à passer quelques mois à 
récole cathédrale; mais, avec toute la fougue de la jeunesse, il 
s'était déjà jeté dans de grandes entreprises scientifiques. Il 

(*) Il régnait alors dans le pays une sorte d'enthousiasme permanent, qui s'était 
emparé même des gens aisés et des fonctionnaires publics. C'est avec ceux-ci en 
tète qu'on s'opposa résolument aux propositions du roi faites en vue de refondre 
complètement «l'œuvre d'Eidsvold». En cherchant imprudemment à intimider la 
nation par des démonstrations militaires devant Christiania, et en défendant de 
célébrer l'anniversaire du « jour de la liberté », le gouvernement n'arriva qu'à 
exciter davantage un sentiment romanesque, qui, autrement, se serait rapidement 
éteint au milieu des préoccupations de la vie pratique. 

C'est lorsqu'on lutte en commun pour la liberté et pour l'indépendance nationale, 
qu'on possède le mieux ces nobles biens. En ce sens, il y avait une certaine vérité 
dans les vers hyperholiqiies qu'on chantait en chœur : « L'oiseau dans les bois et le 
floL de la mer du Nord ne sont pas plus libres que l'homme de la Norvège. » On était 
oublié du grand monde du dehors, considéré par lui comme des barbares Lapons, 
ou, plus généralement encore, confondu avec les frères de l'autre côté de cette 
montagne que les géographes ont imaginée sous le nom de « Kjôlen » ; on avait, 
en outre, à veiller sans cesse à une nationalité menacée; on n'en était que plus fier 
d'appartenir à sa nation, comme le montre bien le fait d'Abel, faisant suivre son 
nom du titre de « Norvégien », dans son mémoire à l'Institut. 

Il se peut qu'il y eût quelque chose de naïf dans les conceptions et les sentiments 
de cette époque de trouble. Il n'en est pas moins sûr qu'il en résulta d'excellentes 
choses, que les progrès les plus louables et les plus marqués furent faits dans tous 
les sens — même en art, en littérature et en science — par un petit peuple, qui 
ne comptait alors que 800,000 habitants, et qui vivait dans un pays désolé. 



362 APPENDICE. — I XIII. 

s'occupait, depuis longtemps sans doute, du très haut problème 
de la résolution des équations du cinquième degré; car, justement 
alors, il recevait, par Ilansteen, la réponse de Degen, et il venait 
de découvrir la faute qu il avait commise dans la chaîne de ses 
raisonnements. Cet échec, quil subissait dans une situation si 
désolante, ne devait pas cependant Tarrôter dans la voie des 
recherches abstraites; cet échec eut pour tout effet de lui permet- 
tre de reprendre le problème à un point de vue nouveau. Bien 
plus, Abel s'enfonça de plus en plus dans des études si périlleuses. 
La même lettre lui apportait, en effet, les premières indications 
et exhortations qui devaient le conduire avant peu à soumettre 
les fonctions elliptiques de Legendre à une étude approfondie. 

Au mois de juillet de la même année (1821), Tannée, par 
conséquent, de la mort de son père, il devint étudiant — mais 
après un examen très médiocre, qui ne lui servit pas de recom- 
mandation pour l'avenir. 

L'époque n'était pas, d'ailleurs, favorable à l'augmentation 
rapide du nombre des chaires, surtout de celles qui seraient 
réservées aux plus hauts enseignements de l'Université. Quelque 
précieuse que dût être cette institution à une nation qui 
longtemps avait lutté en vain pour l'obtenir, il fallait attendre. 
Il y avait à satisfaire des besoins plus impérieux pour le pays 
que ne Tétaient les progrès de la plus haute analyse. 

Dans une Université organisée sur un pied modeste, fondée 
dans un temps de misère et de dangers, et n'ayant pas encore 
plus de dix ans d'existence, si Abel voulait persévérer dans sa 
voie^ il fallait qu'il le fît par passion, sans poursuivre d'autre 
récompense de ses efforts que la découverte même de la vérité. 

L'occasion pouvait se présenter sans doute — vraisemblablement 
après une longue série d'années — d'obtenir une place vacante 
de professeur de mathématiques à l'Université. Cela arriva même, 
en fait, beaucoup plus tôt qu'on n'aurait pu s'y attendre, par suite 
de la retraite de Rasmussen. Mais alors ce dont on devait se 
préoccuper en première ligne n'était pas de nommer un homme 
de grande érudition ou de mérite scientifique exceptionnel. 



LA NORVÈGC AU COMMENCEMENT DU XIX" SIÈCLE. 303 

Naturellement, comme partout, on eût aimé ;i attacher à TUnivcr- 
sité de Giiristiania des savants de cet ordre, distingues comme 
professeurs. iMais le besoin le plus pressant était d'avoir, dans 
les chaires, des hommes possédant do bonnes et solides connais- 
sances, avec ou sans fiicultés brillantes, mais sachant communi- 
quer les principes essentiels, et faire en sorte qu'ils fussent 
soigneusement cultivés par leurs propres élèves. On devait donc 
avoir quelque défiance des étudiants médiocres et des spécialistes, 
des personnes qui, comme Abel. ne pouvaient se prévaloir d'une 
série complète de bons examens. Les chefs de l'Université, les 
hommes érudits, auxquels on confiait l'importante mission d'im- 
primer une direction déterminée à l'enseignement supérieur du 
pays, recherchaient, en principe, une plus haute instruction 
générale et des connaissances classiques plus complètes. 

Aucune préoccupation étrangère ne devait donc troubler Abel 
dans ses recherches pour découvrir le vrai. Il n'avait pas même 
le moindre espoir quelles lui servissent à arriver à une position 
dans rUniversité. En cas de vacance d'une chaire, c'était plutôt 
son maître Holmboe, qui avait la chance d'être nommé. Aussi 
Abel était-il plus libre que personne, tant que les circonstances 
devaient lui permettre de continuer des études qu'il lui eût été 
si dur d'abandonner avant d'avoir résolu les grands problèmes 
qu'il méditait. Et cette liberté, si étendue, multipliait en propor- 
tion, pour un chercheur très instruit, sincère, indépendant, sans 
préjugés et sans crainte, les chances de rencontrer sur sa voie 
quelques profonds secrets de la nature. 

S'il fut privé de certains avantages dont jouirent à un plus 
haut degré des collègues qui étudièrent et préparèrent leurs 
examens dans des Universités étrangères et plus savantes, il en 
eut amplement d'autres en compensation. Et ceux-ci, pour un 
investigateur doué de ses hautes et rares facultés, durent avoir 
sans doute une bien plus grande valeur. Il ne s'attarda point et 
ne se gâta pas plus ou moins l'esprit, dans ces études traînantes 
par lesquelles on prépare une longue série d'examens, conquiert 
ensuite un savant doctorat et finit par emporter une chaire sur 



364 APPENDICE. — I XIII. 

ses concurrents, grâce à des communications minutieuses. Ces 
épreuves sont nécessaires, dans les circonstances courantes, pour 
contrôler les capacités et procéder à de bons choix; mais, dans 
bien des cas, elles arrêtent les meilleurs. Pour Abel, il n'eut pas 
à étudier, surtout, ses examinateurs, leurs spécialités et aussi 
leurs faiblesses; à accommoder ses investigations, ses plans de 
recherches nouvelles aux exigences ni aux désirs d'autrui; à se 
précipiter sur la première petite lacune transcendantale qu'il 
pourrait découvrir ou qui lui serait montrée dans telle ou telle 
œuvre à la mode, ou encore dans Tensemble des ouvrages de 
valeur moyenne qui traitent d'un certain ordre de questions. 

Dans des conditions toutes simples et toutes naturelles, en 
quelque sorte, il lut de bons auteurs, les meilleurs qu'on puisse 
trouver. Bientôt après, un peu étourdiment peut-être, il s'attacha 
à de grands et vastes problèmes, qu'il s'agit d'abord de circons- 
crire. Mais, en les traitant, il déploya cette sobriété quil admirait 
dans les œuvres des maîtres, et qu'il avait vue, on peut le dire, 
pratiquée journellement autour de lui par ceux avec lesquels il 
avait vécu péniblement depuis sa naissance. 



Nous avons essayé de décrire les états successifs que la Norvège 
traversa pendant la première jeunesse d'Abel, et jusqu'à l'époque 
où il quitta l'école. Nous avons aussi fait connaître quel fut le 
triste sort de sa famille. 

Dans la suite, soutenu par quelques professeurs d'abord, et 
plus tard par l'État lui-même, malgré tous les besoins publics 
auxquels il fallait faire face, il continua les études abstraites 
qu'il avait entreprises, sur une si vaste échelle avant même d'être 
admis à l'Université. Il obtint ensuite du Gouvernement une 
bourse, pour faire un voyage d'études de deux ans à l'étranger. 
Puis, il retourna dans sa patrie et près de ses pauvres parents. 
Son retour eut lieu au mois de mai 1827, par conséquent, six 
ans après qu'il eut commencé ses études universitaires. 

Mais il revint très endetté, avec une réputation encore modeste, 



CONCLUSION. 305 

laissant à Paris son plus beau travail. Lorsqu'il comptait sur un 
succès, il avait parle à ses amis de ce travail, qui lui avait 
roussi si bien; mais maintenant que les plus illustres juges ne 
semblaient pas l'apprécier de bien haut, il finit par s'en taire. 

A une époque où les grandes plaies de l'État n'étaient pas 
encore guéries, quels étaient les devoirs d'un membre du gou- 
vernement envers un étudiant qui revenait dans les conditions 
où se trouvait Abel, qu'on avait aidé déjà de son mieux, malgré la 
pénurie du trésor et qui s'occupait des recherches les plus trans- 
cendantes avec ardeur, et aussi avec plus de succès que la masse 
des jeunes adeptes de la science? 

Tant qu'il n'avait pas donné plus de preuves de son mérite, il 
fallait que ce jeune homme s'aidât lui-même, comme tous les 
autres; aucune exception ne devait être faite que pour ce qui 
était vraiment exceptionnel. 

Au reste, ne regrettons pas trop que l'existence d'Abel se soit 
passée si tristement. Celui qui, pendant toute sa vie, a dû aller à 
une aussi rude école, a le privilège de voir et de penser autrement 
que la majorité des hommes; et si, par ses efforts et ses études 
profondes, il a acquis le don de lire les pensées des temps à venir, 
il ne se fait pas l'illusion d'être compris par les siens ou par ses 
contemporains. Mais, quand même le bonheur lui échapperait, il 
n'en a pas moins beaucoup vu, et il sait qu'il n'a pas vécu en 
vain. 



FIN. 



i 



TABI.K DES MATIKHES 



PRKFACE I 

NiELS-IlENRIK AdEL 1 

I. L'entrée à l'école et les quatre premières années d'étudiant, 

jusqu'au départ de Christiania en 1825 1-32 

II. Ditficultés des relations. — Arrivée à Berlin, rencontre avec 

Crelle et fondation d'un journal mathématique 33-51 

III. Nomination de Holmboe. — La colonie norvégienne. Som- 

bres dispositions 52-66 

IV. Réilexions et soucis. — Les matériaux amassés. — L'esprit 

et la méthode des recherches d Abel 67-77 

V. Sur les g-rands travaux qui se préparaient, et sur leurs 
liaisons avec les recherches antérieures de Legendre et 
les recherches subséquentes de Jacobi 78-85 

VI. Abel et Gauss 86-95 

VIL Départ; réunion a Dresde 96-101 

VllI. Travaux de Paris. — Retour par Berlin. — Situation d'Abel 

à sa rentrée dans son pays 102-109 

IX. Découverte de Gauss vers le commencement du siècle. 
Remarques préliminaires concernant l'idée qu'on s'est 
faite de la situation réciproque d'Abel et de Jacobi 110-123 

X. La découverte par Abel des fonctions elliptiques. — Les 
théorèmes de transformation de Jacobi, et leurs rapports 
avec les fonctions elliptiques ainsi qu'avec la théorie 
définitive de Legendre 124-145 

XL La théorie de la transformation d'Abel : elle est complète 
et remonte à une époque plus ancienne. Comment elle a 
été préparée, et comment elle prend place organique- 
ment dans un plan naturellement conçu ; quel intérêt 
historique offre ce plan pour le développement des recher- 
ches de Jacobi 146-154 

XII. Théorèmes et problèmes. — Nouveaux travaux qui se 
préparent, et citation d'un livre manuscrit. — Conclusion 
à en tirer 155-167 

XIII. Résumé de la situation pendant l'année 1827. — Caractère 

différent des études d'Abel et de Jacobi 168-182 

XIV. La lutte et la suite du développement des événements, 



368 TABLES. 

jusqu'à répoqiie où Abel cède la place, et où paraît le 

f^rand ouvrage de Jacobi : les Fandamenta nova 183-21 G 

XV. Froland et la mort d'Abel 217-248 

APPENDICE 249 

I. Le départ de Dresde. — Séjour à Prague et à Vienne 251-260 

IL Abel à Holmboe 261-267 

III. Voyage à Paris. Séjour dans cette ville 268-273 

IV. Comment les travaux de Paris forment une série de travaux 

ayant leur origine dans ceux qu'Abel rédigea à Christia- 
nia, antérieurement à son départ 274-284 

V. Abel commence son Mémoire de Paris. Communication à 
Crelle et son importance pour le futur travail de l'appli- 
cation 285-289 

VI. Position d'Abel parmi les savants de Paris 290-301 

VIL Achat de livres. Lettre à la sœur d'Abel. Solitude et gêne. 302-308 
VIII. Derniers travaux de Paris. — Abel prépare la rédaction de 

ses « Recherches sur les fonctions elliptiques » 309-315 

IX. Fin du séjour à Paris et sort du mémoire présenté par Abel 

à l'Institut 316-322 

X. Second voyage à Berlin. — Six semaines d'embarras 322-332 

XL Travaux d'Abel à Berlin. Sa 'situation au moment du 

retour au pays 333-341 

XII. Réunion des œuvres d'Abel dans une première édition, et 

publication du Mémoire présenté à l'Académie des Scien- 
ces de Paris 342-347 

XIII. Remarques finales sur le caractère et la situation de la 

société d'où sortit Abel. — État de la Norvège pendant 

sa première jeunesse et à son retour de l'étranger 348-365 



Bortloaux. — Inip. G. Gounouilhou, rue Guiraude, 11. 



Bjerknes 

Niels-Henrik Abel 



9 



UBRARY